文档内容
1.3 复数（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 复数的基本知识
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为4i B．z的共轭复数为1﹣4i
C．|z|＝5 D．z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ z的虚部为4, z的共轭复数为1﹣4i，|z| ，z在复平面内对应的点在第一象限.故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）若复数 ，其共轭复数为 ，则（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 在复平面上对应的点在第四象限 D．
【答案】D
【解析】因为复数 ，所以 ，
z的虚部为 ， ， 对应点 在第一象限， ，
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习（多选））已知复数 ，则（ ）A． B．
C．若 ，则 ， D． 的虚部是
【答案】BC
【解析】 ， ，故不能推出 ，A不正确；
由复数模的定义 ，故B正确；根据复数相等知， 时 ， 正确，故C正确；
由虚部的定义知， 的虚部是y,故D不正确.故选：BC
3．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知复数 ，其中 是虚数单位， ，下列选项中
正确的是（ ）
A．若 是纯虚数，则这个纯虚数为
B．若 为实数，则
C．若 在复平面内对应的点在第一象限，则
D．当 时，
【答案】D
【解析】 ，
对于A：当 是纯虚数时，则 且 ，解得 ，此时这个纯虚数为 ，故A不正确；
对于B：当 为实数时，则 ，解得 ，故B不正确；
对于C：当 在复平面内对应的点在第一象限，则 ，解得 ，故C不正确；
对于D：当 时， ，所以 ，故D正确，故选：D.
考点二 复数的模长
【例2-1】（2022·湖南·高一期中）已知复数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C
【解析】由 ，得 ，解得 或 .故“ ”是“ ”的必要不充分
条件.
故选：C
【例2-2】（2022·福建宁德·模拟预测）若 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，故设 ，则 ，
所以 .故选：D
【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）若复数z满足 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【答案】C
【解析】设 .则 表示复平面点 到点 的距离为3.
则 的最大值为点 到 的距离加上3.即 .故选：C.
【例2-4】（2022·全国·高三专题练习）若复数 满足 ，其中i为虚数单位，则 对应的点
(x，y)满足方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，代入 得： . 故选：B
【一隅三反】
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知复数z满足 ， 为z的共轭复数，则 的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．16
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
所以 所对应的点 的轨迹是以 为圆心 为半径的圆，
因为 为z的共轭复数，所以 即 ，
而 可看作该圆上的点 到原点的距离的平方，所以 .故
选：C.
2（2022·重庆·高三阶段练习）已知复数z满足 ，复数z的共轭复数为 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】令 ， ，则 表示与 距离为1的点集，即 ，
此时， 表示圆 上点到原点距离，
所以 的最大值，即为圆上点到原点的最大距离，而圆心到原点距离为1，且半径为1，
所以圆上点到原点的最大为2.故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点 的轨迹可看作以 为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到 和 的距离之和，而|CO|＝ ，|CA|＝ ，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝ ，
故选：D．
考点三 复数的几何意义
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）设复数z满足 ，且在复平面内z对应的点位于第一象限，
则z=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把四个选项一一代入 验证：
对于A：z= ，则有 ， .故A错误；
对于B：z= ，则有 ， .故B正确；
对于C：z= ，则有 ， .故C错误；
对于D：z= ，则有 ， .故D错误；
故选：B
【例3-2】（2022·山东潍坊·模拟预测）（多选）已知复数z满足 ，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ）
A．复数z的虚部为 B．
C． D．复数z的共轭复数为
【答案】BC
【解析】设复数 .
因为 ，且复数z对应的点在第一象限，
所以 ，解得： ，即 .
对于A：复数z的虚部为 .故A错误；
对于B： .故B正确；
对于C：因为 ，所以 .故C正确；
对于D：复数z的共轭复数为 .故D错误.
故选：BC
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 是虚数单位，则复数 对应的点所在的象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【解析】 .所以复数对应的点 在第四象限，故选：D
2．（2022·河南新乡·高二期中（理））若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A． 不可能为纯虚数
B． 在复平面内对应的点可能位于第二象限
C． 在复平面内对应的点一定位于第三象限
D． 在复平面内对应的点可能位于第四象限
【答案】D
【解析】由 为第二象限，其对应辐角范围为 ，所以 对应辐角为 ，
故 在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.所以A、B、C错误，D正确.
故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）已知复数 对应的点在第二象限， 为 的共轭复数，有下列关于 的四个
命题：
甲： ； 乙： ；
丙： ； 丁： ．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解析】设 ，由于 对应点在第二象限，所以 ，
， ， ， .
甲 ，乙 ，丙 ，
丁 ，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题， 的值应为
.故选：B
考点四 复数与其他知识的综合运用
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知 为虚数单位，则复数 的虚部
为（ ）
A． B． C．1010 D．1011
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
相减得 ，
所以 ，虚部为 ．故选：B．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））在复平面内，复数2 ，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上
的点，且 ，则点C对应的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为 ， ，设点C的坐标为
所以 ，根据 得，
计算得
所以点C对应的复数为 ，其共轭复数为 ，选项C正确.
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 是复数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设 ， ,
当 ，即 时， ， 所以
取 ， ， , ,则满足 ，但显然不满足
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件故选：A
3．（2022·河南商丘）定义函数 ，若 （i为虚数单位），则
的展开式中系数最大项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知 ，两边取模，得 ，所以n＝10．
二项式 的展开式的通项为 ，
因为n＝10，则 ．
令第r＋1项的系数最大，则 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以r＝3，所以 ，故系数最大的项为 ．故选：C．
考点五 解复数的方程【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知方程 有两个虚根 ，若 ，则 的
值是（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知方程有两个虚根 ，因此方程判别式小于0，即. ,
设 由韦达定理可知
所以 , 即
, 即 , 所以
所以
故答案为：C
【一隅三反】
1．（2022·重庆八中模拟预测）若虚数单位 是关于x的方程 的一个根，则
（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由题， 是方程的一个根，所以 ，即 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，选：B
2．（2022·山东枣庄·一模）设 ， 是方程 在复数范围内的两个解，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由方程 得 ，由求根公式得 ，不妨设 ，
.
，A错误； ，B错误；
，C错误； ，D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）复数 满足 ，且使得关于 的方程 有实根，则这样的
复数 的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】设 ,因为 ,所以 ,
所以将 代入方程 整理
，
因为关于 的方程 有实根，
所以
所以当 时，解得 ，此时关于 的方程为 或 ，易知方程 无实
数根，故舍去，所以 ；
当 时，解得 ， ，所以 ，所以 ，此时方程有实数根 ，满足条件.综上， 或 .
故这样的复数 的个数为 个.故选：C
考点六 综合运用
【例6】（2022·河北·石家庄二中）（多选）下列四个命题中，真命题为（ ）
A．若复数 满足 ，则 B．若复数 满足 ，则
C．若复数 满足 ，则 D．若复数 ， 满足 ，则
【答案】AB
【解析】对选项A，若复数 ，设 ，其中 ，则 ， 则选项A正确；
对选项B，若设 ，其中 ，且 ，则 ，则选项B正确；
对选项C，若 ，设 ，则 ，但 ，则选项C错误；
对选项D，若复数 ， 满足 ，设 ， ，则 ，
而 ，则选项D错误.故选：AB.
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）（多选）已知复数 （ 为虚数单位），则下列说法中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】 ， ，
故B错误；，
故A正确；
，故C正确；
， ，
，
， ，
故D错误.故选：AC.
2．（2022·福建泉州·模拟预测）（多选）设 为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
【答案】AD
【解析】对于A，设 ， ，则 ，
，即 ， ，A正确；
对于B，令 ， ，则 ，此时 ，B错误；
对于C，令 ， ，则 ，此时 ，C错误；
对于D，设 ， ，则 ，
，即 ，则 ；
若 ，则 成立，此时 ；若 ， ，由 知： ；由 知： ；此时 ；
同理可知：当 ， 时， ；
若 ， ，由 得： ， ，此时 ；
综上所述：若 ，则 或 ，D正确.
故选：AD.
3．（2022·山东青岛·高三期末）（多选）已知复数 ， 为虚数单位， ，则下列正确的
为（ ）
A．若z是实数，则 B．复平面内表示复数z的点位于一条抛物线上
C． D．若 ，则
【答案】BC
【解析】选项A：由复数 是实数可知 ，解之得 .选项A判断错误；
选项B：复数 在复平面内对应点 ，其坐标满足方程 ，即点 位
于抛物线 上. 判断正确；
选项C：由 ，可得
.判断正确；
选项D： 即
可得 ，解之得 .选项D判断错误.
故选：BC
