文档文本内容
2.4 函数的周期性和对称性
目录
01 课标要求...................................................................................................................................2
02 落实主干知识...........................................................................................................................3
一、函数的周期性........................................................................................................................3
二、函数的对称性........................................................................................................................3
三、函数的周期对称综合............................................................................................................3
常用二级结论................................................................................................................................3
03 探究核心题型...........................................................................................................................5
题型一：函数周期的推算............................................................................................................5
题型二：利用周期性求解析式....................................................................................................6
题型三：奇偶性与周期性............................................................................................................8
题型四：周期内循环....................................................................................................................9
题型五：周期与零点..................................................................................................................13
题型六：类周期函数..................................................................................................................16
题型七：奇函数周期零点..........................................................................................................19
题型八：自对称中的轴对称......................................................................................................21
题型九：自对称中的中心对称..................................................................................................25
题型十：双函数对称问题..........................................................................................................29
题型十一：三次函数对称性......................................................................................................31
题型十二：双对称与周期..........................................................................................................33
04 好题赏析（一题多解）.........................................................................................................38
05 数学思想方法.........................................................................................................................41
①数形结合..................................................................................................................................41
②转化与化归..............................................................................................................................44
③分类讨论..................................................................................................................................45
06 课时精练（真题、模拟题）.................................................................................................48
基础过关篇..................................................................................................................................48
能力拓展篇..................................................................................................................................56
1、了解函数的周期性及其几何意义.
2、能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
3、会依据函数的性质进行简单的应用.
一、函数的周期性
1、周期：若函数
对定义域内的任意
满足：
，则
为函数
的周期．
最小正周期：周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做
的最小正
周期．
二、函数的对称性
1、轴对称
将关于
轴对称的偶函数图象向左或向右平移
个单位后，其图象关于直线
对称．
①
图象关于直线
对称；
②
图象关于直线
对称．
2、中心对称
将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移
个单位后，其图象关于点
对称．
①
函数
图象关于点
成中心对称；
②
函数
图象关于点
成中心对称；
③
函数
图象关于点
成中心对称．
三、函数的周期对称综合
1、若
关于点
，
对称，则
是周期函数，且
2、若
图象有两条对称轴
，
则
是周期函数，且
3、若
关于点
对称，且关于
对称，则
是周期函数，且
常用二级结论
1、常用周期结论
①
，则
的周期
②
，则
的周期
③
，则
的周期
④
，则
的周期
⑤
，则
的周期
⑥
，则
的周期
⑦
，则
的周期
⑧
，则
的周期
⑨
，则
的周期
⑩
，则
的周期
2、若
为奇函数
则
关于点
对称；若
为偶函数
则
关于
对称
3、若
图象关于直线
或点
对称，且
有
个零点
，
，
，
，则
．若
，
的图象都关于直线
对称，且有
个交点，则交点的横坐标之和
为
．若
，
的图象都关于点
对称，且有
个交点，则交点的横坐标之和为
，纵坐标之
和为
．
题型一：函数周期的推算
【例1】（2025·湖北十堰·三模）已知定义在
上的奇函数
满足
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】因为
为定义在
上的奇函数，则
，
又因为
，则
，
可得
，可知2 为
的一个周期，
所以
.
故选：B.
【解题总结】
求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期.
【变式1-1】（2025·高三·浙江·开学考试）已知函数
满足：
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】根据题意，
，显然
，所以
，
所以
，函数
的一个周期为8，
所以
.
故选：A
【变式1-2】已知函数
满足对于任意的实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】由
得
，
所以函数
的周期
，
所以
．
故选：B.
【变式1-3】已知函数
对于任意实数
满足条件
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，则
周期为4，
又因为
，所以
，
所以
.
故选：D.
题型二：利用周期性求解析式
【例2】写出一个同时满足下列两个条件的函数
.
①
；
②
恒成立.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由条件①
可得，
，即函数
为周期是
的周期函数；
由条件②
恒成立，可知只需使
，即
为最小值点.
故可取
.
故答案为：
.(答案不唯一)
【解题总结】
利用函数的周期性，可将其他区
上的求
、求零点个数、求解析式等
，
化到已知区
上，
而解
间
值
问题转
间
进
决问题.
【变式2-1】设
是周期为2 的奇函数，当
时，
，则
时，
＝ ．
【答案】
【解析】当
时，
，则
，
因为当
时，
，所以
．
因为
是周期为2 的奇函数，
所以
，
故答案为：
【变式2-2】函数
的周期为
，且当
时，
，则
，
的解析式为 ．
【答案】
/
【解析】因为函数
的周期为
，当
时，
，
且
，当
时，则
，
故当
时，
.
故答案为：
.
【变式2-3】已知
是定义在
上周期为
的函数，当
时，
，那么当
时，
.
【答案】
【解析】因为当
时，
,
是定义在
上周期为
的函数
所以，
，
故答案为：
题型三：奇偶性与周期性
【例3】已知函数
的定义域为
为偶函数，
为奇函数，则
．
【答案】
【解析】由
为偶函数，
，即
，
由
为奇函数，
，即
，
所以
，即
，即
，
所以
，即
是周期为4 的函数，
所以
，又
，
所以
.
故答案为：
【变式3-1】已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则函数
的周期为 ：
．
【答案】 4
【解析】因为
，所以
，
所以函数的周期为4；
又因为函数为奇函数，且当
时，
，
所以
.
故答案为：4；
.
【变式3-2】（2025·高三·福建福州·期中）已知函数
的定义域为
，若
为奇函数，
为偶函数，且
，则
.
【答案】
【解析】因为
为奇函数，所以
，
即
，所以
，
因为
为偶函数，所以
，
所以
，即
，
所以
，
则
是周期为
的周期函数，
因为
，即
，
则
，
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
则
.
故答案为：
.
【变式3-3】已知
是定义在
上的奇函数，且函数
为偶函数，当
时，
，则
，
.
【答案】
/
/
【解析】因为
是定义在
上的奇函数，则
，
又函数
为偶函数，则
，可得
，
则
，可得
，可知
的一个周期为4，
所以
；
.
故答案为：
；
.
题型四：周期内循环
【例4】（多选题）（2025·安徽合肥·三模）已知
，
，且当
时
，则下列正确的是（ ）
A．
B．当
时，
C．
D．
【答案】BCD
【解析】∵
，
∴
，即
，
两式相乘
，
∵
，∴
，即
，
∴
，所以函数周期为6，故A 错误；
当
时，
，
又
，故B 正确；
∵
，
∴
除以6 余数为5，故
，故C 正确，
由题知
，
，
代入可求
，
∴
，
故D 正确，
故选：BCD.
【变式4-1】（多选题）（2025·广西北海·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．函数
有5 个零点
【答案】ACD
【解析】
为奇函数，故
，即
①，
又
为偶函数，故
②，
则由①②可得，
，
则
，则
的一个周期为4，
在①中令
有
，
又当
时，
，则
，则
，
所以
，
故A 正确；
由②可得，
，则
，
即函数
是定义在
上的偶函数，
因
时，
，则
是
上的增函数，
则
是
上的减函数，
因是
的一个周期，则
是
上的减函数，故B 错误；
因为函数
是定义在
上的偶函数，所以
，
所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
函数
的零点个数可以转化为
与
图象的交点个数，
由题意得
与
的图象如下：
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
结合图象可知，函数
在
上存在1 个零点，
当
时，
，
当
时，
，
由此可得
与
的图象有5 个交点，
所以
有5 个零点，故D 正确．
故选：ACD．
【变式4-2】（多选题）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数
的定义域为
，且
，
，当
时，
单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的图象关于直线
对称B．函数
为奇函数
C．
D．
【答案】BC
【解析】因为
，所以
，所以
关于点
中心对称，故A 错
误；
令
，所以
，又
，
所以
，故
为奇函数，故B 正确；
又因为
，所以
是偶函数，所以
，
所以
，所以
，
所以
是周期为4 的函数，
令
，得
，令
，得
，令
，得
，
所以
，故C 正确；
，
又
，
故
，又因为当
，
单调递减，且
，
所以
，所以
关于点
中心对称，
所以
在区间
上单调递减，所以
，
所以
，故D 错误.
故选：BC.
【变式4-3】（多选题）（2025·河北石家庄·三模）已知函数
是定义在R 上的偶函数，
是定义在R 上的奇函数，则（ ）
A．
的图象关于点
中心对称
B．
是周期为2 的函数
C．
D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为
是R 上的奇函数，其图象关于原点对称，
又
可看成是函数
向左平移1 个单位得到，所以
的图象关于点
中心对称，故
A 正确；
对于B，由
是R 上的奇函数，可得
，即
，
又
，则
，所以
，故
是周期为4 的函数，故
B 错误；
对于 C，由
，令
，得
，则
，
，故C 正确；
对于D，由
，则
，又
，
是周期为4 的函数，
则
，
而
的值无法确定，故D 错误.
故选：AC.
题型五：周期与零点
【例5】已知
是定义域为
旳奇函数，满足
，且当
时
．给出下列三个结论：
①
；
②函数
在区间
内有且仅有3 个零点；
③不等式
的解集为
，
．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题意
，
所以
，所以
，①正确；
再结合
，可得：
，
所以
的周期为2，
由
时，
，
结合奇函数性质可知：当
，
所以在一个周期
内，
的解集为
，
在结合函数周期为2，可得：
的解集为：
，
；③正确；
通过
，令
，可得
，则
，
结合函数的周期为2，在
内，结合函数值的正负情况有
，
所以函数
在区间
内有且仅有5 个零点；②错误；
故选：C
【变式5-1】（2025·湖南邵阳·三模）设
，
是定义在
上的两个周期函数，
的周
期为8，
的周期为4，且
是奇函数．当
时，
，
，若在区间
上，函数
恰有8 个零点，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，令
，即
且
，
故
图象是以
为圆心，2 为半径的半圆，
又
的周期为8，若直线
过
时，即
，
在同一坐标系
，
在区间
上的图象如下，恰有8 个交点，
当直线
与半圆
且
相切时，
，
所以
，可得
，结合图知
，
当
与半圆
且
相交时，只有一个交点，
此时，
上
，
恰有5 个交点，
综上，实数
的取值范围是
.
故选：C
【变式5-2】已知定义在R 上的偶函数
满足
，且当
时，
则
的零点个数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【解析】依题意，因为偶函数
满足
，所以函数
的周期为2，
且当
时，
如图所示,
的零点等价于函数
与函数
的交点个数，
所以
零点个数为8 个.
故选：C.
【变式5-3】已知定义在
上的奇函数
，当
时，
，若
恒成立，则函数
的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
等价于
，故
的零点个数等于曲线
和直线
的交点个数，
，故
的一个周期为4，
又
，故曲线
关于直线
对称，
当
时，
递增，可画出
在
上的图象，
再根据曲线
关于直线
对称可画出
在
上的图象，
最后利用周期性可画出
的图象，再在同一坐标系内画出
的图象，
由图可知两图象共有5 个交点，则函数
的零点个数为5，故选D 选项．
故选：D.
题型六：类周期函数
【例6】（2025·高三·浙江·开学考试）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
．若对任意
，都有
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
的最小值是
由
知
当
时，
的最小值是
当
时，
的最小值是
要使
，则
，
解得：
或
故选：D.
【解题总结】
⑴若
（
，
为非零常数），则称
为“周期性”阶梯函数．
⑵若
（
，
为非零常数），则称
为“周期性”倍增函数．
⑶若
（
，
，
为非零常数），则称
为“周期性”倍增阶梯函数．
【变式6-1】设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.若对任意
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，
时，
，
∴
时，
，
，
∴
时，
，
，
由
，解得
或
，
若对任意
，都有
，则
，
故选A．
【变式6-2】（多选题）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.则（ ）
A．当
时，
B．关于
的方程
有且仅有3 个实数根
C．若对任意
都有
，则
的最大值为
D．
【答案】ACD
【解析】定义在
上的函数
，由
，得
，
对于A，当
时，
，则
，A 正确；
对于B，当
时，
，
，由
，得
；
当
时，
，解得
；当
时，
，
解得
或
，因此方程
的根不只3 个，B 错误；
对于C，当
时，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
因此
由
的图象每向右移一个单位，所得函数在该区间上的最小值变为相邻上一个区间上最小值的
2 倍，
由图知，要使对任意
，都有
，则
，
由
，得
，因此m 的最大值是
，C 正确；
对于D，由选项C 知，
，
，
数列
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
，
，则
，
于是
，
两式相减得
，
因此
，D 正确.
故选：ACD
【变式6-3】设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
．若对任意
都有
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
且
，
作出
的大致图象如下图所示：
由图象可知：若
，对于任意
都有
显然不成立，所以
，
由图象可知，当
时，令
，则有
，解得
或
，
结合图象可知，若对于任意
都有
成立，则有
，
故答案为：
.
题型七：奇函数周期零点
【例7】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R 的奇函数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
的最小正周期为2
D．
是曲线
的一条对称轴
【答案】B
【解析】对于A 选项，已知
是定义域为
的奇函数，则
.
令
，代入
可得：
，将
代入得
，即
，所以
A 选项错误.
对于B 选项，因为
是奇函数，则
.
由
可得
.
用
代替
可得
，又因为
，所以
，即
.
那么
.
同理
.
.
.
令
，则
，所以B 选项正确.
对于C 选项，由
可知
，所以
的最小正周期不是
，C 选项错误.
对于D 选项，由
，得
不是曲线
的对称轴，D 选项错误.
故选：B.
【变式7-1】已知函数
是定义在
上的奇函数，
，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解析】因为函数
是定义在
上的奇函数，
，
所以
，所以
，
又
，所以函数
是周期为的周期函数，
则
.
故选：A.
【变式7-2】（2025·山西·一模）已知
是定义在R 上的奇函数，且
的一个周期为4，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题
故
．又
，
，故
．
结合周期性可知
，
故
．
故选：C
【变式7-3】（2025·山东烟台·一模）已知定义在
上的函数
满足：
为奇函数，且
，若
，则正整数
的最小值为（ ）
A．17
B．19
C．21
D．23
【答案】B
【解析】由
，则
，
所以
，即
是周期为8 的函数，
由
为奇函数，则
，则
，
所以
，即
是偶函数，
由
，则
，结合周期性，
对于
，
依次为
，
所以
是周期为4 的函数，则
，
，
，
，
，
，
综上，易知
时，
，
时，
.
所以正整数
的最小值为19.
故选：B
题型八：自对称中的轴对称
【例8】已知函数
满足
，若
与
图象的交点为
，则
（ ）
A．
B．0
C．8
D．12
【答案】D
【解析】因为
，所以
的图象关于
对称，
又因为
的图象关于
对称，
所以函数图象的交点也关于
对称，
故
，
故选：D．
【解题总结】
函数
的
象关于直
图
线
称
对
；
【变式8-1】（2025·高三·山东菏泽·期中）已知函数
满足
，若函
数
与
图象的交点为
，
，则
（ ）.
A．0
B．n
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的图象如图所示：
其图象关于直线
对称，
又函数
满足
，所以函数
图象关于直线
对称，
所以它们交点的横坐标关于直线
对称，不妨设
与
关于直线
对称，
则
与
关于直线
对称，
，则有
，
，
，
所以
，又
，
所以
.
故选：C.
【变式8-2】（多选题）已知函数
的定义域为
，且函数
是偶函数，函数
是奇函数，当
时，
，下列结论正确的是（ ）
A．
的一条对称轴是直线
B．
的一条对称轴是直线
C．方程
有3 个解
D．
【答案】AC
【解析】函数
是偶函数，所以
的图象关于直线
对称，A 选项正确.
由于函数
是奇函数，所以
的图象关于
对称，B 选项错误.
则
，所以
，
即有
，
所以
是周期为
的周期函数.
当
时，
，
画出
、
的大致图象如下图所示，
由图象以及
的周期性可知，两个函数图象有个交点，
则
有3 个解，C 选项正确.
，
，所以
，
所以
，所以D 选项错误.
故选：AC
【变式8-3】（多选题）定义在R 上的函数
满足
为奇函数，
函数
满足
，若
与
恰有2025 个交点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为
的对称轴
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为
，所以函数
的图象关于直线
对称，故B 正确；
又
为奇函数，所以
，
即
，则函数
的图象关于点
对称，
则
，所以
，故C 正确；
所以
，
，
即
，所以函数
是周期函数，周期为
，
，故A 错误；
又
，所以函数
的图象关于点
对称，
因此函数
与
的交点也关于点
对称，
则
，故D 正确，
故选：BCD.
【变式8-4】（多选题）若函数
的定义域为
，且
偶函数，
关于点
成
中心对称.则下列说法正确的是（ ）
A．
的一个周期为2
B．
C．
的一条对称轴为
D．
【答案】BCD
【解析】因为
偶函数，故
，故
，
所以
的图像有一条对称轴为直线
，且
，
又
关于点
成中心对称，故
，
故
，故
且
，
所以
，所以
，
所以
，故
为周期函数且周期为
，
故
有对称轴为
，故C 正确.
而
，故B 正确.
由
可得
，
故
，由
可得
，
故
，故
，故D 成立，
取
， 则
，
，
故
为偶函数，
关于点
成中心对称，满足题设要求，
但
的周期为4，故A 错误.
故选：BCD.
【变式8-5】（多选题）已知函数
的定义域为
，且函数
是偶函数，函数
是奇函数，当
时，
，下列结论正确的是（ ）
A．
的图象的一条对称轴是直线
B．当
时，
C．函数
有3 个零点
D．
【答案】ACD
【解析】对于A：由于
是偶函数，因此可以得到
，
用
替换
可以得到
，则
的对称轴为
，
选项A 正确；
对于B：当
时，
显然是一个增函数，此时
，因此
，
选项B 错误；
对于C：由于
是奇函数，因此可以得到
，
则
，因此
，故
，
因此
，则
，则4 是函数
的周期.
当
时，
是一个向下凹的曲线，在
的下方，
容易知道
是两者一个交点的横坐标，由于
是
的对称轴，
因此当
时，
，
由于
，因此当
时，
，
而4 是函数
的周期，因此当
时，
和
无交点.
由于
，且4 是函数
的周期，因此
，
进一步得到
，因此
，
故
是奇函数，而
也是奇函数，因此当
时两者也只有一个交点，
显然
是它们一个交点的横坐标，故总共有三个交点，即
有三个零点，
选项C 正确.
对于D：由于
，因此
，有
.
则
，D 选项正确.
故选：ACD.
题型九：自对称中的中心对称
【例9】已知定义在
上的函数
满足
，若函数
与
的图象的
交点为
则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．0
【答案】C
【解析】由
得
关于
对称，
由
得
，
即
，
所以
也关于
对称，
因此两函数图象交点也是对称的，
假设点
与点
对称，
则
，所以推理可得
.
【解题总结】
函数
图象关于点
成中心对称．
【变式9-1】（2025·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数
共有
个交点
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
函数
满足
，
的图象关于点
对称，
而
，
所以函数
的图象也关于
对称，
设
令
，则
，
，
令
，则
，
，
，
故选：C
【变式9-2】我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点
成中心对称图形的充
要条件是函数
为奇函数.已知函数
是奇函数，
，则下列结论不
正确的是（ ）
A．函数
的图象关于点
对称
B．函数
是奇函数
C．函数
的导函数
关于直线
对称
D．若函数
的图象与函数
的图象有2024 个交点，记为
，则
【答案】D
【解析】对于选项A：因为
是奇函数，所以函数
的图象关于点
对称，所以选项
A 正确；
对于选项B：令
，
，即函数
是奇函数，所以选项B 正确；
对于选项C：由选项B 可知
是奇函数，所以
，
两边同时求导可得
，即
，所以
关于直线
对称，所以选项C 正
确；
对于选项D：函数
的图象与函数
的图象有2024 个交点关于点
对称，
因此
，所以选项D 错误.
故选：D．
【变式9-3】（2025·广东珠海·模拟预测）已知函数
定义域为
，且满足
，
，若
的图象与
的图象的交点分别为
，
，……，
，
则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于
，
，
，
所以
的图象关于点
对称．因为
所以
是奇函数，
是奇函数，图象关于原点对称，
所以
的图象关于点
对称，
所以
，
的图象的交点关于
对称，
所以
．
故选：D
【变式9-4】（2025·河南·一模）已知曲线
关于点
中心对称，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
关于点
中心对称，
所以
，
所以
，可得
，
故选：C．
【变式9-5】（2025·陕西咸阳·二模）已知
是定义在
上的函数，且
为奇函数，若函
数
的图象与函数
的图象有
个交点
，…，
，
且
，则
的值为（ ）
A．1010
B．1012
C．1014
D．1016
【答案】B
【解析】因为
为奇函数，所以
，
所以
的图象关于点
对称，
函数
，
对于函数
，
可得
，
所以函数
为奇函数，其图象关于原点对称，
所以
的图象关于
对称，
所以
为偶数，这些根成对出现，每对和为
，
所以设
，则
，所以
，解得
.
故选：B.
题型十：双函数对称问题
【例10】函数
与
的图象关于（ ）
A．
轴对称
B．
轴对称
C．直线
对称
D．原点中心对称
【答案】D
【解析】令函数
，
，
对于A，
，
，
，A 错误；
对于B，
，
，
，B 错误；
对于C，点
在
的图象上，而
，即点
不在
的图象上，C 错误；
对于D，
，
，两个函数图象关于原点中心对称，D 正确.
故选：D
【解题总结】
1、函数
和函数
关于
轴对称．
2、函数
和函数
关于
轴对称．
3、函数
和函数
关于
对称．
4、函数
和函数
关于
对称．
【变式10-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R 的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象（ ）
A．关于x＝1 对称B．关于x＝3 对称
C．关于y＝3 对称
D．关于(3，0)对称
【答案】A
【解析】设
为
图象上任意一点，说明点
在函数
的图象上，根据
点
关于直线
对称得解.设
为
图象上任意一点，
则
，
所以点
在函数
的图象上，
而
与
关于直线
对称，
所以函数
与
的图象关于直线
对称.
故选：A
【变式10-2】设函数
的定义域为
，则函数
与函数
的图象关于
（ ）
A．直线
对称
B．直线
对称
C．直线
对称
D．直线
对称
【答案】B
【解析】函数
是由
向右平移一个单位得到，
函数
是由
向右平移一个单位得到，
又函数
与
关于
轴对称，
所以函数
与
关于直线
对称，
又
是由
向右平移
个单位，
所以函数
与函数
关于直线
对称，
故选：B.
【变式10-3】设函数
的定义域为
，则函数
与函数
的图象关于
（ ）
A．直线
对称
B．直线
对称
C．直线
对称
D．直线
对称
【答案】D
【解析】设函数
的图象上任意一点
，则
，
关于直线
的对称点为
．
又函数
中，当
时，
，
所以
在
的图象上．
故函数
与函数
的图象关于直线
对称，
故选：D
【变式10-4】已知函数
与
的图象上存在关于
对称的点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵函数
与
（
）的图象上存在关于
对称的点，∴
有解，∴
，∴
在
上有解，令
，
，
在
上单调递减，
单调递增，
，
，
故选：C.
题型十一：三次函数对称性
【例11】对于三次函数
给出定义: 设
是函数
的导数，
是
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”．某同
学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对
称中心.给定函数
，请你根据上面探究结果，计算
（ ）
A．1010
B．2020
C．2023
D．2024
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
，
令
，即
，解得
，
又
，
由题中给出的结论，可知函数
的对称中心为
，
所以
，
即
，
故
，
所以
.
故选：B
【解题总结】
三次函数
的图象关于点
对称．
【变式11-1】已知所有的三次函数
都有对称中心
，
若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，则
，
即函数
的图象的对称中心为
，则
，
故
故选：A.
【变式11-2】（2025·江西上饶·模拟预测）已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数
的零点．若
，则
（ ）
A．0
B．4
C．
D．
【答案】B
【解析】由题，
，故二阶导函数的零点为
，即对称中心的横坐标为
1，
设对称中心为
，则
，可解得
，
由
，故
，
故选：B
【变式11-3】（2025·陕西咸阳·三模）设
是函数
的导数，
是
的导数，若
方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，
又有对称中心，且拐点就是对称中心．设
，数列
的通项公式为
，
则
（ ）
A．2017
B．2018
C．8068
D．4034
【答案】D
【解析】根据题意，三次函数
，
则
，则
，
若
，则有
，
又由
，则
，
即
是三次函数
的对称中心，
则有
，
数列
的通项公式为
为等差数列，
则有
，
则
，所以D 正确.
故选：D.
题型十二：双对称与周期
【例12】（多选题）已知函数
是奇函数，
是
的导函数
，
且
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
为偶函数
C．
D．函数
的周期为4
【答案】ABD
【解析】由条件可知，
，即
，
所以函数
是周期为4 的函数，
，故A 正确；
由
，两边取导数，得
，即
，所以
是偶函数，故B 正确；
由
，两边取导数，得
，即
，
令
，得
，即
，故C 错误；
因为
，两边取导数，得
，即
，所以函数
的周期为4，
故D 正确.
故选：ABD
【解题总结】
1、若
关于点
，
对称，则
是周期函数，且
2、若
图象有两条对称轴
，
则
是周期函数，且
3、若
关于点
对称，且关于
对称，则
是周期函数，且
【变式12-1】（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数
满足关系式
，
，且
在
上的解析式为
，
为
的导函
数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
为奇函数
【答案】ACD
【解析】由
，可得到函数
图像的对称轴为
，
由
，可得到函数
图像的对称中心横坐标为
，
所以函数
的周期
.
因为
时，
，根据对称性和周期性，可画出
的图像，如图所示.
由周期性可知，
，故A 正确；
根据周期性可知，
，故B 错误；
，由图可知，
，
，所以
，故C 正确；
由图可知，函数
在
轴两侧的图像是对称的，因此导函数应应当关于原点对称，即
为奇函数，
故D 正确；
故选：ACD.
【变式12-2】（多选题）（2025·宁夏银川·三模）已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
是周期为3 的周期函数
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，
，所以
不是奇函数，错误；
对于B：因为
为奇函数，
所以
，
由
，可得：
，
所以
，即
，
所以
，偶函数，正确；
对于C：由
，
可得
，所以
是周期为3 的周期函数，正确；
对于D，
，
所以
，
由周期性可得：
故选：BCD
【变式12-3】（多选题）（2025·福建莆田·三模）已知定义域为
的函数
是偶函数，且
，
，若
，其中
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值为
【答案】ACD
【解析】在
中，令
，得
，即
，又
是偶函数，所以
，故A 正确；
因为
是偶函数，所以
，又
，
所以
，将
替换为
可得
①，
将
替换为
可得
②，
可得
，即
，
所以
是
的一个周期，
又
，
，
，
，
，
所以
，故B 错误；
因为
，所以
关于
中心对称，
又
是偶函数，所以
关于
中心对称，
所以
，
即
，
，
，
，
，
令
，得
，
，即
，
所以
，解得
，故C 正确；
由
，得
，且
，
当
时，则
，
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立；
当
时，
，
，
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，又
，
所以
的最小值为
，故D 正确．
故选：ACD．
1．已知曲线
的对称中心为点M，曲线
上两个不重合的动点
、
关于
点M 对称，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：方法一：因为
，
得曲线
的对称中心为
，
所以
，即
，
，
又因为A、B 两点不重合，故
，得
，
所以
；
方法二：不妨设点
，由题意可得
，
等式两边求导得
，即
，
点
、
关于点M 对称，则
，
则
，
又
，所以
，
即
，
又
，化简得
，则
，可得
，
所以
，
因此
的取值范围是
故选：
2．（多选题）定义在R 上的奇函数
与函数
的图象关于直线
对称，则
A．函数
图象关于点
对称
B．函数
图象关于点
对称
C．函数
与
图象关于直线
对称
D．函数
与
图象关于直线
对称
【答案】ACD
【解析】解：法一：因为
是奇函数，则
，
则
图象关于点
对称，A 正确；
奇函数
关于原点对称，又函数
与
关于直线
对称，
则
关于点
对称，得
，
得
关于点
对称，故B 错误；
由
与函数
关于直线
对称得
，
所以函数
与
图象关于
对称，故C 正确；
，
得函数
与
图象关于
对称，故D 正确；
法二：因为
是奇函数，设
，则
，
，
又
与函数
关于直线
对称，则
，
，由
，故A 正确；
不关于点
对称，故B 错误；
由
，
关于直线
对称，故C 正确；
由
，
关于直线
对称，故D 正确；
法三：画图象由图可知，ACD 正确．
故选：
3．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）已知函数
的定义域为R，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为
，令
可得，
，所以
，令
可得，
，即
，所以函数
为偶函数，令
得，
，即有
，从而可知
，
，故
，即
，所以函数
的一个周期为
．因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由
，联想到余弦函数和差化积公式
，可设
，则由方法一中
知
，
解得
，取
，
所以
，则
，所以
符合条件，因此
的周期
，
，且
，所以
，
由于22 除以6 余4，
所以
．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
①数形结合
1 ．已知
是定义在R 上的奇函数，
为偶函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
的周期为2
B．
…
C．
的所有零点之和为16
D．
【答案】D
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，
是定义在R 上的奇函数，则
，
又由
为偶函数，则
的图象关于直线
对称，则有
，
故有
，故
的周期不为2，变形可得
，
的周期为4，故A 错误；
对于B，由A 的结论，
，则有
，
可得：
，
，
，
则有
，
又由
的周期为4，
故
…
，故B 错误；
对于C，
的零点可看作
与
的图象交点的横坐标，
作出
与
的图象，如图：
观察图形知，直线
与
的图象共有7 个交点，且它们关于点
成中心对称，
故函数
的所有零点之和为
，故C 错误；
对于D，设
，
函数
的最小正周期
，易得
的周期为4，
在区间
上，
，
，此时有
，
在区间
上，
，
，此时有
，
而
的周期为4，故有
恒成立，故D 正确．
故选：
2．已知函数
分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且当
时，
，
则下列说法正确的是
A．
是周期为2 的函数
B．
C．函数
为奇函数
D．函数
有5 个零点
【答案】D
【解析】解：A，
为R 上的奇函数，
为偶函数，
所以
的图象关于直线
对称，
，
即
，则
是以4 为周期的函数，错误；
B，
是R 上的奇函数，则
是以4 为周期的函数，则
，
当
时，
，则
，则
，
所以
，错误；
C，
为偶函数，所以
，即
，故
是偶函数，错误；
D，函数
的零点个数等价于
和
的图象的交点个数，
而
，结合
和
的图象，共有5 个交点，正确．
故选：D
3．（多选题）已知函数
的定义域为R，且
为奇函数，
为偶函数，当
时，
则下列结论正确的是
A．
B．
在区间
上单调递增
C．
的图象关于直线
对称
D．函数
有5 个零点
【答案】ACD
【解析】解：因为
为奇函数，则
，
函数
的图象关于点
对称，则有
，
又因为
为偶函数，则
，
函数
的图象关于直线
对称，则有
，
由
和
可得
，
令
，则
，
，即
，
那么
，所以
，函数
的周期是4，
又当
时，
，如图：
则
，故A 正确；
在区间
上单调递减，故B 错误；
的图象关于直线
对称，故C 正确；
因为
的图像和
的图像有5 个不同的交点，
故函数
有5 个零点，故D 正确．
故选：
②转化与化归
4 ．已知函数
为定义在R 上的函数
的导函数，若
，
，且
，则
．
【答案】
【解析】
解：函数
的定义域为R，因为
，
所以函数
关于点
对称，
因为
，两边求导：
，
所以
关于直线
对称，
又
，
所以函数
关于
对称，
，又
，
所以
，即
，
所以
，所以8 为函数
的一个周期，
所以
，
，
，
，
5．已知函数
是定义在R 上的偶函数，且
，当
时，
，则当
时，
．
【答案】
【解析】解：因为函数
是定义在R 上的偶函数，所以
，
当
时，
，
又当
时，
，
则
故答案为：
6．已知函数
的定义域为R，
若函数
为奇函数，
为偶函数，则
．
【答案】2
【解析】解：因为函数
为奇函数，定义域为R，所以有
，
又因为
为偶函数，所以
，
于是有
，
所以函数
的周期为4，
则
，
所以
故答案为
③分类讨论
7 ．已知函数
，
，若
的图象与
的图象的交点分别为
，则
．
【答案】10
【解析】解：函数
在R 上单调递减，当
时，
，
，则
的图象关于点
对称，
的最小正周期为2，
，
的图象关于点
对称，
因此函数
与
的图象有相同的对称中心
，它们的交点关于点
对称，
当
时，
，即当
时，函数
与
的图象没有交点，
根据对称性，
时两者没有交点，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
，
当
时，
，因此当
时，函数
与
的图象有2 个交点，
根据对称性，
时，两图象也有2 交点，
所以函数
与
图象共有5 个交点，不妨设
，
则
关于
对称，
关于
对称，
，
则
故答案为：
8．已知函数
，给出下列命题：
必为偶函数；
若
，则
的图象关于直线
对称；
若
，则
在区间
上是增函数；
有最大值
其中正确命题的序号是
．
填出所有你认为正确的命题的序号
【答案】
【解析】
解：当
时，
不具有奇偶性，
错误；
令
，
，则
，
此时
，
但
的对称轴为y 轴，而不关于直线
对称，
错误；
因为
，图象的对称轴为直线
根据题意，
，
所以
，
显然
在
上是增函数，
故
正确；
无最大值，故
不正确．
故答案为
9．已知函数
，若关于x 的方程
有4 个不同的实数根，且所有实数
根之和为2，则实数t 的取值范围为
．
【答案】
【解析】
解：令
，则
；
故
的图象关于
对称，
又
方程
有4 个不同的实数根，且所有实数根之和为2，
故
，故
；
故
，
作函数
的图象如下，
关于x 的方程
有4 个不同的实数根，
可转化为函数
与
有四个不同的交点，
故结合图象可知，实数t 的取值范围为：
故答案为
基础过关篇
1．（2025 年高考全国一卷数学真题）设
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知
对一切
成立，
于是
.
故选：A
2．（2022 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数
的定义域均为R，且
．若
的图像关于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
的图像关于直线
对称，
所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
代入得
，即
，
所以
，
.
因为
，所以
，即
，所以
.
因为
，所以
，又因为
，
联立得，
，
所以
的图像关于点
中心对称，因为函数
的定义域为R，
所以
因为
，所以
.
所以
.
故选：D
3．（多选题）（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【解析】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
4．（多选题）（2022 年新高考全国I 卷数学真题）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，若
，
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于
，因为
为偶函数，所以
即
①，所以
，所以
关于
对称，则
，故C 正确；
对于
，因为
为偶函数，
，
，所以
关于
对称，
由①求导，和
，得
，所以
，
所以
关于
对称，因为其定义域为R，所以
，结合
关于
对称，从而周期
，所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数
值，故A 错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知
周期为2，关于
对称，故可设
，则
，显然A，
D 错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为
，
均为偶函数，
所以
即
，
，
所以
，
，则
，故C 正确；
函数
，
的图象分别关于直线
对称，
又
，且函数
可导，
所以
，
所以
，所以
，
所以
，
，故B 正确，D 错误；
若函数
满足题设条件，则函数
（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定
的函数
值，故A 错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该
题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
5．（2025·河北·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
得，
，三式相加得，
，
即
，又
，所以
，则
，
所以
故A，B 错误；
，故C 正确，D 错误.
故选：C．
6．（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数
满足
为奇函数，且
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】由
为奇函数，得
，
所以
图象的对称中心为
，令
由
的图象关于直线
对称，得
，
由
得
，所以
，
则
的一个周期为4，则
则
．
故选：B.
7．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
是定义域为
的奇函数，且
，
则
，故
，
所以，函数
是周期为
的周期函数，由奇函数的性质可得
，
所以，
，
，
因此，
.
故选：D.
8．（2025·河北·模拟预测）若函数
是定义域为R 且周期为3 的奇函数，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】因为函数
是定义域为R 且周期为3 的奇函数，
则
，
，
，
所以
.
故选：B.
9．（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数
满足：
，且
，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，用
代换
，可得
，
联立方程组
，可得
，即
，
又由函数
为偶函数，且
，可得
与
同号，
所以
，可得函数
是周期为
的函数，
因为
，
与
同号，则
，
令
，可得
，所以
，
则
.
故选：C.
10．（2025·云南·模拟预测）设
是定义在
上的奇函数，
，
，则
（ ）
A．0
B．-1012
C．-2
D．1010
【答案】C
【解析】已知
为奇函数，所以
且
，
因为
，所以
，则
，函数
的周期为4，
因为
，
，
，
，
所以
，
因为
，前2024 项和为
，
，
所以
.
故选：C
11．（2025·江西·二模）已知函数
是定义在
上的函数，
，且对任意的
都有
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，得
，
由
，
，
得
，
，
即
，
，
所以
，
所以
，
又因为
，故
.
故选：B.
12．（2025·江西赣州·二模）已知函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，则
，
又因为
，所以，
，故
，
即
.
故选：B.
13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数
的定义域为
，且对任意的实数
，都有
，且
，则下列说法错误的是（ ）
A．
为偶函数
B．
为周期函数且周期为12
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，用
代替
，可得
，
令
，得
，即
，
令
，得
，所以
，C 正确；
用
替换
，可得
，所以
，
所以函数
为偶函数，A 正确；
用
替换
，可得
，
所以
，所以
，
所以
，即
．
所以
，
故
是以12 为周期的周期函数，B 正确；
，
所以
；
，
，
，
所以
，D 错误.
故选：D.
14．（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
对任意实数a，b 都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若x 为正整数，则
【答案】ABD
【解析】令
，得
，
因为
，所以
，故A 对；
令
得
，
令
得
，故B 对；
由
得
，
所以函数
是周期为8 的函数，
又
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
，函数
是周期为8 的函数，
如
，则
，故C 错；
若x 为正整数，则
，
所以
，故D 对；
故选：ABD
能力拓展篇
15．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数
，对任意
，均有
，且
为
的导函数，则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】ABD
【解析】令
，得
，解得
，故A 正确；
令
，得
，所以
，即
为奇函数，故B 正确；
令
，得
.
因为
，所以
，
所以
，
所以
的周期是4，所以
，
所以
，故C 错误；
对
两边求导，得
，所以
的周期为4.
对
两边求导，
，所以
.对于
中关于
求导，
可得
，
令
，可得
，
令
，可得
.又因为
，
所以
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
16．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
曲线
的图象关于直线
对称．若
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
，即
关于点
对称，
，又曲线
的图象关于直线
对称，所以
也关于点
对称，即
结合
可得
，即
，所以函数
呈周期性变化，
又曲线
的图象关于直线
对称，
时，
，则
时，
，又
，
时，则
，
，
又关于直线
对称，
时，
，
根据题意可作出函数图像如下：
根据图像可知函数
在两条斜率为1 的直线之间，设下面一条直线方程为：
与
相
切，
，切点为
，
此时切线方程为：
，又因为
，所以
，故A 正确；
通过对称可得
，故B 正确；
由
，所以
，故C 错误；
，
，故D 正确；
故选：ABD.
17．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称D．
【答案】AC
【解析】由题意得任意
，
，且
，
令
，则
，则
．
令
，则
，故A 正确．
令
，则
，所以
的图象关于直线
对
称，故C 正确．
令
，则
，结合C 选项，得
，
所以有
，则
为奇函数．
又因为
的图象关于直线
对称，所以
是以2 为周期的函数，所以
，故B 错误．
令
，则
，
，
故D 错误．
故选：AC．
18．已知定义在
上的函数
的图象经过坐标原点，
，
，且
为偶函数，则
．
【答案】2499
【解析】由
，得
（*）．
在
中，用
替换
，可得
，
则
，即
①，
在①式中，用
替换
，则得
②．
又因
为偶函数，所以
③，
故由②③，可得
，用
替换
，可得
，
比较两式，可得
，即
是以4 为一个周期的函数．
因为
的图象经过原点，所以
，由（*）可得
．
在
中，令
，得
，所以
，
在
中，令
，可得
，
在
中，令
，可得
，
则
，
则
．
故答案为：2499.
19．（2025·四川攀枝花·三模）函数
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由于
，且定义
域为
，所以
是偶函数，
所以只需要研究
部分，即
由于
，
所以当
时，
是一个周期为
的函数，
则只需要研究一个周期
的最小值，以下分类讨论：
则当
时，
，
此时最小值为
，
当
时，
，
此时最小值为
，
则当
时，
，
此时最小值为
，
当
时，
，
此时最小值为
，
当
时，
，
此时最小值为
，
综上最小值为
，
故答案为：
.
20．（2025·河北·二模）已知定义在
上的函数
的导函数为
，
为偶函数，且
，则
．
【答案】
【解析】由
为偶函数得
，
则
．
两边同时求导，得
①．
所以
的图象关于点
对称，即
，
由
的图象关于点
对称，得
②．
①-②，得
，所以
，
又
，所以
，
即
的周期为4，
，
，
．
故答案为
．
21．（2025·山西忻州·模拟预测）已知函数
，
的定义域均为R，且
为偶函数，
为奇函数，函数
的最小值为
，若函数
有两个零点s，t，
则
．
【答案】10
【解析】由函数
的最小值为
，
得
，解得
，
又
，故
，所以
，对称轴为
．
因为函数
为偶函数，所以
，可得
；
因为函数
为奇函数，所以
，可得
，
又
，所以
，即
，
所以
，故函数
是以4 为周期的周期函数，
由
，得函数
关于
对称，
所以函数
关于
对称，故
关于
对称，
所以
．
故答案为：10.
