文档文本内容
1.2 常用逻辑用语
目录
01 课表要求...........................................................................................................................................3
02 落实主干知识...................................................................................................................................4
一、充分条件与必要条件....................................................................................................................4
二、全称量词和存在量词....................................................................................................................4
三、常用二级结论................................................................................................................................5
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：充分、必要条件的判定........................................................................................................6
题型二：利用充分条件与必要条件关系求参....................................................................................7
题型三：含量词的命题的否定............................................................................................................9
题型四：含量词的命题的真假判断..................................................................................................10
题型五：利用命题的真假求参.......................................................................................................... 11
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................13
05 数学思想方法.................................................................................................................................15
①数形结合..........................................................................................................................................15
②转化与化归......................................................................................................................................17
③分类讨论..........................................................................................................................................18
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................21
基础过关篇..........................................................................................................................................21
能力拓展篇..........................................................................................................................................28
1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、
数学定义与充要条件的关系.
2、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.
一、充分条件与必要条件
1、定义
如果命题“若
，则
”为真（记作
），则
是
的充分条件；同时
是
的必要条件．
2、从逻辑推理关系上看
p 是q 的充分条件
p⇒q
p 是q 的必要条件
q⇒p
p 是q 的充要条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的充分不必要条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的必要不充分条件
p⇒q 且q⇒p
p 是q 的既不充分也不必要
条件
p⇒q 且q⇒p
3、大小关系（设
包含的对象分别组成集合
）
①若
，则
是
的充分条件
②若
，则
是
的必要条件
③若
，则
是
的充分不必要条件
④若
，则
是
的必要不充分条件
⑤若
，则
是
的充要条件
二、全称量词和存在量词
1、全称量词与存在量词的概念
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“
∃
”表示.
量词名称
常见量词
表示符
号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某些、某个、有些、某些
等
2、全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M 中任意一个x ，有p(x)
成立
存在M 中一个
，有
成立
简记
，
，
否定
，
，
三、常用二级结论
1、从集合与集合之间的关系上看
设
．
（1）若
，则
是
的充分条件（
），
是
的必要条件；若
，则
是
的充分不
必要条件，
是
的必要不充分条件，即
且
；
简记：“小
大”．
（2）若
，则
是
的必要条件，
是
的充分条件；
（3）若
，则
与
互为充要条件．
题型一：充分、必要条件的判定
【例1】（2025·广东深圳·二模）在四边形
中，若
，则“
”是“四边形
是正方形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在四边形
中，若
，则四边形
为平行四边形，
若
，则平行四边形
为菱形，但不一定为正方形，
四边形
是正方形时，必有
，即有
，
故“
”是“四边形
是正方形”的必要不充分条件.
故选：B.
【解题总结】
充分、必要条件的三种判定方法
(1)定义法：根据
，
是否成立进行判断.
(2)集合法：根据
，
成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否
成立为止.
【变式1-1】（2025·河南开封·二模）设
，则
的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，当
时，满足
，但是不符合
，故
不是
的一个充分条
件，故A 错误；
对于B，
，即
，即
，所以
是
的必要不充分条件，故B
错误；
对于C，
，即
，故
是
的充要条件，故C 错误；
对于D，
，即
，
，故
是
的一个充分不必要条件，故D 正
确.
故选：D
【变式1-2】（2025·福建三明·三模）已知a，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，则
，充分性成立；
设
，则有
满足
，
此时有
，不满足
，故必要性不成立，
综上所述，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-3】（2025·陕西渭南·三模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由
可知
，
或
，
，此时
，
即“
”
“
”；
但当
时，取
，
，此时
，
即“
”
“
”，
综上所述，“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
题型二：
用
利
充分条件与必要条件关系求参
【例2】（2025·河北秦皇岛·一模）已知
，集合
，若
是
的必要不充分条件，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
因为
是
的必要不充分条件，
所以
是
的真子集,
可得
，等号不同时成立，结合
，解得
，
所以
的取值范围为
，
故选：B
【解题总结】
求参数问题的解题方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之
间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
【变式2-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知
“
”是
：“
”
成立的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，即
，
则
或
，即
，
又
是
的必要不充分条件，则
或
，即
或
.
则
的取值范围为
.
故选：B
【变式2-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合
，则使得“
且
”成立的一个充
分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题可知
且
，解得
，
所以使得“
且
”成立的一个充分不必要条件是集合
的一个真子集，
因为只有选项A 中的
是
的真子集，
故选：A
【变式2-3】（2025·吉林延边·一模）若“
”的充分不必要条件是“
”，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由＂
＂的充分不必要条件是＂
＂，
得
，但
，
所以
．
故选：B.
题型三：含量词的命题的否定
【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“
”的否定是“
”.
故选：D
【解题总结】
含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.
【变式3-1】（2025·河北保定·一模）已知命题
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以
为“
”.
故选：A.
【变式3-2】（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题
，
的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【解析】
，
的否定是
，
.
故选：A
【变式3-3】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“
”的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】命题“
”的否定是“
”.
故选:D.
题型四：含量词的命题的真假判断
【例4】（2025·湖北宜昌·二模）已知命题
，
，命题
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】对于命题
，不妨取
，则
，则命题
为假命题，
对于命题
，不妨取
，由
，则命题
为真命题，因此，
和
都是真命题.
故选：B.
【解题总结】
判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.
当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.
【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题
，
，命题
，
，则
（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】对于命题
，不妨取
，则
，则命题
为假命题，
对于命题
，由
可得
或
，则命题
为真命题，
因此，
和
都是真命题.
故选：B.
【变式4-2】（2025·河北唐山·一模）已知命题
；命题
．则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
是假命题，
是真命题
C．
是真命题，
是假命题
D．
和
都是假命题
【答案】B
【解析】对于命题
，因为当
时，
，故命题
是假命题；
对于命题
，当
时，
，故命题
是真命题.
故选：B.
【变式4-3】（2025·陕西西安·二模）已知命题
；命题
，则（ ）
A．p 和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．p 和q 都是真命题
D．
和q 都是真命题
【答案】C
【解析】当
时，
成立，所以
为真命题；
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
而
，所以
为真命题,
所以
都是假命题.
故选：C
题型五：
用
利
命题的真假求参
【例5】（2025·四川攀枝花·一模）命题“
”为假命题，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知可得，命题“
”的否定，
即命题“
”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有
，
解得
.
故选：C.
【解题总结】
由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.
【变式5-1】（2025·辽宁·一模）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为“
”是假命题，所以“
”是真命题；
即a 要小于等于
的最小值，又当
时，
，故
.
故选：C
【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知命题“
”是假命题，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知原命题为假命题，那么它的否定“
”为真命题.
对于一元二次函数
，要使其对于任意实数
都大于等于
.
因为
恒成立，所以
，即
，解得
.
故选：A.
【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）已知命题
，若
是假命题，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是假命题，则命题
为真命题，
所以
又
，当且仅当
时取等号，
所以
，
故选：B.
1．若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法二：
充分性：因为
，且
，所以
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法三：
充分性：因为
，且
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
①数形结合
1．“
”是“圆
不经过第三象限”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】圆
，即
，
则圆心为
，半径为
，且
，即
，
圆心
在第一象限，圆心到原点的距离为
，
要圆不经过第三象限，则
，解得
，
综上圆C 不经过第三象限时
，
所以“
”是“圆
不经过第三象限”的必要不充分条件．
故选：
2．已知命题
，
为假命题，则a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知
，
，
令
，则
，
作出函数
的图象如图所示，
若
，则直线
与函数
的图象没有公共点，
数形结合可知
，
所以a 的取值范围为
故选：
3．在
中，
，点P 在边BC 上，则“
”是“P 为BC 中点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
在直角三角形ABC 中，若P 为BC 中点，由直角三角形的性质可得
成立，即必要性成立，
构造矩形ABDC，其中O 为矩形对角线的交点，
则
，
点P 在边BC 上，且
，
，则
，则P 不一定与O 重合，即充分性不成立，
故“
”是“P 为BC 中点”的必要不充分条件，
故选：
②转化与化归
4．若“
，使
成立”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若“
，使得
成立”是假命题，
即“
，使得
成立”是假命题，
故
，
恒成立，
令
，
，
根据对勾函数的性质知：
在
递增，
所以
，
，
故选：
5．已知x，y 是实数，则“
”是“
”是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若
，满足
，此时
，所以
不是
的充分条件，
反过来，若
，满足
，此时
，所以
也不是
的必要条件，
所以
”是“
”的既不充分也不必要条件．
故选：
6．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：
，
，
，然后他们三人各用一句话来正确描述“
”表示的数字，并让丁
同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5 的正整数；乙：
是
的
必要不充分条件；丙：
是
的充分不必要条件．则“
”表示的数字是（ ）
A．3 或4
B．2 或3
C．1 或2
D．1 或3
【答案】C
【解析】
因为此数为小于5 的正整数，所以
因为
是
的必要不充分条件，
是
的充分不必要条件，所以
，
，故
且
，解得
，故“
”表示的数字是1 或
故选
③分类讨论
7．设甲：“函数
在
单调递增”，乙：“
”，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于甲：若
，则
，不合题意；
若
，则
，
因为
，则
，且
，
可知
在
内不是单调递减函数
所以函数
在
不是单调递增，不合题意，
若
，因为
，则
，且
因为函数
在
单调递增，则
，解得
；
综上所述：甲等价于“
”
又因为
是
的真子集，所以甲是乙的充分不必要条件．
故答案为：
8．若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由
得
或
，即不等式的解集为
或
，
由
得
，
若
，则不等式的解为
，此时不等式的解集为
，
若
，则不等式的解集为
或
，
若
，不等式的解集为
或
，
若“
”是“
”的必要不充分条件，
则
，
则当
时，不满足条件．
当
时则满足
，即
，得
，
当
时，则满足
，得
，得
综上实数a 的取值范围
，
故选：
9．“
R，使
”的一个充分不必要条件是
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】若
R，使
，
当
时：
有解；
当
时：
开口向上有解，
当
时：
满足
综上：
，
则“
R，使
”的一个充分不必要条件是
，
故选
基础过关篇
1．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：
，
；命题q：
，
，则
（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【解析】对于
而言，取
，则有
，故
是假命题，
是真命题，
对于
而言，取
，则有
，故
是真命题，
是假命题，
综上，
和
都是真命题.
故选：B.
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
3．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
4．（2025·北京昌平·二模）设数列
是公比不为1 的无穷等比数列，则“数列
为递减数列”是“对
任意的正整数
，
”的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若“数列
为递减数列”，易得
，
若“对任意的正整数
，
”，
，
当
时，由
，得
，
解得：
或
，
若
，则
，此时
，与已知矛盾；
若
，则
，由指数函数单调性可知
单调递减；
当
时，由
，得
，
解得：
或
，
若
，则
，此时
，与已知矛盾；
若
，则
，由指数函数单调性可知
单调递减；
综上可知：若
，可判断数列
为递减数列，
所以“数列
为递减数列”是“对任意的正整数
，
”的充要条件，
故选：C
5．（2025·北京·二模）设平面向量
与
不共线，
，则“
与
共线”是“
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若
与
共线，则存在实数
，使得
，即
，
由于平面向量
与
不共线，所以
且
，故
，
因此“
与
共线”是“
”的充要条件，
故选：C
6．（2025·陕西咸阳·三模）已知
，且
：关于
的不等式
无解；
：直线
的斜率非负，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于
：关于
的不等式
无解，
则
，即
，
对于
：直线
的斜率非负，
即
，得
，
所以
，但
，
所以
是
的充分不必要条件.
故选：A
7．（2024 年北京高考数学真题）设
，
是向量，则“
”是“
或
”的
（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为
，可得
，即
，
可知
等价于
，
若
或
，可得
，即
，可知必要性成立；
若
，即
，无法得出
或
，
例如
，满足
，但
且
，可知充分性不成立；
综上所述，“
”是“
或
”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2024 年天津高考数学真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
9．（2023 年天津高考数学真题）已知
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由
，则
，当
时
不成立，充分性不成立；
由
，则
，即
，显然
成立，必要性成立；
所以
是
的必要不充分条件.
故选：B
10．（2025·全国·模拟预测）“
”是“圆
截直线
所得弦长为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】圆
的圆心为
，半径为3，圆心到直线的距离为
，
由点到直线的距离公式可得
，即
，解得
或3，
所以“
”是“圆
截直线
所得弦长为2”的充分不必要条件.
故选：A．
11．（2025·辽宁·三模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若
，则满足
，但不满足
，故
无法得到
；
若
，则满足
，但不满足
，故
无法得到
，
故“
”是“
”的既不充分也不必要条件.
故选：D
12．（2025·全国·模拟预测）已知等比数列
的公比为
，甲：数列
是递增数列，乙：
，则
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【解析】如
时，等比数列
是递增数列，公比
，由甲不能推出乙；
当
时，如
，
时，
，
不是递增数列，
乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件，
故选：D．
13．（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：
，设
，命题
，则（ ）
A．
，且
为假
B．
，且
为假
C．
，且
为真
D．
，且
为真
【答案】D
【解析】因为
，且
，
则
，
，
可得
，即命题
为假命题，
所以
，且
为真命题.
故选：D.
14．（多选题）（2025·甘肃金昌·模拟预测）在
中，
，
，
，则“
有唯
一解”的充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由正弦定理可得
，即
．
对于A，当
时，
，可得
，故得
，解唯一，故A 正确；
对于B，当
时，
，因
，则
，角
有两解，解不唯一，故B 错误；
对于C，当
时，则
，则
，故
，则
，解唯一，故C 正确；
对于D，当
时，
，因
，则
，角
有两解，解不唯一，故D 错误.
故选：AC．
15．（多选题）（2025·河南·三模）若
，则“
”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
，故“
”是“
”的充要条件，故A 错误；
由
得
能推出
，
反之不成立，所以“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
由
可得
，
故
，反之不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，故C 正确；
易知“
”是“
”的充分不必要条件，故D 正确.
故选：BCD.
16．（多选题）下列四个结论中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
且
，则
C．命题“任意
，则
”的否定是“存在
，则
”．
D．“
”是“
”的必要不充分条件
【答案】CD
【解析】A. 取
，不满足
，故A 错误；
B. 取
符合题意，但
，故B 错误；
C.全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C 正确；
D.若
，则
不一定成立，例如
；
若
，则
成立，故D 正确.
故选：CD.
17．（多选题）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合
，若“
”是“
”的充分条件，则实数
的取值可以是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】BC
【解析】由题意得
，解得
，则BC 符合题意.
故选：BC.
18．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题
“
，
”的否定为真命题，则
的取值范围为
．
【答案】
【解析】由题意得
“
，
”为真命题，
所以
在区间
内有解，
又知
在区间
内单调递增，所以
，
故
的取值范围为
．
故答案为：
19．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：
，
，则命题p 的否定为 ．
【答案】
【解析】命题p：
，
的否定为：
，
故答案为：
20．（2025·辽宁·二模）命题p:“
，
”是假命题，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题，
为真命题，
所以
，对
，
又
在
上的最小值为
，
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
21．已知
，则
是
的条件 .（在充分不必要､必要不充分､充
要､既不充分也不必要中选一个正确的填入）
【答案】必要不充分
【解析】
，
当
时，
，解集不是
，舍去，
当
时，
，解得
.
综上：
.
因为
，所以
是
的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
能力拓展篇
22．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
23．（2025·北京东城·二模）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【解析】充分性：因为
，所以
或
，
当
时，
或
，
，
当
时，
或
，
，
可得
或
，所以充分性不成立，
必要性：若
，
当
为偶数时，设
，则
，
则
，满足
，
当
为奇数时，设
，则
，
则
，满足
，
所以必要性成立，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
24．（多选题）（2025·高三·湖南·开学考试）设
，则使得“
”成立的一个充分不必
要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得
，函数
单调递增，故
，
对于A，
，故“
”是“
”的充要条件，故A 错误；
对于B，由
得
，能推出
，反之不成立，所以“
”是“
”的充分不必要条件，故B 正确；
对于C，由
可得
，故
，反之不成立，故“
”是“
”
的充分不必要条件，故C 正确；
对于D，
或
，故“
”是“
”的充分不必要条件，故D 正确，
故选：BCD．
