9.4单调性的分类讨论（精讲）（基础版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）

9.4 单调性的分类讨论（精讲）（基础版） 思维导图考点呈现 例题剖析 考点一 一根型 【例1】（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知函数 ，讨论函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】由题意得函数 的定义域为 ， 当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递增； 令 ，得 ，所以 在 上单调递减； 当 时，因为 恒成立，所以 在 上单调递增； 【一隅三反】 1．（2022·福建·高三阶段练习）已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】因为 ，所以 . 若 ，则 恒成立； 若 ，则当 时， ，当 时， .故当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 2．（2022·河南）已知函数 ，讨论 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 的定义域为 ， ． 当 时，令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，令 ，得 ，令 ，得， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． 综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减． 3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数 ，讨论函数 在 上的单调性; 【答案】答案见解析； 【解析】由题意得， ， 当 时， ，则函数 在 上单调递增； 当 时，令 ，解得 ； 当 时， ，则函数 在 上单调递增； 当 时， ，函数 在 上单调递减，综上，当 时，函数 在 上单调递增； 当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． 考点二 两根型 【例2-1】（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知函数 ，讨论函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 的定义域为 ， . 当 时， 在区间 递减；在区间 递增. 当 时， 在 上递增. 当 时， 在区间 递减；在区间 递增. 【例2-2】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 的切线方程； (2)讨论函数 的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）由 ，则 ， ， ， ，切线方程： ， 则 . （2）由 ， 求导得 ， ①当 时， ， ，解得 ， ，解得 ， 则 ：单减区间： ，单增区间： ； ②当 时，令 ，解得 或 （舍去） 当 时， ，当 时， ， 则 ：单减区间： ，单增区间： ； ③当 时，令 ，解得 或 ， 当 时， ，当 时， ， 则 ：单减区间： 和 ，单增区间： ； ④当 时， ，则 ：单减区间： ； ⑤当 时，令 ，解得 或 ， 当 时， ，当 时， ， 则 ：单减区间： 和 ，单增区间： ； 综上，当 时，单减区间： ，单增区间：当 时，单减区间： 和 ，单增区间： 当 时，单减区间： 当 时，单减区间： 和 ，单增区间： . 【一隅三反】 1．（2022·辽宁锦州）已知函数 ，其中 为实常数． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； 【答案】(1) (2)答案详见解析 【解析】（1） ， 所以 ， 所以切线方程为 . （2） 的定义域为 , ， 当 时， 在区间 递减； 在区间 递增. 当 时， ， 在 上递减. 当 时， 在区间 递减；在区间 递增. 2．（2022·全国·高二课时练习）求函数 的单调区间. 【答案】见解析 【解析】因为 ，所以 . 由 ，解得x＝0或x＝2a. 当a＝0时， ，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为 ； 当 时，当 时， ；当 时， ， 所以f（x）的单调增区间为 及 ，单调减区间为（0，2a）； 当 时，当 时， ；当 时， ， 所以f（x）的单调增区间为 及 ，单调减区间为（2a，0）. 3．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知函数 （其中 为自然对数的底 数）． 讨论 的单调性； 【答案】见解析 【解析】由 可得 ， 当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 从而 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时，由 得， ， ， ①若 ，即 时， 恒成立，故 在R上单调递增：②若 ，即 时，由 可得， 或 ． 令 可得 ， 此时 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； ③若 ，即 时，由 可得， 或 ， 令 可得 ， 此时 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 当 时， 在R上单调递增； 当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 考点三 判别式型 【例3】（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数 讨论 的单调性； 【答案】(1)当 时， 在 上单调递增； 当 或 时， 在 上单调递减， 在 和 上单调递增. 【解析】由 ， 求导得 ，易知 恒成立，故看 的正负，即由判别式 进行判断， ①当 时，即 ， ，则 在 上单调递增； ②当 时，即 或 ， 令 时，解得 或 ， 当 时， ， 则 在 上单调递减； 当 或 ， ， 则 在 和 上单调递增； 综上所述，当 时， 在 上单调递增； 当 或 时， 在 上单调递减， 在 和 上单调递增. 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，记 的导函数为 ， 讨论 的单调性； 【答案】见解析 【解析】由已知可得 ，故可得 ． 当 时， ，故 在 单调递增；当 时，由 ，解得 ，或 ， 记 ， ，则可知当 变化时， 的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以，函数 在区间 单调递增，在区间 单调递减，在区间 单调递增． 2.（2022山西）若函数 ， ， 为常数，求函数 的单调区间； 【答案】见解析 【解析】 的定义域为 ， ①当 ， ，所以 ， 的单调增区间为 ，无 单调减区间； ②当 时， ，解 得 ， ， 所以 的单调增区间为 ， ，单调递减区间为3（2022黑龙江）已知函数 ，令 ，讨论函数 的单调性； 【答案】详见解析 【解析】 ， ， 当 时， 恒成立，函数的单调递减区间是 ，无单调递增区间； 当 时， ， （ⅰ） 时，即 时， 的解集是 ， 的解集是 ， 所以函数的单调递增区间是 ，函数的单调递减区间是 ； （ⅱ）当 时，即 时，函数 恒成立，即函数的单调递减区间是 ，无单调递增区间； 综上可知，当 时，函数的单调递减区间是 ，无单调递增区间；当 时，函数的单调递增区间是 ，函数的单调递减区间是 .