文档文本内容
2.1 函数的概念及其表示
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点1、函数的概念.........................................................................................................................3
知识点2、分段函数的应用.................................................................................................................3
方法总结1、具体函数定义域的方法.................................................................................................3
方法总结2、抽象函数定义域的方法.................................................................................................3
方法总结3、求值域、最值的方法.....................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................6
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................9
题型 1：函数定义域的求解................................................................................................................9
题型 2：抽象函数定义域的求解......................................................................................................10
题型 3：定义域约束下的参数范围求解..........................................................................................12
题型 4：函数值域的基本求解..........................................................................................................13
题型 5：数形结合法求解值域..........................................................................................................17
题型 6：判别式法求解值域..............................................................................................................20
题型 7：三角换元法求解值域..........................................................................................................22
题型 8：值域约束下的参数范围求解..............................................................................................25
题型 9：换元法求解函数解析式......................................................................................................27
题型 10：待定系数法求解函数解析式............................................................................................29
题型 11：方程组消元法求解函数解析式........................................................................................31
题型 12：赋值法求解函数解析式....................................................................................................33
题型 13：分段函数的值域求解........................................................................................................34
题型 14：分段函数的参数范围求解................................................................................................38
题型 15：分段函数的综合运用........................................................................................................42
05 课后拓展精练................................................................................................................................46
知识点1、函数的概念
(1)一般地，给定非空数集A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x ，都有B 中唯一确定的
y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数.记作：x→y=f ( x)，
x∈A .集合A 叫做函数的定义域，记为D ，集合¿ ¿，x∈A¿¿叫做值域，记为C .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为y=f ( x)，x∈D
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
知识点2、分段函数的应用
1、分段函数的概念
在函数定义域内，对于自变量
的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.
2、分段函数的图像
在一个坐标系中根据每段的定义域和解析式依次画出每段图像, 组合在一起就是完整的分段函数图像.
方法总结1、具体函数定义域的方法
（1）分式中的分母不为 0 ；
（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于 0 ；
（3）零指数幂的底数不为 0 ；
（4）指数式的底数大于 0 且不等于 1 ；
（5）对数式的底数大于 0 且不等于 1 ，真数大于 0 ；
（6） 正切函数
且
.
方法总结2、抽象函数定义域的方法
原则：(1)定义域一定是
的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样.
①已知
的定义域是
，求
的定义域
解不等式
，其解集就是
的定义域.
②已知
的定义域是
，求
的定义域
利用
求
的值域，该值域就是
的定义域.
③已知
的定义域是
，求
的定义域
利用
先求出
的值域
，然后解不等式
，其解集就是
的定义域.
方法总结3、求值域、最值的方法
1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值.
2、配方法(对称轴法)：对于形如
，
形式的二次函数，利用配方法或直接利
用对称轴
完成.可以结合图象完成求值域或最值.
3、换元法：代数换元法，三角换元法.
常见的模型
①
，令
，则
.
②
，令
，则
；
③
，令
，则
；
④
，令
，则
；
⑤
，令
，则
；
⑥令
，则
；
⑦令
，则
.
⑧
，令
，
(或令
，
).
⑨
时，令
，
；
⑩令
，则
.
4、图象法(数形结合法)：
①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成.
②求
或
的值域
③根据函数表达式的几何意义.
5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值.
6、基本（均值）不等式法
7、有界性法：含
，
，
，
，
，
，
的函数，若可用
表示它们，则常利
用其有界性来求值域。
8、判别式法
形如
中至少有一个不为零） 的函数求值域.
判别式法求其值域,要注意以下三个问题:
①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;
②定义域是否属于
;
③闭区间的边界值也要考查达到该值时的
是否存在;
④ 分子、分母必须是既约分式（不可约分）.
9、导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值.
1．（2026 年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷）对于函数
，
，设
.对于点集
，若存在
，使得任取
，总有
，则称
为“最低点”.对于函数
和
，以下说法中正确的是（ ）
A．若
和
都有最小值，则
有最低点；
B．若
有最低点，则
和
都有最小值；
C．若
或
有最小值，则
有最低点；
D．若
有最低点，则
或
有最小值.
【答案】D
【解析】对于A 项，取
，
，取
，
，
则
，
；而
无最低点，故A 错误；
对于B 项，取
，
，取
，
，
则
无最小值，
；而
有最低点
，故B 错误；
对于C 项，取
，
，取
，
，
则
无最小值，
；
因为
的函数值可趋向于负无穷大，所以
无最低点，则
亦无最
低点，故C 错误；
对于D 项，因为
有最低点，不妨设
为
的最低点，
且
，
且
，
所以
或
，
若
，则
且对任意的
，总有
，即
；
若
，同理可知
；
所以若
有最低点，则
或
有最小值，故D 正确.
故选：D.
2．（2025 年高考北京卷数学真题）已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】若函数
的值域为
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，充分性成立；
取
，
，则对任意
，一定存在
，使得
，
取
，则
，但此时函数
的值域为
，必要性不成立；
所以“
的值域为
”是“对任意
，存在
，使得
”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2018 年上海高考数学试题）设
是含数1 的有限实数集，
是定义在
上的函数，若
的图像
绕原点逆时针旋转
后与原图像重合，则在以下各项中，
的可能取值只能是（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【解析】A 选项，若
，将点
依次旋转
后可得到函数图像上的一些点，
由图可知，当
、
、0 时，对应了两个y 值，不符合函数定义，
∴
.
同理，结合图像分析B、C、D 选项，只有B 选项符合函数定义，
故选：B
4．（2017 年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，
所以函数
的定义域为
.
故选：C.
5．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设函数
，则满足
的x 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
题型 1：函数定义域的求解
【典例1-1】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，得
，解得
，
所以函数
的定义域是
.
【典例1-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则需
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
【变式1-1】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得
解得
，
所以
的定义域为
．
故选A．
【变式1-2】（2026·甘肃·一模）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】要使函数
有意义，需使
，解得
或
，
即函数的定义域为
.
【变式1-3】（2026·高三·广东·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设
，则
，
所以函数的定义域为
.
故选：C
题型 2：抽象函数定义域的求解
【典例2-1】函数
的定义域为
，函数
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
函数
的定义域为
，即
，则
，
的定义域为
，
需满足
，解得
且
，
的定义域为
，故C 正确．
故选：C．
【典例2-2】（2026·高三·江西宜春·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
的定义域为
，
所以函数
要有意义则：
，解得：
，
所以函数
的定义域为：
.
【变式2-1】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
的定义域为
，所以
中
，
所以
，
在
中令
，解得
，
所以
的定义域为
.
故选：B.
【变式2-2】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因函数
的定义域为
，则
，得
又
，即
，得
，
故
的定义域为
.
故选：B
【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定
义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
的定义域为
，得
的定义域为
.
所以
或
，
综上，
的定义域为
.
故选：C.
题型 3：定义域约束下的参数范围求解
【典例3-1】已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的定义域是
，所以不等式
对任意
恒成立，
当
时，
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
即
解得
，
综上，实数
的取值范围是
．
故选：D.
【典例3-2】已知函数
的定义域为
，求实数
的取值集合（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
的定义域为
，所以
对
恒成立，
当
时，不等式为
，满足题意；
当
时，
，解得：
，
综上所述：
.
故选：B.
【变式3-1】已知函数
的定义域为
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
的定义域为
，
所以
恒成立，则
，解得
，
又
，解得
，
所以
的取值范围是
，
故选：A
【变式3-2】“函数
的定义域为R”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【解析】
定义域为R，即
恒成立，故
，
由于
时一定满足
，但
时不能得到
，
所以“函数
的定义域为R”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
【变式3-3】已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意
对于
恒成立；
当
时，
显然成立，可得
符合题意；
当
时，若满足题意可得
，解得
；
当
时，若满足题意可得
，此时无解；
综上可得，
的取值范围是
.
故选：C
题型 4：函数值域的基本求解
【典例4-1】（2026·高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【解析】（1）
，
，所以
，
故函数的值域为
．
（2）令
（
），则
，
则
（
），
结合二次函数的性质可得，
，当
时
有最大值4，
所以函数的值域为
.
（3）∵
，
则
，即原函数值域为
，
（4）
，
因为
,
即函数值域为．
【典例4-2】求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
；
(3)
，
；
(4)
．
【解析】（1）
，且
，则
．
所以函数的值域为
.
（2）函数
的定义域为
，由
，得
，
所以
的值域为
.
（3）函数
图象的对称轴为
，而
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数的值域为
．
（4）函数
的定义域为
，
，
所以函数的值域为
．
【变式4-1】求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
；
(3)
．
【解析】（1）因为
，
，
所以
在
上单调递增，
又
，
，
∴函数
，
的值域为
．
（2）令
，即
，解得
，
所以
的定义域为
，
又∵
，∴
，
故
，
∴
的值域为
．
（3）因为
，
又
，所以
，
∴函数
的值域为
．
【变式4-2】（2026·高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
；
(8)
.
【解析】（1）因为
，
故
的值域为
；
（2）令
，则
，
而
，则
，故
，
即
的值域为
；
（3）
，因为
，故
，
所以
的值域为
;
（4）令
，则
，
当
时，
取到最大值5，无最小值，
故
的值域为
；
（5）因为
，令
,
故
，
由于
，故
，
即函数
的值域为
；
（6）
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
，
故
的值域为
；
（7）因为
恒成立，故
,
则由
可得
，
当
时，
，适合题意；
当
时，由于
，故
恒有实数根，
故
，解得
且
，
故
的值域为
；
（8）
，
因为
，故
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故
，即函数值域为
；
题型 5：数形结合法求解值域
【典例5-1】给定函数
，
，
.用
表示
，
中的较小者，记为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．0
D．2
【答案】A
【解析】令
得
，所以
当
时，
，
当
时，
综上所述，
.
故选：A
【典例5-2】给定函数
对于
用
表示
中的较小者，记为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，即
,解得
,
所以
，
当
时，
，
当
或
时，
,
所以函数
的最大值为3，
故选：
．
【变式5-1】已知函数
，
，用
表示
，
中的最大者，记为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】由
或
.
所以
.
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
综上可得，
.
故选：B
【变式5-2】
表示
与
中的较大者.设
，则函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【答案】C
【解析】令
得
或
，则
，
所以函数
在
上单调递减，当
时，
，
当
时，
，此时
，
函数
在
上单调递增，当
时，
，
故
，
故选：C.
【变式5-3】已知函数
，
，
，则（ ）
A．
的最小值为
，最大值为2
B．
的最小值为2，无最大值
C．
的最小值为
，无最大值
D．
的最小值为
，最大值为2
【答案】C
【解析】
，
，
当
时，
，解得
或
，
，
当
时，
，解得
，
，
，
的图象为：
从图像可知，当
时，
取最小值为
，
无最大值.
故选：C.
【变式5-4】
表示
三个数中的最小值，则函数
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出
的图像，
由图像可知，
，
由图可知
的最大值为.
故选：D.
【变式5-5】函数
的最小值为_____.
【答案】3
【解析】
其几何意义为抛物线
上的点
到直线
的距离与点
的距离之和.
过点
向
作垂线，垂足为
，
如图，
，等号成立时
三点共线.
所以当
时，函数
的最小值为3.
故答案为：3
题型 6：判别式法求解值域
【典例6-1】函数
的值域是______.
【答案】
【解析】因
的定义域为
，
令
，所以
，整理得
所以关于
的方程
有实数解，
当
时，原式为
，解得
，满足；
当
时，所以
，整理得
，
解得
，
此时，
且
，
∴综上，函数
的值域为
，
【典例6-2】若实数x，y 满足
，则x 的最大值是___________.
【答案】
/
【解析】将条件变形为
，
，解得
，
故
.
故答案为：
【变式6-1】函数
的值域为_____________．
【答案】
【解析】由解析式知：函数的定义域为R，且
，
整理可得
，即该方程在
上有解，
当
时，
，显然成立；
当
时，有
，整理得
，即
，
综上，原函数值域为
.
故答案为：
.
【变式6-2】（2026·广东茂名·二模）已知实数a，b 满足
，则
的最小值是
__________.
【答案】
【解析】因为实数a，b 满足
，
所以
，且
.
令
，则
，所以
，
代入
，则有
，
所以关于b 的一元二次方程
有正根，
只需
，解得：
.
此时，关于b 的一元二次方程
的两根
，所以两根同号，只需
，
解得
.
综上所述：
.
即
的最小值是
（此时
，解得：
）.
故答案为：
.
【变式6-3】已知函数
的值域为
，则常数
______．
【答案】7 或
【解析】因为
，所以
，
，即
，
因为函数
的值域为
，
所以
是方程
的两个根，
所以
，
，
解得
或
，所以
7 或
.
故答案为：7 或
.
题型 7：三角换元法求解值域
【典例7-1】函数
的最大值为________，最小值为________．
【答案】 1
【解析】由题，得
，故设
，
则
，相当于过A
，B
直线的斜率.
点B
所对应图形为以原点为圆心，半径为1 的在
轴上侧的半圆，
如下图所示.
如图，当
，即点B 坐标为
时，直线AB 斜率最大为
.
如图，当直线AB 与半圆相切时，直线AB 斜率最小设为
，
则直线AB 方程为
，因其与半圆相切，
则其到圆心距离
.
解得
或
（舍，因其大于1）.
故答案为：1；
【典例7-2】（2026·高三·全国·二轮复习）函数
的最小值为___________.
【答案】
【解析】令
，
则
，
它表示半圆
上的
与
连线的斜率（如图所示），
由图象得当
与半圆相切时，函数
取最小值，
此时
,
,
，
，
即
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式7-1】已知函数
，则
的最大值为___________．
【答案】
/1.125
【解析】函数
的定义域为
，设
，则
同号，
则
，
则
时，
，即
的最大值为
.
故答案为：
.
【变式7-2】（2026·高三·湖南·阶段检测）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．3
D．2
【答案】A
【解析】
,令
所以
，又
，
所以当
时，
有最小值为
，
当
时，
有最大值
，所以
.
故选：A.
题型 8：值域约束下的参数范围求解
【典例8-1】已知函数
有最大值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知当
时，
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
即函数
在
时的最大值为
；
当
时，
，
若
，函数
在
上单调递增，且
恒成立，
此时函数
在
上有最大值为
，满足题意；
若
，函数
，此时
，
即函数
在
上有最大值为
，满足题意；
若
，函数
在
上单调递减，且
，
则若使函数
在
上有最大值，则
，解得
；
综上所述，若函数
有最大值，则
，
故选：B.
【典例8-2】（2026·高三·北京东城·期末）设函数
，若
在区间
上的最大值
为9，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】A
【解析】由于
时，
，
，
故最大值9 一定为
，
取得，
又
为开区间，故一定有
，
且最大值在
上取到，即
，
解得
或5（舍去），
故选：A
【变式8-1】已知
，若函数
的值域为
，则a 的值最小为（ ）
A．e
B．2
C．1
D．
【答案】C
【解析】当
时，又
，所以
；
当
时，函数
在
上单调递增，所以
；
又函数
的值域为
，所以
，解得
，
所以a 的值最小为1.
【变式8-2】若函数
在定义域
上的值域为
，则称
为“
函数”．已知函数
是“
函数”，则实数m 的最大值是（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
【答案】C
【解析】由题知：函数
是“
函数”，
所以
在区间
的值域为
，
，
，即
在区间
的值域为
.
当
时，
，值域为
当
时，
，对称轴为
，开口向上，
所以
在区间
为增函数，值域为
.
所以
，则
的最大值为14.
故选：C
【变式8-3】已知函数
，若
有最大值，则m 的最大值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【解析】函数
，
当
时，
的最大值为
，
当
时，函数
单调递增，有
，
若
有最大值，则
，解得
，
所以m 的最大值为16.
故选：C
题型 9：换元法求解函数解析式
【典例9-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，因为
，则
，
，
所以
.
【典例9-2】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，因为
，则
，
，
所以
.
【变式9-1】若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，所以
．
故选：D.
【变式9-2】（2026·高三·全国·二轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
因为
，所以
．
由
，可得
，
∴
．
故选：B．
【变式9-3】已知函数
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，因为
，可得
，
所以函数
．
故选：C．
题型 10：待定系数法求解函数解析式
【典例10-1】已知
是一次函数，
，且
，函数
满足
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意可设
，
由
可得
，
因此可得
，解得
或
；
又因为
，所以
，即
，即A 正确，B 错误；
又
可得
，
令
，所以
，因此
，
所以
，可得C 错误，D 错误.
故选：A.
【典例10-2】若函数
是一次函数，并且满足
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
即为
，
所以
.
故选：C.
【变式10-1】若函数
是二次函数，满足
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
（
），由
，则
，
由
，则
，
整理可得
，则
，解得
，
所以
.
故选：B.
【变式10-2】（2026·江西·模拟预测）已知对任意的
，都有
，则一次函
数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
则
，
因为
，即
，
则
，解得
，所以
.
故选：C.
【变式10-3】已知函数
为一次函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】C
【解析】∵
，∴
且
，解得
，
∴
，∴
.
故选：C.
【变式10-4】已知二次函数
满足
，且
的最大值是8，则此二次函数的解
析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，由
得:
图象的对称轴为直线
，
设二次函数为
，
因
的最大值是8，所以
，当
时，
，
即二次函数
，
由
得:
，解得：
，
则二次函数
，
故选：A.
题型 11：方程组消元法求解函数解析式
【典例11-1】已知函数
对任意的
都有
，则
________．
【答案】
【解析】∵
，①
∴
，②
由
得
解得：
．
故答案为：
．
【典例11-2】设
，函数
满足
，函数
的解析式为______.
【答案】
【解析】由
，
，①
将
换成
得：
，②
①
②得：
，
即
，
故答案为：
.
【变式11-1】已知函数
的定义域是一切非零实数，且满足
，则
的表达式为
______.
【答案】
【解析】由
得
，
联立两式解得
.
故答案为：
.
【变式11-2】若
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，且
，则函数
的零点个数为___________．
【答案】2
【解析】由已知可得，
.
又
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，
所以，
，
，
所以有
.
又
，
两式相加化简可得，
.
两式相减化简可得，
.
所以，
.
解
可得，
或
.
所以，函数
的零点个数为2.
故答案为：2.
【变式11-3】（2026·高三·河南周口·阶段检测）已知
，则
________.
【答案】
【解析】因为
，①
所以
，
所以
，②
-
②①可得，
．
故答案为：
．
题型 12：赋值法求解函数解析式
【典例12-1】（2026·重庆·二模）已知
是偶函数，对任意
，
，
；当
时，
．则
的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可）
【答案】
（任意满足条件的即可）
【解析】
，则
在
上满足指数函数性质，
又
时，
，则
在
上是增函数，可取
，
因为
是偶函数，所以可取
．（任意满足条件的即可）
【典例12-2】（2026·高三·北京东城·期末）已知函数
的定义域为
，满足
且
，写出满足条件的一个函数解析式
_____________．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为
，且
.所以当
时，满足题意.
所以满足条件的一个函数解析式
.
故答案为：
.
【变式12-1】函数
满足：对任意x、
，都有
，
则不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】令
，可得
，
再令
，可得
，
解得
（舍）或
，
可得
，解得
，
所以
，解得
，
故答案为：
.
【变式12-2】设
是定义在
上的函数，
，且满足对任意
，
，等式
恒成立，则
的解析式为______．
【答案】
【解析】
是定义在
上的函数，
，
且对任意
，
，
恒成立，
令
，得
，
则
，
此时
，
而
，
则
，满足题意，
所以
.
故答案为：
.
【变式12-3】已知函数
具有下列性质：①
，
，
；②
，
，当
时，
，则函数
可能的一个解析式为______．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由②可知
为
上的递减函数，且满足①
，
故
的一个解析式为
．
【变式12-4】已知函数
的定义域为
，且满足
，
，若
，则
函数
的解析式为_________.
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，且满足
，
取
，得
，所以
，
，
，
，
以上各式相加得
．
故答案为：
.
题型 13：分段函数的值域求解
【典例13-1】（2026·安徽滁州·三模）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是
_________．
【答案】
【解析】当
时，
，这部分值域为
；
当
时，
，
是增函数，这部分值域为
，
要使整个函数的值域为
，则
，
画出
和
的图像，可知两个函数的交点为
和
，且当且仅当
时，
成立，
因此
的取值范围是
.
【典例13-2】（2026·北京昌平·一模）设函数
若
存在最小值，则
的一个取值
为____，
的最小值为_____．
【答案】
（答案不唯一，取
均可）
【解析】当
，函数
图像如图所示，不满足题意.
当
，函数
图像如图所示，符合题意
当
，函数
图像如图所示，要使函数有最小值，需满足
.
所以
.
当
，函数
图像如图所示，不满足题意.
当
，函数
图像如图所示，要使函数有最小值，需满足
.
无解，故不满足题意.
综上所述，
的取值范围为
，最小值为
.
【变式13-1】（2026·安徽滁州·一模）已知函数
的值域为
，则a 的取值
范围是____________．
【答案】
【解析】因为当
时，
，此时
，即
，
所以在
时，
的值域为
，
函数为
，令
，则在
时为
，且
增大时减小，
在
时单调递增，所以
单调递减，
因此
在
上单调递增，
此时：当
时，
，当
时，
，
所以在
时，
的值域为
，
所以要使函数
的值域为
，则
，
解得：
，则a 的取值范围是
【变式13-2】记函数
在
上的最大值为
，则
的最小值为____________，此时
____________．
【答案】
/
/
【解析】解法一（分类讨论）：令
，则
的对称轴是
.
(1)当
时，即
时，
在
单调递增，所以
.
此时
，所以
；
(2)当
时，即
时，
在
单调递减，所以
.
此时
，所以
；
(3)当
，即
时，
，即
.
此时
.
在
上单调递增，所以
.
当
即
时，
.
因为
单调递减，所以
，即
；
当
，即
时，
，且单调递增，所以
；
(4)当
，即
时，
，即
.
此时
，且单调递增，所以
.
综上所述，当
时，
的最小值为
．
解法二：此题虽然是二次函数的单峰形式，但左端点为零点，故只能构造对称轴和右端点相等的情况，属
于单峰非平口函数，令
，且
，一定有
，即
时，
的
最大值
取得最小值，最小值为
．
解法三（结论法秒杀）：
破解结论：已知
，在求
最大值的最小值时，通过切比雪夫最佳逼近
线可推导出以下结论：(i)当
时，
的最小值为
，当且仅当
时等号
成立；(ii)当
时，
的最小值为
，当且仅当
时等号成立．
因为根据题意，可得
.
所以
的最大值
的最小值为
，此时
．
故答案为：
；
.
【变式13-3】若函数
存在最小值，则实数
的取值范围为___________．
【答案】
【解析】当
时，
，无最小值，所以需
时，
取得最小值.
当
时，
，
若
，则
在
单调递减，
，
则当
时，
在定义域内存在最小值；
若
，则
在
上恒为
，
在定义域内存在最小值
；
若
，则
在
单调递增，
，无最小值，则
在定义域内也不存在最小值.
综上可知，若函数
存在最小值，则实数
的取值范围为
.
故答案为：
【变式13-4】（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数
为__________．
【答案】150
【解析】将定义域中的五个元素分为三组，每组的元素个数可为1，1，3 或 2，2，1，
当以 1，1，3 分组时，组数为
，当2，2，1 分组时，组数为
，
所以可以组成的函数个数为
.
题型 14：分段函数的参数范围求解
【典例14-1】（2026·河南周口·模拟预测）若函数
的值域为
，则
实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
，则
在
上单调递减，在
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
此时要想满足
的值域为
，则有
，解得
，结合
，可得
；
若
，则当
时，
，当
时，
，
的值域不为
，不合题意；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
的值域不可能为
，不合题意；
若
，则
在
上单调递增，在
上单调递增，
且当
时，
，当
时，
，
此时要想满足
的值域为
，则有
，解得
，结合
，可得
，
综上所述，实数
的取值范围为
.
【典例14-2】（2026·广东茂名·二模）已知函数
在定义域内有最大值，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
由对勾函数的性质可得，
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，函数
单调递减，
.
函数
在定义域内有最大值，则
，即实数
的取值范围是
.
【变式14-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知
，且
，若函数
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
，则
在
单调递减，即
，
，
当
时，
在
单调递增，则
，
此时两部分值域的并集不为
，不符合题意；
若
，则
在
单调递增，即
，
，
当
时，
在
单调递增，则
，
要使函数
的值域为
，则
，解得：
，
若
，则
，此时函数
的值域为
，不符合题意；
若
，则
在
单调递增，即
，
，
当
时，
在
单调递减，
则
，
，此时两部分值域的并集不为
，不符合题意；
综上，若函数
的值域为
，则
的取值范围是
【变式14-2】（2026·山东济南·三模）已知实数
，函数
的值域为
，则a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
内单调递增，则
，
可知函数
在
内的值域为
；
又因为
在
内单调递增，则
，
可知函数
在
内的值域为
；
由题意可知：
，即
，
令
，
，则
，
因为
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
又因为
，且
，
则不等式
的解集为
，所以实数a 的取值范围为
.
【变式14-3】（2026·陕西西安·模拟预测）设函数
，若
存在最大值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
的值域为
．
当
时，
是开口向下的二次函数，对称轴是直线
.
若
，则当
时，
的最大值为
，
所以
，解得
；
若
，存在最大值
；
若
，则当
时，
的最大值为
，
所以
，不等式组无解．
综上，实数
的取值范围是
．
【变式14-4】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数
的值域为
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，则
，故
，
若
，当
时，
，此时函数
在
上的值域为
，不符合题意；
若
，当
时，
，
此时函数
在
上的值域为
，不是
，不符合题意；
若
，当
时，
，
此时函数
在
上的值域为
，
所以
，解得
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
题型 15：分段函数的综合运用
【典例15-1】（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
为偶函数
C．当
时，
在区间
上单调递增
D．当
时，
【答案】AB
【解析】A：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故A 正确.
B：函数定义域为
，关于原点对称，
若
，则
，
，
若
，则
，
，
∴对任意
，均有
，即
为偶函数，故B 正确.
C：令
，在
上，
，
当
时，
，不满足单调递增的定义，故C 错误.
D：取
，满足
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
此时
，故D 错误.
【典例15-2】（多选题）（2026·高三·陕西西安·期中）已知函数f(x)=
，则下列判断正确的是（）
A．
是奇函数
B．
的图象与直线
有两个交点
C．
的值域是
D．
在
内是增函数
【答案】CD
【解析】如图所示，作出函数图象，
显然图象不关于原点中心对称，故A 不正确；
函数图象与直线
有一个交点，故B 错误；
函数的值域为
，且在区间
上是增函数，即C、D 正确；
故选：CD
【变式15-1】（多选题）（2026·高三·山东枣庄·阶段检测）已知函数
，则下列关于函
数
的结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
的值是
C．
的值域为
D．
的解集为
【答案】ABC
【解析】对于A:由题
，故A 正确；
对于B:当
时，
，解得
（舍去）；
当
时，
，又
，
，故B 正确；
对于C: 当
时，
；
当
时
，
.
故
的值域为
，故C 正确；
对于D: 当
时，
，解得
；
当
时
，解得
.
综上
的解集为
，
故D 不正确.
故选：ABC
【变式15-2】（多选题）（2026·高三·江苏扬州·开学考试）设
，函数
，则
下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，方程
有两个实数根
C．当
时，函数
存在最大值
D．当
时，函数
在区间
上单调递增
【答案】ACD
【解析】选项 A：代入
，函数为：
当
时，
，故
；
当
时，
（等号在
时成立）；
当
时，
（因为
，故
），故选项 A 正确.
选项 B：当
时，
，解得
；
由于
，有
，故
，满足条件，是一个根；
当
时，
，即
，
由于
，有
，故
，无实数解；
当
时，
，即
，解得
，
但
，而
，不满足条件，故选项 B 错误.
选项 C：当
时，
，值域是
；
当
时，
，这是一个开口向下的抛物线，
在
处取最大值
；
当
时，
，因为
，所以
；
比较各段：在
段，
（因为
时
）；
在
段，
；在
段，
.
因此，
的最大值在
处取，值为
，故选项 C 正确.
选项 D：当
时，
，故函数
在区间
上单调递增；
当
时，
，这是一个开口向下的抛物线，对称轴为：
，
故函数
在区间
上单调递增；
考虑分段点
：当
时，
，
因此，函数
在
上单调递增，故选项 D 正确.
故选：ACD
【变式15-3】（多选题）（2026·高三·重庆·阶段检测）设函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
是偶函数
D．
是单调函数
【答案】ABC
【解析】根据函数的解析式可知，定义域是全体实数，值域为
，故AB 正确；
当
是有理数时，
是有理数，
，
当
是无理数时，
是无理数，
，所以
是偶函数，故C 正确；
因为
，所以
不是单调函数，故D 错误；
故选：ABC．
1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
，
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】由条件可知，
，即
，
，得
，
解得：
.
2．（2026·北京·三模）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
的值域为
【答案】D
【解析】对于A 选项：由分数指数幂的运算得
，而
，二者不相等，故A 错误；
对于B 选项：由
是偶函数得
，又幂函数
在
上单调递增，
且
，故
，即
，B 错误；
对于C 选项：
的定义域为
，对任意
，有f (- x)=(- x)
2
3 =
3√(- x)
2=
3√x
2= f ( x)，
故
是偶函数，C 错误；
对于D 选项： 对任意
，
，因此
，值域为
，D 正确 .
3．（2026·江苏南京·三模）已知
，则
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当
时，
，不等式
，
与前提
矛盾，故此时不等式无解；
当
时，
，对其求导得
.
当
时，
，即
在
上单调递增.
又
，
因此
.
综上，
的解为
.
将
代入得
，解得
，即
.
4．（2026·江苏南京·三模）已知定义在
上的非常数函数
满足：对于任意
都有：
，
.下列选项正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
则
，解得
或
，
因为
，所以
，
化简得
，设
，则
，
当
时，
，令
，则
，
即
，即
为常数函数，与已知矛盾，因此
，
，选项
错误；
因为
，所以
，结合
，可得
，
所以
，则
，因此
，
，
所以
既不是奇函数，也不是偶函数，选项
和选项
错误，
此时
，选项
正确，
5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若
且
，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
图像如图．
设
则
．
所以
，
，
，
设
，则
．所以
在
上单调递增．
，
．
所以
时，
．
6．（2026·山西晋城·三模）若函数
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
.
7．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
【答案】B
【解析】由题意得：当
时，
，
所以
，
则
.
8．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数
满足对任意实数
，都有
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，代入题设函数方程得：
，
将
代入化简，得递推关系：
，
当
时，有
，
则
，
，
，
故
，
故
，则
.
9．（多选题）（2026·重庆·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．
，不等式
恒成立
【答案】BCD
【解析】对于A 选项，
，
因为
，则
，可得
，所以
，所以A 错误；
对于B 选项，函数
的定义域为
，
，所以B 正确；
对于C 选项，
，所以C 正确；
对于D 选项，因为
，故该函数在
单调递减，
又由B 知该函数为偶函数，且
，即
，
所以
，所以D 正确.
10．（多选题）（2026·甘肃·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．
在定义域上单调递减
【答案】ABC
【解析】因为
，
对于A：因为
的对称中心为
，将其向右平移1 个单位，
再向上平移2 个单位得到
，所以对称中心变为
，故A 正确；
对于B：任取
上一点
，其关于直线
的对称点为
，
而
，
因此其对称点
也在
上，所以
的图象关于
对称，故B 正确；
对于C：因为
，所以
，
即
的值域为
，故C 正确；
对于D：
的定义域为
，它仅在区间
和
上分别单调递减，
不能说在整个定义域上单调递减，例如：取
，
有
，不符合单调递减定义，故D 错误.
11．（多选题）（2026·河北石家庄·一模）已知函数
，则（ ）
A．
B．函数
的零点为
C．曲线
上任意一点处切线的倾斜角不小于
D．若
，且
，则
【答案】AC
【解析】已知
，所以
，解得
，A 正确；
所以
，令
（
），则
，
化简得
，即
，解得
，B 错误；
对
求导得
，其中
，
由基本不等式得
，当且仅当
时取等号，
设切线倾斜角为
，则斜率
，又
，
所以
，故倾斜角不小于
，C 正确；
由
知：
在
和
上单调递增，
但不能直接得出
，且
时，
，
如
，
时，
，D 错误.
12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合
，集合
，则函数
共有____
个；若函数
满足：
，使得
，则符合该条件的函数
共有____
个.
【答案】 1024 570
【解析】空一：函数
，集合
有5 个元素，集合
有4 个元素，
则每个自变量
都有4 种取值可能，因此总个数为
空二：条件
，使得
.
由于
，差为3 的唯一可能是
，
因此必须有某个自变量取值为9，另一个自变量取值为6，即函数值域中必须同时包含6 和9.
计算满足“值域同时包含6 和9”的函数个数，函数总个数为
，用容斥原理：
函数值域中不含6：每个自变量只能取
，共
个；
函数值域中不含9：每个自变量只能取
，共
个；
函数值域中既不含6 也不含9：只能取
，共
个.
由容斥原理，函数值域中同时含有6 和9 的函数个数为
.
因此符合该条件的函数
共有
个.
13．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数
若
存在最大值，则实数
的最大值为
___________．
【答案】
【解析】若
存在最大值，根据一次函数的单调性可知
，分类讨论，
当
，
时，
的最大值为
，
而
在区间
上为单调递增函数，则
，解得
，
故
，
当
，
时，
的最大值为
，
而
在区间
上为单调递增函数，
则
，即
，解得
，
故
，
综上所述可得
的取值范围为
，故
的最大值为
．
14．（2026·贵州安顺·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数
的解析式：
_____________．（答案不唯一）
①
；②
恰有两个不同的零点；③
．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】由
，积分得
（为常数），
由
恰有两个零点，得
，即
，
由
，得
，即
，
取
，得满足条件的一个函数解析式：
．
