文档文本内容
1.1 集合（精练题组版）
题组一 元素的互异性
1.（24-25 陕西）若
，则a 的值为（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，或
，或
，
当
时，得
，此时集合为
，不合题意，舍去，
当
时，得
，此时集合为
，
当
时，得
无解，
综上，
.
故选：A
2．（24-25 陕西）有4 根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4 根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，
则这个平面四边形可能是（ ）
A．梯形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
【答案】A
【解析】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同，
所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形.
故选：A.
3．（24-25 浙江·期中）已知集合
，则
的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．1 或
【答案】B
【解析】集合
，两个集合中元素完全相同，由
，则有
，得
，有
，
所以
，由集合中元素的互异性，有
，得
，则有
.故选：B.
4．（2024 高三·全国·专题练习）设集合
，
，已知
且
，则
的取值集合为 .
【答案】
【解析】因为
，即
，所以
或
，
若
，则
或
；
若
，即
，则
或
.
由
与
互异，得
，故
或
，
又
，即
，所以
，解得
且
，
综上所述，
的取值集合为
.故答案为：
题组二 集合间的关系
1．（2025·河北·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
⫋
C．
⫋
D．
【答案】B
【解析】
等价于
且
，故解不等式得
，
所以
，
，所以可得：
⫋
，
.故ACD 错，B 对.故选：B.
2．（24-25 重庆·期中）下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A 选项，
，A 错；
对于B 选项，
，B 错；
对于C 选项，
，C 错；
对于D 选项，
，D 对.
故选：D.
3．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于函数
，因为
，所以
，
所以
，又
，所以
，
.故选：B.
4．（24-25 安徽）设集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，则
.故选：B.
5.（2025 高三下·全国·专题练习）若集合
，
，则下面结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
是无理数，由
，得集合
是不超过45 的自然数形成的集合，
因此
，集合
不包含于集合
，D 正确，A 错误，由元素、集合间关系知BC 错误.
故选：D
6（24-25 高三下·广东梅州·阶段练习）下列集合之间关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A 选项，
，
，故
，A 错；
对于B 选项，
，
，
故
，B 对；
对于C 选项，
为数集，
为点集，则
、
无包含关系，C 错；
对于D 选项，
，
故
，D 错.
故选：B.
题组三 集合间的运算
1.（2025·四川自贡·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
，
，
.故选：D.
2.（2025·辽宁鞍山·二模）设全集
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为全集
，
，所以
，所以
.
故选：B.
3.（2025·河北保定·一模）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，解得
，所以
，所以
.
故选：D
4.（2025·新疆·三模）已知全集
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，故
，
，
若
，此时
，满足要求，
若
，此时
，
不合要求，
若
，此时
，
不合要求，
综上，
.故选：C
5.（2025·江西·二模）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
可得
，解得
，即
，
由
，解得
，即
，所以
.选：C
6.（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合
，
（其中为虚数单位，
为复数
集），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
．故选：C．
7．（2025·贵州黔东南·一模）（多选）已知集合
，
，
，则（ ）
A．
B．
中元素的个数为8
C．
是A 的一个真子集
D．从
中取3 个不同的元素，这3 个元素都是奇数的不同取法有20 种
【答案】ABD
【解析】
，
由条件可得
，正确；
，有8 个元素，正确；
，
，显然C 错误；
由条件可知
中有
个整数，其中有6 个奇数，
所以取3 个不同的元素，这3 个元素都是奇数的不同取法有
，正确；
故选：ABD
8．（2025 高三下·全国·专题练习）全集
，
，
，
，
，
，则
.
【答案】
【解析】根据题意作出Venn 图，如图所示，
由图可得
.
故答案为：
题组四 子集的个数
1.（2025·陕西咸阳·二模）已知集合
，
，则
的子集个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【解析】∵
，即
，∴
，∴
，一共有3 个元素，
∴
的子集个数为
.故选：C.
2.（23-24 湖北宜昌·阶段练习）已知集合
，那么满足
的集合
的个数是（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【解析】由题意得
或
或
，则满足题意的
的个数是3.故选：B.
3（24-25 高三下·江苏常州·阶段练习）集合
，那么
的真子集个
数有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，又
，易知
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，当
时，
，
当
时，
，
所以
，所以
的真子集个数为
，
故选：D.
4．（24-25 云南曲靖·期末）已知全集
，
，
，则集合
中
非空子集个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
则
，所以
，
则集合
的非空子集的个数为
.
故选：C.
5（24-25 高三下·湖北·开学考试）已知集合
，则P 的真子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【答案】A
【解析】由
，解得
或
，所以
，
所以P 的真子集个数为
故选：A.
6.（24-25 湖南衡阳·期末）已知集合
，
，则满足
的
集合C 的个数为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解析】依题意，
，
，
因为
，
所以集合
为：
，
，
，
，
，
，
，
所以集合C 的个数为7.
故选：C
7．（24-25 高三上·河南南阳·期末）已知集合
，
，则集合
的真
子集个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，则
，
所以，集合
的真子集个数为
.故选：A.
8（24-25 山东威海·阶段练习）满足
的集合
的个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解析】解方程
的根
，
，则
.
因为
.
那么A 中一定含有元素
和，可能含有元素
，，
（但不全有），
所以集合
的个数即为集合
的真子集个数，共有
个.
故选：C.
9.（23-24 高三上·河北保定·开学考试）已知集合
，
，则
的真子集的个数为（ ）
A．16
B．15
C．14
D．8
【答案】B
【解析】由
，
又
，所以
.
由
，
又
，所以
.
所以
，有4 个元素.
所以
真子集的个数为：
.
故选：B.
10（24-25 高三上·湖南娄底·阶段练习）已知集合
且
，
，则
的
子集的个数为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．16
【答案】B
【解析】由题意可知，
，则
，
所以
的子集的个数为
.
故选：B
11（2025·福建福州·模拟预测）已知集合
，则
的真子集个数
为（ ）
A．3 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】C
【解析】集合
是坐标平面内，以原点为圆心，2 为半径的圆上的点的集合，
集合
是坐标平面内，函数
图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆
及函数
的部分图象，如图：
观察图象知，圆
及函数
的图象有3 个公共点，
所以
有3 个元素，共有
个真子集．
故选：C
12．（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，
，定义
，
则集合
的所有真子集的个数为（ ）
A．32
B．31
C．30
D．29
【答案】B
【解析】集合
，
，定义
，
则
，元素个数为5，故集合
的所有真子集的个数为
，故选：B
13．（24-25 高三下·上海·阶段练习）设
，
，集合
是
中任取2 个元素组
成的集合，则
的概率为 （结果用分数表示）.
【答案】
【解析】因为
，
，所以
，
，
则在
中任取2 个元素不同的取法有
种，
集合
中任取2 个元素不同的取法是
种
设事件“
”
，则
.
故答案为：
.
题组五 集合中的求参
1.（2024 辽宁）已知集合
，若
，则由实数
的所有可能的取值组成的集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
,满足题意.当
时，
，
若
，则
或
，即
或
综上所述，
的所有取值为
故选：D
2.（23-24 湖北）（多选）已知集合
，若
，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】AC
【解析】
，因为
，
当
时，此时
；
当
时，此时
；
当
时，此时
；
故选：AC
3.（24-25 江西）（多选）若集合
，则实数
的取值可以是（ ）
A．2
B．3
C．
D．5
【答案】BD
【解析】集合
，则
，解得
，知BD 符合.
故选：BD.
4（24-25 湖南邵阳·阶段练习）已知集合
，若
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2 或
【答案】A
【解析】
.
当
时，
，则
，不符合题意；
当
时，
，则
，即
，符合题意.
故选：A
5.．（2025·云南·一模）已知集合
，
，若
，则实数
的值可以为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，则
，
再由
，则
.
故选：C.
6.（2025·广东广州·一模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
因
，则
，则实数
的取值范围是
.
故选：D.
7.（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以当
，即
时，
，满足
，即
；
当
，即
时，
，满足
，即
；
当
，即
时，由
，得
，
，即
；
综上，
．
故选：C．
8.（2025·辽宁·二模）已知集合
，
，若
，则m 的最大值
为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由
，
，
因为
，所以
，则m 的最大值为1.
故选：C.
9.（2025·山东·模拟预测）已知集合
，
或
，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以当
时满足题意，此时
，
当
时，要满足题意，则有
综上实数
的取值范围为
.
故选：A
10（24-25 高三上·浙江·阶段练习）若集合
是空集，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】集合
是空集，则关于
的方程
无实根，
当
时，方程
为
有两个不等实根，不符合要求，
当
时，
，方程
无实根，
所以
的取值范围是
.
故选：B
11.（2025·河北·三模）（多选）已知集合
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】已知集合
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
对于A，由对集合
分析知
，故A 不正确，
对于C，由对集合
分析知
，故C 正确；
对于B，当
时，
，此时
，故B 正确；
对于D，当
时，
，故D 正确.
故选：BCD.
12（2025·山东潍坊·一模）已知集合
，
，若
，则实数
．
【答案】
或2
【解析】因为
，所以
.
根据集合中元素的互异性，可知
且
.
若
，此时
，
，满足
.
若
或
（舍去）.
此时
，
，满足
.
综上
或2.
故答案为：
或2
13．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
.
【答案】
或
【解析】由题知，
，
因为
，所以
，
则当
时，
，而
；
当
时，
(舍)或，
所以
或.
故答案为：
或
14．（2025 高三下·全国·专题练习）已知全集
，集合
，
，若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
当
①
时，则
，即
，因为集合
，
，则
或
，
又
，则
或
，解得
或
，又
，所以
；
当
②
时，则
，即
，此时
，符合题意．
综上所述，实数
的取值范围为
或
．
故答案为：
15（24-25 高一上·上海·期中）已知集合
恰有两个子集，则实数
取值集合为 .
【答案】
【解析】由题意可知：方程
有且仅有一解，
等价于
有一个不等于3 的实数解，
1.当
时，解为
，满足题意；
2.当
时，
只有一解时，
则
，解得
，
若
，则
，解得
，符合题意；
3.当
时，且
有两解但3 是方程的解，
故
，解得
；
综上所述，实数
取值集合为
.
故答案为：
.
题组六 韦恩图及其应用
1.．（23-24 湖北宜昌·阶段练习）设全集为
，则图中的阴影部分可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，阴影部分不在集合
中，也不在集合
中，因此不在集合
中，
则阴影部分表示为
，A 正确，BCD 错误.
故选：A
2．（23-24 江苏无锡·阶段练习）已知全集是实数集R，集合
，则图中阴影部
分所表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【解析】
，即
，解得
或
，
所以
或
，又
，
所以
或
，
阴影部分所表示的集合为
.
故选：
.
3．（24-25 吉林长春·期末）已知集合
，
或
，则图中的阴影部分表示的集合为
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知，
，
，
所以图中阴影部分表示
或
.
故选：A.
4.（23-24 福建莆田·期中）已知全集为实数集R，集合
，
的关系的韦恩图如
图所示，则阴影部分表示的集合的元数个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【解析】由
，得
或
，
韦恩图中阴影部分表示的集合为
，而
，
所以
，阴影部分表示的集合的元数个数为3.
故选：B
5.．（24-25 高三上·江苏南京·期中）若表示集合
和
关系的
图如图所示，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
【答案】AD
【解析】由
可知
,
对于A,满足
,故A 正确，
对于B,
，此时
不满足
,故B 错误，
对于C,
，
当且仅当
取等号，故
，此时
,故C 错误，
对于D，
或
，故
,D 正确，
故选：AD
6．（24-25 陕西咸阳·期中）（多选）某高中为了迎接元旦的到来，在元旦前一周举办了主题为
迎元旦，向
“
未来
的趣味运动会，其中共有
”
20 名同学参加拔河四人足球羽毛球三个项目，其中有
､
､
12 人参加拔河，有10
人参加四人足球，有8 人参加羽毛球，拔河和四人足球都参加的有3 人，拔河和羽毛球都参加的有4 人，四人
足球和羽毛球都参加的有5 人，则（ ）
A．三项比赛都参加的有2 人
B．只参加拔河的有6 人
C．只参加四人足球的有4 人
D．只参加羽毛球的有1 人
【答案】ACD
【解析】设三项比赛都参加的有
人，根据题意，参加各个项目的人数如图所示.
由
，且
，解得
，
所以三项比赛都参加的有2 人，A 选项正确；
只参加拔河的有7 人，B 选项错误；
只参加四人足球的有4 人，C 选项正确；
只参加羽毛球的有1 人，D 选项正确.
故选：ACD.
题组七 函数集合
1．（2025·陕西咸阳·一模）已知集合
，
，则
子集的个
数为（ ）．
A．6
B．7
C．8
D．16
【答案】C
【解析】由
，
，
所以
，故
子集的个数为
个.
故选：C
2．（24-25 高三下·山西晋中·阶段练习）已知全集
，集合
，
，则
下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
由
可得或
，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
不包含
，故C 错误；
对于D，
，
，故D 错误.
故选：B
3．（2025·陕西咸阳·二模）已知集合
，
，则下列关系中，正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
，可得
，解得
，所以
，
又由
，解得
或
，所以
或
，
则
，
，且
，
，
故选：D.
4．（2025·福建）集合
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据对数函数定义域可得
，
由指数函数的值域可得
，
所以
.
故选：B.
5.（2025 高三·全国·专题练习）集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，得
，则
，
所以
．
故选：B．
6.（2025·湖北·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为对数函数
是
上的减函数，
所以由
，得
，则
；
因为指数函数
是
上的增函数，
所以由
，得
，则
，
由此，
.
故选：B.
7．（24-25 浙江杭州·期末）集合
. 则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，所以
，
由
，得
，所以
，
所以
.
故选：B.
8.（24-25 高三下·广东深圳·阶段练习）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，且
，所以
，
，
所以
.
故选：A.
9.（2025 高三·全国·专题练习）设A、B 是两个非空集合，定义
且
，已知
，
，则
．
【答案】
【解析】由题意
，
，
所以
，
，则
．
故答案为：
题组八 点集合
1．（2025·陕西·模拟预测）已知集合
，则
的元素个数是
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数
【答案】B
【解析】联立
，整理得
，
解得
，则
，即
，有1 个元素.
故选：
.
2．（24-25 高三上·山西大同·期末）集合
，则下面
图中阴影部分表
示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】图中阴影部分表示的集合为
，
又
，
所以阴影部分表示的集合为
.
故选：B.
3（2024·福建南平·二模）已知集合
，
，则
的子集个数为 .
【答案】4
【解析】由
解得
或
，
所以
，有两个元素，
所以
的子集个数为
.
故答案为：4.
4．（2024·江苏南京·二模）已知集合
，
，则集合
的元素个数为
．
【答案】2
【解析】当
时，
，2，4，
分别为
,均不能满足
，
当
时，
时可满足
，
时，
，
时，
均不满足
，
当
时，
可满足
，
时，
，
时，
均不满足
，
所以
，故集合
的元素有2 个，
故答案为：2
题组九 新定义
1.（2025 高三·全国·专题练习）设集合
，对
和
，定义：
．已知集合
是
的子集，对任意
，
满足：当
，
时，
为偶数，否则
为奇数，则
中元素个数的最大值为 ．
【答案】
【解析】集合
中任取两个元素
和
对应坐标计算结果如下表：
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
因为当
，
时，
为偶数，所以集合
中任一元素含有1 的个数为0，2 或4，
分别如下：①
；②
，
，
，
，
，
；③
，
根据题意，可知集合
中至多含以上8 个元素．当
和
不同时，因为
为奇数，
所以
和
的四个对应位置都为1 的恰有1 个或3 个，
若
中不含第
类元素，则
②
中至多1 个元素，
若
中含第
类元素，不妨设
②
，则第
和
类的两个元素不在
①
③
中，
对于第
类元素中，
②
不在
中，其余都可以是
的元素，
所以集合
中元素个数的最大值为5，
故答案为：.
2．（24-25 ·贵州遵义·阶段练习）已知集合
，
，集合U 的子集
，若对于任意的
，i，
，都有
，则符合条件的集合B 的个数为
.
【答案】30
【解析】不妨设
，再设
，
，2，3，4，
则B 中元素由
和有序数组
决定.
，
，
且
中任意相邻几个之和也不属于
，
否则会出现
.
若
，
，
，
中没有2 或只有1 个2，则一定有
，不符合题意.
若
，
，
，
中有3 个2 或4 个2，不满足
中任意相邻几个之和也不属于
，
所以
，
，
，
中有2 个2.
考虑
的排列情况和
的取值情况：若
，
，
，
由2，2，6，6 组成，
则B 的个数为
；
若
，
，
，
由2，2，6，7 组成，则B 的个数为
；
若
，
，
，
由2，2，6，8 组成，则B 的个数为
；
若
，
，
，
由2，2，7，7 组成，则B 的个数为
.
故符合条件的集合B 的个数为
.
故答案为：
3（2025·上海崇明·二模）已知集合M 中的任一个元素都是整数，当存在整数
且
时，称
M 为
间断整数集
．集合
“
”
的所有子集中，是
间断整数集
的个数为
“
”
．
【答案】968
【解析】由题意，满足
间断整数集
定义的子集至少有
“
”
2 个元素，至多有9 个元素，
按子集中元素的个数分类，
当元素个数为
①
2 时，不满足定义的子集有：
，共9 个；
此时满足定义的子集有
个，
当元素个数为
②
3 时，不满足定义的子集有：
，共8 个；
此时满足定义的子集有
个，
当元素个数为
③
4 时，不满足定义的子集有：
，共7 个；
此时满足定义的子集有
个，
当元素个数为
④
5 时，不满足定义的子集有：
，共6 个；
此时满足定义的子集有
个，
当元素个数为
⑤
6 时，不满足定义的子集有：
，共5 个；
此时满足定义的子集有
个，
当元素个数为
⑥
7 时，不满足定义的子集有：
，共4 个；
此时满足定义的子集有
个，
当元素个数为
⑦
8 时，不满足定义的子集有：
，共3 个；
此时满足定义的子集有
个，
当元素个数为
⑧
9 时，不满足定义的子集有：
，共2 个；
此时满足定义的子集有
个，
综上所述，满足题意的子集共有
个.
故答案为：968.
题组十
