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特训 01 函数的周期性与对称性及应用（九大题型）
一 、函数图象的对称性
1.对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域 要关于对称轴(或对称中心)对称。
2.函数图象对称性的结论
(1)函数f(x)满 足f(a+x)=f(b-x)⇔y=f(x)的图象关于直线x=
(2)函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=2c⇔y=f(x)的图像关于点 对称
二 、函数奇偶性与对称性间的关系
(1)若函数y=ʃ(x+a)是偶函数，即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
一般的，若对于R上的任意x 都有f(a-x)=f(a+x), 则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=ʃ(x+a)是奇函数，即ʃ(-x+a)+f(x+a)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(a,0) 对称.
一般的，若对于R上的任意x都有f(-x+a)+f(x+a)=2b, 则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称。
三、函数的周期性
1.周期函数的定义
对于函数y=f(x),如果存在一个常数T≠0,能使得当x取定义域内的所有值时，都有f(x+T)=ʃ(x),则函数
y=f(x)叫做以T为周期的周期函数.
2.函数周期性的结论
(1)若函数f（x）恒满足f（x+a）=f（x+b），则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
(2)若函数f（x）恒满足f（x+a）= -f（x），则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足/(x+a)= -f（x+b）(a≠b)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
(3)若函数f（x）恒满足f（x+a）= (a≠0)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.推论：若函数(x)恒满足f (x+a)= (a≠b)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
(4)若函数f（x）恒满足f（x+a）= - (a≠0)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
推论：若函数(x)恒满足f (x+a)= - (a≠b)，则f（x）是周期函数， 是它的一个周期.
(5)对于定义域中的任意x,恒有 ,则f(x)为周期函数， 是它的一个周期.
(6)对于定义域中的任意x,恒有 ,则f(x)为周期函数， 是它的一个周期.
(7)如果(x)=f(x-a)-f(x-2a)(a=0),等价于(x)=-f(x-3a),则f(x)为周期函数，且 是它的一个周期.
四、函数的对称性与周期性间的关系(多对称性产生周期性)
(1)若函数 f(x)是偶函数，且关于直线 x=a(a≠0)对称，则 f(x)是周期函数， 是它的一个周期
推论：若函数 f(x)关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称，则 f(x)是周期函数， 是它的一个周期.
(2)若函数 f(x) 是奇函数，且关于直线 x=a(a≠0)对称，则 f(x) 是周期函数， 是它的一个周期
推论：若函数 f(x)关于点(a,0)、直线 x=b(a≠b)对称，则 f(x)是周期函数， 是它的一个周期.
(3)若函数 f(x)是奇函数，且关于点(a,0)(a≠0) 对称，则 f(x) 是周期函数 是它的一个周期
推 论 ： 若 函 数 关 于 点 (a,0),(b,0)(a≠b) 对 称 ， 则 f(x) 是 周 期 函 数 ， 是 它 的 一 个 周 期
目录：01 函数周期性的定义与求解
02 由周期性求函数的解析式
03 判断证明抽象函数的周期性
04 由函数的周期性求函数值
05 判断或证明函数的对称性
06 由对称性求函数的解析式
07 由对称性研究函数的单调性
08 由对称性求参数
09 函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题
01 函数周期性的定义与求解
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 的周期是3，则 的周期为（ ）．
A． B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据函数周期的定义，求解即可．
【解析】因为 的周期是3，
所以 ，令 ，
则 ，所以 的周期为6，
故选：C．
2．（2021高一·上海·专题练习）函数 为定义在 上的奇函数，且满足 ，则 的周期
为 ．
【答案】4
【分析】利用奇函数及周期函数的定义即可求解.【解析】 ， ，又 为奇函数，
是周期为 的周期函数.
故答案为：4.
3．（20-21高二上·广东汕头·期末）已知函数 是奇函数，且满足 ，若当 时，
，则 .
【答案】
【分析】根据函数周期性和奇函数的基本性质化简原式求解即可.
【解析】因为 ，所以奇函数 的周期为 .
所以
故答案为:
4．（2024·广东茂名·一模）函数 和 均为 上的奇函数，若 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质推导出 的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【解析】因为 为奇函数，所以 关于 对称，即 ，
又 关于原点对称，则 ，有 ，
所以 的周期为4，故 .
故选：A
5．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 的定义域为 为偶函数， ，
则（ ）A．函数 为偶函数 B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的对称性，可求出周期，可证得函数为偶函数.
【解析】已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，则 ，
函数图像关于直线 对称，有 ，
又 ，则 ，
令 ，有 ，所以函数周期为2.
，函数为偶函数，A选项正确；
，C选项错误；
已知中没有可以求函数值的条件，BD选项错误；
故选：A
02 由周期性求函数的解析式
6．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 满足 ，当 时，有 ，则当x∈
（-3，-2）时， 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，根据 时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再
根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式．
【解析】令 ，则 ，
∵当 时，有 ，∴f（x+2）＝2x+2，
∵f（x+2）＝f（x），
∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2， ．
故选：C．
【点睛】本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元
法等，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（22-23高三·全国·对口高考）函数 的周期为 ，且当 时， ，则 ，
的解析式为 ．
【答案】 /
【分析】由 求出 的取值范围，再结合函数 的周期性可求得 在
上的解析式.
【解析】因为函数 的周期为 ，当 时， ，
且 ，当 时，则 ，
故当 时， .
故答案为： .
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在R上奇函数，且满足 ,当
时， ，则当 时 的最大值为
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【解析】根据 可以确定函数的周期，根据周期性和配方法进行求解即可.
【解析】由 ，因此可以得到：，所以函数的周期为4，当 时， ，
当 时，
，显然当 时，函数 的最大值
为1.
故选：C
【点睛】本题考查了函数周期性的应用，考查了配方法，属于基础题.
9．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设 是定义在 上周期为4的偶函数，且当 时，
，则函数 在 上的解析式为 .
【答案】 ， .
【分析】设 ，则 ，则有 ，由函数的解析式可得 的表达式，结合函
数的奇偶性与周期性可得 ，即可求出结果.
【解析】解：根据题意，设 ，则 ，则有 ，
当 时， ，
则 ，
又 为周期为4的偶函数，
所以 ， ，
则有 ， ；
故答案为： ， .
10．（2021·新疆巴音郭楞·模拟预测）设f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2，0)∪(0，2]上，f (x)＝ 则f (2019)＝ .
【答案】
【分析】先根据f (x)是周期为4的奇函数，求得其解析式，再利用周期性求解.
【解析】因为f (x)是奇函数，
所以 ，即 ，
解得 ，
又因为f (x)的周期为4，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
03 判断证明抽象函数的周期性
11．（2022高三·全国·专题练习）设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ．
当 ， 时， ．
（1）求证： 是周期函数；
（2）当 ， 时，求 的解析式；
（3）计算 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）1.
【分析】（1）根据函数周期的定义进行证明即可；
（2）根据奇函数的性质，结合函数的周期性进行求解即可；
（3）根据函数的周期性进行求解即可.【解析】（1）证明： ， ．
是周期为4的周期函数．
（2）当 ， 时， ， ，由已知得 ，
又 是奇函数， ， ．
又当 ， 时， ， ， ．
又 是周期为4的周期函数，
．
从而求得 ， 时， ．
（3） ， （2） ， （1） ， （3） ．又 是周期为4的周期函数，
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
．
而 ，
所以 .
12．（23-24高一上·山西运城·期末）已知定义在 上的函数 满足 ，都有
且当 时，
(1)求 ；
(2)证明： 为周期函数；
(3)判断并证明 在区间 上的单调性．
【答案】(1)
(2)证明见解析(3)函数 在 上单调递减，证明见解析
【分析】（1）分别令 ， 即可得出答案;
（2）令 可得： ，得出 ，即可得出周期性；
（3）结合（2）的结论，利用定义证明单调性即可.
【解析】（1）令 ，得 ，由于当 时 ，因此
令 ，得 ，即 ，因此 ．
（2）证明：令 ，得 ，
因此 ，所以
由周期性的定义可知，函数 是以4为周期的周期函数．
（3）函数 在 上单调递减，证明如下：
任取 ，有
由于 ，故 ,由（1）知 ，
因此 ，又 ，
因此
故 ，因此 在 上单调递减.
13．（23-24高三上·重庆·阶段练习）定义在 上的函数 满足:对任意 ，都有 ，且 为奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】C
【分析】根据已知条件推出 是周期为4，关于 、 对称的偶函数，再结合 、 与
的平移伸缩关系判断各项的正误.
【解析】由 为奇函数，则 ，即 ，B错；
所以 关于 对称，
由 ，令 ，则 ，即 ，
所以 关于 对称，则 关于 ，即y轴对称，C对；
所以 ，则 ，故 ，
则 ，即 的周期为4，则 ，
综上， 是周期为4，关于 、 对称的偶函数，
将 所有横坐标缩短为原来的一半得到函数 ，
所以 是周期为2，关于 、 对称的偶函数，D错；
则 ，A错；
故选：C
14．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知函数 ，其导函数记为 ，有以下
四个命题：①若 为偶函数，则 为奇函数；
②若 为偶函数，则 为奇函数；
③若 为周期函数，则 也为周期函数；
④若 为周期函数，则 也为周期函数.
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用偶函数的定义和复合函数求导可判断选项A；通过举反例可判断选项B；由周期函数的定义
和复合函数求导可判断选项C；通过举反例可判断选项D.
【解析】对于①，若 为偶函数，则 ，
两边取导，得 ，即 ，
函数 为奇函数，故①为真命题；
对于②，若 为偶函数，则 不一定为奇函数.
例如 ， ，
此时 为偶函数， 不是奇函数，故②为假命题；
对于③，若 为周期函数，
即 ，则 ，
得 ，故③为真命题；
对于④，若 为周期函数，则 不一定为周期函数.
比如 ，但 ，显然 为周期函数，则 不是周期函数，
故④为假命题.
真命题的个数有2个.
故选：B
04 由函数的周期性求函数值
15．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）函数 的图象如图所示，直线
经过函数 图象的最高点 和最低点 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据图象得到 ， ，从而得到函数最小正周期，故 ，代入特殊点坐标，得到
，得到函数解析式，结合函数的周期求出答案.
【解析】由 的解析式可知， ，
中，令 得 ，令 得 ，
故 ， ，即 ， ．
故 的周期 ．即 ，解得 ，
故 ，则 ，得 ， ．
因为 ，所以 ．则 ．， ， ，
， ， ，
， ， ……，
因为 ， ．
所以 ．
故选：D．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 与 及其导函数 和 的定义域都为
，且 为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先对 两边求导，得 ，与 联立可得：
，这样就知道 图象关于 对称，再由 为奇函数，又知道 图象关于
点 对称，这样由双对称性质可知 是周期函数且周期为4，然后即可用赋值法得到结果.
【解析】对 两边求导，得 ，
又由 ，得 ，
所以 ，可得 ．
由 为奇函数，得 ，则 ，
令 得： ，则由上面两式可得： ，即 是以4为周期的周期函数，
则 ．
故选：C．
17．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数 的定义域均为
，若 是偶函数且 ，则 （ ）
A．0 B．4 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】根据条件得到 ，从而得到 的一个周期为 ，进而求得
，即可求解.
【解析】因为 是偶函数，所以
又 ，所以 ①，
又因为 ，所以 ②，
由① ②得到 ③，所以 ④，
由③ ④得到 ，即 ，所以 的一个周期为 ，
又 ，由 ，得到 ，且 ， ，
所以 ，则 ，
故选：D.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于通过条件得到 ，进而得出 的一个周期为 ，
从而解决问题.
05 判断或证明函数的对称性18．（2024·山西临汾·二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．函数 的图象关于直线 对称
C． ，方程 都有两个不等的实根
D．不等式 恒成立
【答案】C
【分析】利用反例可以判断A,B,D，结合函数值域可判断C.
【解析】因为 ， ，所以A不正确；
若函数 的图象关于直线 对称，则 ，而 ，
所以函数 的图象不关于直线 对称，B不正确；
当 时， ，此时 的值域为 ；
当 时， ，此时 的值域为 ；
简图如下：
所以 ，方程 都有两个不等的实根，C正确；
，显然 ，所以D不正确.
故选：C
19．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于
直线（ ）
A．x＝0对称 B．y＝0对称 C．x＝1对称 D．y＝1对称
【答案】C【解析】
因为函数f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，f(1－x)＝f(－(x－1))的图象是f(－x)的图
象也向右平移1个单位长度得到；因为f(x)与f(－x)的图象是关于y轴(直线x＝0)对称，所以函数y＝f(x－1)
与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选C.
20．（2024·浙江温州·二模）已知定义在 上的函数 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 的图象关于 对称
C． 在 单调递增 D． 有最小值
【答案】A
【分析】利用特殊值可排除B、C，利用函数的性质可确定A、D.
【解析】对于BC，由题意可知： ，
显然 的图象不关于 对称，而 ，故B、C错误；
对于D，若 为有理数，则 ，显然 ，函数无最小值，故D错误；
对于A，若 是有理数，即 互质，则 也互质，即 ，
若 为无理数，则 也为无理数，即 ，
所以 的图象关于 对称，故A正确.
下证： 互质，则 也互质.
反证法：若 互质， 不互质，不妨设 ，
则 ，此时与假设矛盾，所以 也互质.
故选：A【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A、B，而作为抽象函数可以适当选取
特殊值验证选项，提高正确率.
06 由对称性求函数的解析式
21．（2023·新疆·二模）设 是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间 上单调递减，且满足
， ，则不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的周期性与奇偶性分析可得 ，则函数 关于直线 对称，
据此可得 在 上递增，且 ， ，则进而分析 可得答案．
【解析】根据题意， 为周期为2的偶函数，
则 且 ，
则有 ，
则函数 关于直线 对称，
又由 在区间 上单调递减，且 ， ，
因为周期为2得 ， ，
又 关于直线 对称，则 ，
则 在 上递增，且 ， ，则 ，即不等式组的解集为 .
故选：D．
22．（2023·河南·模拟预测）已知函数 对任意 都有 ，且函数 的图象关
于 对称，当 时， .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的最小正周期为2
D．当 时，
【答案】C
【分析】根据题中条件可得 的周期为4且关于 对称，结合 时， ，即可画出
函数的图象，由图象即可逐一判断.
【解析】因为函数 对任意 都有 ，即 恒
成立，所以 的周期为4.
因为函数 的图象关于 对称，所以将 的图象向右平移一个单位，得到 的
图象，所以 的图象关于 对称，
故 ，因此 的图象关于 对称，
设 ，则 ，
因为函数 对任意 都有所以 ，
所以 所以选项D错误.
作出 的图象如图所示：
由图象可知，函数 的图象关于点 中心对称，关于直线 对称，故A，
B错误；
对于C：函数 的图象可以看成 的图象 轴上方的图象保留，把 轴下方的图象翻折到
轴上方，所以函数 的最小正周期为2.故C正确.
故选：C
23．（2023高三·全国·专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，函数
为偶函数，且当 时， ，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数 是周期为4的周期函数 B．
C．当 时， D．不等式 的解集为
【答案】C
【分析】根据函数 为偶函数知函数 的对称轴为 ，进而由对称轴得，结合 求得函数 是周期为4的函数，由奇函数知 求出
，然后根据分段函数求解析式即可求出在 上的解析式，接下来解不等式即可，最后选项逐个
排除即可选出正确结果.
【解析】对于选项A，由函数 为偶函数得函数 的对称轴为 ，
故得 ，
又 ，
所以 ，
从而得 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，故选项A正确；
对于选项B，又奇函数 当 时， ，
故得 ，解得 ，
所以当 时， .
所以 ，故选项B正确；
对于选项C，当 时， ，
所以 ，故选项C不正确；
对于选项D，根据函数的周期性，只需考虑不等式在一个周期 上解的情况即可.
当 时，由 ，解得 ，故得 ；
当 时，由 ，解得 ，故得 ；因为函数 满足 ，且 在 上大于等于0， 在 上大
于等于0，
则函数 在 上小于0，
则当 时， 无解，
综上可得不等式 在一个周期 上的解集为 ，
所以不等式在定义域上的解集为 ， ，故选项D正确.
综上C不正确.
故选：C.
07 由对称性研究函数的单调性
24．（2024·辽宁·一模）已知函数 为偶函数，且当 时， 若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意判断 的图象关于直线 对称，结合当 时的函数解析式，判断其单调性，即可判
断 在直线 两侧的增减，从而结合 ，可得 ，化简，即得答案.
【解析】因为函数 为偶函数，故其图象关于y轴对称，则 的图象关于直线 对称，
当 时， ，因为 在 上单调递增且 ，
而 在 上单调递减，故 在 上单调递减，
则 在 上单调递增，故由 可得 ，即 ，
则 ，故 ，
故选：A
25．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，且
在 上单调递增，则下列判断正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 是奇函数
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数 的解析式易判断其在 上的单调性，利用奇偶函数的定义判断 的奇偶性，
从而得到函数 在 上单调递增，结合函数 的奇偶性和在 与 上的单调性，分别判断
各选项即得.
【解析】易知函数 的定义域均为 ．当 时，易得函数 在 上单调递增，
又 ，所以 为奇函数，
易知 ，所以函数 在 上单调递增．
因为 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
对于选项A：因为 ，所以 是奇函数，所以A错误；
对于选项B：因为 ，所以 是偶函数，所以B错误；对于选项C：因为 ，所以 ，所以C错误；
对于选项D：因为 所以 ，所以D正确．
故选：D.
26．（23-24高三上·辽宁丹东·期中）已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，
当 时， ，若 ，则（ ）
A． 在区间 上是增函数，且有最小值为
B． 在区间 上是减函数，且有最大值为
C． 在区间 上是增函数，且有最大值为
D． 在区间 上是减函数，且有最小值为
【答案】A
【分析】利用抽象函数的奇偶性推出函数的周期性与对称性，再根据赋值法结合单调性一一判定选项即可.
【解析】因为 为偶函数，所以 ①，且函数 关于 轴对称，
又 为奇函数，所以 ②，且函数 关于 中心对称，
所以有 ，
即 的一个周期为 ，
令 代入②得 ，即 ，
令 代入①得 ，所以 ，
解之得 ，所以 ，如图所示，根据函数的对称性与周期性可知：
关于 轴对称，关于 中心对称，可得 在区间 的图象，
易知 在区间 上是增函数，
且有最小值为 ，故A正确，B错误；
在区间 上是减函数，
且有最大值为 ，最小值为 ，故C，D都不正确．
故选：A
08 由对称性求参数
27．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得 .
【解析】由对称中心性质可知函数 满足 ，
即 ，
整理可得 ，即 ，
解得 .
故选：C
28．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 在 存在最大值与最小值分别为 和 ，则函数 ，函数 图像的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过分析函数 ，得出最大值与最小值的和，得出函数 的表达式，利用对勾
函数 的对称点即可得出函数 的对称点.
【解析】由题意，
在 中， ，
∴ ，
∵最大值与最小值分别为 和 ，
∴
在对勾函数 中，对称轴为 ，对称点为 ，
在 中， ，
∴ 即 ，对称轴为 ，
函数 为对勾函数 向下平移1个单位得到，
∴函数 对称点为 ，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查.函数的性质，构造函数，对称中心，函数的最值（和），考查学生的分析
和处理问题的能力，计算能力，具有一定的综合性.
09 函数周期性、对称性有关的零点、交点、方程的根、图像对称等问题29．（23-24高三下·重庆九龙坡·阶段练习）设关于 的方程 有3个互不相同的实
根，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】
设 ，判断其对称性，根据根的个数可得 ，求出a的取值，验证后可
确定答案.
【解析】
由 ，设 ，
由于 ，
故 关于 对称，若有3个互不相同的实根，则 ，其余两根关于 对称，
由 得 ，
经检验，当 时， ，解得 或 或3，符合题意；
当 时， ，解得 ，不符合题意；
故实数 的取值范围是 ，
故答案为：
30．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在 上的增函数 满足:对任意的 都有
且 ，函数 满足 ， . 当 时，
，若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次
为 ， ，…， ，若 ，则 的取值范围为
【答案】 .【分析】由 的性质得 ， ，由 满足的条件得 ， ， 的图象关
于点 对称，关于直线 对称， 的一个周期是4，可得 的最值点与最值的结果，结合已
知分析求解.
【解析】定义在 上的增函数 ，对任意的 都有 且 ，
则 ，得 ，
，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，且 ， ，
函数 满足 ，则 的图象关于点 对称，
得 在 上单调递增，且 ， ，
，则 的图象关于直线 对称，
得 在 和 上单调递减，且 ，
由 和 ，得 ，
则有 ， ，
故 的一个周期是4，且在 时取最大值0，在 时取最小值-2，
若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次为 ， ，…， ，
有 或 ，
，
当 时，有 ，方程无正整数解；
当 时，有 ，解得 ；
则有 ，即 ，所以 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：
本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期及其在一个周期内的单调
性和最值.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数 ．
（1）若 ，则函数的周期为 ；
（2）若 ，则函数的周期为 ；
（3）若 ，则函数的周期为 ；
（4）若 ，则函数的周期为 ；
（5）若 ，则函数的周期为 ；
（6）若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ；
（7）若函数 的图象既关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ；
（8）若函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ．
31．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设函数 的图象既关于点 对称，又关于直线 轴对
称．当 时， ，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】根据函数的对称性，结合对数的运算法则进行求解即可.
【解析】设函数 的图象为 ，对任意的 ，令 ，则 在 上，
因为 的图象既关于点 对称，又关于直线 轴对称．
所以由 在 上，可得 ， ， 都在 上，而
，
所以取 ，此时 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的对称性.
32．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数 的定义域为 ， ，且 ，则
在 上的零点个数的最小值为 .
【答案】9
【分析】由 结合 是奇函数可求出 的周期为3，即可求出
，再由 的对称性和周期性可得 .
【解析】由 ，可得 的图象关于点 对称，
又 是奇函数，所以 ，
则 的周期为3，所以 ，
，
而 ，则 .故 在 上的零点个数的最小值为9.
故答案为：9.
33．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数 若 的图象上存在关于直
线 对称的两个点，则 的最大值为 .
【答案】 /0.5
【分析】由 与 的图象关于直线 对称，得出函数 与 的图象
在 时有交点， 在 时有解，令 （ ），由单调性求出
的范围或最大值即可得．
【解析】 与 的图象关于直线 对称，因此函数 的图象上存在关于直线
的对称点，
则函数 与 的图象在 时有交点，
即 在 时有解， 在 时有解，
令 （ ），设 ，则 ，
， ，∴ ，
从而 ，∴ 在 上是增函数，
由题意 ，所以 的最大值是 ．
故答案为： ．【点睛】方法点睛：两个函数的图象关于直线 对称，则它们互为反函数，而函数图象上存在两个点关
于直线 对称可以转化为反函数（需有反函数的部分）的图象与函数图象（函数的另一部分）有公共点，
从而转化为方程有解．
34．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数 满足 ，当 时，
.函数 ，则 与 的图象所有交点的横坐标之和为 .
【答案】4
【分析】在同一坐标系内作出 与 的图象，再利用图象的对称性即可求得 与 的图象所
有交点的横坐标之和.
【解析】函数 是偶函数，图象对称轴为 ，则函数 的图象有对称轴 ，
所以函数 的图象有对称轴 ，
， 时 ，在 上单调递减且 ，
定义在R上的偶函数 满足 ，
则函数 有对称轴 ，又当 时， ，
在同一坐标系在 内作出 与 的图象，
由图象可得， 与 的图象有4个交点，
又 与 的图象均有对称轴 ，
则两函数所有交点的横坐标之和为4.故选：B
35．（2024·全国·模拟预测）已知函数 满足 ，且当 时， ，有以下四
个结论：① 的值域是 ；② 在 上有8个零点；③若方程 有4个不相
等的实数根，则这4个实数根之和为12；④若方程 有4个不相等的实数根，则 ．
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由已知，画出函数的简图，结合图形即可判断.
【解析】由题意可作出函数 的大致图象如图所示，
数形结合可知 的值域是 ， 在 上的零点分别为2，4，6，8，共4个，故①正确，②错
误；
易知函数 与 的图象都关于直线 对称，故若方程 有4个不同的实
数根，则这4个实数根之和为12，故③正确；
作出直线 ，数形结合可知，若方程 有4个不相等的实数根，则 ，得
，故④正确．
故所有正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④.
36．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）我们知道，设函数 的定义域为 ，如果对任意 ，都有，且 ，那么函数 的图象关于点 成中心对称．若函数
的图象关于点 成中心对称，则实数 的值为 ；若 ，则
实数 的取值范围是 ．
【答案】 2
【分析】
由题意可得 ，代入计算即可得 ，结合函数的单调性与对称性即可求得实数 的取值范围.
【解析】因为函数 的图象关于点 成中心对称，
所以 ，
即 ，
即 ，所以 ，
所以 在定义域 上单调递减，
令 ，
因为函数 的图象关于点 成中心对称，
所以 的图象关于 对称，
且 单调递减，
因为 ，即 ，
即 ，也即 ，
所以 ，则 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围是 ．故答案为：2； .
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 与 及其导函数 和 的定义域都为
，且 为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先对 两边求导，得 ，与 联立可得：
，这样就知道 图象关于 对称，再由 为奇函数，又知道 图象关于
点 对称，这样由双对称性质可知 是周期函数且周期为4，然后即可用赋值法得到结果.
【解析】对 两边求导，得 ，
又由 ，得 ，
所以 ，可得 ．
由 为奇函数，得 ，则 ，
令 得： ，
则由上面两式可得： ，即 是以4为周期的周期函数，
则 ．
故选：C．2．（2024·安徽·模拟预测）若定义在 上的函数 ，满足 ，且
，则 （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用赋值法，先后求出 ， ，再令 ，得到 ，即可求解.
【解析】令 ，则有 ，
又 ，∴ .令 ， .
则有 ，∴ .
令 ，则有 .
∵ ，∴ ，∴ ，
∴
.
故选：D.
3．（2024·四川南充·三模）已知函数 的定义域均为R，函数 的图象关于原点对称，
函数 的图象关于y轴对称， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用题设得到 ①和 ②，又由 ，结合①式，推得 的周期为12，利用 求得 和 ，最后利用 的周期性即可求得.
【解析】由函数 的图象关于原点对称， ，
即 ，即 ①，
由函数 的图象关于y轴对称，可得 ②，
由 可得 ，又得 ，
两式相加， ，将①式代入，得 ，
则得 ，将②式代入得， ，则 ，
于是 ，即 的周期为12.
又 ，由①可得 ，得 ，
又由 可得 ，即得 .
因 ，可得， ，
于是，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的对称性应用，属于难题.
解题关键在于根据中心对称和轴对称得出函数关系式： ①和 ②，
再由 利用消元思想，转化为关于 的关系式是最关键之处，其次是利用 的关
系式求得 的周期是第二关键，之后赋值求得 即可得解.
4．（2024·贵州毕节·三模）已知函数 的图象在x轴上方，对 ，都有 ，若的图象关于直线 对称，且 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先由函数 的图象关于直线 对称，得函数 的图象关于直线 对称，即函
数是偶函数，可得 ．再把 代入，可得函数周期为4，求得 ， ，即可求解．
【解析】因为 的图象关于直线 对称，
所以函数 的图象关于直线 对称，即函数 是偶函数，故有 ．
因为 ，都有 ，所以 ，
所以 ，又函数 的图象在x轴上方，
所以 ，所以 ，即函数 的周期为4．
当 ，可得 ，所以 ，
当 ，可得 ，所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C．
5．（2024·江西·模拟预测）已知定义域为R的函数 满足： ，
，且 ，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C．若 ，则 D． 是奇函数
【答案】D
【分析】B选项，根据 得到 ，故 为奇函数；A
选项，由B可知 ，赋值得到 ，故 ；D选项，由得到 ，D正确；C选项，化简得到
，结合 ，求出
，得到 .
【解析】B选项，由 得 ，
所以 ，故 是奇函数，故B正确；
A选项，由 是奇函数得 ，令 ，
由 可得 ，
又 ，得 ，故A正确；
D选项，由 得 ，所以 ，
故 是偶函数，所以D错误；
C选项，由题意得
，
令 得 ，
当 时， ，
故 ， ，依次求出，
，所以C正确．
故选：D
【点睛】赋值法处理抽象函数，是解决抽象函数问题的关键，需要赋值法求出一些关键函数值，并结合函
数单调性和奇偶性定义进行求解.6．（2024·山东聊城·三模）设函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，将
的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 的图象与 的图象的
所有交点的横坐标之和为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用轴对称求得函数 ，利用三角函数平移变换得到函数 ，再利用函数的对称中心计算
得到结果.
【解析】由题意得 ，则 .
函数 的图象由函数 图形向右平移1个单位得到.
由函数 的图象与 的图象关于点 对称，在定义域内有4个交点.
所以函数 的图象与 的图象的所有交点的横坐标之和为
故选：C.
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据函数解析式特征，判断其图象关于点 中心对称；通过求导判断导函数为正得 在
上单调递增；再利用对称性将 进行等价转化，最后利用单调性求解抽象不等式即得.
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，即 的图像关于点 中心对称．
（当且仅当
时等号成立）．
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增．
由 ，得 ．
由 可得 ，即 ，
所以 ，解得 ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：根据函数式判断出函数图象的中心对称特点，利用导数判断函数的单调性；此外，
还得会利用对称性将不等式进行简化.
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 的定义域为 ，函数 满足
， 图象的交点分别是 ，
，则 可能值为（ ）
A．2 B．14 C．18 D．25
【答案】C
【分析】可以分别说明 的对称中心为 ，从而两个函数的图象交点关于 对称，即应为6的倍数，由此即可逐一判断.
【解析】因为函数 满足 ，所以 的对称中心为 ，
注意到
，
所以 的对称中心也是 ，
故两个函数的图象交点关于 对称，
故 应为6的倍数，对比选项可知C选项符合题意.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线 是函数 图象的对称轴，则函数 的解析式可以是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据函数图象的平移变换即可判断AB；令 ，即可判断C；根据 即可判
断D.
【解析】A：函数图象由 图象沿 轴向右平移1个单位，
再把 轴下方的图象关于 轴对称翻折到 轴上方，故关于直线 对称，故A正确；
B：函数 的图象是由 图象沿 轴向右平移1个单位得到的，而函数 是偶函数，关于 轴对称，
其图象沿 轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线 对称，故B正确；
C：令 ，则该函数的对称轴为直线 ，故 符合题意，故C正确；
D： ，显然 ，
故此函数不是关于直线 对称的，故D错误.
故选：ABC.
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．
若 与 均为偶函数，且 ，则下列选项正确的是（ ）
A． 是周期4的周期函数 B． 图象关于点 对称
C． D． 图象关于点 对称
【答案】AB
【分析】由周期函数的定义即可求解A，根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解B，
根据原函数与导数的关系即可求解C，根据函数周期性的性质即可求解D.
【解析】对于A、B，因为 为偶函数，所以 ，即 ，
所以函数 的图象关于 对称，又 为偶函数，
所以 ，两边求导得 ，
所以 ，即 ，即 ， 关于 对称，
所以 ，即 ，所以 是周期为4的函数；
故A、B正确；
对于C，由 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，又 周期为4，所以 ，故C错误；
对于D，又因为 周期为4，故 ，即 ，
所以 ，因此 ，
又 ，则 ，
所以 ，所以 ，即得 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，结合A、B结论，选项D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的奇偶性以及合理赋值确定函数的对称性及周期性.
11．（2024·湖北·模拟预测）设定义在 上的函数 与 的导函数分别为 和 .若
， ，且 为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对于A：由 可设 ，根据题意分析可得 ， ，
即可得结果；对于C：结合奇偶性可得函数 的周期 ，结合周期性分析求解；对于B：分析可知
，根据周期性分析求解；对于D：结合选项BC中的结论运算求解.
【解析】对于选项A：因为 ，则 ，
可得 ，又因为 ，可得 .
令 ，可得 ，解得 ，
可得 ，所以函数 的图象关于直线 对称，A正确；
对于选项C：因为 为奇函数，
可知 的图象关于点 对称，且 ，
令 ，可得 ，即 ；
令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
由函数 的图象关于直线 对称，可得 ；
所以 ，
又因为 ，则 ，
可知函数 的周期 ，
所以 ，故C正确；
对于选项B：由AC可知 ，
可得 ， ，
所以 ，故B错误；
对于选项D：可得 ，故D错误.
故选：AC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中
根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三、填空题
12．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时，
，则 .
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【解析】由已知可得 ，所以 ，
所以 ，即 是函数 的一个周期，
所以 .
故答案为：
13．（2023·海南海口·一模）已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，
，则 .
【答案】2
【分析】根据奇偶性推出周期，再利用周期性可求出结果.
【解析】∵ ，∴ ，即4为函数 的周期，
∴ .
故答案为：2
14．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在 上的增函数 满足:对任意的 都有
且 ，函数 满足 ， . 当 时，，若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次
为 ， ，…， ，若 ，则 的取值范围为
【答案】 .
【分析】由 的性质得 ， ，由 满足的条件得 ， ， 的图象关
于点 对称，关于直线 对称， 的一个周期是4，可得 的最值点与最值的结果，结合已
知分析求解.
【解析】定义在 上的增函数 ，对任意的 都有 且 ，
则 ，得 ，
，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，且 ， ，
函数 满足 ，则 的图象关于点 对称，
得 在 上单调递增，且 ， ，
，则 的图象关于直线 对称，
得 在 和 上单调递减，且 ，
由 和 ，得 ，
则有 ， ，
故 的一个周期是4，且在 时取最大值0，在 时取最小值-2，
若 在 上取得最大值的 值依次为 ， ，…， ，取得最小值的 值依次为 ， ，…， ，
有 或 ，，
当 时，有 ，方程无正整数解；
当 时，有 ，解得 ；
则有 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：
本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期及其在一个周期内的单调
性和最值.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数 ．
（1）若 ，则函数的周期为 ；
（2）若 ，则函数的周期为 ；
（3）若 ，则函数的周期为 ；
（4）若 ，则函数的周期为 ；
（5）若 ，则函数的周期为 ；
（6）若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ；
（7）若函数 的图象既关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ；
（8）若函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ．
四、解答题15．（2023·上海徐汇·一模）若函数 的导函数 是以 为周期的函数，则
称函数 具有“ 性质”．
(1)试判断函数 和 是否具有“ 性质”，并说明理由；
(2)已知函数 ，其中 具有“ 性质”，求函数 在 上的极小
值点；
(3)若函数 具有“ 性质”，且存在实数 使得对任意 都有 成立，求证：
为周期函数．
（可用结论：若函数 的导函数满足 ，则 （常数）．）
【答案】(1) 不具有“ 性质”， 具有“ 性质”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】
（1）根据所给定义计算可得；
（2）法一：依题意可得 可得 对 恒成立，再令 、 求出 、
的值，再利用导数求出函数的极小值点；法二：依题意可得 ，所以 且
，即可求出 、 的值，再利用导数求出函数的极小值点；
（3）令 ，则 ，从而得到 （ 为常数），法一：分 、 、
三种情况讨论；法二：分 和 两种情况讨论，当 时，不妨令 ，记 ，推出
矛盾即可得解.
【解析】（1）
不具有“ 性质”．理由是： ， ， ；具有“ 性质”．理由是： ， ．
（2）
法一： ，则 ，
由 可得 对 恒成立．
令 ，得 ①；令 ，得 ②．
得 ，因此 ，从而 恒成立，
即有 且 ．
由 得 ，所以 ，当 时，令 可得 ，列表如下：
x
+ 0 0 +
极 小
极大值
值
函数 在 的极小值点为 ．
法二： ，
由 ，可得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 且 ，所以 且 且 ．
由 得 ，所以 ，当 时，令 可得 ，列表如下：
x
+ 0 0 +极 小
极大值
值
函数 在 的极小值点为 ．
（3）
令 ，因为 具有“ ”性质
，
，
（ 为常数），
法一：
① 若 ， 是以 为周期的周期函数；
②若 ，由 ，
当 时， ，这与 矛盾，舍去；
③若 ，由 ，
当 时， ，这与 矛盾，舍去．
综上， ． ，所以 是周期函数．
法二：
当 时， ，所以 是周期函数．
当 时，不妨令 ，记 ，其中 表示不大于 的最大整数．（ 同理可证），
若存在 ，这 ．
这与 矛盾．
若存在 ，这 ．这与 矛盾．
若不存在 ，使得 或 ，则 ，此时 ，与 矛盾，故舍去．
综上， ． ，所以 是周期函数．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
