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1.1 集合（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（23-24 高一上·江苏无锡·阶段练习）已知全集是实数集R，集合
，则图中
阴影部分所表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【解析】
，即
，解得
或
，
所以
或
，又
，
所以
或
，
阴影部分所表示的集合为
.
故选：
.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知集合
，
，则下列关系中，正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
，可得
，解得
，所以
，
又由
，解得
或
，所以
或
，
则
，
，且
，
，
故选：D.
3.（2025·新疆·三模）已知全集
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，故
，
，
若
，此时
，满足要求，
若
，此时
，
不合要求，
若
，此时
，
不合要求，
综上，
.
故选：C
4．（2025·河北·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
⫋
C．
⫋
D．
【答案】B
【解析】
等价于
且
，
故解不等式得
，
所以
，
，
所以可得：
⫋
，
.故ACD 错，B 对.
故选：B.
5．（24-25 广西桂林）已知集合
，
则
等于（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
当
时，
；当
时，
；
所以，函数
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数；
所以，当
时，函数
取极小值，也是最小值.
所以
，即
，当且仅当
时取等号；
故选：D
6．（2025·山东·模拟预测）已知集合
，
或
，且
，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以当
时满足题意，此时
，
当
时，要满足题意，则有
综上实数
的取值范围为
.
故选：A
7．（24-25 高三下·广东梅州·阶段练习）下列集合之间关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A 选项，
，
，故
，A 错；
对于B 选项，
，
，
故
，B 对；
对于C 选项，
为数集，
为点集，则
、
无包含关系，C 错；
对于D 选项，
，
故
，D 错.
故选：B.
10.（2024 湖南）设集合A＝
，集合B＝
.则A
B＝
（ ）
A．
B．
C．
D．R
【答案】D
【解析】由
得
，所以
，
，
时，
，
，
，由勾形函数知
在
上递减，在
上递增，
时，
，
时，
，
时，
，所以
，
所以
，即
，
，所以
．故选：D．
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（24-25 四川成都·期末）已知全集
，集合
，集合
，则（ ）
A．
B．
的子集个数为8
C．
D．
【答案】BC
【解析】由题设
且子集有
个，B 对，
又
，则
，A、D 错；
由
，则
，C 对；
故选：BC
10．（2025·贵州黔东南·一模）已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
中元素的个数为8
C．
是A 的一个真子集
D．从
中取3 个不同的元素，这3 个元素都是奇数的不同取法有20 种
【答案】ABD
【解析】
，
由条件可得
，正确；
，有8 个元素，正确；
，
，显然C 错误；
由条件可知
中有
个整数，其中有6 个奇数，
所以取3 个不同的元素，这3 个元素都是奇数的不同取法有
，正确；
故选：ABD
11．（2024 广东佛山 ）（多选）设P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意
，都有
，且若
，则
，则称P 是一个数域．例如，有理数集Q 是数域．下列命题正确的是
（ ）
A．数域必含有0，1 两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集
，则数集M 一定是数域
D．数域中有无限多个元素
【答案】AD
【解析】因为P 是一个数集，且至少含有两个数，可知P 中必有一个非零实数，
对于选项A：当
时，
、
，故A 正确；
对于选项B：例如
，
，但
，不满足条件，故B 错误；
对于选项C：例如
，取
，
，但
，所以数集M 不是一个数域，故C 错误；
对于选项D：由选项A 可知：数域必含有0，1 两个数，
根据数域的性质可知：数域必含有
，必为无限集，故可知D 正确．故选：AD.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·湖北）已知集合
，
，若
中有且仅有三个整数，则正数a 的取值
范围是
【答案】
【解析】由题意可得
，
，
若
中有且仅有三个整数，则只能是
，故
，解得
13（24-25 广东）已知集合
，
，则
的子集个数为 ．
【答案】4
【解析】由
，解得
或
，
中有
个元素，故
的子集个数为为
.
故答案为：4.
14．（24-25 上海·期中）已知集合
恰有两个子集，则实数
取值集合为 .
【答案】
【解析】由题意可知：方程
有且仅有一解，
等价于
有一个不等于3 的实数解，
1.当
时，解为
，满足题意；
2.当
时，
只有一解时，
则
，解得
，
若
，则
，解得
，符合题意；
3.当
时，且
有两解但3 是方程的解，
故
，解得
；
综上所述，实数
取值集合为
.
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25 上海·期末）已知
，集合
，
．
(1)求集合A；
(2)若
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
；
（2）因为
，所以
，
当
时，
，解得
，
当
时，
若
，由
，得
，解得
，
所以
，又
可得
，即
，
当
时，由
，可得
，所以
，
又
，可得
，
综上所述：实数a 的取值范围为
．
16．（24-25 河北保定·阶段练习）已知集合集合
，集合
.
(1)若
，求
和
；
(2)设命题
，命题
，若
是
成立的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
【解析】（1）已知
，解不等式
：
移项可得
，通分得到
，即
.
此不等式等价于
.
解
，可得
，所以
.
已知
，当
时，
.
解不等式
，可得
，即
，所以
.
所以
.
.
（2）已知
，解不等式
，可得
，即
，所以
.
因为
是
成立的必要不充分条件，所以
.
则有
（不能同时取等号），解
得
.
所以实数
的取值范围是
17．（24-25 江苏苏州·阶段练习）已知
，
．试问：
(1)从集合A 和B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点?
(2)从
中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐减小，这样的三位数有多少个?
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得
，
，
所以
，
，
中元素作为横坐标，
中元素作为纵坐标，有
个，
中元素作为横坐标，
中元素作为纵坐标，有
个，
其中重复的有
，
所以不同的点有
个；
（2）因为
，
，
所以
，
要满足从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字逐渐减小，
即从
个元素中选个元素的组合数，
所以
，所以满足要求的三位数有
个.
18．（24-25 河北保定·阶段练习）设集合
，
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若集合
中有两个元素
，求实数
的取值范围，并用含
的代数式表示
；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
，
(3)
【解析】（1）由题意得
，因为
，所以
，
，
所以
即
，
化简得
，即
，解得
或
，
检验：当
时，
，满足
，
当
时，
，满足
，
所以
或
．
（2）因为
集合中有两个元素
，所以方程
有两个根，
所以
且
，
，
所以
，
．
（3）因为
，所以
，又
，
所以
或
或
或
，
当
时，
，解得
，符合题意；
当
时，则
，无解；
当
时，则
，所以
；
当
时，则
，无解，
综上，
的范围为
．
19．（2025 北京·期中）设
是由有限个正整数组成的集合，定义
．如果
，
称
是“好集”．例如，
时，
，所以
不是“好集”．
(1)判断
是否为“好集”，并说明理由；
(2)证明：如果
且
是“好集”，那么
是“好集”；
(3)求所有的集合
，使得
①
；
②
是“好集”；
③不存在“好集”
，使得
是
的真子集．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)
，
，
，
，
.
【解析】（1）由于
，
，二者交集为空，故
是“好集”.
（2）显然此时
，
，而
，故
，所以
是“好集”.
（3）由于
，
，
，
，
都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任
何一个.
那么，包含于
的“好集”就只可能是空集，单元素集，除
和
以外的双元素集，以及
，
，经过验证，这些集合都是“好集”.
再加上
不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的
就只能是
，
，
，
，
.
