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专题15.18 分式方程（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023下·吉林长春·八年级期中）在 ， ， ， 这四个代数式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）如果分式 的值为0，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．不存在
3．（2023上·湖南邵阳·八年级统考期中）华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟
十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进
行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅
米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河北保定·九年级校考开学考试）关于x的方程 ，下列做法正确的是
（ ）
A．方程两边都乘以 得： B． 是方程的解
C．方程两边都乘以 得： D． 是方程的增根
5．（2023上·河北邢台·八年级校考期中）在对分式 约分时，公因式可以是（ ）
A．4 B． C． D．
6．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）若 是一个最简分式，则△可以是（ ）A．x B． C．3 D．
7．（2022上·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．当 时，分式 无意义 B．当 时，分式 的值为正数
C．当分式 时， D．分式 与 的最简公分母是
8．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期中）若解分式方程 产生增根，则k的值为
（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
9．（2022下·湖北咸宁·八年级校考期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·湖南永州·八年级校考期中）2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组
织八年级部分同学进行了两次地展应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的
多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离x人，则x满足
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022上·广东惠州·八年级校考阶段练习） ．
12．（2022下·湖北黄石·九年级校考开学考试）计算： ．13．（2023上·全国·八年级专题练习）在分式 中，分子与分母的公因式是 ．
14．（2023上·江苏盐城·八年级校考期中）分式 的最简公分母是
15．（2023上·湖南永州·八年级校考期末）化简 ，结果是
16．（2023上·广东梅州·九年级校考开学考试）若关于 的分式方程 无解，则m的
值是
17．（2023上·新疆乌鲁木齐·八年级校考期末）若实数x满足 ，则 的值= ．
18．（2023上·广西桂林·八年级校考期中）已知 （ 且 ）， ， ，…，
，则 等于 （用含 的代数式表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·广西北海·八年级统考期中）计算：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2023上·湖南永州·八年级校联考期中）化简：
（1） ． （2）21．（10分）（2023上·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）解方程
（1） ； （2） ．
22．（10分）（2023·广东湛江·统考三模）化简求值： ，并从 ，0，1中任意
选一个数代入求值．
23．（10分）（2023上·重庆·八年级西南大学附中校考期中）暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两
队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走 路线，全程2000千米，乙队走 路线，全程
2400千米，由于 路线车流量较小，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3
天到达目的地．
（1）求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
（2）甲乙两队规划的总预算为15600．甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出
发时又有 个人一起加入了队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，乙队
每人每天的平均花费一直是250元．若甲乙两队的最终人数一样多，且所花时间与各自原计划天数一致，
两队总花费没有超支．求 的值最大是多少．24．（12分）（2019下·江苏常州·八年级统考期末）（1）读读做做：教材中有这样的问题，观察下
面的式子，探索它们的规律， =1- ， = ， = ……用正整数n表示这个规律是______；
（2）问题解决：一容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出 L水，第二次倒出的水量
是 L水的 ，第三次倒出的水量是 L水的 ，第四次倒出的水量是 L水的 ，……，第n次倒出的水
量是 L水的 ，……，按照这种倒水方式，这1L水能否倒完？
（3）拓展探究：①解方程： + + + = ；
②化简： + + …+ ．参考答案：
1．A
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
解：A． 是分式，故此选项符合题意；
B． 是整式，不是分式，故此选项不符合题意；
C． 是整式，不是分式，故此选项不符合题意；D． 是整式，不是分式，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查分式的定义：一般地，如果 、 表示两个整式，且 中含有字母，那么式子 就
叫做分式，其中 称为分子， 称为分母．能熟记分式的定义是解题的关键，判断一个代数式是分式的关
键是看分母中含有字母．
2．B
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不等于零，
得出答案．
解： 分式 的值为零，
且 ，
解得 ，
故选：B．
3．C
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把
原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是
正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
解： ．
故选：C．
4．D
【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得
到分式方程的解．
解：A、方程两边同乘以 ，得： ，故本选项不符合题意；B、解方程得 ，当 时分母 ， 是方程的增根，故本选项不符合题意；
C、方程两边同乘以 ，得： ，故本选项不符合题意；
D、解方程得 ，当 时分母 ， 是方程的增根，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．B
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
解： ，
所以公因式是 ，
故选：B
【点拨】本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分子及分母的公因式．
6．A
【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公
因式时 （即分子与分母互素）叫最简分式．
解：A. ，是最简分式，故该选项符合题意；
B. ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
C. ，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D. ，不是最简分式，故该选项不符合题意；故选：A．
【点拨】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键．
7．C
【分析】利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可．
解：A．当 时，分母为0，分式 无意义，正确，不符合题意；
B．当 时，分母大于0，与分子同号，故分式 的值为正数，正确，不符合题意；
C．当分式 时，即 ，解题 ，当 时，分母无意义，故错误，符合题意；
D．分式 与 的最简公分母是 ，正确，符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分
式值为0，及分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．
8．C
【分析】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先解分式方程，再根据分式方
程的增根的定义解决此题．
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
的系数化为1，得 ，
分式方程 产生增根，，
，
故选：C
9．C
【分析】本题考查了分式的加减法，完全平方公式及平方根，由 ，可得 ，进
而得出 ，即可得出答案．
解： ，
， ，
，
，
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240
秒，列出分式方程即可．
解：由题意得： ，
故选：A．
11． /【分析】根据分式的性质，即可求解．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键．
12． /
【分析】此题考查了实数的运算，根据负整数次幂，化简绝对值运算法则进行计算即可，解题的关键
是熟练掌握知识点的应用．
解：原式 ，
，
故答案为： ．
13． /
【分析】本题主要考查了公因式的提取方法，本题求分子、分母的公因式，只需将分子提取公因式即
可．
解：原分式中：
分母为： ；分子为 ；
因此分子与分母的公因式为 ．
故答案为： ．
14．
【分析】此题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是本题的关键：取各分母系数的最小公
倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，据此求解即可．
解： 的最简公分母是 ，
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查分式的除法．将除法变成乘法，能分解因式的先分解因式，再进行化简即可．掌握
分式的除法法则，是解题的关键．
解：原式 ；
故答案为： ．
16．
【分析】本题考查分式方程的求解及增根问题，化简方程可得 ，结合题意可知
，由此得到m的值．
解：由 ，得 ，
即 ，
由方程 无解，则 ，
解得： ，
方程 ，即 ，
当方程有增根时， ，此时 ，
解得： ，综上， ，
故答案为： ．
17．
【分析】将 两边平方，然后移项即可得出 的值．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
18．
【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，通过求出 的值得到规律
这一列数是每三个数为一个循环， ， ， 依次出现，是解题的关键．
解： ，
，
，
，……，
以此类推，可知， 这一列数是每三个数为一个循环， ， ， 依次出现，
∵ ，
∴ 与 表示的数相同，
∴ ，
故答案为： ．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算：
（1）利用负整数指数幂，零指数幂，幂的运算法则计算即可；
（2）先将括号内式子通分化简，再利用平方差公式，约分化简即可．
（1）解：
（2）解：20．（1） ；（2）
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据异分母分式运算法则进行计算即可；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．21．（1） ；（2）无解
【分析】本题考查了解分式方程；
（1）方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案；
（2）方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案．
（1）解：方程两边同乘 得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
故分式方程的解为 ；
（2）解：方程两边同乘 得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是增根，分式方程无解．
22． ，2
【分析】本题考查分式的化简求值，注意取值时应先根据分式有意义的条件求出 的取值范围．
解：原式
∵
∴ 且
故当 时，原式 ．23．（1）甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地；（2）6
【分析】（1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划 天到达目的地，根据乙队平均每天行驶
的路程是甲队的3倍，得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案；
（2）根据两队路途中共花费15600元，可得出关于a的一元一次不等式，取其符合题意的值即可得出
结论．
（1）解：设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划 天到达目的地，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是分式方程的解，
∴ ，
答：甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地；
（2）解：根据题意得： ，
解得 ，
∵a是整数，
∴ 的值最大是6．
【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出方
程和不等式．
24．（1） ；（2）按这种倒水方式，这1L水倒不完，见分析；（3）①x= ；②
【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）根据题意列出关系式，利用得出的规律化简即可；
（3）①方程变形后，利用得出的规律化简，计算即可求出解；
②原式利用得出的规律变形，计算即可求出值．
解：（1）根据题意得： = - ；
（2）前n次倒出的水总量为 + + +…+ =1- + - + - +…+ - =1- =
，
∵ ＜1，
∴按这种倒水方式，这1L水倒不完；
（3）①方程整理得：[ （1- ）+ （ - ）+ （ - ）+ （ - ）]• = ，
[ （1- ）]• = ，
• = ，
解得：x= ，
经检验，x= 是原方程的解，
∴原方程的解为x= ；
② + + …+=
= （ - ）+ （ - ）+ （ - ）+…+ [ - ]
= [ - ]
= ．
【点拨】本题考查规律型：数字的变化类，解分式方程，分式的混合运算，解答本题的关键是根据所
给式子找出规律，并利用规律解答．
