文档文本内容
2.2 函数基本性质
目录
01 思维导图与题型归纳...............................................................................................................................................2
02 基础知识点梳理........................................................................................................................................................3
知识点1、函数的单调性..............................................................................................................................................3
知识点2、函数的最值..................................................................................................................................................3
知识点3、函数的奇偶性..............................................................................................................................................4
方法总结1：单调性常见方法及结论.........................................................................................................................4
方法总结2：奇偶性常用结论......................................................................................................................................5
方法总结3：常用奇偶函数模型..................................................................................................................................5
方法总结4：中值模型..................................................................................................................................................6
方法总结5：不动点与稳定点......................................................................................................................................6
方法总结6：悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数.............................................................................................6
03 真题回顾....................................................................................................................................................................8
04 经典题型归纳总结.................................................................................................................................................27
题型1：函数单调性的判定........................................................................................................................................27
题型2：函数单调区间的求解....................................................................................................................................29
题型3：单调性应用与不等式求解...........................................................................................................................32
题型4：单调性约束下的参数范围求解...................................................................................................................35
题型5：抽象函数的单调性分析...............................................................................................................................38
题型6：分段函数的单调性应用...............................................................................................................................40
题型7：函数单调性的唯一性分析...........................................................................................................................42
题型8：函数奇偶性的判定........................................................................................................................................44
题型9：奇偶性约束下的参数求解...........................................................................................................................47
题型10：利用奇偶性确定函数解析式.....................................................................................................................49
题型11：中值模型的应用..........................................................................................................................................51
题型12：奇偶性的图象分析......................................................................................................................................54
题型13：奇偶性与单调性综合运用.........................................................................................................................58
题型14：不动点与稳定点问题..................................................................................................................................62
题型15：悬链线与双曲三角函数.............................................................................................................................67
05 课后拓展精练..........................................................................................................................................................71
知识点1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数
的定义域为
，区间
：
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
当
时，都有
，那么就说
在区间
上是增函数．
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
，那么就说
在区间
上是减函数．
①属于定义域
内某个区间上；
②任意两个自变量
，
且
；
③都有
或
；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数
在区间
上是增函数或减函数，那么就说函数
在区间
上具
有单调性，
称为函数
的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
减函数．
知识点2、函数的最值
1、最大值：
的定义域为，如果
满足：（1）对
，都有
，（2）
，使得
，则称
为
的最大值，记作
；
2、最小值：
的定义域为，如果
满足：（1）对
，都有
，（2）
，使得
，则称
为
的最小值，记作
．
知识点3、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做偶函数
关于
轴对
称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做奇函数
关于原点对
称
判断
与
的关系时，也可以使用如下结论：如果
或
，则
函数
为偶函数；如果
或
，则函数
为奇函数．
方法总结1：单调性常见方法及结论
1、单调性定义的变式：设
，且
，
①
在
是增函数
恒成立
②
在
是减函数
恒成立
2、判断函数单调性
设
，
具有单调性，常数
，常数
，则
①
，
，
与
有相同的单调性
②
，
与
有相反的单调性
③若
，
都是区间
上的增（减）函数，则
在区间
上也是增（减）
函数．
④设
，
都是区间
上的恒正的增（减）函数，则
在区间
上也是增
（减）函数．
⑤增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，
增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；
3、复合函数单调性
讨论复合函数
的单调性时要注意:
①若
在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则
为增函数;
②若
在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则
为
减函数. 列表如下:
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
方法总结2：奇偶性常用结论
①奇偶函数四则运算与复合
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
②奇函数
的定义域若包括0，则必有
.
③
为偶函数
④若
，且
的定义域关于原点对称，则
既是奇函数也是偶函数.
⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
⑥
的定义域关于原点对称，
为偶函数，
为奇函数，
为偶
函数.
⑦奇函数：
；偶函数：
⑧若
是偶函数，则奇次项系数
为0.
若
是奇函数，则偶次项系数
为0.
方法总结3：常用奇偶函数模型
(1)奇函数模型
①函数
或函数
.
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
(2)偶函数模型
①函数
；
②函数
；
③函数
类型的一切函数．
方法总结4：中值模型
基本模型：
，其中
为奇函数，
为常数
（1）
（2）
方法总结5：不动点与稳定点
不动点对于函数
，我们把方程
的解
称为函数
的不动点，即
与
图像交点的横坐标．
稳定点对于函数
，我们把方程
的解
称为函数
的稳定点，即
与
图像交点的横坐标．很显然，若
为函数
的不动点，则
必为函数
的稳定点．
方法总结6：悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数
双曲正弦：
，①奇函数；②
上单调递增．
双曲余弦：
，①偶函数；②
．
双曲正切：
，①奇函数；②
上单调递增．
1．（2026 年高考全国2 卷数学高考真题）已知
是定义域为R 的偶函数，
，且当
时，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】
，则
，
，即
的周期为
，
结合奇偶性，周期性，故
，
在
上满足
，说明
的对称轴为
，
则
，解得
，
又根据
知
，而
，
则
，于是
，
即
，解得
2．（2026 年高考天津卷数学高考真题）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
由题意及图得，函数
为奇函数，且当
时，
，
对A 选项，当
时，
，与图象不符，故A 错误；
对B 选项，当
时，
，与图象不符，故B 错误；
对D 选项，当
时，
，与图象不符，故D 错误；
对C 选项，在
中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C 正确.
3．（2026 年高考北京卷数学高考真题）下列函数
是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A，在
中，
，则
，函数为偶函数，故错误；
B，在
中，
，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；
方法一：
C，在
中，
，则
，
，函数单调递减，故错误；
D，在
中，
，解得
，
，则
为奇函数，
，即函数在定义域上单调递增，故正确.
法二：
C，在
中，
，则
，为奇函数，
∵
和
是减函数，
∴函数
单调递减，故错误；
D，在
中，
，解得
，
，
为奇函数，
∵
和
是增函数，则
为增函数，
∴函数
单调递增，故正确.
4．（2025 年高考天津卷数学真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图可知函数为偶函数，而函数
和函数
为奇函数，故排除选项AB；
又当
时
，此时
，
由图可知当
时，
，故C 不符合，D 符合.
故选：D
5．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知
，C 在
上，
则
的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值
B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值
D．既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【解析】设曲线上一点为
，则
，则
，
，
方程为：
，即
，
根据点到直线的距离公式，
到
的距离为：
，
设
，
由于
，显然
关于
单调递减，
，无最小值，
即
中，
边上的高有最大值，无最小值，
又
一定，故面积有最大值，无最小值.
故选：A
6．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
7．（2024 年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，则
，故A 错误；
对B，设
，函数定义域为
，
且
，则
为偶函数，故B 正确；
对C，设
，
，
，则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，
因为
，且
不恒为0，
则
不是偶函数，故D 错误.
故选：B.
8．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）函数
在区间
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
9．（2023 年北京高考数学真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，故A 错误；
对于B，因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，故B 错误；
对于C，因为
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
，
，
显然
在
上不单调，D 错误.
故选：C.
10．（2026 年高考上海卷数学高考真题）已知函数
是偶函数，当
时，
，若
，则
__________．
【答案】
【解析】因为函数
是偶函数，当
时，
，
所以
，解得
.
11．（2025 年高考天津卷数学真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为_______
【答案】
【解析】设
，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，
故
的最小值为
.
故答案为：
12．（2024 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））若函数
是奇函数，则实数
______.
【答案】0
【解析】
是奇函数，则
恒成立，
所以
，解得
故答案为：0．
13．（2023 年北京高考数学真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
【解析】依题意，
，
当
时，
，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当
时，
，易知其图像是，圆心为
，半径为
的圆在
轴上方的图像（即半
圆）；
当
时，
，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取
，则
的图像如下，
显然，当
，即
时，
在
上单调递增，故①错误；
对于②，当
时，
当
时，
；
当
时，
显然取得最大值
；
当
时，
，
综上：
取得最大值
，故②正确；
对于③，易知当
时，在
，
且接近于
处，
的距离最小，
当
时，
，当
且接近于
处，
，
此时，
，
当
时，
且接近于
处，
的距离最小，
此时
；故③正确；
对于④，取
，则
的图像如下，
因为
，
结合图像可知，要使
取得最小值，则点
在
上，点
在
，
同时
的最小值为点
到
的距离减去半圆的半径
，
此时，因为
的斜率为，则
，故直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，
显然
在
上，满足
取得最小值，
即
也满足
存在最小值，故
的取值范围不仅仅是
，故④错误.
故答案为：②③.
14．（2026 年高考全国1 卷数学高考真题）已知函数
的定义域为
，且当
时，
．对任
意
，定义集合
．
(1)若当
时，
，求
；
(2)若
是奇函数，
，且
，证明：
；
(3)设
满足：①若
，则
；②当
时，
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
在区间
单调递增．
【解析】（1）由题意，
在
中，
，
，
在
中，
，
∴
，
当
时，
，
，解得
，
当
时，
，解得
，
∴
，
∴
.
（2）由题意证明如下：
在
中，
是奇函数，当
时，
．
∴
，当
时，
，
∴
在集合
中，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
∴
，
∵
，
∴
且
，即
，
，
∵
，
∴①当
时，解得
，
，
，
此时
，
②当
时，解得
，
，
，
此时
，
③当
时，解得
，
，
，
此时
，
综上，
.
（3）（i）（i）由题意证明如下，
法一：
若
，则存在
，使得
，
条件①：若
，则
，
∴
，则
，
取
，则
，此时
，
∵
，则
，即
，
但
，相矛盾，
∴
法二：
假设
，则存在
，使得
，
从而
，这导致
，
但
，
∵根据条件又有
，矛盾，
∴假设不成立，
.
（ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下，
在集合
中，
要证
在
上单调递增，
即需证
，
，都有
，
即需证
，
，都有
，
①先证明：当
时，
，
假设
，使得
，
∵当
时，
，
∴
，使得
，
∴
，
而当
时，
，
否则
，使得
，
，与
矛盾，
∴
，
∴
，
∴
，
由（3）（i）得，
，
则
，
由条件②：当
时，
，
则
，
否则
时，
与
矛盾，
∴若
，使得
，则
，
，（*）
∴
，使得
，
则
，
令
，
，
此时
，则
，则
，
∴
，
∵
，
∴易取
，
满足
，
使得
，
根据（*）可得，此时
，与
矛盾，
∴当
时，
，
②证明：对
，
，都有
，
∵
，
，都有
，
∴
，
对任意给定的
，取
，则
，
∴对
，
，都有
，
∴
在
上单调递增.
（ii）略
15．（2026 年高考上海卷数学高考真题）已知
是，
，的一个排列，若函数
，
，
，对任意
，都有
且
，则称
是关于
，
，
的一个
排列，则关于
，
，
的
排列总数记为
．
(1)已知
，
，
，
，判断
是否为
排列；
(2)对
，
，
，
满足条件的
，求
的取值范围；
(3)对
，且对任意
，
，令
，
，
，
，证明：若
严格减，则存在
，使
；若
严格增，则存在
，
．
【解析】（1）由题意得
，
则当
，
，
则
恒成立，
，
则
恒成立，
故
是为
排列.
（2）若
，则1，2，3 的全排列均满足题意，
①
，则有：
，此时两个不等式显然成立．
②
，则有：
，即
.
③
，则有：
，即
.
④
，则有：
，即
.
⑤
，则有：
．
⑥
，则有：
，即
.
则上述不等式均要成立，取它们的交集有
，
即
，即
对
恒成立，
分离参数得
，因为当
时，
，
所以
.
（3）首先证明第1 个结论，
观察（2）问的6 个情况，若
和
在
上同时成立，
那么排列
都将是
排列，此时
至少为4．
当
时，即
，
因为
是定义在
上的函数，且严格单调递减，实数
，
则
恒成立，
又因为函数
在
上单调递增，
则在区间
上，
，
.
若
恒成立，则
，
则只需
，即
，因为对任意的
，
，
则
，则
，则解得
，
当
时，即
，
因为
严格递减，所以
且
，
，
只要
，就有
，
则可取
即可满足题意．
即存在
，使得
.
再证明第2 个结论.
假设对于任意的
，都有
，
因为（2）中①排列
始终满足条件，
则在剩下的5 种排列中，只有唯一的一个是
排列．
首先，我们证明
不可能恒成立：
假设对于某个
，在
上恒有
．
即
，
即
，
取
．由于
严格递增，
令
，
则
，
于是对任意正整数
：
，
当
时，
，这与
矛盾！
因此，
不可能恒成立．则排列③排列
和④排列
永远不可能是
排列．
接下来只剩②排列
，其需满足
，
⑤排列
，其需满足
，
⑥排列
，其需满足
，
下面证明：对于任意
在
上恒成立＂与＂
在
上恒成立＂这两个命题，
必须有且只有一个为真．
（i）若对任意
，都有
，即都有
，
对于任意
和
，
则
，
当且仅当
时等号成立，又因为
，故等号无法取到，
所以
恒成立，
则
对所有的
恒成立.
则此时②排列
，⑤排列
，⑥排列
均成立，
则
，与假设
矛盾！
（ii）并非对于所有
都有
，即
，
则必定存在
，使得
，
设
，
因为
是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的
，总可以找到
，使得
，
即
，即
，
同时，因为
严格递增且
，必有
．
即
，
即
，即
，
则可取充分小的
使得
，即存在
，使得
，
所以＂
恒成立＂这个命题是假的．
既然
为假，那么＂
恒成立＂必须为真．
即除①排列外剩余的5 个排列中，只有②排列
成立，此时满足
，
则对于
，在
时都有：
，
即
，
取
，则对于任意
：
，
因为
严格递增，则
．
则
又因为
，
则
即
，对任意
都成立．
取
，因为
，则
，
则对于
内的任意，都满足
，
因为
，故有
，
但是，之前我们得到
，
即
，则
，
则有：
， 这与我们的假设相矛盾．
综上，原命题成立，必然存在
，使得
．
16．（2026 年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷（回忆版））设
是定义在
上的
函数.定义性质
：若对任意
，当
时，
，则称函数
具有“性质
”.
(1)判断函数
是否具有“性质
”；
(2)若分段函数
具有“性质
”，求所有满足条件的实数
和
的解；
(3)已知
的值域为
，且在
上是严格增函数，证明：
是偶函数的充要条件是：
具
有“性质
”.
【解析】（1）函数
不具有“性质
”，理由如下：
例如当
时，显然
成立，
，根据指数函数的单调性可知
，
所以有
，这与“性质
”矛盾，故函数
不具有“性质
”；
（2）因为函数
具有“性质
”，所以取
，有
，
于是有
，
当
时，由
，
当
时，由
，
若
，若
，则有
，
取
，
此时
，但是
，不符合“性质
”，所以
不符合题意，
故
，此时
，
若
时，则
，
由
，
若
时，则
，
由
，
因此
，
综上所述：当且仅当
时，满足条件；
（3）充分性：若
具有“性质
”，则
是偶函数.
若存在
，
，不妨设
，
记
，即
，
因为函数
的值域为
，
所以
，
若
，则有
，
若
，则有
，
故对任意
，
，这与
的值域为
矛盾，
所以
不成立，则有
，因此函数
是偶函数；
必要性：若
是偶函数，则
具有“性质
”.
当
时，因为
在
上是严格增函数，
所以
，
又因为函数
是偶函数，
所以由
，因此
具有“性质
”.
所以
是偶函数的充要条件是：
具有“性质
”.
17．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知函数
的定义域为
．对于正实数a，
定义集合
．
(1)若
，判断
是否是
中的元素，请说明理由；
(2)若
，求a 的取值范围；
(3)若
是偶函数，当
时，
，且对任意
，均有
．写出
，
解析式，并证明：对任意实数c，函数
在
上至多有9 个零点．
【解析】（1）（1）
，
，则
不是
中的元素.
（2）法一：因为
，则存在实数
使得
，且
，
当
时，
，其在
上严格单调递增，
当
时，
，其在
上也严格单调递增，
则
，则
，
令
，解得
，则
，
则
.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线
与该函数有两个交点，
由图知
，假设交点分别为
，
，
联立方程组
得
（3）对任意
，因为其是偶函数，
则
，而
，
所以
，
所以
，因为
，则
，
所以
，所以
，
所以当
时，
，
，则
，
，则
，
而
，
，
则
，则
，
所以当
时，
，而
为偶函数，画出函数图象如下：
其中
，但其对应的
值均未知.
首先说明
，
若
，则
，易知此时
，
则
，所以
，而
时，
，
所以
，与
矛盾，所以
，即
，
令
，则
，
当
时，即使让
，此时最多7 个零点，
当
时，若
，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
当
时，若
，此时有5 个零点，
故此时最多5 个零点；
当
时，若
，此时有3 个零点，
若
，则
，易知此时
，
则
，所以
，而
时，
，
所以
，与
矛盾，所以
，
则最多在
之间取得6 个零点，
以及在
处成为零点，故不超过9 个零点.
综上，零点不超过9 个.
题型1：函数单调性的判定
【典例1-1】已知函数
在区间
上单调递增，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
上单调递增，且
，所以
，
；
判断斜率符号：两点连线斜率
，所以选项D 正确；
排除其他选项：
选项A：
，A 错误；
选项B：斜率为正，B 错误；
选项C：取
，则
，
，两者相等，C 错误.
【典例1-2】若函数
满足
，且
，都有
，则
的解
析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A，对
，且
，
则
，
所以
，不满足题意，故A 错误；
对于B，对
，且
，
则
，
所以
，满足题意，故B 正确；
对于C，对
，且
，
则
，
所以
，不满足题意，故C 错误；
对于D，对
，且
，
，
由基本不等式可得
，
所以
，
即
，
所以
，不满足题意，故D 错误.
【变式1-1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其图象是连续曲线，对任意的正
实数，
在
上是增函数，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
上不单调
C．
可能存在最大值
D．
可能存在最小值
【答案】D
【解析】对A：取
，则
，符合题意，
但
在
上不单调递增，故A 错误；
对B：取
，则
，符合题意，
但
在
上单调递增，故B 错误；
对C：若
存在最大值，设该最大值为
，
则存在
，使得
，且对任意
，
，
则
，
令
，则
，
由
，则
，又
，
，即
，
这与
在
上是增函数矛盾，故
不存在最大值，故C 错误；
对D：取
，由A 知符合题意，
且
在
处有最小值
，符合题意，
故
可能存在最小值，故D 正确.
【变式1-2】（2026·湖北·三模）已知函数
，则
（ ）
A．是奇函数，且在区间
单调递增B．是偶函数，且在区间
单调递减
C．是奇函数，且在区间
单调递减D．是偶函数，且在区间
单调递增
【答案】B
【解析】化简
可得：
，
定义域满足
且
，即
，关于原点对称，
又
,
因此
是偶函数，排除A、C 选项，
当
时，
单调递增，
也单调递增，
因此
单调递增，所以在
中，
两项均随
增大而减小，因此
在
上单调递减.
题型2：函数单调区间的求解
【典例2-1】函数
的单调递减区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
因为当
，则对数函数
在
上单调递减，
所以当
时，
单调性与对数函数的一致，则
单调递减区间为
；
当
时，
的单调性与对数函数相反，即
在
上单调递增，
综上，函数
的单调递减区间为
.
【典例2-2】（2026·河北沧州·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
，
【答案】B
【解析】
，则当
或
时，
，
单调递减区间为
，
当
时，
，
单调递增，
对
，有
且
，
则
，
又
，故
为偶函数，故只需分析
时的单调性，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
，故
，
在
上单调递减，则
单调递增；
当
时，
，
，故
，
在
上单调递减，
上单调递增，
则当
时，
单调递减，
时，
单调递增；
故当
时，
单调递增区间为
、
，
单调递减区间为
，
由偶函数性质可知，当
时，
单调递增区间为
，
故函数
的单调递增区间为
，
，
.
【变式2-1】函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
，设
，由
得
或
，
∴函数定义域为
.
当
时，
是减函数；而
为增函数，
∴
为减函数．
当
时，
为增函数，
为增函数，
∴
为增函数．
∴
的减区间为
.
故选：C.
【变式2-2】函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
作出函数图象，如图：
所以函数
的单调递减区间为
.
故选：C.
【变式2-3】函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知函数
满足
，解得
或
，
即函数定义域为
，
令
，则
的图象开口向上，且对称轴为直线
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在
上单调递增，
故
的单调递减区间是
.
故选：B
【变式2-4】已知函数
，则函数
的单调增区间是（ ）
A．
和
B．
C．
和
D．
【答案】A
【解析】由于函数
，
当
时，
，
由于
图象的对称轴为
，则函数在
上单调递增，
当
时，
，
由于
图象的对称轴为
，则函数在
上单调递增，
故函数
的单调增区间是
和
.
故选：A
题型3：单调性应用与不等式求解
【典例3-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知定义在
上的函数
满足以下条件：对任意
，
，有
，
，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】任取
，
，且
，因为
，
所以
，
因为
时，
，且
，
所以
，
所以
，即
，
所以
在
上是增函数，
令
，所以
，
令
，
，所以
，
不等式
等价于
，
所以
，即
，
因为
在
上是增函数，所以
，解得
或
，
所以不等式的解集为
.
【典例3-2】已知函数
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，
，
，
相加得
，
当
时，
，
，
，
相加得
，
又当
时，
故对任意
，可验证得
：
令
，可得
，又
，
所以
是
上的奇函数，
当
时，
，求导得
，
故
在
单调递增；
由奇函数单调性性质，
是
上的单调递增函数，
原不等式
，代入
，
化简得：
由
单调递增，得不等式：
，
若
：
，原不等式无解；
若
，则
，
即
，又
，解得
综上：
的取值范围是
.
【变式3-1】（2026·河北邢台·三模）已知函数
则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵ 当
时，
为单调递增函数，当
时，
，所以此时
.
当
时，
为单调递增函数，
也为单调递增函数，
∴
在
上单调递增，且
.
∴ 函数
是定义域为
的单调递增函数.
令
，当
时，有
.
设
（
），则
，整理得
.
解得
或
，∵
，∴
不符合题意，舍去.
∴
，即
.
∵
在
上单调递增，
∴
等价于
，解得
.
∴ 实数
的取值范围为
，故选A.
【变式3-2】已知函数
是定义域为
的偶函数，且在
上单调递减，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
是定义域为
的偶函数，则
，
故
关于
对称；
因为
在
上单调递减，故
在
上单调递减；
则
在
上单调递增；
则
等价于
即
，左右两边平方可得
，
即
，解得
，
故不等式
的解集为
．
【变式3-3】已知函数
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递增，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是偶函数，即关于直线
对称，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，
又
，所以
，
或
，解得
或
．
题型4：单调性约束下的参数范围求解
【典例4-1】若
是
上的单调递增函数，则实数
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若
为
上的单调递增函数，需同时满足以下条件：
当
时，指数函数
单调递增，因此
；
当
时，一次函数
单调递增，
因此斜率
，解得
；
在分段点
处，左端函数值不大于右端函数值，
即
，整理得
，解得
；
取三个不等式解集的交集，可得
，即
的取值范围为
.
【典例4-2】已知函数
，则“
在
上单调递减”的充要条件是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
由题意可得
在
上恒成立，
即
，
在
上恒成立，
令
，
由对勾函数的性质可知
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
所以实数
的取值范围为
.
【变式4-1】函数
，若
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，
由题意可得
在
上恒成立，
所以
，
在
上恒成立，
又因为
在
上单调递增，
所以
，
所以
的取值不大于函数
在区间
上的下确界，即
，
所以实数
的取值范围为
.
【变式4-2】已知
在R 上满足
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知，
在R 上单调递增，
当
时，
，满足题意；
当
时，需满足
，解得
，所以
.
综上，
.
【变式4-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
由题意知，
在
上单调递减，且
在
上恒成立.
所以
，解得
.
a 的取值范围是
.
【变式4-4】函数
在
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，对于函数
，
令
，则
，
又由
且
，则
为减函数，
若函数
在
上是减函数，
必有
，解可得
，
即
的取值范围为
.
题型5：抽象函数的单调性分析
【典例5-1】（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，当
时，
，
且满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
在
上单调递增
D．
【答案】AC
【解析】对于A，令
，可得
，
所以
，令
，得到
，
即
，所以
为奇函数，故A 正确；
对于B，因为
为奇函数，所以
，故B 错误；
对于C，设
，取
，可得
，
又因为
，所以
，所以
，即
，
所以
在
上单调递增，故C 正确；
对于D，因为
为奇函数，所以
，
所以
，
又
，则
，故D 错误.
【典例5-2】（多选题）（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知
是定义在
上的函数，
，
都有
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．函数
在
上单调递增
C．若
，则不等式
的解集为
或
D．
为奇函数
【答案】AD
【解析】对于A，令
，则
，所以
，A 正确；
对于B，对任意
，设
，则
，因为当
时，
，
所以
，
,
即
，因此
在
上单调递减，B 不正确；
对于C，
，由
可得
，
由B 选项可得
，解得
，
又
，所以
，故解集为
，C 不正确；
对于D，令
，由
可得定义域为
；
又
，所以
为奇函数，D 正确.
【变式5-1】（多选题）已知函数
的定义域为
，满足
，当
时，
，且
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
在
单调递增
D．
的解集为
【答案】AC
【解析】令
，得
，所以
，A 正确.
令
，得
，
，所以
，
所以
为非奇非偶函数，B 错误.
设
，则
，因为当
时，
，所以
，
又因为
，
所以
，所以
在
单调递增 ，C 正确.
令
，得
，
令
，得
，
所以
是
的一个解，所以
的解集不是
，D 错误.
【变式5-2】（多选题）（2026·四川宜宾·一模）定义在
上的函数
，对
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
单调递减
C．
D．数列
的前n 项和为
，则
【答案】ACD
【解析】由函数方程
可得
，又
，
可推出
，可得
，对任意正整数数成立.
对于选项
:
正确.
对于选项
:
递增，故单调递减错误.
对于选项
:
是凸函数，满足
，正确.
对于选项
:前
项和
，正确.
题型6：分段函数的单调性应用
【典例6-1】（2026·湖南常德·一模）已知函数
在
上单调递减，则
的最小
值是（ ）
A．
B．2
C．
D．5
【答案】B
【解析】对函数
，由对勾函数可得
在
和
上单调递
减，
因为函数
在
上单调递减，
在
上单调递减，
所以
，解得
，
所以
的最小值为2.
【典例6-2】已知函数
，满足对任意的
都有
成立，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由对任意的
都有
成立，
故
在
上单调递减，
则
，解得
，
即实数
的取值范围为
.
【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）函数
是
上的严格减函数，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是
上的严格减函数，故
当
时，
必须严格单调递减，故
，解得
；
当
时，
，因为
，故
单调递减；
分段点为
，
，当
时，
，
故
，解得
；
综上，实数
的取值范围是
．
【变式6-2】（2026·河北保定·二模）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，求导得
，
在
上单调递增；
当
时，
，函数单调递增，则
，
当
时，
，当
时，
，
则
，解得
，
，即
．
【变式6-3】（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调
递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
在
上单调递减知
；
由
在
上单调递减知：
当
，即
满足题意；
当
，
，所以
，
由
在
上单调递减，得
，所以
，
综上，a 的取值范围是
.
题型7：函数单调性的唯一性分析
【典例7-1】若函数
是
上的单调函数，且对任意实数
，都有
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【答案】C
【解析】∵对任意实数
，都有
，
令
，则
.
又
，
∴
，
∵函数
是
上的单调函数，解得
.
∴
，∴
.
故选：C.
【典例7-2】已知函数
是定义在
上的单调函数，若对任意
恒成立，则
的值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解析】因为函数
在定义域
上是单调函数，
且
，所以
为一个常数，
令这个常数为
，则有
，则
，
且
，将
代入上式可得
，解得
，
所以
，所以
.
故选：C.
【变式7-1】已知
为定义在
上的单调函数，且对
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
所以
，即
，
设
，易知
在
上单调递增，
所以
，即
，
故
，所以
．
故选：B．
【变式7-2】设
是定义在
上的单调函数，若
，则不等式
的解集为
__________.
【答案】
【解析】由
，可得
必为定值，
设
，即
，
由
，解得
，所以
，
则不等式
，即为
，可得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【变式7-3】已知函数
是定义在
上的连续单调函数，若
，则不等式
的解集为___________.
【答案】
【解析】
是定义在
上的连续单调函数，
存在唯一，使得
，故令
，
，
，
在
上单调递增，且
，
，
故
的解集为
.
故答案为：
题型8：函数奇偶性的判定
【典例8-1】设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A：
，而
，显然
，不为奇函数，
B：
，而
，显然
，不为奇函数，
C：
，而
，显然
，不为奇函数，
D：
，
，显然
且定义域为
，即为奇函数.
【典例8-2】已知函数
，
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】C
【解析】函数
的定义域为
，则
，所以函数
是奇函数，
函数
的定义域为
，所以
，则
是偶函数，
A 选项，对于函数
，定义域为
，
，不能判断与
的关系，不能确定奇偶性，A 错误；
B 选项，对于函数
，定义域为
，
，不能判断与
的关系，不能确定奇偶性，B 错误；
C 选项，对于函数
，定义域为
，
，则
是奇函数，C 正确；
D 选项，对于函数
，定义域为
，
，则
是偶函数，D 错误．
【变式8-1】（2026·天津河西·三模）下列函数中，在
内单调递增的偶函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】选项A：
，定义域为
，
，
为奇
函数；
选项B：
，定义域为
，
，
为
偶函数，
，求导可得
，
设函数
，求导可得
，
设函数
，求导可得
，
当
时，
，
单调递增，所以
，
所以当
时，
，
单调递增，所以
，
因此当
时，
，
在
内单调递增；
选项C：
，定义域为
，
，
为奇函数；
选项D：
，定义域为
，
，
为偶
函数，
当
时，令
，则
，函数变为
，根据对勾函数性质可知函数在
上单调递减，在
上单调递增，即函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
【变式8-2】（2026·云南昆明·二模）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数，且在
上单调递增
B．
是奇函数，且在
上单调递减
C．
是偶函数，且在
上单调递增
D．
是偶函数，且在
上单调递减
【答案】C
【解析】
的定义域为
，
因为
，所以
，即
为偶函数，
当
时，则
， 由复合函数的单调性质得：
在
上单调递增，
单
调递增，
所以
在
上单调递增.
【变式8-3】（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，定义域为
，
又
，所以
为奇函数，
易知
，则
不单调，故A 不符合题意；
因为
，
，则
为偶函数，故B 不符合题意；
，定义域为
，
又
，所以
为奇函数，
又
在
单调递减，
则
在
单调递减，故C 不符合题意；
，定义域为
，
又
，所以
为奇函数，
，所以
在
上单调递增，故D 符合题意．
题型9：奇偶性约束下的参数求解
【典例9-1】已知
是定义域为R 的偶函数，
，且当
时，
，
则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【解析】
，则
，
，即
的周期为
，
结合奇偶性，周期性，故
，
在
上满足
，说明
的对称轴为
，
则
，解得
，
又根据
知
，而
，
则
，于是
，
即
，解得
【典例9-2】（2026·山东潍坊·三模）已知
，函数
，
为奇函数，则
（ ）
A．13
B．24
C．80
D．240
【答案】D
【解析】由
，
则
，
又函数
为
上的奇函数，则
，
即
对任意
成立，
整理得
所以
，即
，结合
，解得
，
所以
，即
．
【变式9-1】已知
是偶函数，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】因为函数
是偶函数，可得
，即
，
可得
，解得
，即
，
经验证：
，所以函数
为偶函数，符合题意.
【变式9-2】若函数
为奇函数，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．0
【答案】B
【解析】因为
为奇函数，故
，
所以
即
，故
，故
.
若
，则
，此时函数的定义域为
，
该定义域不关于原点对称，故舍去；
若
，则
，此时函数的定义域为
，
该定义域关于原点对称，
所以
.
【变式9-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得
，
所以函数的定义域
关于原点对称，
又函数为偶函数，则对任意
，
恒成立，
即
，
整理得
，该式对所有
恒成立，故
，
，
所以
.
【变式9-4】（2026·江苏·模拟预测）若函数
（
且
）是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由偶函数可知
，即
，
化简得
，即
，即
.
题型10：利用奇偶性确定函数解析式
【典例10-1】（2026·上海静安·二模）已知定义在R 上的偶函数
的最小正周期为2，当
时，
，则当
时，
______．
【答案】
【解析】当
时，
，
，
又
定义在R 上的偶函数，且最小正周期为2，
，
．
【典例10-2】设函数
，若
是奇函数，则
的表达式是___________．
【答案】
，
【解析】因为
是奇函数，所以
.
因为
时，
，
所以当
时，
，所以
.
所以
，
.
又当
时，
，所以
，
.
【变式10-1】设函数
的定义域为
，
.若
为奇函数，
为
偶函数，则
的最大值为_____.
【答案】
/
【解析】对任意
，有
即
所以
，即
，
因此
.
当
时，
取得最大值
.
故答案为：
【变式10-2】设
在区间
内有定义，则
能表示一个偶函数
与一个奇函数
之和，其
中
_____，
_____.
【答案】
【解析】依题意，
，
解得：
，
故答案为：
；
【变式10-3】已知函数
是定义在
上的偶函数，且
的图象关于直线
对称，若当
时，
，则当
时，
=_________________．
【答案】
【解析】由函数
的图象关于直线
对称，
所以
，即有
，
又函数
是定义在
上的偶函数，可知
，
所以
，即
是周期为
的周期函数；
当
时，
，又
是周期为
的周期函数，
当
，则
，所以
，
所以
，
.
故答案为：
【变式10-4】已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则在
上
的表达式
为______
【答案】
【解析】设
，可得
，
因为当
时，
，可得
，
又因为
是定义在
上的奇函数，则
，
所以当
时，可得
，
所以
在
上的解析式为
故答案为：
.
题型11：中值模型的应用
【典例11-1】已知函数
在
上最大值为
，最小值为
，则
_________．
【答案】8
【解析】
，
设
，因为
，
所以
为奇函数，则
，
所以
.
【典例11-2】函数
在区间
上的最大值为
最小值为
则
_____.
【答案】2
【解析】设
，
，
定义域关于原点对称，
且
，所以
是奇函数.
设
在
上的最大值为
，最小值为
，则
.
所以
.
【变式11-1】已知函数
，若
，
，且
，则
的最小值为______.
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
，即函数
是奇函
数，
又因为函数
，
都是
上的增函数，则
在
上递增，
由
，得
，于是
，即
，
则
，而
，
，即有
，
，
因此
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以当
，
时，
取得最小值
.
【变式11-2】已知
，
．求
______．
【答案】
【解析】令
，
因为
恒成立，所以
的定义域为
，
且
，
故
为奇函数，
从而
，
即
，因为
，
所以
．
【变式11-3】设函数
上的最大值为
，最小值为
，则
______
【答案】
【解析】由函数
，
令
，其定义域关于原点对称，
且
，即
，
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，可得
，
则
，
所以
.
故答案为：
.
【变式11-4】若对于
，
，令
，则
在
上的最大值和最小值之和为________
【答案】
【解析】令
，则
，所以
令
，则
，所以
为奇函数，
令
，则
，
所以
，
所以
为奇函数，
在
上的最大值与最小值的和为：
，
所以
.
故答案为：
【变式11-5】若关于x 的函数
的最大值为
，最小值为
，且
，则实数的值为_______________
【答案】
【解析】化简
，令
，则
，
，再判断函数
是奇函数，可得
，即可求的值
，
令
，则
，
因为
，
所以
是奇函数，
所以
，
所以
，
解得：
，
故答案为：
【变式11-6】已知函数
在区间
上的最大值与最小值的和为
18，则实数
的值为______．
【答案】8
【解析】令
，则
，所以原函数变为
，
令
，
，则函数
为奇函数且
，
所以
，
，
所以
．
因为
为奇函数，所以
，所以
，所以
．
故答案为：8
题型12：奇偶性的图象分析
【典例12-1】函数
的大致图象是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
，定义域为R，
，
所以函数为偶函数，图象关于y 轴对称，故D 错误；
又因为
，所以
，故C 错误；
又因为
时，
的值增长比
的增长要快得多，所以
，故A 正确，B 错误.
故选：A
【典例12-2】函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
，定义域为
，
，
为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C；
当
时，
，
，所以
，可排除AD.
【变式12-1】（2026·高三·青海·阶段检测）已知函数
的大致图象如图1 所示，则图2 所对应
的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A：由题可得图2 函数定义域
，对于
中，
，其定义域为
，故A
错误；
B：由题可得当
时，
，当
时，
，则
不关于
轴对称，故B 错误；
C：函数
中，定义域
，即
，符合图2 的定义域，
令
，则
，所以
为偶函数，符合图2 的对称性，
故C 正确.
D：函数
中，定义域
，即
，符合图2 的定义域，
令
，得
不符合图2，故D 错误.
故选：C.
【变式12-2】函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，可得其定义域为
，关于原点对称，
且
，
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C 选项；
又由
，可得排除A、D 项，
所以选项B 符合题意.
【变式12-3】（2026·高三·重庆九龙坡·开学考试）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析
式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图可知：
的图像关于
轴对称，故
为偶函数，
对于A， 设
，函数的定义域为
，
因
，即
为奇函数，故A 不合题意；
对于B，设
，函数的定义域为
，
因
，即
为奇函数，故B 不合题意；
对于C， 设
，函数的定义域为
，
因
，则
为偶函数，因
恒成立，故C 不合题意；
对于D， 设
，函数的定义域为
，
因
，则
为偶函数，且当
时，
，结合图
象可知D 符合题意.
故选：D
题型13：奇偶性与单调性综合运用
【典例13-1】已知
是定义在
上的奇函数，对任意
且
，都有
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为对任意
且
，
都有
，则
在
上单调递减，
又
是定义在
上的奇函数，则
在
上单调递减，
又
，则
，即
，
当
或
时，
，当
或
时，
，
对于不等式
，当
时，则
，即
，
当
时，则
，即
，
所以不等式
的解集是
.
【典例13-2】设函数
，则使得
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的定义域为R，
因为
，所以
是偶函数，
因为函数
，
在
上单调递增，
因此函数
在
上单调递增，
若
，则
，得
，解得
或
，
所以
的取值范围为
.
【变式13-1】（2026·福建漳州·三模）已知
是定义域为
的奇函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是定义域为
的奇函数，
所以
，所以
，所以
．
因此，
，
，
即
，所以
．
因为
，所以
．
又
是减函数，
所以
，解得
．
【变式13-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
则不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．(
1，0)
D．
【答案】B
【解析】
，
设
，
，所以
为偶函数，
所以
，
是偶函数，
当
时，
，
所以
在
单调递增，根据复合函数单调性可知，
在
单调递增，
所以不等式
，
即
，两边平方，整理为
，
解得：
或
所以不等式的解集为
.
【变式13-3】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数
，则
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为R，
且满足
，
故
为偶函数；
当
时，
，其中
在
上单调递增，
在
上单调递减，则
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增；
由偶函数性质，
等价于
，
结合函数的单调性得
两边均非负，平方后不等号方向不变，
得
，展开整理得
，
即
，解得
，即
的解集为
.
【变式13-4】函数
，若满足
恒成立，则实数的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题，
，因为
，
所以
，即
在R 上单调递增，
，
所以
为奇函数，
不等式
可转化为
，
所以
.
【变式13-5】已知函数
，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，令
，则
，
因为对任意
，
，且
，
所以
是偶函数，且当
时，
单调递增，
所以
，即
，
由
，两边平方得
，整理得
，
解得
或
，即实数
的取值范围为
，
故选：A.
【变式13-6】已知函数
，则关于x 的不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，因为
所以
的定义域为R，则
．
因为
，所以
为奇函数．
函数
，
，在R 上均为增函数，
在定义域上为增函数，
所以根据复合函数的单调性，可得
在R 上为增函数．
等价于
，即
，
则
，即
，
解得
或
，则关于x 的不等式
的解集为
．
故选：D.
题型14：不动点与稳定点问题
【典例14-1】（2026·北京海淀·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点
，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称
为该函数的一个不动点，现新定义：若
满足
，则称
为
的次不动点，有下面四个结论
①定义在R 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
②定义在R 上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
③当
时，函数
在
上仅有一个不动点和一个次不动点．
④不存在正整数m，使得函数
在区间
上存在不动点，其中，正确结论的序号为
__________．
【答案】②③
【解析】对于①:取函数
，
，
既是
的不动点，又是
的次不动点，故①错误；
对于②:定义在
上的奇函数满足
，故②正确；
对于③:当
时，
，即
.
令
，
，
在区间
上单调递增，
在
上单调递增，满足
有唯一解；
当
时，
即
.
令
，
，
在区间
上单调递增，
在
上单调递增，满足
有唯一解；综上
时函数
在
上仅有一个不动点和一个次不动点，故
③正确;
对于④:假设函数
在区间
上存在不动点，则
在
上有解，即
在
上有解，令
，则
，再令
，则
，令
，解得
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
在
上 恒成立，所以
在
上单调递增，
所以
，
，
所以实数
满足
，存在正整数
满足条件，故④错误：
故答案为：②③
【典例14-2】已知函数
．
(1)判断函数
的奇偶性；
(2)利用单调性定义证明：
在
上单调递增；
(3)若存在实数
，使得
，则称
为函数
的不动点．设函数
，证明：函数
存在不为0 的“不动点”．
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，
所以函数
为奇函数．
（2）设
，
则
，
由于
，则
,
，即
，所以函数
在
上单调递增．
（3）令
，即
，则
，
令
，结合（1）及
为奇函数可知，
为奇函数，
因为
，则
，
所以存在
，使得
，所以函数
存在不为0 的“不动点”．
【变式14-1】对于函数
，若存在实数
，使得
，则称
为函数
的“不动点”
(1)若
是奇函数
的一个“不动点”，求证：
也是函数
的一个“不动点”；
(2)已知函数
.
（i）若对任意实数
，函数
都有“不动点”，求实数
的取值范围；
（ii）若
，且函数
恰有两个不同的“不动点”，求实数
的取值范围.
【解析】（1）
因为
是函数
的一个“不动点”，所以
，
又因为
为奇函数，所以
，
所以
也是函数
的一个“不动点”.
（2）（i）因为对任意实数
，
都有“不动点”，
所以方程
，即
有实数根，
所以对任意实数
，
恒成立，
所以
，
解得
，即实数
的取值范围为
.
（ii）函数
恰有两个不同的“不动点”，
即方程
恰有两个不同的实根.
又
，即
，
两式作差得：
，
即
，
即
.
方程
的判别式
，
方程
的判别式
，
且
，所以当
时，一定有
.
要使方程（*）恰有两个不同的实根，则只可能是下面两种情况：
①
，解得
或
.
②
且方程
的解也是方程
的一个解，
由此解得
综上，实数
的取值范围为
.
【变式14-2】函数
的定义域为
，如果存在
，使得
，称t 为
的一个不动点．函
数
（
，为自然对数的底数），定义在R 上的函数
满足
，且当
时，
．
(1)求证：
为奇函数；
(2)当a 变化时，求函数
不动点个数；
(3)若存在，
，且
为函数
的一个不动点，求a 的取值范围．
【解析】（1）
，故
，
其中
，则
，
其中
定义域为R，故
为奇函数，
（2）由
得
，令
，则
令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
单调递减，在
上单调递增，
其中
，
故当
时，
无解，当
时，
有1 个解，
当
时，
有2 个解；
综上，当
时，函数
没有不动点；
当
时，函数
有1 个不动点；
当
时，函数
有2 个不动点.
（3）当
时，
，故
，
所以
在
上单调递减，
根据奇函数的对称性，可得
在R 上单调递减，
因为存在
，即
，
则
，
故
，则
，即
，
因为
为函数
一个不动点，
所以
在
时有解，
令
，
，
因为当
时，
，
所以
在
上单调递减，且
趋向于
时，
趋向于
，
所以只需
，即
，
解得
，
故a 的取值范围是
.
【变式14-3】记函数
的定义域为
．若存在
，使
成立，则称以
为坐标的点为
函数
图象中的不动点．
(1)若函数
图象上有两个关于原点对称的不动点．求
、
应满足的条件；
(2)在（1）的条件下，若
，记函数
图象上的两个不动点分别为
、
，
为函数
图象上的
另一点，且其纵坐标
，求点
到直线
距离的最小值及取得最小值时
点的坐标；
(3)下述命题“若定义在
上的奇函数
图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若
正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．
【解析】（1）由题意，若点
是不动点，则
，
整理得
，①
根据题意可判断方程①有两个根，且这两个根绝对值相等符号相反．
由韦达定理得
，
．
而
，
，故
、
应满足
，
且
．
（2）在（1）的条件下，当
时，
，
由
，得两个不动点为
，
．
设点
，则
，即
，解得
．
直线
的方程为
，设点
到直线
的距离为
，
则
，
当且仅当
，即
时，上式取等号，此时
，
，
故
．
（3）命题正确．
为奇函数，
，又
，令
，则
，
点
是奇函数
的一个不动点．
设
是奇函数
的一个不动点，则
，由
，
也是奇函数
的一个不动点．
又
，这说明奇函数
的非零不动点如果存在，则必成对出现．
又根据题设，
只有有限个不动点，故奇函数的不动点数目是奇数个．
题型15：悬链线与双曲三角函数
【典例15-1】已知函数
，
.由于这两个函数与正弦、余弦函数有着诸多相似的
性质，故分别称其为“双曲正弦函数”，“双曲余弦函数”.下列关于
的描述错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
，
，定义域都是R，
对于A，
，
，A 选项正确；
对于B，
是奇函数，函数
和
都在R 上单调递增，
则
在R 上单调递增，故
，
是偶函数且在
上单调递增，
，B 选项错误；
对于C，
，
，C 选项正确；
对于D，
，D 选项正确．
【典例15-2】定义双曲正弦函数、双曲余弦函数分别为
，
，设函数
，若实数m 满足不等式
，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得，
的定义域为
，
∵
，∴
为奇函数，
∵
，且
在
上为减函数，
∴
在
上为增函数.
∵
，∴
，
∴
，解得
或
，即
的取值范围为
.
故选：A.
【变式15-1】（2026·广东佛山·一模）定义：双曲正弦函数
，双曲余弦函数
，双曲正切函数
，则（ ）
A．函数
是偶函数
B．函数
在
上单调递减
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
对于A，由题意得
，
则
，所以
是奇函数，
即
是奇函数，故A 错误；
对于B，由题意得
，所以
在
上单调递增，
即函数
在
上单调递增，故B 错误；
对于C，
，所以
是奇函数，
，所以
是偶函数，
所以
，
所以原不等式为
，即
，
由题意得
恒成立，所以
在R 上单调递增，
所以
，
且有
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
故
，原不等式得证，故C 正确.
对于D，
，
所以原不等式为
，
由上得
单调递增，
且有当
时，
单调递增，所以
，
所以
，与原不等式矛盾，故D 错误.
【变式15-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用
下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种
特殊的悬链线函数，其函数表达式为
，相应的双曲正弦函数的表达式为
．设
函数
，若实数
满足不等式
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，得
，
，
则
，所以函数
为奇函数，
又
，
由于
在
上单调递增，且
，故
在
上单调递增，
由
，则
，
即
，解得
，则
的取值范围为
.
【变式15-3】悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；
如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.
这类悬链线对应的函数表达式为
（
，
是非零常数，无理数
）.给出下列三
个结论：
①当
，
时，
为奇函数；
②当
时，
为单调函数；
③若
的最小值为2，则
的最小值为2.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【解析】当
时，
，
，∵
，∴
为奇函数，故①
正确；
因为
分别为
上的增函数与减函数，所以当
时，
具有相同的单调性，
所以
具有单调性，故②正确；
有最小值为2，由②可知当
时，
单调无最小值，故
.
当
时，
，当且仅当
时取等号，且当
时，
的最小值为2，此时
，当且仅当
时取等号；
当
时，
，无最小值，不合题意.
综上，
的最小值为2，故③正确.
故选：D
1．（2026·天津西青·三模）已知函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
,因此
是奇函数，图像关于原点对称，
排除选项 C（偶函数图像，关于
轴对称）；
当
时，分子
，分母
，
因此
，选项 B 中
时函数值为负，矛盾，排除 B；
取
，计算
的值接近 8，说明
附近函数值仍接近 8，
选项 A 中
的函数值和8 相差比较大，排除 A；
因此，只有选项 D 符合所有特征.
2．（2026·福建·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知得
，而
，
则
，
所以
.
3．（2026·福建宁德·二模）设
是定义在
上的函数，若
，当
时，
，
称函数
具有性质
，则下列函数具有性质
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于选项A：例如
，
，
即
，但
，故A 错误；
对于选项B：例如
，
，
即
，但
，故B 错误；
对于选项C：令
，则
的定义域为
，
且
，
即
，可知
为奇函数，
又因为
在定义域
内单调递增，则
在定义域
内单调递减，且
，
当
时，
；当
时，
；
则
，可知
为偶函数，则
，
当
时，
在
内单调递增，
若
，即
，则
，可得
，故C 正确；
对于选项D：
，
，
即
，但
，故D 错误.
4．（多选题）（2026·高三·广西·期末）定义在
上的函数
对任意实数
均满足
，且当
时，
，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数
为偶函数
C．
在
上单调递减，在
上单调递增
D．不等式
的解集为
【答案】AB
【解析】令
，得
，即
，故A 正确；
令
，
则
，
即
是偶函数，故B 正确；
当
时，因为
，所以
，
因为
，所以
，
则
在
上单调递增，故C 错误；
由题意知
，且
，
因此不等式
可化为
，
因为
在
上单调递增，
所以
，解不等式得
，故D 错误．
故选：AB
5．（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意实数
，满足
，且
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
不可能为
上的减函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
【答案】ABC
【解析】由
，
，
令
，则
，
令
，则
，即
，
令
，则
，即
，
令
，则
，即
，A 正确；
由
，即
，则函数
不可能是减函数；故B 正确.
令
，则
，即
.
令
，由
，则函数
为奇函数，故C 正确；
令
，由
，则函数
非偶函数，
故D 错误；
故选：ABC.
6．（多选题）（2026·高三·全国·阶段检测）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，
它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点
，
使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称
为该函数的一个不动点.现新定义：若
满
足
，则称
为
的次不动点.下列说法正确的是（ ）
A．定义在
上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
B．定义在
上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
C．当
时，函数
在
上仅有一个不动点和一个次不动点
D．满足函数
在区间
上存在不动点的正整数
不存在
【答案】BC
【解析】对A 选项，取函数
，
，
既是
的不动点，又是
的次不动点，故A 错
误，对B 选项，定义在
上的奇函数满足
，故B 正确；
对C 选项，当
时，
，即
.
令
，
，
在区间
上单调递增，
在
上单调递增，满足
有唯一解，则
.
当
时，
，即
.
令
，
，
在区间
上单调递增，
在
上单调递增，满足
有唯一解，则
.
综上
号.故C 正确；
对D 选项，因为函数
在区间
上存在不动点，
则
在
上有解，则
在
上有解，
令
，则
，再令
，则
，令
，解得
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，
所以
，
，
所以实数
满足
（为自然对数的底数），存在正整数
满足条件，故D 错误.
故选：BC
7．（多选题）（2026·海南海口·模拟预测）已知函数
，其导函数为
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
在
上单调递减
D．“
是周期函数”的否定是真命题
【答案】ABD
【解析】已知函数
，其导函数为
，则
，
对于A，由于
，所以
是奇函数，故A 正确；
对于B，由于
，所以
是偶函数，故B 正确；
对于C，由于
，令
，则
，
再令
，则
在
上恒成立，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，即
；当
时，
，即
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
所以
在
上恒成立，因此
在
上单调递增，故C 错误；
对于D，由于
，若
是周期函数，则存在实数
，对任意
，有
，
即
，化简得
，
显然，当
时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为
，矛盾，
因此
不是周期函数，则命题“
是周期函数”是假命题，
所以命题“
是周期函数”的否定是真命题，故D 正确.
8．（多选题）（2026·江西·模拟预测）关于定义域为
的函数
，下列说法正确的有（ ）
A．存在函数
，使得
恒成立
B．存在函数
，使得
恒成立
C．存在函数
，使得
恒成立
D．存在函数
，使得
恒成立
【答案】BC
【解析】对于定义域为
的函数
，函数
与
的定义域均为
，
因
，
故
为偶函数，
为奇函数，
而
为奇函数，
为偶函数，A,D 错误，
为偶函数，
为奇函数，B，C 正确；
9．（多选题）（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，
，
，则下列说法错误的是（ ）
A．
的图象关于原点对称
B．
的图象关于
轴对称
C．
D．对任意的
，
的最大值与最小值之和为4
【答案】ABC
【解析】对于A，
定义域为
，
因为
，
即
，
故
不是奇函数，图象不关于原点对称，故A 错误；
对于B，因为
，显然
，
故
不是偶函数，图象不关于
轴对称，故B 错误；
对于C，
，故C 错误；
对于D，由前面推导得
，
即
图象关于点
成中心对称，
在对称区间
上，设最大值为
，则最小值为
，
故最大值与最小值之和为
，D 正确.
10．（2026·江苏无锡·三模）已知函数
，其中是自然对数的底数，若
，
则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，关于原点对称，
因为
，
所以
是
上的偶函数，
因为，当
时，
，
由于
时
，
所以
，即
在
上单调递增；
结合偶函数性质，
在
上单调递减，且满足
因为
，
所以
等价于
，
因为
在
上单调递增，
所以
等价于
，
当
时，不等式化为
，即
，
其判别式
，不等式恒成立，故
；
当
时，不等式化为
，即
，
因式分解得
，解得
或
.
综上，实数
的取值范围是
11．（2026·安徽合肥·二模）写出一个满足下列条件的函数
的解析式：________．
①
；
②对任意正数
，，
；
③
，
；
④
．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】条件①
，表明函数
为偶函数，其图像关于
轴对称；
条件②对任意正数
，，
，说明函数
在
上单调递增；
条件③
，
，表明函数
在
上是上凸函数；
条件④
，这是对数函数的运算性质，即对数函数满足
.
综合条件，首先考虑
，（
且
），满足条件④，
当
时，满足条件②，
在
上是上凸函数，满足条件③，为了满足条件①，需将函数变
为
，
因此，满足条件的函数
的解析式可以为
.
12．（2026·北京·三模）能说明命题“若
是奇函数，则
”为假命题的一
组
的值可以是
______，
______，
______．
【答案】 1 0 1
【解析】因为
是
上奇函数，所以
，
当
时，
，
，
则
，
由
得，
所以满足
的
即为奇函数，
所以可取
．
13．（2026·重庆·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】由
得：
或
，
的定义域为
；
设
，则
，其中
，
，
为定义在
的偶函数，
当
时，由
得：
，
在
上单调递减，
在
上单调递增，
又当
时，
，
当
时，
，即
，
又
为定义在
上的偶函数，
当
时，
；
当
或
，即
时，
，
不等式
的解集为
.
14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数
满足：当
时，
，则
________．
【答案】4052
【解析】显然
，注意到
时
，
于是
．
15．（2026·湖南长沙·三模）若定义在
上的函数
为奇函数，则
__
【答案】
【解析】由题可知，
，所以
，
又
，即
，即
对任意
恒成立，
所以
，所以
16．（2026·广东茂名·二模）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是
________．
【答案】
【解析】因为
，故
，
而
的定义域为
，故
为
上的奇函数.
而
均为
上的增函数，故
为
上的增函数.
因
，故
即
，故
.
17．（2026·山东威海·二模）已知函数
为偶函数，则
________．
【答案】1
【解析】因为函数有意义，则
．
若
，则
，此时定义域为
，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故
．
当
时，临界点为
和
，定义域为
或
．
因为
为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即
，解得
．
当
时，定义域为
．
对任意
，有
.
所以
．
18．记函数
的定义域为D，若存在
，使
成立，则称以
为坐标的点是函数
的图象上的“稳定点”．
（1）若函数
的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；
（2）已知定义在实数集R 上的奇函数
存在有限个“稳定点”，求证：
必有奇数个“稳定点”．
【解析】（1）设
是函数
的图象上的两个“稳定点”，
则
，即有
是
有两个不相等的实数根且不等于
，
，解得
或
且
．
（2）据题意得：
是定义在实数集R 上的奇函数．
①
是奇函数，
；所以
必是函数
的图像上的“稳定点”；
②若
，
是函数
的图像上的“稳定点”；
是奇函数，必有
，故
也是函数
的图像上的“稳定点”；也就是说
和
是成对出现的．
综上所述：
必有奇数个“稳定点”．
