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特训 01 函数的周期性与对称性及应用（九大题型）
一 、函数图象的对称性
1.对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域 要关于对称轴(或对称中心)对称。
2.函数图象对称性的结论
(1)函数f(x)满 足f(a+x)=f(b-x)⇔y=f(x)的图象关于直线x=
(2)函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=2c⇔y=f(x)的图像关于点 对称
二 、函数奇偶性与对称性间的关系
(1)若函数y=ʃ(x+a)是偶函数，即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
一般的，若对于R上的任意x 都有f(a-x)=f(a+x), 则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=ʃ(x+a)是奇函数，即ʃ(-x+a)+f(x+a)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(a,0) 对称.
一般的，若对于R上的任意x都有f(-x+a)+f(x+a)=2b, 则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称。
三、函数的周期性
1.周期函数的定义
对于函数y=f(x),如果存在一个常数T≠0,能使得当x取定义域内的所有值时，都有f(x+T)=ʃ(x),则函数
y=f(x)叫做以T为周期的周期函数.
2.函数周期性的结论
(1)若函数f（x）恒满足f（x+a）=f（x+b），则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
(2)若函数f（x）恒满足f（x+a）= -f（x），则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足/(x+a)= -f（x+b）(a≠b)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
(3)若函数f（x）恒满足f（x+a）= (a≠0)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.推论：若函数(x)恒满足f (x+a)= (a≠b)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
(4)若函数f（x）恒满足f（x+a）= - (a≠0)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足f (x+a)= - (a≠b)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
(5)对于定义域中的任意x,恒有 ,则f(x)为周期函数， 是它的一个周期.
(6)对于定义域中的任意x,恒有 ,则f(x)为周期函数， 是它的一个周期.
(7)如果(x)=f(x-a)-f(x-2a)(a=0),等价于(x)=-f(x-3a),则f(x)为周期函数，且 是它的一个周期.
四、函数的对称性与周期性间的关系(多对称性产生周期性)
(1)若函数 f(x)是偶函数，且关于直线 x=a(a≠0)对称，则 f(x)是周期函数， 是它的一个周期
推论：若函数 f(x)关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称，则 f(x)是周期函数， 是它的一个周期.
(2)若函数 f(x) 是奇函数，且关于直线 x=a(a≠0)对称，则 f(x) 是周期函数， 是它的一个周期
推论：若函数 f(x)关于点(a,0)、直线 x=b(a≠b)对称，则 f(x)是周期函数， 是它的一个周期.
(3)若函数 f(x)是奇函数，且关于点(a,0)(a≠0) 对称，则 f(x) 是周期函数 是它的一个周期
推 论 ： 若 函 数 关 于 点 (a,0),(b,0)(a≠b) 对 称 ， 则 f(x) 是 周 期 函 数 ， 是 它 的 一 个 周 期
目录：01 函数周期性的定义与求解
02 由周期性求函数的解析式
03 判断证明抽象函数的周期性
04 由函数的周期性求函数值
05 判断或证明函数的对称性
06 由对称性求函数的解析式
07 由对称性研究函数的单调性
08 由对称性求参数
09 函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题
01 函数周期性的定义与求解
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的周期是3，则 的周期为（ ）．
A． B．3 C．6 D．9
2．（2021高一·上海·专题练习）函数 为定义在 上的奇函数，且满足 ，则 的周期
为 ．
3．（20-21高二上·广东汕头·期末）已知函数 是奇函数，且满足 ，若当 时，
，则 .
4．（2024·广东茂名·一模）函数 和 均为 上的奇函数，若 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．2
5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 的定义域为 为偶函数， ，则（ ）
A．函数 为偶函数 B．
C． D．
02 由周期性求函数的解析式
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 满足 ，当 时，有 ，则当x∈
（-3，-2）时， 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三·全国·对口高考）函数 的周期为 ，且当 时， ，则 ，
的解析式为 ．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在R上奇函数，且满足 ,当
时， ，则当 时 的最大值为
A． B． C．1 D．0
9．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设 是定义在 上周期为4的偶函数，且当 时，
，则函数 在 上的解析式为 .
10．（2021·新疆巴音郭楞·模拟预测）设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]
上，f (x)＝ 则f (2019)＝ .
03 判断证明抽象函数的周期性
11．（2022高三·全国·专题练习）设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ．
当 ， 时， ．（1）求证： 是周期函数；
（2）当 ， 时，求 的解析式；
（3）计算 的值．
12．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在 上的函数 满足 ，都有
且当 时，
(1)求 ；
(2)证明： 为周期函数；
(3)判断并证明 在区间 上的单调性．
13．（23-24高三上·重庆·阶段练习）定义在 上的函数 满足:对任意 ，都有 ，
且 为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
14．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知函数 ，其导函数记为 ，有以下
四个命题：
①若 为偶函数，则 为奇函数；
②若 为偶函数，则 为奇函数；
③若 为周期函数，则 也为周期函数；
④若 为周期函数，则 也为周期函数.
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
04 由函数的周期性求函数值15．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）函数 的图象如图所示，直线
经过函数 图象的最高点 和最低点 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 与 及其导函数 和 的定义域都为
，且 为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数 的定义域均为
，若 是偶函数且 ，则 （ ）
A．0 B．4 C．2023 D．2024
05 判断或证明函数的对称性
18．（2024·山西临汾·二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．函数 的图象关于直线 对称
C． ，方程 都有两个不等的实根
D．不等式 恒成立
19．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线（ ）
A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称
20．（2024·浙江温州·二模）已知定义在 上的函数 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 的图象关于 对称
C． 在 单调递增 D． 有最小值
06 由对称性求函数的解析式
21．（2023·新疆·二模）设 是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间 上单调递减，且满足
， ，则不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·河南·模拟预测）已知函数 对任意 都有 ，且函数 的图象关
于 对称，当 时， .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的最小正周期为2
D．当 时，
23．（2023高三·全国·专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，函数为偶函数，且当 时， ，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数 是周期为4的周期函数 B．
C．当 时， D．不等式 的解集为
07 由对称性研究函数的单调性
24．（2024·辽宁·一模）已知函数 为偶函数，且当 时， 若
，则（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，且
在 上单调递增，则下列判断正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 是奇函数
C．
D．
26．（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，
当 时， ，若 ，则（ ）
A． 在区间 上是增函数，且有最小值为
B． 在区间 上是减函数，且有最大值为C． 在区间 上是增函数，且有最大值为
D． 在区间 上是减函数，且有最小值为
08 由对称性求参数
27．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
28．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 在 存在最大值与最小值
分别为 和 ，则函数 ，函数 图像的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
09 函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题
29．（23-24高三下·重庆九龙坡·阶段练习）设关于 的方程 有3个互不相同的实
根，则实数 的取值范围是 .
30．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在 上的增函数 满足:对任意的 都有
且 ，函数 满足 ， . 当 时，
，若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次
为 ， ，…， ，若 ，则 的取值范围为
31．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设函数 的图象既关于点 对称，又关于直线 轴对
称．当 时， ，则 的值为 ．32．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数 的定义域为 ， ，且 ，则
在 上的零点个数的最小值为 .
33．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数 若 的图象上存在关于直
线 对称的两个点，则 的最大值为 .
34．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数 满足 ，当 时，
.函数 ，则 与 的图象所有交点的横坐标之和为 .
35．（2024·全国·模拟预测）已知函数 满足 ，且当 时， ，有以下四
个结论：① 的值域是 ；② 在 上有8个零点；③若方程 有4个不相
等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程 有4个不相等的实数根，则 ．
所有正确结论的序号是 ．
36．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）我们知道，设函数 的定义域为 ，如果对任意 ，都有
，且 ，那么函数 的图象关于点 成中心对称．若函数
的图象关于点 成中心对称，则实数 的值为 ；若 ，则
实数 的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 与 及其导函数 和 的定义域都为，且 为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽·模拟预测）若定义在 上的函数 ，满足 ，且
，则 （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
3．（2024·四川南充·三模）已知函数 的定义域均为R，函数 的图象关于原点对称，
函数 的图象关于y轴对称， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
4．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 的图象在x轴上方，对 ，都有 ，若
的图象关于直线 对称，且 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024·江西·模拟预测）已知定义域为R的函数 满足： ，
，且 ，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C．若 ，则 D． 是奇函数
6．（2024·山东聊城·三模）设函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，将
的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 的图象与 的图象的
所有交点的横坐标之和为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．27．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 的定义域为 ，函数 满足
， 图象的交点分别是 ，
，则 可能值为（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
二、多选题
9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线 是函数 图象的对称轴，则函数 的解析式可以是
（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．
若 与 均为偶函数，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 是周期4的周期函数 B． 图象关于点 对称
C． D． 图象关于点 对称
11．（2024·湖北·模拟预测）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 .若， ，且 为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称 B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时，
，则 .
13．（2023·海南海口·一模）已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，
，则 .
14．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在 上的增函数 满足:对任意的 都有
且 ，函数 满足 ， . 当 时，
，若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次
为 ， ，…， ，若 ，则 的取值范围为
四、解答题
15．（2023·上海徐汇·一模）若函数 的导函数 是以 为周期的函数，则
称函数 具有“ 性质”．
(1)试判断函数 和 是否具有“ 性质”，并说明理由；(2)已知函数 ，其中 具有“ 性质”，求函数 在 上的极小
值点；
(3)若函数 具有“ 性质”，且存在实数 使得对任意 都有 成立，求证：
为周期函数．
（可用结论：若函数 的导函数满足 ，则 （常数）．）
