3.3指数运算及指数函数（精讲）（提升版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（提升版）（新高考地区专用）

3.3 指数运算及指数函数（精讲）（提升版） 思维导图考点呈现 例题剖析 考点一 指数运算 【例1-1】（2022·江西）化简 ___. 【答案】214 【解析】原式＝ ＋2－3－2＋1＝214. 故答案为：214. 【例1-2】（2022·江苏）化简： ________． 【答案】 【解析】原式故答案为： ﹒ 【一隅三反】 1．（2022·河南） _____． 【答案】 【解析】原式= . 故答案为： . 2．（2022·全国·高三专题练习） × 0＋80.25× ＋( × )6－ =____________ 【答案】110 【解析】原式＝ .故答案为：110 3．（2021·江苏省）已知 ，则 的值为___________． 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，所以 . 故答案为： 考点二 单调性 【例2-1】（2021·安徽）函数 的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ，则原函数可化为 ，该函数在 上单调递增， 又 在R上单调递增，当 时， ， 故 在 上单调递增，故选：A. 【例2-2】（2021·北京市）已知函数 |在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是 _____. 【答案】 【解析】由 的图象向右平移1个单位，可得 的图象， 因为 是偶函数，且在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增， 因为函数 |在区间 上是增函数，所以 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 .故答案为： . 【例2-3】（2022·河南省）已知函数 满足对任意的实数 ，且 ，都有 成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意的实数 ，且 ，都有 成立， 所以，对任意的实数 ，且 ， ，即函数 是 上的减函数． 因为 ， 令 ， ，要使 在 上单调递减， 所以， 在 上单调递增． 另一方面，函数 为减函数， 所以， ，解得 ，所以实数a的取值范围是 ．故选：D． 【一隅三反】 1．（2022·辽宁沈阳）已知函数 ，则函数 （ ） A．是偶函数，且在 上单调递增 B．是奇函数，且在 上单调递减 C．是奇函数，且在 上单调递增D．是偶函数，且在 上单调递减 【答案】A 【解析】∵ ∴ ，∴ 函数 为偶函数， 当 时， ， ∵ 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减， ∴ 在 上单调递增，即函数 在 上单调递增.故选：A. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足对任意x≠x，都有(x-x) 1 2 1 2 [f(x)-f(x)]<0成立，则a的取值范围为（ ） 1 2 A． B．(0，1) C． D．(0，3) 【答案】A 【解析】因对任意x≠x，都有(x-x)[f(x)-f(x)]<0成立，不妨令xf(x)，于是可得 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 f(x)为R上的减函数，则函数 在 上是减函数，有 ， 函数 在 上是减函数，有 ，即 ， 并且满足： ，即 ，解和 ，综上得 ， 所以a的取值范围为 .故选：A 3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）函数 在 内单调递增，则实数 的取值范围是__________. 【答案】 【解析】当 时，在 上， 单调递增， 单调递增，即 单调递增， 符合题意； 当 时， 在 内单调递增，符合题意；当 时， ， ∴若 ， 时，等号不成立，此时 在 内单调递增，符合题意； 若 ， 时，若当且仅当 时等号成立，此时 在 内单调递增， 不符合题意.综上，有 时，函数 在 内单调递增.故答案为： . 考点三 最值（值域） 【例3-1】（2022·北京·高三专题练习）已知函数 ， ，则函数 的值域 为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，函数 ， ，令 ，则 在 上单调递增，即 ， 于是有 ，当 时， ，此时 ， ， 当 时， ，此时 ， ，所以函数 的值域为 .故选：B 【例3-2】（2022·北京）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数 ，当 时，由反比例函数的性质得： ； 当 时，由指数函数的性质得： 因为函数 的值域为R，所以 ，解得 ，故选；D 【一隅三反】 1．（2022·宁夏）已知 的最小值为2，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当 时， ， 又因为 的最小值为2，所以需要当 时， 恒成立， 所以 在 恒成立，所以 在 恒成立， 即 在 恒成立， 令 ，则 ，原式转化为 在 恒成立， 是二次函数，开口向下，对称轴为直线 ， 所以在 上 最大值为 ，所以 ，故选：D. 2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ，则函数 在区间 上的最小值的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出 的图象，如图， 结合函数图象可知： 当 时， ， 当 时， . 所以函数 ，而 时， ， 所以 ， 综上， ， 故选：D 3．（2021·河南）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，且 的值域为 ，所以 ，解得.故选：C. 4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 是R上偶函数，因 ，即函数 在R上单调递增， 而 ， ，令 ，则 ，因此，原函数化为： ， 显然 在 上单调递增，则当 时， ， 所以函数 的值域为 .故选：A 5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数 为奇函数，且 的图象和函数 的图象交于不同的两点A，B，若线段 的中点 在直线 上，则 的值域为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 为奇函数，所以 ，即 ，解得 ， 经检验 为奇函数，定义域为 ，符合题意. 联立 ，消去 得到关于y的二次方程 ， ，设 ， ，则 ， 因为 的中点 的纵坐标为 ，所以 ，解得 . 所以 ，所以 的值域为 .故选：B 考点四 指数式比较大小 【例4-1】（2022·河南焦作）若 ， ， ，a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，同时 ，所以 .故选：A． 【例4-2】（2022·江西·二模（理））设 ，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ ， ， ， ； ， 令 ，∴ ， ∴当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； ∴ ，∴ ，即 ， ， 又 ，∴ ．故选：B．【一隅三反】 1．（2022·河南洛阳）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】构造 ， ， ， 在 时为减函数，且 ， 所以 在 恒成立，故 在 上单调递减， 所以 ，即 ，所以 ，即 .故选：D 2．（2022·河南）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ，即 ， 所以， ， ，则 ，即A错误； ， ，所以， ， ， ，即BC都错误，D正确.故选：D. 3．（2022·江苏苏州）已知 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得 ， 令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上递增，在 上递减， 又因 ， 且 ，所以 ，即 ， 所以 .故选：D. 考点五 解不等式 【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式 的解集 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数 定义域为R， ，则函数 是奇函数，是R上增函数， ，于是得 ，解得 或 ， 所以所求不等式的解集是 .故选：C 【例5-2】（2022·浙江·舟山中学）已知函数 ，若 都有 成立，则实数 的取值范围是（ ） A． 或 B． C． 或 D． 【答案】D 【解析】当 时，则 ， ， 当 时，则 ， ， ，所以 为奇函数，因为 时 为增函数，又 为奇函数， 为 上单调递增函数， 的图象如下， 由 得 ， 所以 ，即 在 都成立， 即 ，解得 .故选：D. 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）已知 （ 为常数）为奇函数，则满足 的实 数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数 为奇函数，所以 ， ，得 所以 ， 任取 ，则 ，则 ，所以， ，则函数 为 上的增函数，由 ，解得 .故选：A. 2．（2021·山东）已知函数 ，若对任意的 ，都有 恒 成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意的 ， ，所以，函数 的定义域为 ， 由 ， 可得 ， 可知函数 为奇函数，又由 ， 当 时，函数 和 单调递增， 任取 ，则 ， ，可得 ，即 ， 所以，函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递增， 由于函数 在 上连续，则函数 在 上的增函数， 由 ，有 ， 有 ，可得 ，由题意可知，不等式 对任意的 恒成立， 有 ，解得 ．故选：C. 3．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则 的解集为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 的定义域为R. 因为 ， 所以 可化为： 令 ，即 . 下面判断 的单调性和奇偶性. 因为 ，所以 为奇函数； 而 ， 因为 在R上为增函数， 所以 在R上单调递增.所以 可化为： ， 即 或 ， 解得： 或 . 所以原不等式的解集为 . 故选：B 考点六 定点 【例6】（2022·新疆阿勒泰）函数 图象过定点 ，点 在直线 上，则 最小值为___________. 【答案】 【解析】当 时， ， 过定点 ， 又点 在直线 上， ，即 ， ， ， ， （当且仅当 ，即 ， 时取等号）， 的最小值为 .故答案为： . 【一隅三反】 1．（2022·内蒙古）函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ，则 的最小值为___________. 【答案】9【解析】∵ 恒过定点 ， ∴ 过定点 ∴ ，即 ， ∴ ≥ ， 当且仅当 即 时等号成立， ∴所以 的最小值为9， 故答案为：9. 2．（2022·云南）函数 恒过定点 ，则 在 点处的切线方程为 _____. 【答案】 【解析】∵函数 ， 令 ，得 ，即定点 ， 又 ，∴ ， ， ∴ ， ， ∴ 在 点处的切线方程为 ，即 . 故答案为： . 3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线方程 经过指数函数 的定点，则 的最小值______________. 【答案】16 【解析】指数函数 的定点为 ，因为直线方程 定点 ， 所以 ，即 则 当且仅当 即 时取得最小值. 故答案为：16