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2.1 函数及其表示（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025 浙江丽水）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
【答案】D
【解析】由题可知
，解得
且
.故选：D
2.（2025 黑龙江）已知函数
的定义域是
，则
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的定义域是
，所以
，所以
所以函数
的定义域为
，要使
有意义，则需要
，解得
，
所以
的定义域是
.故选：D.
3．（2025 重庆）已知函数
的定义域
，值域
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，由题意可得
，解得
，
可得
，故
.故选：B.
4．（24-25 山东济宁·期中）“
”是“函数
的定义域为R”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意得
在R 上恒成立，
若
，则
，满足要求，
若
，则只需
，解得
，
综上，
，
由于
为
的真子集，
故“
”是“函数
的定义域为R”的充分不必要条件.
故选：A
5．（24-25 内蒙古呼和浩特·阶段练习）设
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
设
，所以
，化简得
，
所以
，
，
则
.
故选：A.
6．（24-25 天津滨海新·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他
给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，
下列选项中是同一个函数的是（）
A．
B．
C．
D．
和
【答案】B
【解析】对于A，
和
定义域均为R，
，
故
和
定义域相同，对应关系不同，
和
不是同一个函数，故A 错误；
对于B，
和
定义域均为R，
，
故
和
定义域相同，对应关系相同，
和
是同一个函数，故B 正确；
对于C，
定义域为
定义域为
，
故
和
定义域不相同，
和
不是同一个函数，故C 错误；
对于D，
定义域为
定义域为
,
故
和
定义域不相同，
和
不是同一个函数，故D 错误；
故选：B.
7．（2025·湖北·二模）已知
且
，若函数
的值域为
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
的取值范围为
，
要使
的值域为
，必有
在
上单调递增，且
，
所以
解得
.
故选:D.
8．（2024 重庆永川·期中）下列函数中，值域为[1， +∞)的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A 选项，令
，则
，
则函数
在
上单调递增，则
，故A 错误；
B 选项，
，则
，故B 错误；
C 选项，因
，则
，又注意到
，当且仅当
时取等号，
则
，故C 错误.D 选项，注意到函数
均在
上单调递增，则
，
故D 正确.故选：D
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025 江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若
的定义域为
，则
的定义域为
B．函数
的值域为
C．函数
的值域为
D．函数
在
上的值域为
【答案】AC
【解析】对于A，因为
的定义域为
，所以
，
解得
，即
的定义域为
，故A 正确；
对于B，
，
所以
，即函数
的值域为
，故B 不正确；
对于C，令
，则
，
，
所以
，
，
所以当
时，该函数取得最大值，最大值为
，
所以函数
的值域为
，故C 正确；
对于D，
，其图象的对称轴为直线
，且
，
，
所以函数
在
上的值域为
，故D 不正确．
故选：AC．
10．（24-25 重庆·阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
A．函数
与
是同一个函数
B．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
C．函数
的定义域为
D．若函数
的定义域为R，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，函数
的定义域为
的定义域为
，
故函数
与
不是同一个函数，A 不正确；
对于B：因为函数
的定义域为
，
所以
，
所以函数
的定义域为
，B 正确
对于C，不等式
，
则解集为
，C 不正确
对于D，当
时，不等式
恒成立.
当
时，
恒成立；
当
时，则需满足
，
综合可得
的取值范围是
，D 不正确，
故选：ACD
11．（24-25 广东河源·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若
的定义域为
，则
的定义域为
B．
和
表示同一个函数
C．函数
的值域为
D．函数
满足
，则
【答案】AD
【解析】对于A，因为
的定义域为
，
对于函数
，则
，解得
，即函数
的定义域为
，故A 正确；
对于B，
定义域为
，
定义域为R，
所以
和
不是同一个函数，故B 错误；
对于C，令
，则
，
，
所以
因为
，所以
在
上单调递减，所以
，
所以函数
的值域为
，故C 错误；
对于D，因为
①，
所以
②，
②
得
③，
①
③得，
，
解得
，故D 正确；
故选：AD.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·宁夏银川·二模）若定义在R 上的函数
满足
，且
，则
.
【答案】3
【解析】令
，可得
，又
，则
.故答案为：3.
13．（2024 青海西宁）若函数
的值域为
，则a 的取值范围是 .
【答案】
【解析】若
，则
，不满足题意；
若
，则
，
当
，即
时，
的值域为
，满足题意.
故答案为：
.
14．（24-25 高三下·北京·开学考试）已知函数
，若
存在最大值，则
的取值范围是
.
【答案】
【解析】当
时，
在
上值域为
，显然
不存在最大值；
当
时，在
上
，而
在
上最大值为
，满足题设；
当
时，
在
上值域为
，
若
时，
在
上最大值为
，
此时
，故
存在最大值，满足题设；
若
时，
在
上最大值为
，
此时只需
，则
，即
，
故
，
存在最大值，满足题设；
综上，
.
故答案为：
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（24-25 云南昭通·期末）已知函数
．
(1)若
的定义域为
，求
的取值范围；
(2)若
的值域为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因
的定义域为
，则
，
则
或
；
（2）因
的值域为
，则
的值域包含所有正数.
则
.
16．（24-25 四川成都·阶段练习）已知函数
.
(1)若函数
的图象经过点
，求实数
的值；
(2)在（1）的条件下，求不等式
的解集；
(3)解关于
的不等式
.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）因为
的图象经过点
，
所以
，则
；
（2）由（1）得
，解得
，
所以不等式
的解集为
；
（3）
，
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
17．（2025 高三·全国·专题练习）已知
满足下列条件，分别求
的解析式．
(1)
；
(2)
是二次函数，方程
有两个相等实根，且
；
(3)
满足
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）方法一（配凑法）：
，
．
．
方法二（换元法）：设
，则
，
，
即
．
（2）设
，
则
，
．
又
方程
有两个相等实根，
，故
．
（3）已知
，①以
代替①中的
，
得
，②
，得
．
故
．
18．（24-25 重庆·阶段练习）已知二次函数
的图象过原点
，且对任意
，恒有
.
(1)求
的值；
(2)求函数
的解析式；
(3)记函数
，若对任意
，均存在
，使得
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）在不等式
，令
.
（2）因为
为二次函数且图象过原点
，所以可设
，
由
，于是
，
由题：
恒成立
，
检验知此时满足
，故
.
（3）函数
，开口向上，对称轴
，所以
在区间
上单调递增，因此，
时，
，即
，
而
在
上单调递减，所以
时，
因为对任意
，均存在
，使得
，
等价于
19．（24-25 河北邯郸·期末）若函数
在定义域内存在区间
满足以下条件：①函数在区间
上是单
调函数；②函数
在区间
上的值域为
（为常数且
），则称函数
在定义域内为“闭函
数”．
(1)当
时，证明：
为“闭函数”，并求出区间
；
(2)当
时，若函数
是“闭函数”，求
的取值范围；
(3)若定义在
上的函数
是“闭函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【解析】（1）函数
在区间
上单调递增，
若函数
是闭函数且
，则当
时，函数
在
上的值域应为
，且
，因为
，所以解方程得
，
所以
在区间
上单调递增，且值域为
，所以
为“闭函数”，故
所求区间为
．
（2）因为
在
上单调递减，
当
时，若函数
是“闭函数”，则
，且
，
两式作差
，所以
，
所以
，即
，同理
，所以
，
为方程
在区间
上的两个不相等的非负实根，
故
，解得
．
（3）
当
，
在区间
上单调递减，所以
，即
，消去得
，与
矛盾．
当
，
，在区间
上单调递增，所以
，即
，所以方程
在
上有两个不相等的实数根
即
在
上有两个不相等的实数根，令
，
在
单调递增，在
单调递减，
，
，所以的范围为
．
