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3.3 指数运算及指数函数（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 指数运算
【例1-1】（2022·江西）化简 ___.
【答案】214
【解析】原式＝ ＋2－3－2＋1＝214.
故答案为：214.
【例1-2】（2022·江苏）化简： ________．
【答案】
【解析】原式故答案为： ﹒
【一隅三反】
1．（2022·河南） _____．
【答案】
【解析】原式=
.
故答案为： .
2．（2022·全国·高三专题练习） × 0＋80.25× ＋( × )6－ =____________
【答案】110
【解析】原式＝ .故答案为：110
3．（2021·江苏省）已知 ，则 的值为___________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
考点二 单调性
【例2-1】（2021·安徽）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则原函数可化为 ，该函数在 上单调递增，
又 在R上单调递增，当 时， ，
故 在 上单调递增，故选：A.
【例2-2】（2021·北京市）已知函数 |在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是
_____.
【答案】
【解析】由 的图象向右平移1个单位，可得 的图象，
因为 是偶函数，且在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
因为函数 |在区间 上是增函数，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .故答案为： .
【例2-3】（2022·河南省）已知函数 满足对任意的实数 ，且 ，都有 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意的实数 ，且 ，都有 成立，
所以，对任意的实数 ，且 ， ，即函数 是 上的减函数．
因为 ，
令 ， ，要使 在 上单调递减，
所以， 在 上单调递增．
另一方面，函数 为减函数，
所以， ，解得 ，所以实数a的取值范围是 ．故选：D．
【一隅三反】
1．（2022·辽宁沈阳）已知函数 ，则函数 （ ）
A．是偶函数，且在 上单调递增
B．是奇函数，且在 上单调递减
C．是奇函数，且在 上单调递增D．是偶函数，且在 上单调递减
【答案】A
【解析】∵ ∴ ，∴ 函数 为偶函数，
当 时， ，
∵ 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递减，
∴ 在 上单调递增，即函数 在 上单调递增.故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足对任意x≠x，都有(x-x)
1 2 1 2
[f(x)-f(x)]<0成立，则a的取值范围为（ ）
1 2
A． B．(0，1) C． D．(0，3)
【答案】A
【解析】因对任意x≠x，都有(x-x)[f(x)-f(x)]<0成立，不妨令xf(x)，于是可得
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
f(x)为R上的减函数，则函数 在 上是减函数，有 ，
函数 在 上是减函数，有 ，即 ，
并且满足： ，即 ，解和 ，综上得 ，
所以a的取值范围为 .故选：A
3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）函数 在 内单调递增，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当 时，在 上， 单调递增， 单调递增，即 单调递增，
符合题意；
当 时， 在 内单调递增，符合题意；当 时， ，
∴若 ， 时，等号不成立，此时 在 内单调递增，符合题意；
若 ， 时，若当且仅当 时等号成立，此时 在 内单调递增，
不符合题意.综上，有 时，函数 在 内单调递增.故答案为： .
考点三 最值（值域）
【例3-1】（2022·北京·高三专题练习）已知函数 ， ，则函数 的值域
为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数 ， ，令 ，则 在 上单调递增，即
，
于是有 ，当 时， ，此时 ， ，
当 时， ，此时 ， ，所以函数 的值域为 .故选：B
【例3-2】（2022·北京）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 ，当 时，由反比例函数的性质得： ；
当 时，由指数函数的性质得：
因为函数 的值域为R，所以 ，解得 ，故选；D
【一隅三反】
1．（2022·宁夏）已知 的最小值为2，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
又因为 的最小值为2，所以需要当 时， 恒成立，
所以 在 恒成立，所以 在 恒成立，
即 在 恒成立，
令 ，则 ，原式转化为 在 恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线 ，
所以在 上 最大值为 ，所以 ，故选：D.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ，则函数 在区间
上的最小值的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出 的图象，如图，
结合函数图象可知：
当 时， ，
当 时， .
所以函数 ，而 时， ，
所以 ，
综上， ，
故选：D
3．（2021·河南）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，且 的值域为 ，所以 ，解得.故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 是R上偶函数，因 ，即函数 在R上单调递增，
而 ， ，令 ，则 ，因此，原函数化为： ，
显然 在 上单调递增，则当 时， ，
所以函数 的值域为 .故选：A
5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数 为奇函数，且 的图象和函数
的图象交于不同的两点A，B，若线段 的中点 在直线 上，则 的值域为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 为奇函数，所以 ，即 ，解得 ，
经检验 为奇函数，定义域为 ，符合题意.
联立 ，消去 得到关于y的二次方程 ，
，设 ， ，则 ，
因为 的中点 的纵坐标为 ，所以 ，解得 .
所以 ，所以 的值域为 .故选：B
考点四 指数式比较大小
【例4-1】（2022·河南焦作）若 ， ， ，a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，同时 ，所以 .故选：A．
【例4-2】（2022·江西·二模（理））设 ，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ ， ， ， ；
，
令 ，∴ ，
∴当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
∴ ，∴ ，即 ， ，
又 ，∴ ．故选：B．【一隅三反】
1．（2022·河南洛阳）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造 ， ， ，
在 时为减函数，且 ，
所以 在 恒成立，故 在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，即 .故选：D
2．（2022·河南）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
，即 ，
所以， ， ，则 ，即A错误；
， ，所以， ， ， ，即BC都错误，D正确.故选：D.
3．（2022·江苏苏州）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上递增，在 上递减，
又因 ， 且 ，所以 ，即 ，
所以 .故选：D.
考点五 解不等式
【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数 定义域为R， ，则函数 是奇函数，是R上增函数，
，于是得 ，解得 或 ，
所以所求不等式的解集是 .故选：C
【例5-2】（2022·浙江·舟山中学）已知函数 ，若 都有
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】D
【解析】当 时，则 ， ，
当 时，则 ， ，
，所以 为奇函数，因为 时 为增函数，又 为奇函数，
为 上单调递增函数，
的图象如下，
由 得 ，
所以 ，即 在 都成立，
即 ，解得 .故选：D.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 （ 为常数）为奇函数，则满足 的实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 为奇函数，所以 ，
，得 所以 ，
任取 ，则 ，则 ，所以， ，则函数 为 上的增函数，由 ，解得 .故选：A.
2．（2021·山东）已知函数 ，若对任意的 ，都有 恒
成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对任意的 ， ，所以，函数 的定义域为 ，
由 ，
可得 ，
可知函数 为奇函数，又由 ，
当 时，函数 和 单调递增，
任取 ，则 ， ，可得 ，即
，
所以，函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递增，
由于函数 在 上连续，则函数 在 上的增函数，
由 ，有 ，
有 ，可得 ，由题意可知，不等式 对任意的 恒成立，
有 ，解得 ．故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）设 ，则 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 的定义域为R.
因为 ，
所以 可化为：
令 ，即 .
下面判断 的单调性和奇偶性.
因为 ，所以 为奇函数；
而 ，
因为 在R上为增函数，
所以 在R上单调递增.所以 可化为： ，
即 或 ，
解得： 或 .
所以原不等式的解集为 .
故选：B
考点六 定点
【例6】（2022·新疆阿勒泰）函数 图象过定点 ，点 在直线 上，则
最小值为___________.
【答案】
【解析】当 时， ， 过定点 ，
又点 在直线 上， ，即 ，
， ， ，
（当且仅当
，即 ， 时取等号），
的最小值为 .故答案为： .
【一隅三反】
1．（2022·内蒙古）函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线
上，其中 ，则 的最小值为___________.
【答案】9【解析】∵ 恒过定点 ，
∴ 过定点
∴ ，即 ，
∴ ≥ ，
当且仅当 即 时等号成立，
∴所以 的最小值为9，
故答案为：9.
2．（2022·云南）函数 恒过定点 ，则 在 点处的切线方程为
_____.
【答案】
【解析】∵函数 ，
令 ，得 ，即定点 ，
又 ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 在 点处的切线方程为 ，即 .
故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线方程 经过指数函数 的定点，则
的最小值______________.
【答案】16
【解析】指数函数 的定点为 ，因为直线方程 定点 ，
所以 ，即
则
当且仅当 即 时取得最小值.
故答案为：16
