文档文本内容
2.10 函数模型的应用
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、函数模型........................................................................................................................................3
二、函数增长快慢................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................3
03 探究核心题型...................................................................................................................................4
题型一：函数的增长差异....................................................................................................................4
题型二：用函数图象刻画变化过程....................................................................................................6
题型三：依实情构建函数模型..........................................................................................................10
题型四：据实际构造函数模型..........................................................................................................13
题型五：指数、对数函数模型的应用..............................................................................................15
题型六：幂函数模型的应用..............................................................................................................18
题型七：分段函数模型的应用..........................................................................................................20
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................24
05 数学思想方法.................................................................................................................................26
①数形结合..........................................................................................................................................26
②转化与化归......................................................................................................................................27
③分类讨论..........................................................................................................................................29
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................32
基础过关篇..........................................................................................................................................32
能力拓展篇..........................................................................................................................................41
1、了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.
2、理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
3、能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
一、函数模型
一次函数
二次函数
指数函数
且
指数型函数
且
对数函数
且
对数型函数
且
幂函数
幂函数型
二、函数增长快慢
函数
性质
在
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现
为与y 轴平行
随x 的增大逐渐表
现为与x 轴平行
随α 值的变化而各有不同
常用二级结论
(1)理解三个术语：直线上升是匀速增长
“
”
,其增长量固定不变；指数增长先慢后快
“
”
,其增长量成倍增加,
常用指数爆炸来形容；对数增长先快后慢
“
”
“
”
,其增长速度缓慢.
(2)充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
(3)解题时,易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问
题的合理性.
题型一：函数的增长差异
【例1】下面关于函数
与
在区间
上的递减情况说法正确的是
（ ）
A．
递减速度越来越慢，
递减速度越来越快，
递减速度越来越慢
B．
递减速度越来越快，
递减速度越来越慢，
递减速度越来越快
C．
递减速度越来越慢，
递减速度越来越慢，
递减速度越来越慢
D．
递减速度越来越快，
递减速度越来越快，
递减速度越来越快
【答案】C
【解析】观察函数
与
在区间
上的图象（如图）可知，函数
的图象在区间
上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间
上递减较慢，且越来越慢．同样，函
数
的图象在区间
上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数
的图象在区间
上递减较快，
但递减速度变慢；在区间
上递减较慢，且越来越慢．
【解题总结】
，
常见函数图象
【变式1-1】已知指数函数
，对数函数
，幂函数
的图象都经过点
，且
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
且
且
，将
分别代入三个函数中，
得
，故
，所以
，则
．
【变式1-2】图（1）（2）（3）分别是函数
和
在不同范围内的图象，则下列说法正确的是
（ ）
A．由图（1）可知函数
的图象增长得越来越快
B．由图（3）可知函数
的图象增长得越来越快
C．在（0，2）范围内函数
的图象比
的图象增长得慢
D．以上均错误
【答案】B
【解析】由图易知C 错误；函数
的图象增长速度越来越快，
的图象增长速度一直不变，均匀
增长，故A 错误，B 正确．
【变式1-3】下列四个函数中增长速率最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
为一次函数，
为对数函数，
为幂函数，
为指数函数，
指数函数
，当
时呈爆炸式增长，当x 足够大时，指数函数增长速度最快.
故选：D.
题型二：用函数图象刻画变化过程
【例2】（多选题）（2025·广西·模拟预测）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发
现，设备对污染物的动态响应关系可用环境监测函数近似描述，其监测值
“
”
，
，
其中x 表示污染物浓度，a 为设备灵敏度参数
越大，灵敏度越高，则（ ）
A．
过定点
B．
在污染物浓度区间
上单调递增
C．
关于
对称
D．取定x 的值
，灵敏度越高，监测值越大
【答案】AB
【解析】对于A，在
中，令
，则
，所以
过定点
，故A 正确；
对于B，因为
则注意到当
，
，
则
在
上单调递增，故B 正确；
对于C，由B 选项知
为单调递增函数，故不存在对称轴，故C 错误；
对于D，以a 为自变量，设
为
，
则
，因为
，故
，
所以
的正负取决于
，当
时
，即当
时，随着a 的增大，
减小，故D 错误
故选：
【解题总结】
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数
图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否
吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
【变式2-1】（多选题）某药物在人体内的血药浓度与时间有关，血药浓度
（单位：
）与时间
（小时）的变化规律可近似表述为：
，其中
为初始血药浓度，
为代谢速率常数，
图
象如图所示，则（ ）
A．
B．每小时血药浓度降低的数值相等
C．服药后6 小时，血药浓度降至初始值的
D．服药后，人体内的血药浓度随着时间的增加而降低
【答案】ACD
【解析】将点
代入
中得，
，得
，故A 正确；
因
，
则当
时，
，
不是定值，故B 错误；
因
，则
，故C 正确；
由图象可知，服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低，故D 正确.
故选：ACD
【变式2-2】（多选题）（2025·河南南阳·模拟预测）Cobb-Douglas 生产函数是宏观经济学和微观经济学中
最常用的生产函数之一，函数的数学形式为
，其中
是总
产出，
是资本存量，
是劳动力，
是技术参数，
是资本和劳动的产出弹性.当
不变时，下列说法
正确的是（ ）
A．若
与
均变为原来的
倍，且
，则
变为原来的
倍
B．若
与
均变为原来的
倍，且
则
最少可变为原来的
倍
C．若
与
均变为原来的
倍，且
，则
最少可变为原来的
倍
D．若
均不变，则函数
的增长速度越来越慢
【答案】ABD
【解析】由题意可知，
，
当
时，
，故A 对；
当
时，
，所以
，
当且仅当
时，取等号，故B 对；
当
时，因为
，所以
，
当且仅当
时，取等号，故C 错；
若
均不变，
是
的函数，且
，
因为
，所以
是减函数，故D 对；
故选：ABD.
【变式2-3】（多选题）某医药研究机构研发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药
物，注射后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）随时间t（单位：小时）变化的图象近似符合如图所示
的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125 微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为6 小时
C．注射该药物
小时后每毫升血液中的含药量为0.5 微克
D．按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为
小时
【答案】ACD
【解析】由图可知当
时，
，因为
在
上，所以
，所以
，
所以y 与t 之间的函数关系式近似为
，
对于A，当
时，
，即
，得
，故A 正确．
对于BD，
，当药物刚好起效时，即
，得
，
当药物刚好失效时，即
，得
，
所以该药物治疗该病的有效时长为
（小时），故B 错误，D 正确．
对于C，注射该药物
小时后，每毫升血液中的含药量为
（微克），故C 正确．
故选：ACD．
题型三：依实情构建函数模型
【例3】（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积
单位：
与时间
单位：
月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1 个月时，浮萍面积为
，第5 个月时，浮萍面积就会
超过
，下列函数模型：①
，②
，③
，④
中，最符合浮萍面积y 与时间t 关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到
，所经过的时间
.
【答案】 ③
【解析】
为线性增长，
的增长速度会逐渐变慢，
由图象可知，模型①④不符合，
将
，
代入模型②③，得
，
，即模型②
，模型③
，
当
时，模型②，
不符合，
当
时，模型③，
，选模型③；
由
，解得
故答案为：③；
【解题总结】
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
【变式3-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象潮汐．一般地，
早潮叫潮，晚潮叫汐．通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋．下表
是某港口某天的时刻与水深关系的预报，我们想选用一个函数来近似描述这一天港口的水深
与时间
之
间的关系，该函数的表达式为 ．已知一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 米，安
全条例规定至少要有2.25 米的安全间隙（船底与洋底的距离），则该船可以在此港口停留卸货的时间最长
为 小时（保留整数）．
时刻
水深m
时刻
水深m
时刻
水深m
0：
00
5.0
9：18
2.5
18：36
5.0
3：
7.5
12：24
5.0
21：42
2.5
06
6：
12
5.0
15：30
7.5
24：00
4.0
【答案】
4
【解析】观察表中数据可知，水深与时间近似为正弦型函数.
设该函数表达式为
，
由表中数据可知，一个周期为12 小时24 分，即744 分钟，
所以
，
，
，
则该函数的表达式为：
.
由题可知，水深为
米以上时安全，
令
，
解得
，
即安全时间为
分钟，约4 小时.
故答案为：
；4.
【变式3-2】为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的员工激励计划新的计划有以下几点需求
“
”
：
①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划
接轨：销售业绩在10 万元或以内时奖金为0，超过10 万元则开始计算奖金，销售业绩为20 万元时奖金为
1 千元.设业绩为x（
）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函数模型：①
；
②
；③
.其中
.请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100 万
元时奖金为 千元.
【答案】
【解析】根据题意，当
时，给出三个函数模型均满足奖金随着销售业绩的提高而提高，而只
“
”
有模型“
满足销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升，故模型选择：
”
“
”
根据题意，则有：
解得：
则模型为：
当
时，
故答案为：
【变式3-3】（2025·高三·湖北襄阳·期中）某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10 年的产
量平稳增长.记2014 年为第1 年，且前4 年中，第
年与年产量
（单位：万件）之间的关系如下表所
示：
1
2
3
4
4.00
5.61
7.00
8.87
若
近似符合以下三种函数模型之一：①
，②
，③
．则你认为
最适合的函数模型的序号为 ．
【答案】①
【解析】符合条件的是①
，
若模型为
，则由
，得
，即
，
此时
，
，
，与已知相差太大，不符合；
若模型为
，则
是减函数，与已知不符合；
故答案为：①．
【变式3-4】（2025·高三·北京·期末）将初始温度为
的物体放在室温恒定为
的实验室里，现等时
间间隔测量物体温度，将第
次测量得到的物体温度记为
，已知
.已知物体温度的变化与实验室
和物体温度差成正比（比例系数为
）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为
：（填写模型对应的序号）
①
；②
；③
.
在上述模型下，设物体温度从
升到
所需时间为
，从
上升到
所需时间为
，从
上升到
所需时间为
，那么
与
的大小关系是 （用“
，
”
“
或
”
“
号填空）
”
【答案】 ②
【解析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为
），即可得到
，再
根据函数模型，分别求得
的值，结合作差比较，即可得到答案.由题意，将第
次测量得到的物体温度记
为
，则两次的体温变化为
，
又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为
），所以
，
当物体温度从
升到
所需时间为
，可得
，可得
，
当物体温度从
上升到
所需时间为
，可得
，可得
，
当物体温度从
上升到
所需时间为
，可得
，可得
，
可是
，
又由
，
即
与
的大小关系是
.
故答案为：② ，
题型四：据实际构造函数模型
【例4】（2025·广东广州·二模）声强级
（单位：dB）由公式
给出，其中
为声强（单
位：
）.轻柔音乐的声强一般在
之间，则轻柔音乐的声强级范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意可得
，所以
，所以
，
所以
，即轻柔音乐的声强级范围是
.
故选：C
【解题总结】
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得
到实际问题的解.
【变式4-1】（2025·新疆乌鲁木齐·三模）溶液酸碱度是通过
计量的．
的计算公式为
，
其中
表示溶液中氢离子的浓度（单位：
）．某强酸溶液加水稀释后
值增加2，则稀释后溶
液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（ ）
A．2
B．
C．100
D．
【答案】D
【解析】设稀释前溶液的
值为
，氢离子的浓度为
，
加水稀释后
值为
，氢离子的浓度为
.
则
，
两式相减，可得
，
化简得
，解得
.
故选：D.
【变式4-2】（2025·四川成都·二模）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮
度
为标准，天体的星等
与亮度
满足
，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则
北极星与牛郎星的亮度之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令北极星与牛郎星的亮度分别为
，依题意，
，
两式相减得
，解得
.
故选：D
【变式4-3】（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡
眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数
）与体重W（单
位：Kg）的
次方成反比．若A、B 为两个睡眠中的恒温动物，A 的体重为2Kg、脉搏率为210 次
，
B 的脉搏率是70 次
，则B 的体重为（ ）
A．6Kg
B．8Kg
C．18Kg
D．54Kg
【答案】D
【解析】依题意，设
，由
，得
，则
，
当
时，
，所以
．
故选：D
题型五：指数、对数函数模型的应用
【例5】（2025·福建莆田·模拟预测）点声源亦称球面声源或简单声源
“
”
“
”.已知点声源在空间中传播时，衰
减量
（单位：
）与传播距离（单位：
）的关系式为
，其中
为常数.当传播距
离为
时，衰减量为
；当传播距离为
时，衰减量为
.若
，则
约为（ ）（参考数
据：
）
A．6dB
B．4dB
C．3dB
D．2dB
【答案】A
【解析】由
，
因为
，所以
，
故答案为：A
【解题总结】
在解决指数型函数、对数型函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，
然后再借助函数图像求解最值问题．
【变式5-1】在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要时间
（单位：
小时），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时
间增加20 小时；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加（单位：
小时）（ ）
A．2
B．4
C．20
D．40
【答案】B
【解析】设当N 取
个单位、
个单位、
个单位时所需时间分别为
,
由题意，
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
【变式5-2】（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新
事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100 个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到
其记忆率
（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间
（单位：小时）的函数关系
式为
，当记住的单词仅剩25 个时，则离初次记忆经过了（ ）（参考数据：
）
A．100 小时
B．300 小时
C．1000 小时
D．3000 小时
【答案】C
【解析】由题意得
，所以
，即
，
两边同时取以10 为底的对数，得
，所以
.
故选：C.
【变式5-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）喊泉是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声
“
”
音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生共鸣等物理声学作用，激起水波，形成涌泉
“
”
.声音越大，涌起
的泉水越高.已知听到的声强
与标准声强
（
约为
，单位：
）之比的常用对数称作声强的
声强级，记作
（贝尔），即
，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处喊泉
“
”
的声音响度
（分贝）与喷出的泉水高度
（米）满足关系式
，现知
同学用喇叭大喝一声激起的
涌泉最高高度为2 米，若
同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10 倍，则
同学
大喝一声激起的涌泉最高高度约为（ ）
A．1.75 米
B．1.5 米
C．1.25 米
D．1 米
【答案】A
【解析】设
同学不用喇叭时的声强为
，喷出泉水高度为
，则
同学用喇叭时的声强为
，喷出泉
水高度为2 米.
由题意知，
，即
①.
又
，即
，即
②.
由
可得
，解得
.
故选：A.
【变式5-4】（2025·河北邯郸·模拟预测）某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为
，其中r 为年收益率，t 为投资时间（单位：年），为自然对数的底数，
为初始资金，
为t 年后的资金，已知某产品年收益率
，则使初始资金翻倍至少需要（参考数据：
）（ ）
A．12 年
B．13 年
C．14 年
D．15 年
【答案】C
【解析】由题意可知
，代入公式可得
，
所以
所以
，所以至少需要14 年，
故选：C
【变式5-5】2025 年1 月25 日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场
点火发射，约10 分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单
位：km/s）与燃料质量
（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量
（单位：kg）的函数关系为
．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为
（ ）（参考数值：
，结果精确到
kg）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，
，
令
，则
，
所以
，则
，
即
所以
.
故选：B
【变式5-6】（2025·广西北海·模拟预测）Deep Seek 是一款人工智能助手，其用户满意度评分
随时间
（单位：月）的变化满足对数型函数模型：
，其中
是常数．若Deep Seek 在经过3 个
月后评分增长到70，则满意度评分
为（ ）
A．60
B．61
C．62
D．63
【答案】A
【解析】由题可得
，则
，
故选：A．
题型六：幂函数模型的应用
【例6】某厂前3 年产量的增长率分别为
，设这3 年的平均增长率为
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知得，设第一年产量为
，根据函数增长模型，得到
，可得，
，对于该等式，
又
注意到
；
且
，可见，
，故有
，所以，
，
故答案选：D
【解题总结】
在解决幂函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，然后再借助函数
图像求解最值问题．
【变式6-1】科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫黑体，即一种能完全吸收照在其表
“
”
面的电磁波（光）的物体．然后，黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波，科学研究发现单位面积的黑
体向空间辐射的电磁波的功率
与该黑体的绝对温度
的
次方成正比，即
，
为玻尔兹曼常数．
而我们在做实验数据处理的过程中，往往不用基础变量作为横纵坐标，以本实验结果为例，
为纵坐标，
以
为横坐标，则能够近似得到 （曲线形状），那么如果继续研究该实验，若实验结果的曲线如图所
示，试写出其可能的横纵坐标的变量形式 ．
【答案】 射线
为纵坐标，以
为横坐标.
【解析】（1）因为
，
为玻尔兹曼常数．
为纵坐标，以
为横坐标，因为
，所以
，所以曲线是一条射线；
（2）由于曲线的形状类似
，根据曲线可知可能的横纵坐标的变量形式：
为纵坐标，以
为横坐
标，故答案为：
为纵坐标，以
为横坐标.
故答案为：（1）射线；（2）
为纵坐标，以
为横坐标.
【变式6-2】（2025·高三·上海虹口·期中）1798 年，人口学家马尔萨斯假设：①人口数
是随着时间连
续变化的函数；②人口增长率为常数，且单位时间内的人口增长量
与
成正比，进而建立了人口
增长模型.19 世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，不是常数，因此改进了马尔萨斯的假
设②，并添加了1 条假设：②是随着时间连续变化的函数，存在人口最大瞬时增长率
，使
，且
仅与和
有关；③存在最大人口数
，当人口数达到
时，
.那么
在这些假设下建立的人口增长模型
.（用含有
、
、
的式子表示）
【答案】
【解析】根据假设，可得
，
当
时，
，代入可得
，解得
，
由单位时间内的人口增长量
与
成正比，可得
，
将
，代入可得
，
所以假设下建立的人口增长模型
.
故答案：
.
【变式6-3】研究发现：汽车在高速公路上行驶，发现紧急情况需要刹车时，刹车距离
反应距离
+制动
距离
．其中反应距离
与汽车行驶速度成正比，比例系数为
；制动距离
与汽车行驶速度
的平方
成正比，比例系数为
．下表是通过试验观测得到的、
、
的对应关系：
56
11.9
0.213
16.0
0.00510
64
13.4
0.209
21.9
0.00535
72
15.2
0.211
28.2
0.00544
80
16.7
0.209
36.0
0.00563
89
18.6
0.209
45.3
0.00572
97
20.1
0.207
55.5
0.00590
105
21.9
0.209
67.2
0.00610
用表中比例系数
与
的平均数作为参数
、
的估计值．那么根据上表数据，估计
时，刹车距离
约为 ．（结果精确到0.1）
【答案】
【解析】设刹车距离为
，由题意可得
，
由表格中的数据可得
，
，
所以，
，故
.
所以，当
时，刹车距离约为
.
故答案为：
.
题型七：分段函数模型的应用
【例7】某公司实施了客户买的数量越多，所花的钱越多，但是平均买到单件商品的价格越低的促销策
“
”
略，已知某客户购买
件该公司的促销商品，所支付的总金额为
万元，其中
，
则正数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】易知当购买0 件促销商品时，所支付的总金额为0 万元，
即当
时，
，得
，
所以
，
因为公司实施了客户买的数量越多，所花的钱越多，但是平均买到单件商品的价格越低的促销策略，
“
”
所以随着购买件数
的增大，单件产品的平均价格
逐渐减小，
记单件产品的平均价格为
，则
，
所以
在
单调递减，
则
，解得
.
故答案为：
.
【解题总结】
分段函数因各段自变量变化规律有别，解题时可拆分处理。先针对不同区间，分别探究
其对应的变化规律，确定每段函数表达式，再将各段整合。过程中需精准界定各段自变量范
围，尤其要关注端点值是否符合要求。
【变式7-1】（2025·上海·模拟预测）如图所示，正方形
是一块边长为
的工程用料，阴影部分所示
是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线
为以
为对称轴的抛物线的一部分，
．工人师
傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料
，当其面积有最大值时，
的长为 ．
【答案】
【解析】由题知，以
为原点，建立平面直角坐标系，如图，
则
，
，设
方程为：
，
所以
，
，
方程为：
，
令矩形
面积为，
当
时，
，
当
，设
，则
，
所以
，
则
，
令
，则
，在
上递增，
令
，则
或
，在
上递减，
又
，
，
，
所以当
的长为
时，该矩形面积最大.
故答案为：
【变式7-2】某医院开展某种病毒的检测工作，第
天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时
（单位：小时），
（
为常数）．已知第16 天检测过程平均耗时为16 小时，
第64 天和第67 天检测过程平均耗时均为8 小时，那么可得到第49 天检测过程平均耗时为 小时．（精
确到1 小时）
【答案】9
【解析】根据函数的解析式可知，当
时，
单调递减；当
时，
为常数.
且第64 天和第67 天检测过程平均耗时均为8 小时，
所以有
，
所以
，
.
又
，所以
.
所以，
.
所以
.
故答案为：9.
【变式7-3】某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10 立方米的，按
每立方米
元收费；用水量超过10 立方米的，超过部分按每立方米
元收费．利用该单位职工每月应缴
水费
与实际用水量
满足的函数关系式计算：若某职工某月缴水费
元，则该职工这个月实际用水量
为 立方米．
【答案】13
【解析】该单位职工每月应缴水费
与实际用水量
满足的函数关系式为
由
，可得
．因此
，解得
．
1．2020 年新冠疫情期间，口罩作为重要的防护物资，曾经一罩难求．为了扩大口罩产能，满足广大医护
人员和普通民众的防护要求，很多企业纷纷转战口罩生产，共同抗击疫情．已知某工厂有
“
”
50 名工人，接
受了生产100 台口罩机的任务，每台口罩机由4 个甲型装置和9 个乙型装置配套组成，每个工人每小时能
加工完成1 个甲型装置或1 个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的
工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为
小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为
小时．设
求
的解析式，并写出其定义域；
如何分配工人使得
取得最小值．
【解析】
因为
，
所以
，
定义域为
解法一：
因为
，
，所以
，
则
， 当且仅当
，即
时取等号．
当
时，
的最小值是50 小时．
故加工甲型装置的工人20 人时，
有最小值．
解法二：
，
令
则
，当且仅当
，即
时
取等号．
当
时，
的最小值是50 小时．
故加工甲型装置的工人20 人时，
有最小值．
①数形结合
1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为可食用率，在特定条件下，可食用率
“
”
p
与加工时间
单位：分钟满足函数关系
是常数，如图记录了三次实验的数据，
根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．
分钟
B．
分钟
C．
分钟
D．
分钟
【答案】B
【解析】
由实验数据和函数模型知，二次函数
的图象过点
，
，
，
分别代入解析式，得
解得
所以
，
所以当
时，可食用率p 最大．
故选
2．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
x
y
3
现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
根据题中数据画出散点图，如图所示．
图上点大体分布在函数
的图象附近，故
可以近似地反映这些规律．
故选
3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用
的水泡制，
再等到茶水温度降至
时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人
员每隔
测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列
哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
选项A 中，函数
的图象以y 轴为对称轴，且
时函数图象单调递增，不符合散点图；
选项C 中，函数
的图象单调递增，不符合散点图；
选项D 中，函数过定点
，且必穿过x 轴，与散点图不符．
所以由函数的图象知，符合条件只有指数函数模型
，
，函数图象单调递减，
其中
，且
故选
②转化与化归
4．在一定条件下，大气压强
单位：百帕随海拔高度
单位：米的变化满足如下函数关系式：
为正常数
已知海拔高度0 米处的大气压强为1000 百帕，海拔高度10000 米处的大气压强
为250 百帕，那么，若大气压强增加1 倍，则海拔高度降低
A．100 米
B．2500 米
C．5000 米
D．7500 米
【答案】C
【解析】
由题意得
，
解得
，
所以
，
当大气压强增加1 倍时，
，
所以
则
，
所以大气压强增加1 倍，海拔高度降低5000 米．
故选
5．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，
世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
描述
累计感染病例数
随时间
单位：天的变化规律，指数增长率r 与
、T 近似满足
有学者
基于已有数据估计出
据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3 倍需要的时
间约为
A．
天
B．
天
C．
天
D．
天
【答案】D
【解析】
因为
，
，且
，
则指数增长率
，
设累计感染病例数增加3 倍需要的时间约为t 天，
则
，即
，
两边取自然对数可得，
，
又
，
所以
，
则累计感染病例数增加3 倍需要的时间约为
天．
故选
6．奋进新征程，建功新时代．某单位为提升服务质量，花费3 万元购进了一套先进设备，该设备每年管理
费用为
万元，已知使用x 年的维修总费用为
万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】
使用x 年的总费用为
，
所以x 年的平均费用为
，
等号当且仅当
，即
时取得，
故选
③分类讨论
7．某公司生产一种产品，固定成本为20 000 元，每生产一单位的产品，成本增加100 元，若总收入
元与年产量x 的关系是
则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是
A．150
B．200
C．250
D．300
【答案】D
【解析】
由题意当年产量为x 时，总成本为
，
又总收入R 与年产量x 的关系是
，
总利润
，
即
①当
时，
，令
得
，
由
得
，此时
是减函数，
由
得
，此时
是增函数，
当
时，
元；
②当
时，
是减函数，
元；
当
时，
的最大值为
故选
8．把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是
，空气的温度是
，则
后该物体的温度
满足
若
，
不变，在
，
后该物体的温度分别为
，
，且
，则下列结论正确的是
A．
B．
C．若
，则
若
，则
D．若
，则
若
，则
【答案】D
【解析】
因为
，所以
若
，则
是减函数，
因为
，所以
若
，则
是增函数，
因为
，所以
故选
9．空气质量指数
“
是定量描述空气质量状况的指数．当
”
AQI 大于200 时，表示空气重度污染，不
宜开展户外活动．某地某天
时的空气质量指数y 随时间t 变化的趋势由函数
描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5 小时
B．6 小时
C．7 小时
D．8 小时
【答案】C
【解析】
由题意知适于户外活动的时间为：
或
，
解得
或
，
故适于户外活动的时长为
小时．
故选：
基础过关篇
1．（2025·山东淄博·三模）随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长.
某公司现有新一代
芯片
两套研发方案，若 A 设计方案中初始计算量为
，每年增长
；
B 设计方案中初始计算量为
，每年增长
. 如此预计至少几年后A 设计方案计算量更
高?(参考数据:
)（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】设x 年后A 设计方案计算量更高，
则x 年后，A 设计方案计算量为
，B 设计方案计算量为
，
则
，
预计至少5 年后A 设计方案计算量更高.
故选：B
2．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
（
为常数），
其中
表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，
表示衰减系数，
表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中
，当
时，学习率为0.25；当
时，学
习率为0.0625，则学习率衰减到0.05 以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知
）
A．31
B．32
C．33
D．34
【答案】D
【解析】因为衰减学习率模型为
，
所以根据已知条件可得：
①
②
用②式除以①式可得：
,化简可得：
.
将
代入①式中可得：
.
所以衰减学习率模型为
.
当学习率衰减到0.05 以下时，即
.
化简上述不等式得：
，所以
.
因为
为正数，所以最小值取34.
故选：D.
3．（2025·浙江·二模）尽管目前人类还是无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出的能量
（单位：焦耳）与地震里氏震级
之间的关系为：
.若记
2025 年1 月7 日西藏日喀则发生里氏6.8 级地震释放出来的能量为
，2022 年5 月20 日四川雅安发生里氏
4.8 级地震释放出来的能量为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设有
，
，
故
即
，
故选：C.
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形
是上底为
，下底为
，高为
的等腰梯形，记
梯形
位于直线
左侧的阴影部分的面积为
，则
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意可知在梯形
中，
；
当
时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为
；
当
时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为
；
当
时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即
；
所以可得
；
根据函数类型对比图象可得A 正确.
故选：A
5．（2025·北京海淀·二模）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是
五分视力记录方式（缪氏记录法）：
，其中，
为被测试眼睛的视力值，
为该眼睛能分辨清
楚的最低一行“
形视标的笔划宽度（单位：毫米），
”
为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1 所示，
是与
无关的常量．图2 是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0 的人在距离该视力表5 米处进
行检测，能分辨的最低一行视标为图2 中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3 米处进行检测，
若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2 中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的
实际视力值最接近的为（ ）（参考数据：
）
A．4.5
B．4.6
C．4.8
D．5.0
【答案】C
【解析】已知当
，
时，代入
，解得
.
小明在距离该视力表3 米处进行检测,即
，代入
，求解
；
因为题中参考数据已知
，
；
所以
.
所以
.
故选：
.
6．（2025·甘肃平凉·模拟预测）我们曾学习过碳14 的半衰期约为5730 年（即碳14 大约每过5730 年衰减
为原来的一半），即经过年后，碳14 的含量
（
为碳14 的初始含量，
为常数），则碳14
含量由原来的
衰减为
大约需要经过（ ）
（参考数据：
）
A．2292 年
B．2456 年
C．2674 年
D．2838 年
【答案】B
【解析】依题意，当
时，
，即
，解得
，
设经过
年碳14 含量衰减为原来的
，经过
年碳14 含量衰减为原来的
，
则
，即
，所以
.
故选：B
7．（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间
（单位：小时）与储藏温度
（单位：
）满足函数关
℃
系
（
，
为常数）若该食品在
的保鲜时间是168 小时，在
的保鲜时间是42 小时，则该食
品在
的保鲜时间是（ ）
A．21 小时
B．22 小时
C．23 小时
D．24 小时
【答案】A
【解析】当
时，
，当
时，
，
所以
，
；
当
时，
.
故选：A.
8．（2025·河北秦皇岛·二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量
（单位：焦耳）与地震里氏震级
之间的关系为
．2025 年1 月7 日西藏日喀则市发生里氏
6.8 级地震，释放出来的能量为
，2025 年1 月10 日山西临汾市发生里氏4.1 级地震，释放出来的能量为
，则
（ ）
A．10
B．4.05
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，
，两式相减，得
，
因此
，
.
故选：D
9．（2025·贵州·模拟预测）2023 年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算
力需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长
．截
止至2025 年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计
在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】C
【解析】由题意可知，截止至2025 年，DeepSeek 的算力已提升至2250PetaFLOPS，
到
年，其算力提升至
PetaFLOPS，
到
年，其算力提升至
PetaFLOPS，
，
以此类推可知，从
年起，到第
年，DeepSeek 的算力提升至
PetaFLOPS，
由
，可得
，
所以，
，
所以，DeepSeek 的算力预计在
年首次突破
PetaFLOPS，
故选：C.
10．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地
繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符
合模型：
，其中
为种群起始个体数量，为增长系数，
为时刻的种群个体数量.当
时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.若
，则
（ ）
A．300
B．450
C．600
D．750
【答案】C
【解析】因为模型：
，其中
为种群起始个体数量，为增长系数，
因为当
时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.
所以
，所以
，
若
，则
.
故选：C.
11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知某种水果的保鲜时间
（单位：小时）与温度
（单位：
）近似
满足函数关系
（
为常数，为自然对数底数），若该品种水果在
时的保鲜时间为
小时，
在
时的保鲜时间为
小时，则在
时，该种水果的保鲜时间约为（ ）
A．12 小时
B．24 小时
C．36 小时
D．48 小时
【答案】D
【解析】由题意得：
，两式相除得：
，
所以当
时，
，
即该种水果的保鲜时间约为48 小时，
故选：D.
12．（2025·北京石景山·一模）经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数
（a，k 为常数）
来描述，其中S（单位：克）代表t 分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7 克的糖块放入到一定量的
水中，在第5 分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5 克，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，当
时，
，
当
时，
，则
，
则
，即
.
故选：A.
13．（2025·广东深圳·模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率，2025 年全国掀起了垃圾分类的热潮，
垃圾分类已经成为新时尚。某市2025 年全年用于垃圾分类的资金为5000 万元，在此基础上，每年投入的
资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28 亿元的年份是（ ）（参考数据：
，
）
A．2028 年
B．2029 年
C．2030 年
D．2031 年
【答案】D
【解析】设2025 年后第
年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28 亿元，
则
，即
，
则
，
即
.
所以
，即2031 年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28 亿元.
故选：D.
14．（2025·甘肃·一模）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了
一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为
（单位：
），测得污水通过长度为（单位：
）的净化装置后污染物的含量
如下表：
0
1
2
3
研究小组的同学根据表格数据建立了
关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为
；第二，在定义域单调递减且单位减少率
变慢；第三，函数图象过
.
函数
和
图象不过
，不符合条件，故BC 错误；
函数
单调递增，故A 错误；
D 选项：
满足上述条件，故D 正确.
故选：D.
15．（2025·山东青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量
与时间
（单位：年）的关系为
，其中
是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（ ）（
，精确到年）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
【答案】D
【解析】令
可得
，可得
，所以，
，
故臭氧消失一半所需要的时间约为
年.
故选：D.
16．（2025·北京平谷·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
是正的常数，如果前
消除了
的污染
物，那么从消除
的污染物到消除
的污染物大约需要经历（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知：
，即
，即
，
设消除
的污染物对应事件为
，即
，
设消除
的污染物对应事件为
，即
，
两式相除可得：
，
即
，
所以：
，
即从消除
的污染物到消除
的污染物大约需要经历
，
故选：A
17．（2025·北京·高考真题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要时间
（单位：小时），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加20 小时；当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位
时，训练时间增加（单位：小时）（ ）
A．2
B．4
C．20
D．40
【答案】B
【解析】设当N 取
个单位、
个单位、
个单位时所需时间分别为
,
由题意，
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
所以当训练数据量N 从
个单位增加到
个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
18．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1 小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，
是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市
道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8 米；
假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶；
假设3：安全距离
（单位：米）与车辆速度近似满足
.
该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数）
【答案】821
【解析】1 小时
秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是
米／秒.
1 小时内通过的车辆数
.
根据基本不等式
（
），
，
当且仅当
时等号成立.所以
，
即该城市道路通行能力的最大值约为821.
故答案为：821.
19．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，若在前
消除了
的污染物，当污染物减少
时，所需时间约为
（精确到
，参考数据：
，
，
）．
【答案】33
【解析】由题意可知，当
时，
，
所以当污染物减少
时，
，
解得
.
故答案为：33
能力拓展篇
20．（多选题）（2025·甘肃定西·模拟预测）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､
液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称
为声强
.但在实际生活中，常用声音的声强级
来度量，声强级
与声强
的关系近似满足
，经过多次测定，得到如下数据：
声强
声强级
10
20
30
已知烟花的噪声的声强级一般在
，其声强为
；鞭炮的噪声的声强级一般在
，其声强为
；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在
，其声强为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得
.即
，解得
.所以
，故A 正确；
因为
，所以
，解得
，故B 错误；
由
，得
，故C 正确；
设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为
，由题意知
，
，
，所以
，所以
，所以
，即
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
21．（多选题）（2025·重庆·二模）从2024 年3 月1 日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每
血
液中乙醇含量大于或等于
，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于
则认定为醉驾，属于犯罪
行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量
（单位：
）与酒后代谢时间
（单位：
）的
数量关系满足
．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间
时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间
的增函数，然后是代谢时间
的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后
接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
【答案】BD
【解析】由题意可知：
，则
，
由对勾函数可知：
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
在
内单调递增，在
内单调递减，故B 正确；
当
时，
取到最大值1，
即当代谢时间
时，血液中的乙醇含量最高为
，
即每
血液中乙醇含量为
，故A 错误；
因为
，可知饮酒后
接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C 错误，D 正确；
故选：BD.
22．（多选题）（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强
弱，定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的
声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
23．（2025·北京·模拟预测）已知等差数列
满足
.对
，
在区间
中的
所有项组成集合
.记
中最小值为
，最大值为
，元素个数为
.下列四个结论中
①
②
为等比数列
③
④
所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】当
时，区间
，令
，解得
，
因为
，即
，所以
，
，
；
当
时，区间
，令
，解得
，
因为
，即
，所以
，
，
；
当
时，区间
，令
，解得
，
因为
，即
，所以
，
，
；
当
时，区间
，令
，解得
，
因为
，即
，所以
，
，
.
故当
为奇数时，
，
，
，
当
为偶数时，
，
，
，
对于①，因为
，
，所以
，故①正确；
对于②，由
，
，
，
，
可知
，公比不相等，
所以
不为等比数列，故②错误；
对于③，当
为奇数时，
，
当
为偶数时，
，
所以
，故③正确；
对于④，当
为奇数时，
，
显然
，
，
当
为偶数时，
，
显然
，
，
随着
的增大，指数函数
的增长速度远大于一次函数增长速度，
故
恒成立，故④正确.
故答案为：①③④
