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2.4 指数运算及指数函数（精讲） 考向一 指数的运算 【例1-1】（2025 高三·全国·专题练习）[多选]下列运算正确的是（ ） A． B． C． D．若 ，则 ． 【答案】BD 【解析】对于A， ，A 错误； 对于B． ，B 正确； 对于C，原式 ，C 错误； 对于D，当 时， ，得 ， 由 ，得 ， 所以 ，D 正确． 故选：BD. 【一隅三反】 （2026 高三·全国·专题练习）化简与求值． (1) ； (2) ． (3)化简： ； (4)计算： ； (5)已知 ，求 的值． (6) ； (7) （8）求值： （9） （10）(10) 【答案】(1) (2)1(3) (4) (5) (6) (7) （8）100（9）2（10）-16 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 . （4）原式 . （5）对 两边平方，得 ，可得 ， 再对 两边平方，得 ，所以， ， 所以， .则 . （6） . （7） . （8）原式 ． （9） . （10）原式 ． 考向二 指数函数的图像 【例2-1】（2025 湖北）函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线 上， 其中 ，则 的最小值为___________. 【答案】9 【解析】∵ 恒过定点 ， ∴ 过定点 ∴ ，即 ， ∴ ≥， 当且仅当 即 时等号成立， ∴所以 的最小值为9， 故答案为：9. 【例2-2】（24-25 高三上·山东·阶段练习）如图所示，若 ，函数 与 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以指数函数 在 上单调递减，故排除A 和D； 对于 ，当 时， ，所以 的图象过点 ， 因为 ，故B 错误，C 正确.故选：C. 【一隅三反】 1．（24-25 高三上·山东·阶段练习）函数 的图象恒过的定点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令 ，则 ，所以函数 的图象恒过点 .故选：D 2．（2025 高三·全国·专题练习）已知 且 ，则函数 与函数 的图象可能的 是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因 ，故 ，故 ， 而 与 关于 对称，各选项中只有B 满足，故选：B. 3．（2025 高三·全国·专题练习）函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：函数 的定义域为 ，关于原点对称， 且 ，∴函数 为奇函数，故C 错误； 又∵ ，故D 错误； 当 时， ，故B 错误,A 正确. 故选：A． 考向三 指数函数定义域 【例3】（24-25 江苏）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数 的定义域为 ， 所以对于函数 有 ，解得 ， 所以函数 的定义域是 . 故选：D. 【一隅三反】 1．（23-24 四川）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数 的定义域满足 ，解得 且 ．则函数定义域为 ， 故选：D 2．（23-24·福建漳州·期末）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数 的定义域满足 ，解得 . 所以该函数的定义域为 .故选：B. 3.（2024 湖南）设函数 ，则函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，故 ，故 的定义域为 ， 令 ，则 ，故 的定义域为 .故选：D. 考向四 指数型函数的值域 【例4-1】（1）（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）函数 的值域为 （2）（2024·贵州·模拟预测）已知函数 ，则 的最大值是 . （3）（2024 上海虹口·期中）已知函数 ，则 的值域为 ． （4）（2025 湖北）函数 的值域为 【答案】（1） （2）16（3） （4） 【解析】易知 为减函数，所以 .所以函数 的值域为 ，故选：A （2）由 ，而 ， 因为 单调递增，所以 ，则 的最大值是16.故答案为：16 （3）当 时， ； 当 时， 在 上单调递增， 单调递减，所以 ， 综上可得 的值域为 . 故答案为： . （4）设 ，则 ， 换元得 ， 显然当 时，函数 取到最小值 ， 所以函数 的值域为 ． 故答案为： . 【例4-2】（1）（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为M.若 ，则实数a 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． （2）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数 在区间 上的值域为 .若 ， 则 的值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 （3）（2024·河北保定·三模）已知 的值域为 ， ，则 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）A（2）D（3）D 【解析】（1）由 ，可知 有解，且 无最大值， 即 有解，且 无最大值， 当 时， 有解， 无最大值，符合题意； 当 时， 有解，但 有最大值，不符合题意； 当 时， 有解需满足 ，解得 ， 此时 无最大值，满足题意. 综上，实数a 的取值范围是 . 故选：A （2）解法1：因为 ， 所以 ，所以 关于 对称. 因为 ，函数 在区间 上的值域为 ，所以 . 解法2：因为 在 上递增， 所以 . 解法3：取 ，因为 在 上递增， 所以 . 故选D. （3）①若 ， 当 时， 在 上单调递减，此时 ， 当 时， ，当且仅当 时，等号成立， 又函数 的值域D 满足 ，则 解得 ； ②若 ， 当 时， 在 上单调递增，此时 ， 当 时， ，当且仅当 时，等号成立， 又函数 的值域D 满足 ，不合题意； ③当 时， ， 若 ，有 （当且仅当 时取等号）符合题意， 综上所述： . 故选：D. 【一隅三反】 1．（2024·全国·模拟预测）函数 的值域为 ． 【答案】 【解析】当 时， ， 当 时， ， 所以 的值域为 ． 故答案为： . 2．（2025·宁夏）已知函数 ， ，则其值域为_______． 【答案】 【解析】令 ，∵ ，∴ ， ∴ ， 又 关于 对称，开口向上， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， 时，函数取得最小值，即 ， 时，函数取得最大值，即 ， .故答案为： . 3（2025 广东）已知函数 存在最大值，则实数a 的取值范围是 【答案】 【解析】易知 在 上单调递增，所以当 时， ； 在 上单调递增，所以当 时， . 所以要使函数 存在最大值，只需 (易错：注意等号能否取到)，解得 . 4（2025·甘肃）已知函数 的值域为R，则实数a 的取值范围是 【答案】 【解析】当 时， ， 当 时， ， 因为函数 的值域为 ，所以 ，得 ， 所以实数 的取值范围是 ， 5.（2025 河北）已知 的最小值为2，则 的取值范围为 【答案】 【解析】当 时， ， 又因为 的最小值为2，所以需要当 时， 恒成立， 所以 在 恒成立，所以 在 恒成立， 即 在 恒成立， 令 ，则 ，原式转化为 在 恒成立， 是二次函数，开口向下，对称轴为直线 ，所以在 上 最大值为 ，所 以 。 考向五 指数型函数的单调性 【例5-1】（2024 上海静安·阶段练习）函数 的严格增区间是 . 【答案】 【解析】因为 关于单调递减，若函数 关于 单调递增， 则由复合函数单调性可知只需 单调递减即可， 而 的单调递减区间为 ，所以函数 的严格增区间是 .故答案为： . 【例5-2】（2025·青海西宁·二模）已知函数 在区间 上单调递减，则实数a 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 为 上的单调增函数，根据复合函数单调性可知， 在区间 上单调递减， 故 ，解得 ． 故选：B． 【例5-3】（24-25 高三下·北京·阶段练习）已知函数 在R 上单调递增，则a 的取值 范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意若函数 为单调递增，可得 ； 若函数 为单调递增，可得 ，即 ； 若保证 在R 上单调递增,还需满足 ，解得 ； 综上可得，a 的取值范围为 . 故选：D 【一隅三反】 1.（2024 湖南岳阳·期中）已知函数 ，则函数 单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 在 单调递增， 单调递减，所以函数 在 单调递减， 单调递增，故选:C. 2（2025·河北秦皇岛·一模）设函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 在区间 上单调递减，则需要 在区间 上单调递增， 故对称轴 ，则 ，解得 ， 故选：C 3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令 ，则函数 的减区间为 ，增区间为 ， 又因为函数 在区间 上单调递增，且外层函数 在 上为增函数， 所以， ，可得 ，解得 ， 因此，实数 的取值范围是 .故选：A. 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 在R 上单调递增，则 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 在 上单调递增，需要满足 ，解得 ，所以 . 故答案为： . 考向六 指数型函数的奇偶性 【例6-1】（24-25 高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数 为奇函数，则 （ ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】函数 的定义域为R，由函数 为奇函数，得 ， 即 ，所以 .故选：B 【例6-2】（2025·江苏）若函数 是偶函数，则 （ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】函数 的定义域为 ，由 是偶函数，得 ， 即 ，整理得 ，所以 .故选：A 【一隅三反】 1．（2025 河北）已知函数 ，则“ ”是“函数 为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】函数 定义域为R，函数 为偶函数， 则 , ， 而 不恒为0，因此， ，解得 或 ， 所以“ ”是“函数 为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A 2.（2025 北京）已知函数 为偶函数，则 （ ） A．-1 B．-2 C．2 D．1 【答案】A 【解析】因为函数 为偶函数，所以 ， ， ， 所以 ，即得 可得 ， 成立， 所以 .故选：A. 3（2025·辽宁）函数 是定义在R 上的偶函数，且 ，若 ， ，则 （ ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】因为 ，且 是定义在R 上的偶函数，所以 ， 令 ，则 ，所以 ，即 ，所以函数 的周期为2， 所以 .故选：B. 考向七 指数型函数性质的应用---比较大小 【例7-1】（24-25 高三上·山西大同·期中）设 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数 单调递增，所以 ，故 ， 又函数 单调递减，所以 ，所以 ． 故选：A. 【例7-2】（2025·河北唐山·一模）已知 ，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知 ，其定义域为 ，关于原点对称. 且 ，所以函数 是偶函数. 那么 . 当 时， . 因为 ，所以 在 上单调递增. 因为 ，且 在 上单调递增，所以 . 又因为 ，所以 . 故选：A. 【一隅三反】 1.．（2025 河北） 若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若 ，且 ， 由函数 在 上为减函数， ， 则 ， 又函数 在 上为减函数，则 ， 又函数 在 上为增函数，则 ， 因此可得 . 故选：C. 2.（23-24 高三下·河南周口·开学考试）若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知 ， 令 ，则 ， 所以 在 上单调递减，又 ， 所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ．故选：B． 3.（2025 河北）已知 ， ， ，则 、 、的大小关系为_____________ 【答案】 【解析】由题意可知 ， ，故 ； 又 ， ，因为 ，故 ，综合可得 . 故答案为: 考向八 指数型函数性质的应用---解不等式 【例8-1】（2025·浙江嘉兴·三模）关于 的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 在 上为增函数，由 有 ， 又 在 上为增函数， ， ， 故选：D. 【例8-2】（2024·四川德阳·一模）函数 单调递增，且 ，则实数 的取 值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数的单调性可得， 在 上单调递增， 于是 单调递增时只需 ，则 ； 又因为 在 上单调递增， 且 ，则 ，即 于是 . 故选：C 【一隅三反】 1.（2025·湖南·模拟预测）设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 即函数 关于 对称， 当 时， 单调递增， 所以函数 在 上单调递减，在 单调递增， 因为 ，所以 ，解得 ， 即 的取值范围是 ， 故选：B. 2（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当 时， 单调递增，当 时， 单调递增，且在分界点处 ， 所以函数 在定义域上单调递增，所以 ，得 ， 所以不等式的解集为 .故选：B 3（24-25 高三上·江苏·开学考试）设函数 ，则使得 成立的 的解集是 ． 【答案】 【解析】函数 的定义域为R， ，则 为奇函数， 又函数 分别为R 上的增函数和减函数，于是 是R 上的增函数， 不等式 化为 ， 即 ，解得 ， 所以原不等式的解集为 . 故答案为： 考向九 指数函数的实际应用 【例9】（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成 公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近 似满足关系 （其中 、 为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为 ，经过 个月，这种垃圾 的分解率为 ，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据： ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，可得 ，解得 ，则 ， 这种垃圾完全分解，即分解率为 ，即 ，所以 ， 所以 ，则 ． 故选：B. 【一隅三反】 1.（2024·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位： 与时间 （单位： ）间的关系为 ，其中 ， 是正的常数．如果在前 消除了 的污染物，则10 小时后 还剩下百分之几的污染物？（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知， ，所以 ，所以 ， 则 时， .故选：C. 2．（24-25 江西赣州·期末）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1 代1 粒种子可以得到第2 代120 粒种子， 以后各代每粒种子都可以得到下一代120 粒种子，则第10 代得到的种子数为（ ）参考数据： ， A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，第10 代得到的种子数为 故第10 代得到的种子数约为 故选：C. 3．（24-25 湖南）生物体死亡后，它机体内原有的碳14 含量 会按确定的比率衰减，大约每经过5730 年，碳 14 含量 衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”， 与死亡年数之间的函数关系式为 （其中 为常数）.2024 年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14 残余量约占原始含量的81%，则 可推断该生物死亡时间属于（ ）附：①参考数据： ，②参考时间轴如图： A．东汉 B．三国 C．西晋 D．东晋 【答案】C 【解析】因为大约每经过5730 年，碳14 含量 衰减为原来的一半， 所以可近似认为 时， ， 又 与死亡年数之间的函数关系式为 ， 所以 ，故 ， 所以 ， 令 ，可得 ， 两边取以 为底数的对数可得 ，又 ， 所以 ， ， 所以该生物体大约死亡于公元 年，即该生物体死亡时间属于西晋. 故选：C. 4．（24-25 高三上·北京·阶段练习）德国科学家Wilhelm Peukert 于19 世纪末提出蓄电池的容量 （单位： Ah），放电时间（单位：h）与放电电流 （单位：A）之间关系的经验公式： ，其中 为Peukert 常 数，不同材料的Peukert 常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为 ，Peukert 常数为 ； 第二块蓄电池的容量为 ，Peukert 常数为 .第一块电池测试：当放电电流 时，放电时间 ，当 放电电流 时，放电时间 ；第二块电池测试：当放电电流 时，放电时间 ，当放电 电流 时，放电时间 ，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【解析】由题意： ，所以 ； ，所以 . 因为指数函数 在 上单调递减，且 ，所以 . 又指数函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，所以 ，即 . 故选：D 考向十 指数型函数的综合应用 【例10-1】（2025 重庆沙坪坝·期中）已知函数 ， ，若 ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】任取 ， ， 即函数 在 上单调递减， 若 ，使得 ，则 即 故选：A 【例10-2】（2025 陕西）设函数 且 是定义域为 的奇函数， ． （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 在 上的最小值为 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2）2． 【解析】（1）由题意，得 ，即 ，解得 ， 由 ，得 ，即 ，解得 ，或 （舍去）， ∴ ， ∴函数 在 上为增函数， 由 ，得 ∴ ，解得 ，或 ， ∴ 的取值范围是 ； （2）由（1）得， ， 令 ，由 得， ， ∴函数 转化为 ，对称轴 ， ①当 时， ，即 ， 解得 ，或 （舍去）； ②当 时， ， 解得 （舍去）； 综上： ． 【一隅三反】 1．（2025·上海）已知函数 关于点 对称，若对任意的 ， ， 恒成立， 则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 为奇函数，可得其图象关于 对称，可得 的图象关于 对称， 函数 关于点 对称，可得 ， 对任意的 ， ， 恒成立，即 在 ， 恒成立， 所以 ，令 ，由 ， ，可得 ， ， 设 ， 当 时， 取得最大值11， 则 的取值范围是 ， 故选： ． 2．（2025·辽宁）已知函数 ，若对于任意的 、 、 ，以 、 、 为长度的线段都可以围成三角形，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 ， ，则 ， 令 ，由双勾函数的单调性可知，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单 调递增， 所以，当 时， ，则 ， ，则 ， ， 构造函数 ，其中 ，由 ，可得 ， 由于函数 在区间 上单调递减，则 ，可得 . 二次函数 的对称轴为直线 ， 则函数 在区间 上单调递增， 当 时， ，即 . 由于以 、 、 为长度的线段都可以围成三角形， 所以， ，解得 . 因此，实数 的取值范围是 . 故选：C. 3．（24-25 河南开封）（多选）如图，已知直线 ， 与函数 ， 的图象分别交于 ， ， ， 四点，且 为平行四边形，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】依题意，当 时， 在 图象下方， 所以 在 图象上， 在 图象上， 所以 ， ， ， 又因为四边形 为平行四边形， 所以 ，即 ，即 ， 又因为 ，所以 ， . 故A 正确， B 错误. 由均值不等式 ，化简可得 ，当 时等号成立， 由于 ，故 ， D 正确， C 错误. 故选：AD.
