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专题2.2 函数的概念及其表示-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{y|﹣1≤y≤1}，则下列图象中，
能表示从集合A到集合B的一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据函数的定义域和值域的关系，结合函数的定义逐个分析各个选项的图像即可．
【解答过程】解：由题意可知函数的定义域为集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，值域为集合B＝{y|﹣1≤y≤1}的
子集，
对于选项A：函数图像满足定义域和值域的要求，且定义域内一个x对应值域内唯一的一个y值，所以
选项A正确，
对于选项B：函数图像满足定义域和值域的要求，但是当x＝0时，y的值有2个，不符合函数的定义，
故选项B错误，
对于选项C：函数的定义域不符合题意，故选项C错误，
对于选项D：函数的定义域不符合题意，故选项D错误，
故选：A．
√x−2
2．（5分）（2022春•疏勒县校级期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0
【解题思路】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
{x−2≥0
【解答过程】解：要使原式有意义，则 ，即x≥2．
x≠0
∴自变量x的取值范围是x≥2．故选：B．
3．（5分）（2021秋•阳春市校级月考）函数f（x）＝﹣2x2+4x，x [﹣1，2]的值域为（ ）
A．[﹣6，2] B．[﹣6，1] C．[0，2] ∈ D．[0，1]
【解题思路】利用二次函数的性质判断函数的单调性，求出最值即可得出函数的值域．
【解答过程】解：函数f（x）＝﹣2x2+4x的开口向下，对称轴为x＝1，
所以f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
所以f（x） ＝f（1）＝2，f（x） ＝f（﹣1）＝﹣6，
max min
所以函数f（x）＝﹣2x2+4x，x [﹣1，2]的值域为[﹣6，2]．
故选：A． ∈
4．（5分）（2021春•临澧县校级期末）若f（x） {f(x+2)，x＜1，则f（﹣2）的值为（ ）
=
log x，x≥1
2
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
【解题思路】利用函数的解析式知道当x＜1时是以2周期的周期函数，故f（﹣2）＝f（2），再代入函
数解析式即得
【解答过程】解：∵f（x） {f(x+2)，x＜1
=
log x，x≥1
2
∴当x＜1时，f（﹣2）＝f（0）＝f（2），
∴当x＝2时即f（2）＝log 2＝1
2
故选：B．
5．（5分）（2022春•济宁期末）若函数 的定义域为（1，+∞），则a＝（
y=√x2+2x+a+ln(x+2)
）
A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1
【解题思路】由题意，不等式{x2+2x+a≥0的解集为（1，+∞），可得 1是方程x2+2x+a＝0的一个
x+2＞0
解，由此求得a的值．
【解答过程】解：∵函数 的定义域为（1，+∞），
y=√x2+2x+a+ln(x+2)
∴不等式{x2+2x+a≥0的解集为（1，+∞），
x+2＞0∴1是方程x2+2x+a＝0的一个解，∴1+2+a＝0，求得a＝﹣3，
故选：A．
f(x)
6．（5分）（2022春•商丘期末）已知函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），则函数g(x)= 的定
√3x−1
义域为（ ）
1 1 1 1
A．( ，4) B．( ，2) C．( ，6) D．( ，1)
3 3 3 3
【解题思路】由已知求得f（x）的定义域，结合分式的分母不为0，可得函数g（x）的定义域．
【解答过程】解：∵函数f（x+2）的定义域为（﹣3，4），即﹣3＜x＜4，
∴x+2 （﹣1，6），即f（x）的定义域为（﹣1，6）．
∈ 1 1
又3x﹣1＞0，∴x＞ ，取交集可得函数g（x）的定义域为( ，6)．
3 3
故选：C．
7．（5分）（2020•广东学业考试）已知函数f（x） {1−x，x≤0，若f（1）＝f（﹣1），则实数a的值
=
ax ，x＞0
等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】由分段函数f（x），我们易求出f（1），f（﹣1）的值，进而将式子f（1）＝f（﹣1）转
化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．
【解答过程】解：∵函数 {1−x，x≤0，
f(x)=
ax ，x＞0
∴f（﹣1）＝2，f（1）＝a，
若f（1）＝f（﹣1），
∴a＝2，
故选：B．
8．（5分）（2021春•高安市校级期中）已知函数f（x）
=
{x2−6x+6，x≥0，若互不相等的实数x
1
，
3x+4，x＜0
x ，x 满足f（x ）＝f（x ）＝f（x ），则x +x +x 的取值范围为（ ）
2 3 1 2 3 1 2 3
11 1 8 11 1 8
A．（ ，6） B．（− ， ） C．（ ，6] D．（− ， ]
3 3 3 3 3 3【解题思路】先作出函数f（x）
=
{x2−6x+6，x≥0的图象，如图，不妨设x
1
＜x
2
＜x
3
，则x
2
，x
3
关于
3x+4，x＜0
7
直线x＝3对称，得到x +x ＝6，且− ＜x ＜0；最后结合求得x +x +x 的取值范围即可．
2 3 1 1 2 3
3
【解答过程】解：函数f（x） {x2−6x+6，x≥0的图象，如图，
=
3x+4，x＜0
不妨设x ＜x ＜x ，则x ，x 关于直线x＝3对称，故x +x ＝6，
1 2 3 2 3 2 3
7
且x 满足− ＜x ＜0；
1 1
3
7
则x +x +x 的取值范围是：− +6＜x +x +x ＜0+6；
1 2 3 1 2 3
3
11
即x +x +x （ ，6）．
1 2 3
3
∈
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•鄂州期末）已知集合A＝{x|x＝2k，k N*}，集合B＝N*，下列表达式能建立从集合A
到集合B的函数关系的是（ ） ∈
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝log x D．y＝2x
2
【解题思路】通过举反例可得对应关系f：y＝log x 不是从A到B的函数关系，而按照对应关系f：y＝
2
2x，y＝x2，y＝2x构成从A到B的函数关系，由此得出结论．
【解答过程】解：由函数的定义可得A中的每个元素在B中都有唯一的一个元素与之对应．按照对应关系f：y＝log x，A中的6在B中没有元素与之对应，故不是映射．
2
而按照对应关系f：y＝2x，y＝x2，y＝2x，A中的每个元素在B中都有唯一的一个元素与之对应，
满足函数的定义．
故选：ABD．
10．（5分）（2021秋•温州期中）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为
“同族函数”，例如函数y＝x2，x [1，2]与函数y＝x2，x [﹣2，﹣1]为“同族函数”．下面函数解析
式中能够被用来构造“同族函数”的∈是（ ） ∈
1
A．f(x)= B．f（x）＝2x+2﹣x
x2
1 1
C．f(x)= D．f(x)=x+
x x
【解题思路】根据“同族函数”分别进行判断即可．
【解答过程】解：A．f（x）是偶函数，当x [1，2]与x [﹣2，﹣1]时，两个函数的值域相同，可以构
造“同族函数”， ∈ ∈
B．f（﹣x）＝2﹣x+2x＝2x+2﹣x＝f（x），函数f（x）为偶函数，且f（x）为增函数，有可能是“同族函
数”，
C．f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）是奇函数，且当x＞0或x＜0时，分别为减函数，不可能是“同族函
数”，
D．由对勾函数的性质知当0＜x＜1时f（x）为减函数，当x＞1时，f（x）为增函数，当x [1，2]与x [
∈ ∈
1
，1]时，两个函数的值域相同，可以构造“同族函数”，
2
故选：ABD．
11．（5分）（2022春•道里区校级期末）下列说法中正确的是（ ）
1 1
A．函数y= 的值域为(−∞， ]
x2−2x+3 2
B．函数
x2+3
的值域为[2，+∞）
y=
√x2+2
C．函数y=√x+√4−x的值域为[2，2√2]
D．若函数 的值域为R，则实数a的取值范围是[0，1]
y=log (ax2+2x+a)
2
【解题思路】直接利用二次函数的性质判断函数的值域，进一步确定A的结论；利用函数的关系式的变换和对勾函数的性质的应用判断B的结论，利用函数的定义域确定函数的值域，进一步确定C的结论，
利用对数的性质的应用判断D的结论．
1 1 1
【解答过程】解：对于y= = ，故函数的值域为(0， ]，故A错误；
x2−2x+3 (x−1) 2+2 2
对 于 B ： 函 数 y= x2+3 =√x2+2+ 1 ， 利 用 对 勾 函 数 y ＝ t + 1（ t ＞ 0 ） ， 整 理 得
√x2+2 √x2+2 t
1 3√2 3√2
y =√2+ = ，故函数的值域为[ ，+∞），故B错误；
min √2 2 2
1 1
对于C：函数f(x)=√x+√4−x，由于f '(x)= − ，令f′（x）＝0，解得x＝2时，函数
2√x 2√4−x
取的极大值，函数的定义域x [0，4]，根据导数的性质x [0，2]上单调递增，，函数f（x）在x [2，4]
上单调递减，当x＝0或4时，∈函数取得最小值为2，当x∈＝2时，函数取得最大值2√2，所以的∈值域为
[2，2√2]，故C正确；
对于D：由于函数 的值域为R，当a＝0时，函数的值域为R，成立，当a＞0且
y=log (ax2+2x+a)
2
4﹣4a2≥0，解得a [0，1]，故D正确；
故选：CD． ∈
12．（5分）（2021秋•天河区校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数
x
B．函数y= 定义域为[1，+∞）
√x−1
1
C．若函数y=log (x2+x+a)的值域为R，则a的取值范围为(−∞， ]
2 4
D．函数y＝f（x）定义域为[﹣1，2]，则y＝f（x）+f（﹣x）定义域为[﹣1，1]
【解题思路】根据题意，对选项中的命题真假性判断即可．
【解答过程】解：对于A，两个函数的定义域与值域相同时，这两个函数为不一定是同一个函数，
如f（x）＝|x|，x R，与g（x）＝x2，x R，所以选项A错误；
∈ x ∈
对于B，函数y= 定义域为（1，+∞），分母不能为0，选项B错误；
√x−1
1
对于C，函数y=log (x2+x+a)的值域为R时，Δ＝12﹣4a≥0，解得a≤ ，
2 4
1
所以a的取值范围是(−∞， ]，选项C正确；
4{ −1≤x≤2
对于D，因为函数y＝f（x）定义域为[﹣1，2]，令 ，解得﹣1≤x≤1，
−1≤−x≤2
所以函数y＝f（x）+f（﹣x）的定义域为[﹣1，1]，选项D正确．
故选：CD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋•博野县校级月考）已知f（2x+1）的定义域为[﹣1，2]，则f（x﹣1）的定义域为
[0 ， 6] ．
【解题思路】根据函数f（2x+1）的定义域知x的取值范围，求出f（x）的定义域，再求f（x﹣1）的定
义域．
【解答过程】解：函数f（2x+1）的定义域为[﹣1，2]，
知x [﹣1，2]，
所以∈﹣1≤2x+1≤5，
即f（x）的定义域为[﹣1，5]；
令﹣1≤x﹣1≤5，
解得0≤x≤6，
所以f（x﹣1）的定义域为[0，6]．
故答案为：[0，6]．
14．（5分）（2021秋•新乡期末）函数 的值域为 [ 3 ， + ∞） ．
f(x)=√2x−4+x2−x+1
【解题思路】先判断√2x−4和x2﹣x+1的单调性，从而判断f（x）的单调性，进而求值域．
【解答过程】解：由2x﹣4≥0，得x≥2．
因为√2x−4在[2，+∞）上单调递增，且x2﹣x+1在[2，+∞）上单调递增．
所以因为f（x）在[2，+∞）上单调递增．
所以f（x） ＝f（2）＝3．
min
故答案为：[3，+∞）．
15．（5分）（2021春•龙凤区校级月考）已知f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x，则f（x）的解析式为 f （ x ）
1
= x 2 ﹣ 2 x ．
3
【解题思路】由f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x，f（﹣x）+2f（x）＝x2﹣2x，联立可求．
【解答过程】解：因为f（x）+2f（﹣x）＝x2+2x，
所以f（﹣x）+2f（x）＝x2﹣2x，1
联立可得，f（x）= x2﹣2x．
3
1
故答案为：f（x）= x2﹣2x．
3
16．（5分）（2022春•南平期末）若函数 {(a−1)x+1，x≤1，的值域为R，则实数a的取值范
f(x)=
x2−2ax+6，x＞1
围是 [ 2 ， + ∞） ．
【解题思路】由题意，分类讨论a的范围，利用一次函数、二次函数的性质，可得结论．
【解答过程】解：∵函数
{(a−1)x+1，x≤1，的值域为R，
f(x)=
x2−2ax+6，x＞1
当a＝1时，f（x） { 1，x≤1 ，不满足值域为R．
=
x2−2x+6，x＞1
当a＞1时，应有a﹣1+1≥a2﹣2a•a+6，解得a≥2．
当a＜1时，由于（a﹣1）x+1（x≤1）和x2﹣2ax+6（x＞1）都有最小值，
故函数的值域不可能为R，故不满足题意．
综上，a≥2，
故答案为：[2，+∞）．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021秋•龙门县校级月考）求下列函数的定义域．
（1）y=√x−2⋅√3−x；
（2） √4−x2 ．
y=
2x2−3x−2
【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
{x−2≥0 {x≥2
【解答过程】解：（1）由题意可知 ，解得 ，
3−x≥0 x≤3
∴2≤x≤3，
即函数的定义域为[2，3]．
（2）由题意可知{ 4−x2≥0 ，解得﹣2≤x≤2且x≠2且x 1，
≠−
2x2−3x−2≠0 21 1
∴x∈[−2，− )∪(− ，2)，
2 2
1 1
即函数的定义域为[﹣2，− ）∪（− ，2）．
2 2
18．（12分）（2021秋•思南县校级月考）已知函数f（x）＝|x﹣2|+x2．
（1）去掉绝对值，写出f（x）的分段解析式；
（2）画出f（x）的图象，并写出值域．
【解题思路】（1）分x≥2和x＜2讨论，取绝对值即可；
（2）根据抛物线的性质，分别画出两段上的图象即可．
【解答过程】解：（1）当x≥2时，f（x）＝x2+x﹣2，
当x＜2时，f（x）＝x2﹣x+2，
所以f（x）
{x2+x−2，x≥2，；
=
x2−x+2，x＜2
1
（2）当x≥2时，f（x）为以x=− 为对称轴，开口向上的抛物线，
2
1
当x＜2时，f（x）为以x= 为对称轴的抛物线，
2
所以f（x）的图象如图所示：
7
所以函数f（x）的值域为[ ，+∞）．
419．（12分）（2022春•桃源县月考）若指数函数f（x）的图像过点A（2，9）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x [﹣2，3]时，求函数f（x）的值域．
【解题思路∈】（1）由题意，利用待定系数法求出指数函数的解析式．
（2）由题意，结合函数的单调性求出函数f（x）的值域．
【解答过程】解：（1）设指数函数为f（x）＝ax（a＞0，a≠1），
∵它的图像过点A（2，9），
∴a2＝9，∴a＝3，∴函数f（x）＝3x．
1
（2）当x [﹣2，3]时，3x [ ，27]，
9
∈ ∈
1
故函数f（x）的值域为[ ，27]．
9
20．（12分）（2021秋•虎丘区校级月考）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝a|x﹣2|，F（x）＝f（x）+g
（x）．
（1）a＝2，求F（x）在x [0，3]上的值域；
（2）a＞2，求F（x）在x∈[0，3]上的值域．
【解题思路】（1）求出F（∈ x）的解析式，再结合图象可求出值域．
（2）求出F（x）的解析式，分0≤x≤2和2＜x≤3讨论．
【解答过程】解：（1）当a＝2时，
F（x）＝x2﹣2x+2|x﹣2|=
{x2−4x+4，(0≤x≤2)，
x2−4，(2＜x≤3)
当0≤x≤2时，F（x）＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，则值域为[0，4]；当2＜x≤3时，F（x）＝x2﹣4，则值域为（0，5]；
∴F（x）的值域为[0，5]．
（2）当a＞2时，F（x）
=
{ x2−(a+2)x+2a，(0≤x≤2) ，
x2+(a−2)x−2a，(2＜x≤3)
a+2
当0≤x≤2时，F（x）＝x2﹣（a+2）x+2a，对称轴为x= ≥2，所以值域为[0，2a]；
2
2−a
当2＜x≤3时，F（x）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，对称轴为x= ＜0，所以值域为[0，a+3]；
2
∴当2＜a＜3时，F（x）的值域为[0，a+3]；当a≥3时，F（x）的值域为[0，2a]．
21．（12分）（2021春•齐齐哈尔月考）（1）已知y＝f（x）的定义域为[0，1]，求函数y＝f（x2+1）的定
义域；
（2）已知y＝f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，求y＝f（x）的定义域；
f(2x)
（3）已知函数y＝f（x）的定义域为[0，2]，求函数g(x)= 的定义域．
2x−1
【解题思路】（1）由已知可得0≤x2+1≤1，求解x的范围得答案；
（2）y＝f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，即x [0，1]，求出2x﹣1的范围得答案；
（3）由已知求得f（2x）的定义域，结合分母∈ 不为0，取交集得答案．
【解答过程】解：（1）∵y＝f（x）的定义域为[0，1]，
∴由0≤x2+1≤1，得x＝0，
即y＝f（x2+1）的定义域为{0}；
（2）∵y＝f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，即x [0，1]，
∈∴﹣1≤2x﹣1≤1．可得y＝f（x）的定义域为[﹣1，1]；
（3）∵函数y＝f（x）的定义域为[0，2]，
由2x [0，2]，得0≤x≤1，
∴y＝∈f（2x）的定义域为[0，1]．
1
又2x﹣1≠0，即x≠ ，
2
1 1
∴函数y＝g（x）的定义域为[0， )∪( ，1]．
2 2
22．（12分）（2021秋•中山市期末）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．
已知函数 的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．
f(x)=√ax2+bx+a+1
（Ⅰ）若a＝﹣2，b＝3，求f（x）的定义域；
（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；
（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．
【解题思路】（Ⅰ）直接利用函数的关系式求出函数的定义域；
（Ⅱ）直接利用定义性函数的应用和分类讨论思想的应用求出b的值；
（Ⅲ）利用同域函数的应用和分类讨论思想的应用求出参数b的取值范围．
1
【解答过程】解：（Ⅰ）当a＝﹣2，b＝3时，由题意知：﹣2x2+3x﹣1≥0，解得： ≤x≤1．
2
1
∴f（x）的定义域为[ ，1]；
2
（Ⅱ）当a＝1时， ，
f(x)=√x2+bx+2(x≥0)
b
（1）当− ≤0，即b≥0时，f（x）的定义域为[0，+∞），值域为[√2，+∞)，
2
∴b≥0时，f（x）不是“同域函数”．
b
（2）当− ＞0，即b＜0时，当且仅当Δ＝b2﹣8＝0时，f（x）为“同域函数”．
2
∴b=−2√2．
综上所述，b的值为−2√2．
（Ⅲ）设f（x）的定义域为A，值域为B．
（1）当a＜﹣1时，a+1＜0，此时，0 A，0 B，从而A≠B，
∴f（x）不是“同域函数”． ∉ ∈（2）当﹣1＜a＜0，即a+1＞0，
设 −b−√b2−4a(a+1)，则f（x）的定义域A＝[0，x ]．
x = 0
0 2a
b
①当− ≤0，即b≤0时，f（x）的值域B=[0，√a+1]．
2a
若f（x）为“同域函数”，则 ，
x =√a+1
0
从而， ，
b=−(√a+1) 3
又∵﹣1＜a＜0，
∴b的取值范围为（﹣1，0）．
②当 b ，即b＞0时，f（x）的值域 √4a(a+1)−b2 ．
− ＞0 B=[0， ]
2a 4a
若f（x）为“同域函数”，则 √4a(a+1)−b2，
x =
0 4a
从而， （*）
b=√b2−4a(a+1)(√−a−1)
此时，由√−a−1＜0，b＞0可知（*）不成立．
综上所述，b的取值范围为（﹣1，0）．
