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2.2 函数的单调性及其应用（精练题组版）
题组一 具体函数的单调性
1.（2025 高三·全国·专题练习）下列函数中是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据一次函数的单调性，可得
是减函数，故A 错误；
根据指数函数的单调性，可得
都是减函数，故B，C 均错误；
根据幂函数的单调性，可得
是增函数，故D 正确.
故选：D.
2．（2025 广西）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
是实数集上的减函数，
因为二次函数
的开口向下，对称轴为
，
所以二次函数
在
时单调递增，在
时单调递减，
由复合函数的单调性，可得函数
的单调递增区间是
，
故选：C
3.（2025 陕西宝鸡·期末）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
的定义域需要满足
，解得
定义域为
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
故选：D.
4．（2025 甘肃）函数f(x)=|x|与g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别为（ ）
A．(-∞，0]，[1，+∞)
B．(-∞，0]，(-∞，1]
C．[0，+∞)，[1，+∞)
D．[0，+∞)，(-∞，1]
【答案】D
【解析】
，增区间是
，
，增区间是
．
故选：D．
5（2025 陕西）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.
画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为
.
故选：B.
6．（2025·江西·一模）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
且
，得
，即
或
，
所以函数
的定义域为
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
为增函数，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
为增函数，所以函数
的单调递增区间为
.
故选：B.
7（23-24 高三上·广东湛江·开学考试）已知函数
，则
的增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
定义域为
，
令
，又
在
上单调递增，
的增区间为
，
所以
的增区间为
.
故选：A.
8.（24-25 山东·阶段练习）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
有最小值
B．
的单调递增区间为
C．
有最大值
D．
的单调递增区间为
【答案】AD
【解析】设
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减．
因为
为减函数，所以根据复合函数的单调性可知
在
上单调递减，在
上单
调递增，
有最小值，无最大值．
故选：AD.
9．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）设函数
在
上为增函数，则下列结论错误的是（ ）
A．
在
上为减函数
B．
在
上为增函数
C．
在
上为增函数
D．
在
上为减函数
【答案】ABC
【解析】对于A，若
，则
，在
上不是减函数，故A 错误；
对于B，若
，则
，在
上不是增函数，故B 错误；
对于C，若
，则
，在
上不是增函数，故C 错误；
对于D，函数
在
上为增函数，则对于任意的
，
设
，必有
，
对于
，则有
，即
，
则
在
上为减函数，故D 正确．
故选：ABC.
10．（2025 天津和平·期中）函数
的单调递增区间是 .
【答案】
【解析】由
得
或
，
函数
∴
的定义域为
．
函数
∵
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
∵
在其定义域
上单调递减，
函数
∴
在
上单调递增，在
上单调递减．
故答案为：
．
11．（24-25 广东韶关·期中）已知函数
，则下列说法正确的是 .
（1） 函数
在
上是单调递增
（2） 函数
在
上是单调递增
（3） 当
时，函数
有最大值
（4） 当
或
时，函数
有最小值
【答案】（2）（4）
【解析】
，作出函数
的图象如下：
由图象可知函数
在
上是单调递减，在
上是单调递增，
故（1）错误，（2）正确；
由图象可知
在
或
时，函数
有最小值，没有最大值，
故（3）错误，（4）正确；
故答案为：（2）（4）.
12（24-25 湖南邵阳·阶段练习）函数
的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】
画出函数图象，如图可知，
当
时，函数在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，函数在
上单调递增，
综上所述函数的单调递减区间为
.
故答案为：
13．（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）函数
的单调递增区间是
【答案】
【解析】函数
的定义域为R，令
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
而函数
在定义域上单调递减，
因此函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
的单调递增区间是
.
故答案为：
14．（2024 山东）函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
【解析】函数
，
由
，解得
或
，
函数
的图象如图所示，
由图可知，函数
的单调递增区间为
.
故答案为：
.
15（2024 高三下·全国·专题练习）若函数
，则函数
的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】
的定义域为
,
令
在
上单调递减,且
当
时,
,当
时,
,
在
上单调递增,
在
上单调递减.
函数
的单调递增区间为
.
故答案为：
题组二 已知单调性求参数
1．（24-25 河南周口·期末）若函数
有意义，且在区间
上单调递减，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
且
，解得
且
，
由于
在
上单调递减，
而
在
上单调递减，
由复合函数单调性可知，
需在
上单调递增，
故
，故
，
又真数大于0，故
在
上恒成立，
由于
在
上单调递减，故只需
，解得
，
故
.
故选：D
2．（24-25 湖北·阶段练习）已知
且
，函数
在
上单调递增，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，由
，函数
在
上单调递减，
，
又函数
在
上单调递增，则
，即
，因此
；
当
时，函数
在
上单调递增，
，
又函数
在
上单调递增，则
，即
，因此
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：C
3（2024·湖北·二模）已知函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若
在
上单调递增，
则必然在
处有定义，所以
，即
；
若
，则当
时
，所以
在
上有定义，
再由
知
在
上单调递增，所以
在
上单调递增.
故选：C.
4（24-25 云南大理·期末）已知函数
，
，则“
是
函数
”
“
在
上单调
递增
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若函数
在
上单调递增，则
，解得
，
所以“
是
函数
”
“
在
上单调递增
的必要不充分条件
”
.
故选：B.
5.（24-25 陕西西安·期末）二次函数
在区间
上单调递增的一个充分不必要条件为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】二次函数
在区间
上单调递增，则
，解得
，
显然选项ABD 中条件都不能推出
，而
真包含于
，
所以所求的一个充分不必要条件为
.
故选：C
6.（24-25 北京·期中）已知函数
，满足对任意
，都有
成立，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为对任意
，都有
成立，
所以函数
在
上单调递增，
所以
，解得
，
故选：C.
7．（24-25 辽宁丹东·期中）设函数
若
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可知
在
上是增函数，
所以
，解得
．
故选：D.
8（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
9.（2025 高三·全国·专题练习）若函数
在
上不单调，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】函数
图象的对称轴为直线
，由
在
上不单调，得
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
10（2025 高三·全国·专题练习）若
是函数
的单调递增区间，则实数a 的值为 .
【答案】0
【解析】函数
的单调递增区间是
，
依题意，
，所以
.
故答案为：0
11．（2024·江苏无锡·二模）已知函数
满足对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意，
为定义在
上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，
所以
，解得
，则
.
故答案为：
.
13．（24-25 上海浦东新·阶段练习）若函数
在
上是严格增函数，则实数的取值范
围是 .
【答案】
【解析】由题意知函数定义域为
或
，
令
是二次函数，对称轴为
，在
上单调递增，
由复合函数单调性可知，
在
上严格增，则
.
故答案为：
14（23-24 高三上·上海静安·开学考试）若函数
在区间
上严格增，则实数
的取值
范围为 .
【答案】
【解析】因为
在定义域内单调递增，且
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
若函数
在区间
上严格增，则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
题组三 函数奇偶性的判断
1．（24-25 湖南娄底·阶段练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】函数
为偶函数，
为偶函数，
为奇函数，
为非奇非偶函数.
故选：AB.
2.（23-24 湖南 ）（多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】对于A，
的定义域为
，不关于原点对称，
所以
不是奇函数，故A 错误；
对于B，对于
，
，
即
，所以
不是奇函数，故B 错误；
对于C，因为
的定义域为
，关于原点对称，
又
，故
是奇函数，故C 正确；
对于D，因为
的定义域为
，关于原点对称，
又
，故
是奇函数，故D 正确；
故选：CD.
3．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）（）多选下列函数中是偶函数且在
上单调递减的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，当
时，函数
可化为
，
函数
在
上单调递增，不满足条件，排除A，
对于B，设
，
函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，所以函数
为奇函数，
即函数
为奇函数，不满足条件，排除B；
对于D，设
，
则当
时，
，当
时，
，
因为
，
，
所以函数
在
上不单调递减，不满足条件，排除D，
对于C，设
，
函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，
所以函数
为偶函数，
因为
，由幂函数性质可得函数
在
上单调递减，
故函数
为偶函数，且在
上单调递减，C 正确；
故选：C.
4．（24-25 贵州 ）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A 选项，函数
的定义域为
，
，
即函数
为偶函数，
且
，即函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
所以，函数
在
上不单调，A 不满足要求；
对于B 选项，函数
为奇函数，该函数的定义域为
，
函数
在定义域上不单调，B 不满足要求；
对于C 选项，函数
的定义域为
，
，
所以，函数
为奇函数，
因为函数
在
上为增函数，则该函数在
上为增函数，
故函数
在
上为增函数，C 满足要求；
对于D 选项，函数
为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D 不满足要求.
故选：C.
5（24-25 高三下·河南信阳·开学考试）已知函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，
，定义域为R，
则
，即
不是奇函数；
对于B，
，定义域为R，
则
，即
不是奇函数；
对于C，
，定义域为R，
，即
为奇函数，C 正确；
对于D，
，定义域为R，
，即
不是奇函数，
故选：C
6．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A：
，定义域为R，
是偶函数，不符；
B：
，定义域为
，
是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知
在
上单调递减，不符；
C：
，定义域为R，
是偶函数，不符；
D：
，定义域为R，
是奇函数，
根据复合函数的单调性，易知
在R 上单调递增，符合.
故选：D
7．（24-25 高三下·安徽·阶段练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A 选项，函数定义域为
，
，函数
不是奇函数，A 选项错误；
B 选项，函数定义域为
，
，函数
不是奇函数，B 选项错误；
A 选项，函数定义域为
，
，函数
是奇函数，C 选项正确；
D 选项，函数定义域为
，不关于原点对称，函数
不是奇函数，D 选项错误.
故选：C.
8．（24-25 高三下·天津宁河·开学考试）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】A 选项，定义域为
，不关于原点对称，所以
既不是奇函数，也不是偶函数，故A
正确；
B 选项，定义域为
，
，所以
为偶函数，故B 错；
C 选项，定义域为R，
，所以
为偶函数，故C 错；
D 选项，定义域为R，
，所以
为奇函数，
故D 错.
故选：A.
9．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，是偶函数且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
在
上单调递减，不符合题意，故A 错误；
对于B，由对勾函数性质可知
在
上不单调，不符合题意，故B 错误；
对于C，
，不为偶函数，故C 错误；
对于D，
，且
的定义域为
，
即
为偶函数，由
在
上单调递增，
在定义域内单调递增，故
在
上单调递增，符合题意，故D 正确.
故选：D.
10．（24-25 高三下·湖北·开学考试）函数
，则对任意实数
，下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数，且在
上单调递增
B．
是奇函数，且在
上单调递增
C．
是奇函数，且在
上单调递减
D．
是偶函数，且在
上单调递减
【答案】B
【解析】
的定义域为
，而
，则
，
故
是奇函数，
由于
，函数
单调递增，故
在
上单调递增，
故选：B
11．（24-25 高三上·广东湛江·期末）下列函数中，既是偶函数，又在
上单调递增的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A 选项，函数
为奇函数，且该函数在
上单调递增，A 不满足要求；
对于B 选项，函数
的定义域为
，
设
，则
，即函数
为偶函数 ，
当
时，
，则函数
在
上单调递增，B 满足要求；
对于C 选项，函数
为奇函数，且该函数在
上单调递减，C 不满足要求；
对于D 选项，函数
为偶函数，且该函数在
上单调递减，D 不满足要求.
故选：B.
12．（24-25 高三上·安徽亳州·期末）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，由
且
可得
的定义域为
，所以函数
为非奇非偶函数，A 错误；
对于B，函数
的定义域为R，令
，
，函数
∴
不是偶函数，B 错误；
对于C，函数
的定义域为
，令
，则
，所以函数
为奇函数，C 错误；
对于D，函数
的定义域为R，令
，
，
函数
∴
为偶函数，D 正确.
故选：D.
题组四 已知奇偶性求参数
1.（24-25 高三上·甘肃武威·期末）若函数
.为奇函数，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．无解
【答案】D
【解析】根据题意，函数
，则
，
若
为奇函数，则
，
即
，a 的值不是常数，即无解．
故选：D.
2（24-25 高三下·广东·开学考试）已知函数
为偶函数，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．1
【答案】C
【解析】由题意可知函数
的定义域为
，因为
是偶函数，
所以
，
整理得
，故
，得
.
故选：C.
3（24-25 高三下·浙江·开学考试）若函数
为奇函数，则实数
（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】法一：令
，
此时
，满足题意．
法二：由函数是奇函数则
，即得
，
所以
，即得
，计算得
．
故选：D.
4．（24-25 高三下·上海·阶段练习）设
且
是奇函数，则实数
的值为 .
【答案】
【解析】函数
为奇函数，
则
，即
，
所以
，解得
，经检验符合题意.
故答案为：
5（24-25 高三下·上海·阶段练习）已知函数
为奇函数，则
.
【答案】
【解析】
，
则
，
，
若
，则
，定义域是
，
定义域不关于原点对称，不符合题意，所以
，
所以
，要使
的定义域关于原点对称，
则需
，则
，
此时
的定义域是
.
则由
解得
，
此时
，
，符合题意.
所以
故答案为：
6（24-25 高三下·上海·阶段练习）已知
，且
是偶函数，则实数
．
【答案】
【解析】
，且
是偶函数，
则
，所以
，
所以
，又因为
，所以
，
则实数
．
当
时，
为偶函数，符合题意.
故答案为：0.
题组五 奇偶性的应用---求解析式
1（2024·江西景德镇·三模）已知函数
是奇函数，则
时，
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，所以
，
又函数
是奇函数，所以
，即
，
.即
.故选：C
2（24-25 上海）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则当
时，
【答案】
【解析】当
时，
，故
，
又
是定义在
上的奇函数，故
，
所以
，故
.
故答案为：
3.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
是奇函数，当
时，
，则
．
【答案】
【解析】由函数
是
上的奇函数，得
，
而当
时，
，所以有
．
综上所述，
故答案为：
4（2025 新疆）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则函数
的解析
式为_________．
【答案】
【解析】由于函数
是
上的奇函数，则
.当
时，
，
设
，则
，则
，所以
.
综上所述，
.故答案为：
5．（2024 山东潍坊·期中）已知
，
是分别定义在
上的奇函数和偶函数，且
，
则
.
【答案】
【解析】
和已知条件相加得
故
故
答案为：
6．（2025 北京）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则当
时，
．
【答案】
【解析】当
，又因为
为
上的奇函数，
所以
，解得
，
又
，所以当
．故答案为：
.
题组六 奇偶性的应用---求函数值
1.（2025·广东·一模）若函数
是奇函数，则
．
【答案】3
【解析】因为函数
为奇函数，所以
，
设
，则
，所以
，
所以
，则
，
所以
.
故答案为：3
2. （24-25 高一上·海南·期中）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
【答案】4
【解析】
，设
，
,则
为奇函数，
设
的最大值为
，则最小值为
，
则
,
,
所以
.
故选：B.
3.（2024·全国·模拟预测）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
【答案】0
【解析】由
恒成立可知函数
的定义域为
，
由
可知
为奇函数，
则
.
故选：B
4.（23-24 高三上·安徽·开学考试）已知函数
的最大值为
，最小值为
，
则
【答案】6
【解析】令
，则
所以
是定义域
上的奇函数，因此
.
又
的最大值为
，最小值为
，
的最大值是
，最小值是
；
，
则
．
故选：A.
5.（2025 南昌）设函数
的最大值为
,最小值为
,则
【答案】2
【解析】函数
,
记
，则
，
故
为R 上的奇函数，
由奇函数图像关于原点对称可知，
，
而
，
，所以
1
，
6.（2025 广东）已知函数
在
，
上的最大值和最小值分别为
、
，则
。
【答案】8
【解析】设
，
，
因为
，所以函数
为奇函数，
所以
，所以
，所以
．
7.（2025 江苏淮安·阶段练习）已知函数
的最大值为
，最小值
为
，则
【答案】10
【解析】设
，
则
，
∴
，
是奇函数，
又
，
，
∴
，
．
8.（2025 广东·阶段练习）已知函数
在
上的最大值为
，最小值为
，则
【答案】2
【解析】∵
令
，
而
，
∴
，则
关于
中心对称，则
在
上关于
中心对称．∴
．
9.（24-25 高三上·陕西咸阳·开学考试）已知函数
在区间
的最大值是M，最
小值是m，则
的值等于 ．
【答案】
【解析】函数
，
设
，
，
，则
是奇函数，
的最大值和最小值互为相反数，且
的最大值为
，最小值为
，
．
．故答案为：
10．（2025 湖北）若函数
既存在最大值
，又存在最小值
，则
的值为
【答案】
【解析】
.
令
，则
，
.
∵
.∴
是奇函数.∴
，
∴
.
故答案为：
11（2025 山西吕梁·期中）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
.
【答案】2
【解析】
，
令
，则定义域为R，且
，
故
是奇函数，故其最大值与最小值的和为零，
所以函数
的最大值与最小值的和为2，
故在函数
中，
.
12（23-24 高三上·云南·阶段练习）函数
，
，记
的最大值为
，最小值为
，则
.
【答案】4
【解析】
在闭区间
上一定有最值，
，
设
，则
，是奇函数，则其对称中心为
，
所以在
，
，
则
故答案为：4
题组七 单调性与奇偶性的应用---解不等式
1.（2025 河北）已知
是定义在
上的增函数，若
的图象过点
和
，则满足
的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
的图象过点
和
，
∴
，
，
又∵
是定义在
上的增函数，
∴
等价于
，即
，
解得
，即不等式的解集为
，
故选B.
2.（2025 四川）已知函数
是定义在
上的减函数，则当
时，实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
是定义在
上的减函数，且
，
所以
，解得
，故选：C
3.（24-25 云南）已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，
，所以
，
因为
在
上单调递减，当
时，
，故
，
因为
是定义在
上的奇函数，故
在
上单调递减，
又
，当
时，
，故
，
综上，
的解集为
.
故选：D
4.（2025·内蒙古呼和浩特·一模）设函数
，则使得
成立的
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，
，
函数
是奇函数，求导得
，
函数
在R 上单调递增，由
，得
，
即
，则
，因此
，解得
，
所以所求
的取值范围是
.
故选：C
5．（2025·广东广州·一模）定义域为
的偶函数
在
上单调递减，且
，若关于
的不等式
的解集为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为偶函数，所以
，则
，
由
，
得
，
又因为函数
在
上单调递减，且
，
则函数
在
上单调递增，
则
时，
，当
时，
，
则当
时，
，
当
时，
，
所以
的解集为
，
的解集为
，
由于不等式
的解集为
，
当
时，不等式
为
，
此时解集为
，不符合题意；
当
时，不等式
解集为
，
不等式
解集为
，
要使不等式
的解集为
，
则
，即
；
当
时，不等式
解集为
，
不等式
解集为
，
此时不等式
的解集不为
；
综上所述，
，
则
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
即
的最小值为
.
故选：C
6（24-25 高三下·河北衡水·开学考试）已知函数
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【解析】因为
，定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，所以
为奇函数．
由
，
得
，即
，
又
，
，
且
，所以
在
上单调递增，
所以
，解得
，
所以不等式的解集为
．
故答案为：
．
题组八 单调性与奇偶性的应用---比较大小
1.（2024 湖北 ）已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，即
，
所以
，又
，
所以
，而
递增，
故
故选：D
2．（2025 北京 ）已知
是定义在
上的偶函数，且在
上是增函数，设
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
为
的偶函数，且在
上是增函数，则该函数在
上为减函数，且有
，
则
，
，
，
，且
，
，由于函数
在
上为减函数，
所以，
，因此，
，
故选：B．
3.（2025 山东 ）已知函数
是定义在R 上的偶函数，且当
时，对任意的不相等实数
总有
成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因函数
在R 上单调递增，
，则
，而
，因此
，
又当
时，对任意的不相等实数
总有
成立，则
在
上单调递减，
而函数
是R 上的偶函数，所以
.
故选：C
4.（2025·新疆）已知函数
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
的对称轴为
，则有
，
又当
时，得
，
而
和
均在区间
上单调递增，所以
在区间
上单调递增，
又
，
，即
，
所以
，即
.故选：A
5.（2025 河南 ）已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，即
，
所以
，又
，
所以
，而
递增，
故
故选：D
6.（2025 安徽）已知
，若
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，定义域关于原点对称，
，所以
为
上的偶函数，
当
时,
，设
，
则
，
，
，
所以
即
在
上单调递增，所以
,
所以
在
上单调递增，又因为
为偶函数,
所以
在
上单调递减，
又因为
,所以
,
又因为
,因为
,
，所以
,
所以
，即
,所以
,所以
,即
.故选：A.
题组九 抽象函数的单调性与奇偶性
1．（24-25 云南昭通·期中）（多选）函数
对任意
，
总有
，当
时，
，
，则下列命题中正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是
上的减函数
C．
在
上的最小值为2
D．若
，则实数
的取值范围为
【答案】BD
【解析】对于A，取
，则
，解得
，
令
，则
，即
，且函数定义域是
，
所以函数
是奇函数，故A 错误；
对于B，令
，
，且
，则
，
因为当
时，
，所以
，
则
，即
，
函数
是
上的减函数，故B 正确；
对于C，因为函数
是
上的减函数，
所以函数
在
上的最小值为
，
又
，
，故
，
在
上的最小值为
，故C 错误；
对于D，
，即
，
因为函数
是
上的减函数，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围为
，故D 正确，
故选：BD.
2．（2025·江苏南京·一模）（多选）已知函数
满足：对任意
，且当
时，
.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．当
时，
D．
在
上单调递减
【答案】ACD
【解析】因为
，
令
，
，可得
，
所以
，
令
，
，可得
，
所以
，
所以
，A 正确；
由
，
令
可得，
，
再将
中的
替换为
，可得
，
所以
，
所以
，所以函数
为奇函数，B 错误；
当
时，将
中的
用
替换，
可得
，即
，
当
时，
，由已知可得
，
所以
，
，
又函数
为奇函数，所以当
时，
，
，
所以当
时，
，C 正确；
因为
，
所以若
，则
，
任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，
，
所以
，所以
，
所以函数
在
上单调递减，
设
，
当
时，
，
因为
，所以
，
因为函数
在
上单调递减，所以
，
所以
，
所以
在
上单调递减.
故选：ACD.
3．（24-25 江西）（多选）已知函数
的定义域是
，对任意的实数
、
满足
，且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
为
上的增函数
D．函数
为奇函数
【答案】ACD
【解析】对于A 选项，对任意的实数
、
满足
，
令
可得
，解得
，A 对；
对于B 选项，令
，
可得
，
即
，解得
，
再令
可得
，B 错；
对于D 选项，令
，
由
可得
，
即
，且
，
令
，则
，即
，
所以，函数
为奇函数，D 对；
对于C 选项，由题意可知，当
时，
，
当
时，
，即
时，
，
故当
时，
，
任取
、
且
，
则
，
即函数
在
上为增函数，C 对.
故选：ACD.
4．（24-25 高三上·吉林白城·期中）定义在
上的函数
，满足对任意x，
，有
，且
.
(1)求
，
的值；
(2)判断
的奇偶性，并证明你的结论；
(3)当
时，
，解不等式
.
【答案】(1)
，
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【解析】（1）令
，得
，所以
.
令
，
，得
，
所以
.
（2）
为奇函数，证明如下：
由题意，任意x，
，
令
得，
，即
，
所以函数
为奇函数.
（3）设
，
，且
，则
，
所以
，
所以
，
故
在
上为增函数.
等价于
，
所以
，解得
，
故原不等式的解集为
.
5．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
是定义在R 上的函数.对任意
，总有
，
，且
时，
恒成立.
(1)求
(2)判断
的奇偶性并证明
(3)证明
在
上单调递减
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由对任意
，总有
，
令
，则
，则
，
又由
，
得
，
则
，
（2）令
，则
，
则有
，故
，则
是奇函数
（3）设任意
，
，
则
，
又
，则
，则
，
则
在
上单调递减.
6.（2024 高三·全国·专题练习）设函数
是R 上的增函数，对任意
，都有 .在①
，②
中任选一个条件，然后解答以下问题.
(1)求
；
(2)求证：
是奇函数；
(3)若
，求实数x 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）若选
：对任意
①
，
，
因为函数的定义域为R，令
，可得
.
若选
：对任意
②
，
令
，可得
，即
.
（2）若选
：在
①
中，令
，则
，
且
的定义域为
，
所以
是奇函数；
若选
：对任意
②
，都有
，
令
，可得
，
可得
，由
，可得
，
即有
为奇函数；
（3）奇函数
是
上的增函数，
由
，得
，即
，
即有
，解得
．
所以实数
的取值范围为
．
7.（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的函数
满足：对任意的实数x，y 均有.
.，
且
，当
且
.
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性，并证明；
【答案】(1)奇函数
(2)单调递增，证明见解析
【解析】（1）根据题意，令
，得
，因为
，所以
，故结合定
义域可知，
为奇函数.
（2）
在
上单调递增.证明：由题意，可知
，
假设
，使得
，则
，
而当
时，由题意知
，因此矛盾，故
，
恒成立.
设
，且
，则
，
因此
，
因为
，且当
时，
，所以
，
又因为
，所以
，即
，又因为
，所以
在
上单
调递增.
8．（23-24 福建福州·阶段练习）已知函数
对任意实数
恒有
，且当
时，
，又
．
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断
在
上的单调性，并证明你的结论；
(3)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
为奇函数；
(2)
在
上的单调递减，证明见解析；
(3)
.
【解析】（1）结合题意：由函数
的定义域为
,且
，
取
，则
，即
，
取
，则
，所以
，
所以
为奇函数.
（2）
在R 上的单调递减，证明如下：
任取
，且
，则
，
令
，则
，
因为
为奇函数，所以
，
因为当
时，
，所以
，
即
，所以
在
上的单调递减.
（3）由
，得
，
因为
，所以
，
因为
在
上的单调递减，所以
，
即
时，
恒成立，
等价于对任意
时，
恒成立，
令
，则
，
所以
，
所以
，
故实数
的取值范围为
.
9．（23-24 上海浦东新·期末）定义：如果存在实常数a 和b，使得函数
总满足
，
则称函数
是“
型函数
．
”
(1)已知奇函数
是“
型函数
，求函数
”
的解析式；
(2)已知函数
是“
型函数
，求
”
p 和b 的值；
(3)已知函数
是“
型函数
，求一组满足条件的
”
k、a 和b 的值，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由题意奇函数
是“
型函数
，所以
”
，且
，
联立解得函数
的解析式
.
（2）由题意函数
是“
型函数
，
”
所以
，
而
，
所以
恒成立，当且仅当
，解得
，
即满足题意的p 和b 的值分别为
.
（3）由题意函数
是“
型函数
，
”
所以
，
而
，
所以
恒成立，
当且仅当
恒成立，
当且仅当
恒成立或
恒成立（舍去），
所以
，解得
，
即满足条件的k、a 和b 的一组值分别为
.
10（23-24 高三上·甘肃天水·阶段练习）设函数
对任意x、
，都有
，且
时，
．
(1)证明：
为奇函数；
(2)证明：
在R 上为减函数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）取
得
，
取
得
，
即
，所以
为奇函数；
（2）任取
，
，
则
，
由
，得
，所以
，
即
，
故
在R 上为减函数．
11（23-24 广东东莞·期中）已知函数
对任意实数
恒有
，当
时，
，
且
.
(1)判断
的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求
在区间
上的最大值；
(3)若
对所有的
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)
为
上的减函数；
(3)
【解析】（1）
为奇函数，证明如下：
令
，则
，所以
，
令
，则
，
所以：
对任意
恒成立，
所以函数
为奇函数.
（2）
在
上是减函数，证明如下：
任取
且
，则
，所以
，
所以
在
上为减函数.
当
时，
单调递减，
所以当
时，
有最大值为
，
因为
，所以
，
故
在区间
上的最大值为
.
（3）由（2）知
在区间
上单调递减，
所以
，
因为
对所有的
，
恒成立，
即
对任意
恒成立，
令
，则
，即
，
解得：
或
.
故
的取值范围为
.
12．（23-24 高三上·福建漳州·阶段练习）定义在
上的单调函数
满足
且对任意x，
都
有
．
(1)判断
的奇偶性，并说明理由；
(2)若
对任意
恒成立，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)奇函数，理由见解析；
(2)
【解析】（1）
是奇函数，
理由如下：
由
，①
令
，代入
式，得
①
，即
．
令
，代入
式，得
①
，又
，
则有
．即
对任意
成立，
所以
是奇函数．
（2）
，即
，又
在
上是单调函数，
所以
在
上是增函数
又由（1）
是奇函数．
，
∴
，
对任意
成立．
令
，问题等价于
对任意
恒成立．
令
，其对称轴
．
当
即
时，
，符合题意；
当
时，对任意
，
恒成立
．
解得
．
综上所述，当
时，
对任意
恒成立．
