文档内容
9.4 单调性的分类讨论（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 一根型
【例1】（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知函数 ，讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由题意得函数 的定义域为 ，
当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递增；
令 ，得 ，所以 在 上单调递减；
当 时，因为 恒成立，所以 在 上单调递增；
【一隅三反】
1．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为 ，所以 .
若 ，则 恒成立；
若 ，则当 时， ，当 时， .故当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
2．（2022·河南）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】 的定义域为 ， ．
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ，令 ，得， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数 ，讨论函数 在 上的单调性;
【答案】答案见解析；
【解析】由题意得， ，
当 时， ，则函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ；
当 时， ，则函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减，综上，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
考点二 两根型
【例2-1】（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知函数 ，讨论函数
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】 的定义域为 ， .
当 时， 在区间 递减；在区间 递增.
当 时， 在 上递增.
当 时， 在区间 递减；在区间 递增.
【例2-2】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1) (2)答案见解析
【解析】（1）由 ，则 ， ，
， ，切线方程： ，
则 .
（2）由 ，
求导得 ，
①当 时， ，
，解得 ， ，解得 ，
则 ：单减区间： ，单增区间： ；
②当 时，令 ，解得 或 （舍去）
当 时， ，当 时， ，
则 ：单减区间： ，单增区间： ；
③当 时，令 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
则 ：单减区间： 和 ，单增区间： ；
④当 时， ，则 ：单减区间： ；
⑤当 时，令 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，
则 ：单减区间： 和 ，单增区间： ；
综上，当 时，单减区间： ，单增区间：当 时，单减区间： 和 ，单增区间：
当 时，单减区间：
当 时，单减区间： 和 ，单增区间： .
【一隅三反】
1．（2022·辽宁锦州）已知函数 ，其中 为实常数．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
【答案】(1) (2)答案详见解析
【解析】（1） ，
所以 ，
所以切线方程为 .
（2） 的定义域为 , ，
当 时， 在区间 递减；
在区间 递增.
当 时， ， 在 上递减.
当 时， 在区间 递减；在区间 递增.
2．（2022·全国·高二课时练习）求函数 的单调区间.
【答案】见解析
【解析】因为 ，所以 .
由 ，解得x＝0或x＝2a.
当a＝0时， ，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为 ；
当 时，当 时， ；当 时， ，
所以f（x）的单调增区间为 及 ，单调减区间为（0，2a）；
当 时，当 时， ；当 时， ，
所以f（x）的单调增区间为 及 ，单调减区间为（2a，0）.
3．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知函数 （其中 为自然对数的底
数）．
讨论 的单调性；
【答案】见解析
【解析】由 可得 ，
当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
从而 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时，由 得， ， ，
①若 ，即 时， 恒成立，故 在R上单调递增：②若 ，即 时，由 可得， 或 ．
令 可得 ，
此时 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
③若 ，即 时，由 可得， 或 ，
令 可得 ，
此时 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 在R上单调递增；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
考点三 判别式型
【例3】（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数 讨论 的单调性；
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 或 时， 在 上单调递减，
在 和 上单调递增.
【解析】由 ，
求导得 ，易知 恒成立，故看 的正负，即由判别式 进行判断，
①当 时，即 ， ，则 在 上单调递增；
②当 时，即 或 ，
令 时，解得 或 ，
当 时， ，
则 在 上单调递减；
当 或 ， ，
则 在 和 上单调递增；
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 或 时， 在 上单调递减，
在 和 上单调递增.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，记 的导函数为 ，
讨论 的单调性；
【答案】见解析
【解析】由已知可得 ，故可得 ．
当 时， ，故 在 单调递增；当 时，由 ，解得 ，或 ，
记 ， ，则可知当 变化时， 的变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
所以，函数 在区间 单调递增，在区间 单调递减，在区间
单调递增．
2.（2022山西）若函数 ， ， 为常数，求函数 的单调区间；
【答案】见解析
【解析】 的定义域为 ，
①当 ， ，所以 ， 的单调增区间为 ，无
单调减区间；
②当 时， ，解 得 ，
，
所以 的单调增区间为 ， ，单调递减区间为3（2022黑龙江）已知函数 ，令 ，讨论函数 的单调性；
【答案】详见解析
【解析】 ，
，
当 时， 恒成立，函数的单调递减区间是 ，无单调递增区间；
当 时， ，
（ⅰ） 时，即 时， 的解集是 ，
的解集是 ，
所以函数的单调递增区间是 ，函数的单调递减区间是
；
（ⅱ）当 时，即 时，函数 恒成立，即函数的单调递减区间是
，无单调递增区间；
综上可知，当 时，函数的单调递减区间是 ，无单调递增区间；当 时，函数的单调递增区间是 ，函数的单调递减区间是 .
