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2.4 指数运算及指数函数（精练题组版）
题组一 指数的运算
1．（2025·河南新乡·二模）
（ ）
A．16
B．
C．32
D．
【答案】A
【解析】由
.故选：A
2．（24-25 江西 ）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误；
故选：C
3．（24-25 山东威海·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
.
所以原式
.
故选：D
4．（24-25 ·江苏·期末）式子
的值为（ ）
A．
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【解析】
.故选：C.
5.（2024 广东广州）计算下列各式．
(1)
； （2）
（3）
； （4）
；
(51)
； (6)
；
（7）已知
，求
的值．
【答案】(1)75 (2)
(3)4 (4)
(5)
(6)
（7）2
【解析】（1）
（2）
.
（3）
（4）原式
=
.
（5）
.
（6）
；
（7）因为
，所以
所以
，
所以
故
题组二 指数函数的图像
1．（24-25 高三下·天津河西·开学考试）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，函数定义域为R，且
，
所以
为偶函数，排除A、B；
当
，则
恒成立，排除D.
故选：C
2．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，∵
，
当
∴
时，
，故排除A、D；
，
因为
，所以
，即
，
所以函数不可能一直单调递减，故排除C.
故选：B.
3．（2025 江西吉安·阶段练习）函数
图像的大致形状为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
是分段函数，根据
的正负写出分段函数的解析式，
，
时，图象与
在第一象限的图象一样是增函数，
时，图象与
的图象关于
轴对称.
故选：B．
4.（2024 广西柳州·期中）要使
的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的图象与
轴的交点坐标为
，且为减函数，
要使
图象不经过第一象限，则
，解得
.
故选：B.
5．（2024 辽宁抚顺）已知函数
的图象恒过定点P，则P 点的坐标为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，解得
，则
，即过定点
.
故选：B
6（2025 广西南宁 ）函数
且
的图象恒过定点
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于函数
，令
，可得
，则
，
所以，函数
且
的图象恒过定点坐标为
．
故选：A
7（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
的图象经过定点
，则
．
【答案】1
【解析】函数
∵
的图象经过定点
，
∴
，解得
，∴
.故答案为：1.
题组三 指数函数定义域
1．（2025 安徽·期中）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于函数
，有
，可得
，解得
，
因此，函数
的定义域为
.
故选：A.
2．（2025 北京·期末）函数
的定义域是 ．
【答案】
.
【解析】由题意得
，
解得
且
，
所以函数的定义域为
，
故答案为：
.
3．（2025·海南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，则
．
【答案】
【解析】由题意可知，不等式
的解集为
，则
，解得
，
当
时，由
，可得
，解得
，合乎题意.
故答案为：
.
4．（2026 江西）函数
的定义域为 ．
【答案】
【解析】由函数解析式，知：
，解得
且
.
故答案为：
.
5．（2025 山西晋中·阶段练习）函数
的定义域为 .
【答案】
【解析】由题意，要使函数
有意义，则满足
，
解得
，即函数
的定义域为
.
故答案为：
.
题组四 指数型函数的值域
1．（2025·上海·模拟预测）已知
，则
的值域是 ；
【答案】
【解析】当
时, 根据指数函数的图象与性质知
，
当
时,
.
综上:
的值域为
.
故答案为：
.
2．（2023·宁夏银川·二模）已知函数
，
，则其值域为 ．
【答案】
【解析】令
，∵
，∴
，
∴
，
又
关于
对称，开口向上， 所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
时，函数取得最小值，即
，
时，函数取得最大值，即
，
.
故答案为：
.
3．（2025·河北）函数
的最小值为 .
【答案】1
【解析】函数
的定义域为
.
由复合函数的单调性可知,
在
上单调递减,在
上单调递增.
而
.所以,函数
的最小值为1.
故答案为:1.
4．（2025 河南）已知二次函数
的值域为
，则函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】由二次函数
的值域为
得：
解得：
或
（舍去）
所以
因为
所以函数
的值域为：
故答案为：
.
5．（2025·河南）函数
在
的值域为 ．
【答案】
【解析】
，
设
，当
时，
，所以
，
所以
在
的值域为
．故答案为：
．
6．（2026·辽宁）已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】当
时，
，当
时，
，
因为函数的值域为
，所以
，解得：
.
故答案为：
7．（2026·辽宁 ）偶函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】由题设，
，故
，
所以
，当且仅当
时等号成立，又
，
所以
的值域为
.
故答案为：
.
8．（2025·四川）已知函数
，则
的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意可知
时，
，当且仅当
时取得等号，
时，
，当且仅当
时取得等号，
故
.
故答案为：
.
9．（2026·江西）设函数
，若
是函数
的最大值，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为
，
当
时
函数单调递减且
，
当
时
，可得在
时函数单调递减，在
单调递增，
若
，
，则
在
处取得最大值，不符题意；
若
，
，则
在
处取得最大值，
且
，解得
，
综上可得
的范围是
．故答案为：
10．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数
，
不存在最小值，则实数
的取值范围是
【答案】
【解析】（1）当
时，若
，则
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，
若
，则
，当且仅当
时取等号，
因为
不存在最小值，
所以
，所以
，
（2）当
时，若
，则
，
因为函数
在
上单调递增，所以
，
若
，则
，当且仅当
时取等号，
因为
不存在最小值，
所以
，所以
，
所以实数
的取值范围是
，
故选：C.
11．（2025 山东 ）已知函数
（
且
），若
有最小值，则实数
的
取值范围是
【答案】
【解析】由于函数
有最小值，则函数
在区间
上不为增函数，可得
.
当
时，
，
，此时函数
无最小值；
当
时，即当
时，函数
在区间
上为减函数，
若函数
①
在
上为增函数，则
，
且有
，即
，解得
，此时
；
若函数
②
在
上为减函数，则
，
且
，所以，
，即
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
12．（2024·上海松江·二模）已知
，函数
，若该函数存在最小值，则实数
的取值范围是 .
【答案】
或
【解析】由题意，令
，
，
，
，
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递减，则
在
上的值域为
，
因为
存在最小值，故需
，解得
，
结合
，此时
；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增，则
在
上的值域为
，
因为
存在最小值，故需
，即
，解得
，
这与
矛盾；
当
时，
在
上单调递减，且在
上的值域为
，
，此时存在最小值
2；
则实数
的取值范围为
或
．
故答案为：
或
．
题组五 指数型函数的单调性
1．（24-25 重庆）函数
的减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
，则
，
∵
在
上为增函数，
在
上为减函数，
∴
的减区间为
.
故选：B.
2．（24-25 浙江 ）已知函数
，则
（ ）
A．在
上单调递增且值域为
B．在
上单调递减且值域为
C．在
上单调递增且值域为
D．在
上单调递减且值域为
【答案】B
【解析】令
，
则
视为由
和
构成的复合函数，
由二次函数性质得
在
上单调递减，在
上单调递增，
由指数函数性质得
在
上单调递增，
由复合函数性质得
在
上单调递减，
而
，故
，故B 正确.
故选：B
3．（24-25 吉林 ）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
，在
上单调递增，在
上单调递减，
又
在
上单调递减，所以由复合函数的单调性可得：
函数
的单调递减区间是
.
故选：D.
4．（24-25 浙江 ）已知函数
在定义域
上为增函数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由函数
在定义域
上为增函数，
则满足
，解得
，即实数
的取值范围为
.
故选：C.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
任意
，
，则实数
的范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】方法一：根据任意
，
知函数
在定义域
上单调递增，
因为当
时，
递增，而当
时，
需递增，
考虑在
两侧变化情况，所以
解得
．
故选：A．
方法二：代入选项进行画图检验，如B 选项取
代入，画函数
的图象，如图，可直观判
断，所以B，C 不正确；取
时，易见
，
递减，所以D 不正确．
故选：A．
6（24-25 湖北 ）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设，函数
在
上单调递增，
易知
在
上单调递减，
当
时，
满足题设，
当
时，
或
，
综上，
.
故选：B.
7．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
由复合函数的单调性可知当
时，
在区间
上单调递增，
所以只需
，则
，与
矛盾；
当
时，
在区间
上单调递减，
所以
，即
．
故
的取值范围是
．
故选：B
8．（2024·河南·模拟预测）已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，令
，
则
函数
“
在
上单调
等价于
函数
”
“
在
上单调
，
”
的对称轴为
，若
在
上单调递增，
则
，解得
，若
在
上单调递减，
则
，解得
，综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：D.
9．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为
上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，
在
单调递减，
故
，解得
.故选：D.
10．（24-25 高三上·辽宁大连·期末）已知函数
，若对任意的
，都有
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
设
，则
，
因为
，所以
在R 上单调递增，
其中
，
需满足
在
上单调递增，
在
上单调递增，
且
，
由
得
，
根据
在
上单调递增，得到
，故
，
所以
，
当
，即
时，
在
上单调递增，
当
，即
时，
在
上单调递增，
当
，即
时，由对勾函数性质得，
在
上单调递增，故需满足
，解得
，
所以
，
综上，实数a 的取值范围是
.
故选：D
题组六 指数型函数的奇偶性
1．（24-25 广东东莞）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
单调递增且是偶函数
B．
单调递增且是奇函数
C．
单调递减且是偶函数
D．
单调递减且是奇函数
【答案】B
【解析】由
，其定义域为R，关于原点对称，
，所以
是奇函数.
又
，
因为指数函数
在R 上单调递增，且
，那么
在R 上单调递增，且
，
所以
在R 上单调递减，则
在R 上单调递增，
那么
在R 上单调递增.
故
单调递增且是奇函数.
故选：
2．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
是偶函数且是增函数
B．
是偶函数且是减函数
C．
是奇函数且是增函数
D．
是奇函数且是减函数
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，
，即函数
是奇函数，
AB 错误，
因为函数
在R 上递增，则函数
在R 上递减，所以函数
是增函数，D 错误，C 正确.
故选：C
3．（2025 广西）若
是定义在R 上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意，
是定义在R 上的奇函数，
，
A 选项，对于函数
，
，所以函数
不是奇函数.
B 选项，对于函数
，
，所以函数
不是奇函数.
C 选项，对于函数
，
，所以函数
是奇函数.
D 选项，对于函数
，
，所以函数
不是奇函数.
故选：C
4（2025 湖北）已知函数
为奇函数，则实数
______.
【答案】
【解析】因为函数
为奇函数，所以
，即
，
所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
，解得
.故答案为：
.
5．（2025 陕西）已知函数
是奇函数，则
__________.
【答案】
【解析】因为
，故
，
因为
为奇函数，
故
，
即
，故
.故答案为：
.
题组七 指数型函数性质的应用--比较大小
1．（24-25 高三上·河北邢台·期中）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，所以
．故选：A.
2．（24-25 广东韶关）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
是减函数，所以
．易得
，所以
．
故选：A.
3．（2025·天津·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，所以
.故选：A
4．（23-24 北京·期中）已知
，那么
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
在定义域
内单调递增，则
，即
；
又因为
在定义域
内单调递增，则
，即
；
综上所述：
.
故选：A.
5．（24-25 高三下·青海海东·阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】】因为
，
，
，所以
，故选：D．
6．（2025·湖南常德·一模）下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，因为函数
为减函数，
，
所以
，故A 错误；
对于B，因为函数
是减函数，
，
所以
，故B 错误；
对于C，因为
，而
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
，故C 错误；
对于D，因为
，
，
所以
，故D 正确.
故选：D.
7．（2025 高三下·河北承德·专题练习）已知
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】易知函数
和
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
又
，
故
，即
．
故选：D
题组八 指数型函数性质的应用---解不等式
1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为减函数，由
，可得
，
即
，即
，解得
.
因此，不等式
的解集为
.
故选：D.
2．（24-25 河南·期末）已知函数
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，
则
在
时无解；
当
时，
在R 上单调递增；
当
时，
，则
的解集为
；
当
时，
，
则
在
时恒成立，
综上，不等式
的解集为
．
故选：B
3．（2025·山东济南·一模）已知函数
则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
且当
时，
，
所以
为奇函数，
易知
为
上的递减函数，
则
，
所以原不等式的解集为
.
故选：A
4．（24-25 湖南·阶段练习）已知函数
，且
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得，函数
，
令
，则
，
由
得
，
∴
，即
.
∵
，
在
上为增函数，
在
上为减函数，
∴
在
上为增函数，
∵
定义域为
，且
，
∴
是
上的奇函数，故
.
由
∴
得，
，解得
或
，
实数
∴
的取值范围为
.
故选：A.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
都是
上的单调增函数，所以
是
上的单调增函数．
令
，则
，所以
为奇
函数．
又因为
是
上的单调增函数，所以
也是
上的单调增函数，则
，
即
，可得
，即
．故选：A．
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
可得
，
，所以
，
．
因为
，所以
为奇函数．
当
时，
为增函数，且
为连续函数，
则
在
上单调递增，所以原不等式等价于
，
即
，即
，解得
．
故选：D．
7．（2025·广西柳州·模拟预测）已知
是定义在
上的偶函数，且
也是偶函数，且
，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
是定义在
上的偶函数，则
，所以
，
即
，又
也是偶函数，所以
，
所以
，即
，
因为函数
是R 上的减函数，
也是减函数，
所以函数
是R 上的减函数；
令
，即
，解得
，
当
时，
，此时函数
在
上单调递增，
当
时，
，此时函数
在
上单调递减，
又函数
是
上的偶函数，
所以由
，可得
，解得
，
因此，实数
的范围是
，
故选：C.
8．（2024·广东深圳·一模）已知
，则
的解集为 ．
【答案】
【解析】函数
的定义域为R，
，则
是R 上的奇函数，
函数
在R 上都单调递减，则函数
在R 上单调递减，
不等式
，因此
，
即
，解得
或
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
题组九 指数函数的实际应用
1．（23-24 江苏）一个容器装有细沙
，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，
后剩余的
细沙量为
，经过
后发现容器内还有一半的沙子，若当容器中的沙子只有开始时的八分之一
时，则前后共需经过的时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知，当
时，
，即
，解得
，令
，解得
.故选：B
2．（24-25 高三上·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单
位：
）与时间（单位：
）间的关系为：
，其中
、
是正的常数．如果在前
消除了
的污染物，那么污染物减少
大约需要花费（ ）
（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
可知，当
时，
；
当
时，
，解得
，那么
.
因为污染物减少
，所以
，所以
，
所以
．
所以污染物减少
大约需要花费
．
故选：B．
3．（24-25 四川 ）为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了
种农药在
种
（类）农副产品中的
项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残
留限量为
.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了
，并以每天
的速度降解，直至
天后残留量为原来的
.若在该次喷洒农药的
天后，百菌清残留量为
，则在该
次喷洒农药的（ ）天后，百菌消残留量约为
.（参考数据：
，
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
天后，百菌清残留量为
，
，所以，
，
，
令
，即
，则
，
所以，
，所以，
，故
，
所以，在该次喷洒农药的
天后，百菌消残留量约为
.
故选：B.
4．（24-25 高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选）2008 年世界卫生组织的事故调查显示，大约
的交
通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中
以上
都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大
杀手
“
”.为了保障交通安全，根
据国家有关规定：100
血液中酒精含量达到20~79
的驾驶员即为酒后驾车，80
及以上认定为醉酒驾车.
假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了
.如果在停止喝酒以后，他血液中酒
精含量会以每小时
的速度减少，则（ ）
A．若血液中的酒精含量为
，则在停止喝酒后经过了2 个小时
B．4 小时后，血液中的酒精含量可以降低到
以下
C．5 小时后，血液中的酒精含量可以降低到
以下
D．设
小时后，血液中的酒精含量为
，则
【答案】ACD
【解析】设
小时后，血液中的酒精含量为
，则
，D 选项正确；
当
时，由
，解得
，A 选项正确；
当
时
，当
时
，
所以5 小时后，血液中的酒精含量可以降低到
以下，B 选项错误C 选项正确.
故选：ACD.
5．（2025 陕西 ）国家速滑馆又称
冰丝带
，是北京
“
”
2022 年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面
设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场
､
馆还配备了先进的污水雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量
､
与时间（小时）的关系为
（
为最初污染物数量），且前4 小时消除了
的污染物，则污染物消除至最初的
还需要过
滤 小时．
【答案】4
【解析】根据题意有，
，可得
，即
设污染物消除至最初的
还需要过滤x 小时，
则
，即
则
，即
，
则
，解之得
故答案为：4
6．（24-25 辽宁 ）
阿秒光脉冲
是
“
”
年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知
阿秒为时间单位，且阿秒等于
秒，光速约为
米/秒.将
米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，
要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：
，
）
【答案】
【解析】设至少需要经过
天，木棒第一天剩余的长度为
米，
木棒第二天剩余的长度为
米，木棒第三天剩余的长度为
米，
，
以此类推可知，木棒第
天剩余的长度为
米，
由题意可得
，可得
，
所以，
，
所以，
，则
，
故至少需要
天.
故答案为：
.
题组十 指数型函数的综合应用
1.（2024·上海）已知函数
是定义域为
的奇函数.
(1)求实数
的值，并证明
在
上单调递增；
(2)已知
且
，若对于任意的
、
，都有
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，证明见解析
(2)
【解析】（1）解：因为函数
是定义域为
的奇函数，
则
，解得
，此时
，
对任意的
，
，即函数
的定义域为
，
，即函数
为奇函数，合乎题意，
任取
、
且
，则
，
所以，
，则
，
所以，函数
在
上单调递增.
（2）解：由（1）可知，函数
在
上为增函数，
对于任意的
、
，都有
，则
，
，
因为
，则
.
当
时，则有
，解得
；
当
时，则有
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
2．（2025 广东）已知
（
且
）是
上的奇函数，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若关于
的方程
在区间
内只有一个解，求
的取值集合；
(3)设
，记
，是否存在正整数
，使不得
式
对一切
均成立？若存在，求出所有
的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，且正整数
的取值为或
或
【解析】（1）解：因为函数
（
且
）是
上的奇函数，则
，
即
，
，可得
，即
，
又因为
，整理得
，
因为
且
，解得
，因此，
.
（2）解：因为函数
、
均为
上的增函数，故函数
为
上的增函数，
由
可得
，
可得
，即
，则
，即
，
所以，关于
的方程
在
时只有一解.
因为
.
当
时，则有
，解得
，合乎题意；
当
时，由
，可得
，
.
由题意可得
或
或
，解得
或
或
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
（3）解：
，
所以，
，
则
，
所以，
，
由
，即
，
当
时，则不等式
对任意的
恒成立.
当
时，由
可得
，
由基本不等式可得
，当且仅当
时，等号成立，
因为
，故
，
，解得
.
综上所述，符合条件的正整数
的值为：或
或.
3．（2025·福建）已知函数
.
（1）求
的定义域；
（2）若函数
的最小值为
，且当
时，
有解，求
的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
.
【解析】（1）当
时，
恒成立，则
的定义域为
；
当
时，由
，得
，则
的定义域为
.
综上所述，当
时，
的定义域为
；当
时，
的定义域为
；
（2）因为
，所以
.
因为
在
上单调递增，所以
在
上的最小值为
.
由题意可知，对任意的
，
有意义，则
恒成立，所以，
，
当
时，
有解，则所以
，解得
，
.
因此，
的取值范围为
.
4（2024·上海奉贤·一模）已知函数
，其中
（常数
且
）．
(1)若函数
的图象过点
，求关于
的不等式
的解集；
(2)若存在
，使得数列
是等比数列，求实数的取值范围.
【答案】(1)
或
(2)
【解析】（1）若函数
的图象过点
，则
，
解得
，
舍去，所以
，
由
得
，
解得
或
，
所以不等式
的解集为
或
；
（2）
，
若存在
，使得数列
是等比数列，
则
，可得
，
由
可得
，
令
，
，
当
时，
，所以
，
可得
在
上单调递减，所以
，
则实数的取值范围
.
5.（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的值域；
(2)若不等式
在
上恒成立，求
的取值范围；
(3)当
时，函数
的值域为
，求正数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）依题意，
，
由
，得
，则
，
当
，即
时，
；当
，即
时，
，
所以函数
在
时的值域为
.
（2）不等式
，
当
时，
；
当
时，
，则
恒成立，
又
在
上递减，
在
上的值域为
，因此
；
当
时，
，则
恒成立，
又
在
上递减，
在
上的值域为
，因此
，
所以实数
的取值范围为
.
（3）当
时，
在
上单调递增，
又当
时，值域为
，
因此
，即
，
则
是关于
的方程
，即
的两个不相等的正根，
则
，解得
，
所以正数
的取值范围为
.
