文档文本内容
1.1 集合
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02 落实主干知识..................................................................................................................................3
一、 集合的含义与表示......................................................................................................................3
二、集合间的基本关系........................................................................................................................3
三、集合的基本运算............................................................................................................................3
四、常用二级结论................................................................................................................................4
03 探究核心题型..................................................................................................................................5
题型一：集合的含义与表示................................................................................................................5
题型二：元素与集合的基本关系........................................................................................................6
题型三：集合元素的特征....................................................................................................................8
题型四：集合间的基本关系................................................................................................................9
题型五：集合的基本运算..................................................................................................................12
题型六：集合与排列组合的综合应用..............................................................................................14
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算..........................................................................................16
题型八：容斥问题..............................................................................................................................18
题型九：集合中的创新问题..............................................................................................................20
1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义.
2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.
3、会求两个集合的并集、交集与补集.
4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn 图表示集合间的基本关系
和基本运算.
一、 集合的含义与表示
1、元素与集合：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合．集合中的元素具有：
确定性，互异性，无序性．
2、元素
与集合
的关系：
，
；
3、集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（
图）.
4、常见数集和数学符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
集合
二、
间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合
、
，如果集合
中任意一个元素都是集合
中的元素，我们就说
这两个集合有包含关系，称集合
为集合
的子集 ，记作
（或
），读作“
包含于
”
（或“
包含
”）.
（2）真子集：如果集合
，但存在元素
，且
，我们称集合
是集合B 的真子集，记作
（或
）.读作“
真包含于
”或“
真包含
”.
（3）相等：如果集合
是集合
的子集（
，且集合
是集合
的子集（
），此时，集合
与集合
中的元素是一样的，因此，集合
与集合
相等，记作
.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集
合的真子集.
集合
三、
的基本运算
1、①并集：
；
②交集：
；
③补集：
．
④全集：一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
2、运算律
① 交换律
，
；
② 结合律
，
；
③ 分配律
，
；
④ 德摩根律
，
.
四、常用二级结论
（1）若集合
中有
个元素
，则集合
的所有子集个数为
，所有非空子集的个数是
，所有真子集的个数是
，所有非空真子集的个数是
．
（2）包含关系的各种等价表示：①
；②
；③
；④
；⑤
．
（3）容斥原理
．
（4）牢记两个注意点
①在应用条件
时要树立分类讨论的思想，将集合A 是空集的情况优先
进行讨论.
②在解答集合问题时，要注意集合元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制.
题型一：集合的含义与表示
【例1】（2025·重庆·三模）已知集合
，
，则
的元素个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】集合
，则
，
所以集合C 的元素个数为3 个.
故选：C
【方法技巧与总结】
(1)确定集合中的代表元素.
(2)确定元素的限制条件.
(3)理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素
的互异性相矛盾.
【变式1-1】（2025·广东揭阳·二模）已知集合
，则A 中元素的个
数为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
又
，所以
，可得
，所以x 可能取值为
当
时：代入
得
，又
，
所以
，此时得到元素
；
当
时：代入
得
，
，
，
此时得到元素
；
当
时：代入
得
，
.
，
，
此时得到元素
；
当
时：代入
得
，
，
，
此时得到元素
；
当
时：代入
得
，所以
，
此时得到元素
；
满足条件的元素分别为：
，
，
，
，
共11 个，
故选：C
【变式1-2】（2025·四川成都·模拟预测）现有、、
、四个数，从这四个数中任取两个相加，可
以得到多少个不同的数（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】现有、、
、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为
.
故选：A.
【变式1-3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合
，
，
，则
集合C 的子集有（ ）
A．64 个
B．63 个
C．16 个
D．15 个
【答案】C
【解析】由集合
，
，且
，
因为
，
，可得集合
，所以集合
的子集有
个.
故选：C.
题型二：
集合
元素与
的基本关系
【例2】（2025·重庆·二模）已知全集
，集合
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为全集
，
，可得
，
所以
，
，
，
.
故选：D.
【方法技巧与总结】
明确元素与集合的“属于”或“不属于”关系。判断时，看元素是否满足集合定义条件。若满足，则
元素属于该集合；若不满足，则不属于。此关系用于界定元素与集合的归属，是集合论的基础。
【变式2-1】（2025·辽宁·二模）设集合
.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，所以
.
故选：C
【变式2-2】（2025·河南·三模）已知集合
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为集合
，且
，
则
．
所以
，
，
，
.
故选：C.
【变式2-3】（2025·陕西汉中·二模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
设
,则：有理数部分：
，无理数部分
，
,
,符合条件，所以
，故A 错误；
设
,则有理数部分
，无理数部分:
，
,
,符合条件，故
，故B 错误；
设
,则：有理数部分
，无理数部分：
，故
,故C 正确；
设
,则有理数部分：
(非整数，矛盾)，故
，故D 错误．
故选：C.
题型三：集合元素的特征
【例3】（2025·广东深圳·二模）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】B
【解析】根据已知条件，等差数列的通项公式为：
.
根据三角函数的性质，
.
这说明数列
的周期为3.
因为集合
，即
有三个不同的值.
设
时，
；
时，
；
时，
.
根据三角函数两角和公式可得：
.
.
则
故选：B.
【方法技巧与总结】
利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
【变式3-1】（2025·高三·安徽宣城·期末）已知集合
，
，若
，则a 的
值是（ ）
A．1 或2
B．
或0
C．1
D．
【答案】C
【解析】由题设
，可得
或
，
当
时，
，满足题设；
当
时，
，不符合集合元素的互异性；
所以
.
故选：C
【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
中所有元素
之和为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】由
得
或
，解得：
或
，
若
，则
，不符合题意；
若
，
，从而
，
所以
中所有元素之和为4.
故选：C.
【变式3-3】已知集合
若
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．1 或
D．
或
【答案】B
【解析】因为
所以
或
，
当
时，
，此时，
，故舍去：
当
时，解得
或
（舍去），
综上
．
故选：B
题型四：集合间的基本关系
【例4】已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
表示所有奇数，
表示部分奇数，
所以
.
故选：
.
【方法技巧与总结】
（1）在判定两个集合之间的关系时，我们通常会采用两种主要方法。第一种是逻辑分析法，此方法
要求我们先对集合的表达式进行化简处理，再通过分析化简后的表达式来明确两个集合之间的逻辑关系。
第二种方法则是列举法，具体操作是分别将两个集合中的所有元素列举出来，然后通过对比这些元素来直
观地判断两个集合之间的关系。
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为
参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.
【变式4-1】（2025·北京·二模）已知集合
，集合
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
错误，
错误，
错误，
，
所以
，D 正确，
故选：D
【变式4-2】（2025·河北保定·二模）已知集合
，则
的真子集的个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．15
【答案】D
【解析】因为
的对称轴为
，顶点为
，且过点
,
当
时，
上的点为
，
作
，
的图象，如图，
由图可知，
的图象与抛物线
有4 个不同的交点，
则
有4 个元素，从而
的真子集的个数为
.
故选：D
【变式4-3】（2025·四川成都·三模）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由于
，所以
，
故选：D
【变式4-4】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数
，若集合
，
则
的子集个数是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【解析】方法一：由
，复数
，
，即
，
，解得
，
所以
，
所以集合
，含有两个元素，所以A 的子集有
个；
方法二：
，所以由求根公式得
，
所以集合
，含有两个元素，所以A 的子集有
个；
方法三：因为
，∴
有且仅有2 个虚数根，
所以
含有两个元素，所以A 的子集有
个.
故选：C.
题型五：集合的基本运算
【例5】（2025·宁夏银川·三模）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
，
，又
，
所以
.
故选：C.
【方法技巧与总结】
在处理集合的交、并、补运算时，可视元素特性选择合适表示方法。若元素为离散型，可借助Venn
图直观展示集合关系；若元素连续分布，则宜用数轴表示，同时需特别留意数轴端点的包含或排除情况。
【变式5-1】（2025·山西朔州·二模）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得
，则
，解得
，
所以
，则
，
所以
.
故选：D
【变式5-2】（2025·湖南长沙·二模）已知全集
，
，则
集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】全集
，∴
，
又∵
，∴
，
，
集合
∴
．
故选：C.
【变式5-3】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，即
，解得
，
所以
，
由
，即
，解得
，
所以
，
所以
，则
.
故选：B
【变式5-4】（多选题）（2025·江西萍乡·二模）已知全集
，集合
，且
满足：
，则下列说法正确的为（ ）
A．
B．
C．集合
可能是
D．
【答案】BCD
【解析】由题意知
所以
，
对于 A，因为
，且
，所以
，A 选项错误；
对于B，由于
，所以
，B 选项正确；
对于C，已知
，这意味着
既属于A 又属于B，
若
，当
时，
此时满足所有已知条件，故C 选项正确；
对于D，因为
，又
，所以
，D
选项正确；
故选：BCD.
题型六：集合
合
合
与排列组
的综
应用
【例6】（2025·北京朝阳·模拟预测）已知集合
，若集合A、B 满足：
，则集
合对
共有（ ）个．
A．36
B．48
C．64
D．81
【答案】D
【解析】因为
，
，
当
时，又
，故
，
当集合
中有一个元素时，又
，这样的集合对有
，
当集合
中有两个元素时，又
，这样的集合对有
，
当集合
中有三个元素时，又
，这样的集合对有
，
当集合
中有四个元素时，又
，这样的集合对有
，
所以集合对
共有
.
故选：D.
【方法技巧与总结】
在运用排列与组合理论处理集合相关问题，或求解集合中元素数量时，关键在于灵活运用分析与转
化的策略。通过深入剖析问题本质，将其转化为排列组合模型，从而高效地找到解决方案。
【变式6-1】（2025·山西·模拟预测）现从一含10 个元素的集合的子集中随机选出2 个不同的子集，
被选出的子集之间必须满足包含或被包含的关系，则满足该选取条件的选法有 种.
【答案】
【解析】不妨设子集
有
个元素，子集
有
个元素.
当
时，选法有
种；
当
时，选法有
种；
当
时，选法有
种；
依此类推，当
时，选法有
种..
故满足该选取条件的选法种数为
.
.
故答案为：
【变式6-2】设集合A 是由所有满足下面两个条件的有序数组
构成：①
；
②
；则集合A 中的元素共有 个.
【答案】232
【解析】当
时，
有五个数是0，
另一个数为1 或
，这样
有
个；
当
时，
中有四个数是0，
另两个数为两个1 或两个
或一个1 和一个
，
这样
有
个；
当
时，
中有三个数是0，
另三个数为三个1 或三个
或一个1 和两个
或两个1 和一个
，
这样
有
个；
综上集合A 中的元素共有232 个.
故答案为：232
【变式6-3】设集合
，若I 的非空子集
满足
，我们称有序集合对
为I 的“互斥集合对”，则集合I 的“互斥集合对”的个数为 .（用数字作答）
【答案】602
【解析】若
中只有一个元素，有
种选择，此时对应的
为
的补集中个元素的非空子集有
个，
故有
，
若
中只有2 个元素，有
种选择，此时对应的
为
的补集中4 个元素的非空子集有
个，故有
，
若
中只有3 个元素，有
种选择，此时对应的
为
的补集中3 个元素的非空子集有
个，故有
，
若
中只有4 个元素，有
种选择，此时对应的
为
的补集中2 个元素的非空子集有
个，故有
，
若
中只有5 个元素，有
种选择，此时对应的
为
的补集中1 个元素的非空子集有个，故有
，
所以共有
，
故答案为：602
题型七：
集合
韦恩图表达
的关系及运算
【例7】（2025·山东枣庄·二模）已知全集为
，集合
是
的两个子集，若
，则下列运
算结果为
的子集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】作出Venn 图，如图，
对于A，
，故A 错误；
对于B，
与集合
交集是空集，
若
，则
不是
的子集，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
与集合
交集是空集，
若
，则
不是
的子集，故D 错误；
故选：C.
【方法技巧与总结】
Venn 图是一种借助平面几何图形来直观表示集合的工具，通常以封闭曲线（多为矩形等）的内部区
域来代表集合。这种图形化表达方式生动形象，能将抽象的集合问题具象化。借助 Venn 图的直观特性，
可深入领会集合概念与运算公式，清晰呈现集合间的关联。
【变式7-1】（2025·安徽合肥·三模）已知集合
，则图中阴影部分所示
集合的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【解析】由题意得，图中阴影部分表示的集合为
，
因为集合
，可得
，
所以阴影部分所示集合的元素个数为个.
故选：B．
【变式7-2】（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】故阴影部分所表示的集合为
或者
，故A 正确.
故选：A.
【变式7-3】（多选题）（2025·湖南长沙·模拟预测）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素
，则
或
，所以阴影部分所表示的集合
为
，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为
，
所以选项AD 正确，选项BC 不正确.
故选：AD.
【变式7-4】（多选题）（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合
均为
的子集，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为集合
均为
的子集，且
，
画出韦恩图，如图所示：
结合图像：由
，所以A 正确；由
，所以B 错误；
由
，所以C 错误；由
，所以D 正确.
故选：AD.
题型八：容斥问题
【例8】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼
下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有
的学生第二天会到楼下食堂用午餐：
而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有
的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食
堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700
B．800
C．900
D．1000
【答案】C
【解析】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为
，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为
，
原本在楼上食堂且留下的学生：占比
，即
，
从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的
，即
，
所以
，解得
.
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为
.
故选：C
【方法技巧与总结】
容斥原理
．
【变式8-1】（多选题）（2025·河北石家庄·三模）某校“五一田径运动会”上，共有12 名同学参加
100 米、400 米、1500 米三个项目，其中有8 人参加“100 米比赛”，有7 人参加“400 米比赛”，有5 人
参加“1500 米比赛”，“100 米和400 米”都参加的有4 人，“100 米和1500 米”都参加的有3 人，“400
米和1500 米”都参加的有3 人，则下列说法正确的是（ ）
A．三项比赛都参加的有2 人
B．只参加100 米比赛的有3 人
C．只参加400 米比赛的有3 人
D．只参加1500 米比赛的有1 人
【答案】ABD
【解析】根据题意，设
{
是参加100 米的同学}，
{
是参加400 米的同学}，
{
是参加1500 米的同学}，
则
且
则
，
所以三项比赛都参加的有2 人，只参加100 米比赛的有3 人，
只参加400 米比赛的有2 人，只参加1500 米比赛的有1 人.
故选：ABD
【变式8-2】“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，
课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25 名同学选择球类项目A，20 名同学选择径赛项
目B，18 名同学选择其他健身项目C；其中有6 名同学同时选择A 和
名同学同时选择A 和C，3 名同学
同时选择B 和
.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是
（ ）
A．51
B．50
C．49
D．48
【答案】B
【解析】
由题意，
，
，
，
，
，
，
因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，
所以这个班同学人数是
.
故选：B.
【变式8-3】学校举办运动会，高三
班共有28 名同学参加比赛，有15 人参加游泳比赛，有8 人参
加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3 人，同时参加游泳比赛和球类比
赛的有3 人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1 人进行访谈，则抽取到的同
学只参加田径一项比赛的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y，
只参加球类比赛的人数为z，
只参加游泳比赛的有
人，
作出韦恩图，
由韦恩图得
，解得
，
，
只参加田径一项比赛的人数为
所以从该班参加比赛的同学中随机抽取1 人进行访谈，
则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为
故选：A
题型九：集合中的创新问题
【例9】（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性
的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形式表示
和
除以
的余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合
中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因
，则
，
因
，则
，
又
，
，
则
又
，则
，故A 正确；
，则
，故B 正确；
，则
，故D 正确；
不妨取
，不满足
，故C 错误.
故选：C.
【方法技巧与总结】
数学思维创新代表着思维品质的顶尖水准，而在新高考命题趋势中，以集合知识为载体的创新题型
备受瞩目。这类题目往往围绕“问题”展开，鼓励学生通过“探究”过程，最终达成“发现”新知的成果，
全面考察学生应对创新问题的理解力与解决能力。
【变式9-1】（多选题）（2025·四川·三模）已知集合
，则称集合为
分集．下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
是唯一的
分集B．对任意
，总存在至少一个
分集
C．若是
分集，则
D．若是
分集，则
【答案】AD
【解析】由
得
，当且仅当
时等号成立.
即
对于A， 当
时，则
，又
，故
，故A 正确；
对于B，
时，
，不符合
，故B 不正确；
对于C， 当
时，
，所以
，故C 不正确；
对于D，当
时，
，
又
，所以
，解得
，
.故D 正确.
故选：AD.
【变式9-2】（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合
，定义集合
中的元素的个数为集合A 的“容量”，记为
.若集合
，且
，则正整数n 的值是 .
【答案】2025
【解析】若集合
，则集合
，
故
，解得
.
故答案为：
【变式9-3】（2025·湖南·三模）已知集合
且
中至少含有2 个元素，若对于
中的任意两个不
同元素
，都有
，则称
具有性质
，若
，且同时具有性质
和
，
则
中至多有 个元素.
【答案】921
【解析】先说明连续11 项中集合
中最多选取5 项，
以
为例.
构造抽屉
，
，
，
，
，
，
.
①
同时选，因为具有性质
和
，
所以选5 则不选
；选6 则不选
；选7 则不选
；
则只剩
，故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
②
选2 个，
若只选
，则
不可选，又
只能选一个元素，
可以选，故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
若选
，则只能从
中选，但
不能同时选，
故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
若选
，则
不可选，又
只能选一个元素，
可以选，故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
③
中只选1 个，
又四个集合
，
，
，
每个集合至多选1 个元素，
故
中属于集合
的元素个数不超过5 个.
由上述①②③可知，连续11 项自然数中属于集合
的元素至多只有5 个，
如取
.
因为
，则把每11 个连续自然数分组，前184 组每组至多选取5 项，余一个数2025.
给出如下选取方法：从
中选取
；
然后在这5 个数的基础上每次累加11，构造184 次.
此时集合
的元素为：
；
；
；
；
，共
个元素，而取
也满足题意，
经检验可得该集合符合要求，故集合
的元素最多有
个.
故答案为：921.
