文档文本内容
2.4 函数的周期性与对称性
目录
01 思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、函数的周期性....................................................................................................................3
知识点二、函数的对称性....................................................................................................................3
知识点三、函数的周期对称综合........................................................................................................3
方法总结1：常用周期结论.................................................................................................................4
方法总结2：类周期函数.....................................................................................................................4
方法总结3：抽象函数对应的特殊函数模型.....................................................................................5
03 真题回顾..........................................................................................................................................6
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................8
题型1:函数周期的推导计算...............................................................................................................8
题型2:周期性下解析式的确定...........................................................................................................8
题型3:奇偶性与周期性综合应用.......................................................................................................9
题型4:周期内循环规律应用.............................................................................................................10
题型5:周期性与零点综合问题.........................................................................................................10
题型6:类周期函数的性质应用.........................................................................................................11
题型7:奇函数周期零点问题.............................................................................................................12
题型8:自对称之轴对称分析.............................................................................................................12
题型9:自对称之中心对称分析.........................................................................................................13
题型10:双函数对称关系分析...........................................................................................................13
题型11:双对称性与周期推导...........................................................................................................14
题型12:抽象函数的原函数求解.......................................................................................................15
题型13:周期函数的递推规律应用...................................................................................................16
05 课后拓展精练................................................................................................................................17
知识点一、函数的周期性
1、周期：若函数
对定义域内的任意
满足：
，则
为函数
的周期．
最小正周期：周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做
的最小正周期．
知识点二、函数的对称性
1、轴对称
将关于
轴对称的偶函数图象向左或向右平移
个单位后，其图象关于直线
对称．
①
图象关于直线
对称；
②
图象关于直线
对称．
2、中心对称
将关于原点对称的奇函数图象向左或向右平移
个单位后，其图象关于点
对称．
①
函数
图象关于点
成中心对称；
②
函数
图象关于点
成中心对称；
③
函数
图象关于点
成中心对称．
知识点三、函数的周期对称综合
1、若
关于点
，
对称，则
是周期函数，且
2、若
图象有两条对称轴
，
则
是周期函数，且
3、若
关于点
对称，且关于
对称，则
是周期函数，且
方法总结1：常用周期结论
1、常用周期结论
①
，则
的周期
②
，则
的周期
③
，则
的周期
④
，则
的周期
⑤
，则
的周期
⑥
，则
的周期
⑦
，则
的周期
⑧
，则
的周期
⑨
，则
的周期
⑩
，则
的周期
2、若
为奇函数
则
关于点
对称；若
为偶函数
则
关于
对称
3、若
图象关于直线
或点
对称，且
有
个零点
，
，
，
，则
．若
，
的图象都关于直线
对称，且有
个交点，则交点的横坐标之和
为
．若
，
的图象都关于点
对称，且有
个交点，则交点的横坐标之和为
，纵坐标之
和为
．
方法总结2：类周期函数
若
满足：
或
，则
横坐标每增加
个单位，则函
数值扩大
倍．此函数称为周期为
的类周期函数．
方法总结3：抽象函数对应的特殊函数模型
抽象函数
特殊函数模型
正比例函数
反比例函数
一次函数
二次函数
幂函数
对数函数
超越函数
正弦型函数
余弦型函数
余弦型函数
余弦型函数
1．（2026 年高考全国2 卷数学高考真题）已知
是定义域为R 的偶函数，
，且当
时，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
的定义域为R，
，且当
时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷精编版））已知函数
，则
A．
在（0，2）单调递增
B．
在（0，2）单调递减
C．
的图像关于直线x=1 对称
D．
的图像关于点（1，0）对称
5．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2 卷精编版））已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点为
则
A．0
B．
C．
D．
6．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标II 卷））已知
是定义域为
的
奇函数,满足
.若
，则
A．
B．
C．
D．
7．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版））已知函数
的定义域为
.当
时，
；当
时，
；当
时，
.则
A．
B．
C．
D．
8．（多选题）（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
9．（2017 年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）函数
的图像关于直线
对称，则
_____________．
10．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））函数
满足
，且在
区间
上，
则
的值为____．
11．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知
是定义在
上且周期为3 的函数，
当
时，
，若函数
在区间
上有10 个零点（互不相同），则实数
的取值范围是_____.
题型1:函数周期的推导计算
【典例1-1】（2026·高三·陕西渭南·开学考试）已知定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．6
C．8
D．10
【典例1-2】（2026·高一·江西赣州·期中）若函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【变式1-1】（2026·高三·浙江·开学考试）已知函数
满足：
，且
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1-2】（2026·高一·江苏扬州·阶段检测）定义在
上的奇函数
满足
，并且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2026·高三·湖南长沙·阶段检测）设
是定义域为
的奇函数，且
．若
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
题型2:周期性下解析式的确定
【典例2-1】（2026·高一·陕西渭南·阶段检测）已知函数
是周期为4 的周期函数，且
，则
在区间
上的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】（2026·高三·江西·期中）已知
是定义域为
的奇函数，且
是偶函数，当
时，
，则当
时，
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2026·高一·河南信阳·期末）设
是定义在
上的周期为的偶函数，已知
时，
，则
时，
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】设
是定义在
上的周期为
的偶函数，已知当
时，
，则当
时，
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2026·高三·河北·阶段检测）已知函数
是定义在R 上的奇函数，且满足
，
当
时，
，则当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3:奇偶性与周期性综合应用
【典例3-1】（2026·福建南平·二模）已知
是定义在
上且周期为4 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【典例3-2】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知
是定义在
上且周期为2 的奇函数，则
（ ）
A．12
B．-12
C．0
D．-3
【变式3-1】（2026·陕西渭南·三模）已知
是定义在
上的奇函数，
是偶函数，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．4
【变式3-2】（2026·江西·二模）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式3-3】（2026·高一·山东德州·阶段检测）设
为定义在
上的奇函数，且满足
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式3-4】（2026·高一·湖南娄底·期末）已知
是定义域为
的奇函数，满足
，则
（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．0
题型4:周期内循环规律应用
【典例4-1】（2026·浙江·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，满足
，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【典例4-2】（2026·高三·安徽合肥·开学考试）已知
是定义在
上的偶函数，且
为奇函数，
若
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式4-1】（2026·高一·山东临沂·期末）已知定义在R 上的函数
满足
，
，则
（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
【变式4-2】已知
是定义域为
的奇函数，满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2026·云南·模拟预测）设
是定义在
上的奇函数，
，
，则
（ ）
A．0
B．-1012
C．-2
D．1010
题型5:周期性与零点综合问题
【典例5-1】（2026·高二·浙江嘉兴·期末）设
是定义在
上且周期为
的函数，当
时，
，则函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5-2】（2026·高一·山西运城·期中）已知定义在
上的偶函数
满足
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
C．
在区间
上有5 个零点
D．
【变式5-1】（2026·辽宁大连·三模）函数
是定义在
上的奇函数，且函数
为偶函数，当
时，
，若
有三个零点，则实数
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2026·高三·贵州贵阳·阶段检测）已知函数
的定义域为
，
，
是奇函数.且当
时，
，则函数
的零点个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式5-3】（2026·高三·上海·开学考试）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则下列结论错误的是（ ）
A．当
时，
B．
C．
的图像关于点
对称
D．函数
有个零点
题型6:类周期函数的性质应用
【典例6-1】（2026·高三·山东·阶段检测）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，都有
，则
______．
【典例6-2】（2026·高三·天津滨海新区·阶段检测）设定义在R 上的函数
满足
，且当
时，
.若对任意
，不等式
恒成立，则实数
的最小值是
___________.
【变式6-1】（2026·高三·上海·期中）定义在
上函数
满足
且当
时，
则使得
在
上恒成立的
的最小值是________．
【变式6-2】（2026·高三·吉林通化·阶段检测）函数
满足是
，且
，当
时，
，则当
时，
的最小值为___________.
【变式6-3】（2026·高二·河北邢台·阶段检测）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，若当
时，
，则
的最小值是___________.
题型7:奇函数周期零点问题
【典例7-1】（2026·河南焦作·一模）已知
是定义域为
的奇函数，且以1 为周期，则
在区间
内至少有___________个零点．
【典例7-2】定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则函数
在区间
上所有零点之和为_____________
【变式7-1】（2026·高三·上海徐汇·期中）设函数
的定义域为
，若
与
都是关于
的
奇函数，则函数
在区间
上至少有______个零点.
【变式7-2】设函数
的定义域为
，若
与
都是关于
的奇函数，则函数
在区
间
上至少有_____个零点．
【变式7-3】（2026·高三·甘肃兰州·开学考试）已知
是定义在
上的奇函数，且
，都有
，当
时，
，则函数
在区间
内所有零点之和
为______．
题型8:自对称之轴对称分析
【典例8-1】（2026·高二·云南昭通·阶段检测）已知定义在
上的奇函数
满足
，
且当
时，
，则
______．
【典例8-2】（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）设
是定义在
上的奇函数，且
，当
时，
，则
＝__________．
【变式8-1】（2026·高三·云南楚雄·阶段检测）已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
____________．
【变式8-2】（2026·山东聊城·一模）已知定义在
上的偶函数
满足
，且
时，
，若
是
的一个零点，则a 的值为____________．
题型9:自对称之中心对称分析
【典例9-1】（2026·高一·江苏无锡·阶段检测）已知函数
是
上的奇函数，且
，当
时，
，则
________．
【典例9-2】（2026·高一·上海·阶段检测）已知定义在
上的偶函数
满足
，则
的值为__________.
【变式9-1】（2026·高一·上海徐汇·期中）已知函数
是奇函数，且
，
，又
，则实数t 的取值范围为________．
【变式9-2】（2026·高二·吉林·期末）已知函数
的定义域为
，满足
，
当
时，
，则
______.
【变式9-3】已知函数
满足对任意
，都有
，且函数
为奇函数，
，则
______．
【变式9-4】（2026·高三·海南·开学考试）若函数
定义域为
，且
为偶函数，
的图象
关于点
成中心对称，则
______．
题型10:双函数对称关系分析
【典例10-1】（2026·高一·安徽合肥·期末）定义在
上的函数
，
满足
，
，且函数
为偶函数，则对任意正整数n，
__________.
【典例10-2】已知函数
的图象关于直线
对称，且
，若对任意的
，函数
满足
，则
_______.
【变式10-1】（2026·高一·江苏·期末）已知函数
的定义域均为
，若
，则
__________.
【变式10-2】（多选题）（2026·陕西商洛·二模）已知
是定义在
上的可导函数，其中
为其导
数，
，若
满足
，
关于点
对称，下列结论中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
为
的一条对称轴
D．
【变式10-3】（多选题）（2026·云南昭通·模拟预测）设定义在R 上的函数
和
的导数分别为
和
，若
，
，且
为奇函数，则（ ）
A．
B．
的图象关于直线
对称
C．
D．
【变式10-4】（多选题）（2026·高三·山东临沂·阶段检测）已知
为定义在
上的可导函数，
的导数为
，
，且
的图象关于直线
对称，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-5】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，
的定义域均为
，
是奇函数，
且
，
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为奇函数
C．
D．
题型11:双对称性与周期推导
【典例11-1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知定义在
上的函数
的图象关于直线
对称，且
．当
时，
，则
__________________．
【典例11-2】已知函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称，且当
时，
，则
________．
【变式11-1】（2026·高二·江苏常州·期中）若函数
的定义域为
，且
为奇函数，
，则
______．
【变式11-2】（2026·高一·上海·阶段检测）函数
为定义在
上的奇函数，且满足
，
若
，则
_________
【变式11-3】（2026·高二·湖南长沙·期中）已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
______．
【变式11-4】（2026·北京·三模）设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，
则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12:抽象函数的原函数求解
【典例12-1】（2026·高三·全国·三轮复习）已知
的定义域为
，
，
且
，则
_____．
【典例12-2】（多选题）（2026·高二·江苏常州·期末）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
D．
【变式12-1】（多选题）（2026·高二·山西长治·期中）已知函数
的定义域均为
，
，
，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
【变式12-2】（多选题）已知定义在
上的函数
，满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．3 是函数
的一个周期
【变式12-3】（多选题）（2026·高三·广东·期末）已知函数
及其导函数
的定义域为
，若
为奇函数，
，且对任意
，则下列正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-4】（多选题）（2026·山西·二模）已知函数
满足对于任意的
，都有
，且
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．
关于
对称
题型13:周期函数的递推规律应用
【典例13-1】（2026·高一·河南驻马店·期中）已知函数
的定义域为
，且对任意的
，满足
，且
，则
_________．
【典例13-2】已知
是定义在
上的函数，且对任意实数
，都有
，
，若
，则
______．
【变式13-1】已知
是定义在
上的函数，
，且对任意的
都有
，
．若
，则
______．
1．（2026·高三·湖北咸宁·期末）已知
是定义在
上的偶函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．1
C．3
D．7
2．（2026·四川成都·二模）已知定义域为
的函数
满足
，且
为奇函数，
则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·高一·河北保定·开学考试）已知
是定义在
上的奇函数，且
为偶函数，则下列式
子一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·高一·云南迪庆·期末）已知
是定义域为
的奇函数，满足
．若
，
则
（）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知函数
的定义域为
，且
,
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·四川攀枝花·二模）已知函数
的定义域为
，且
，
，
为奇函数，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．1
7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
，且
，则
（ ）
A．0
B．1
C．10
D．20
8．（多选题）（2026·山东聊城·一模）设
是定义在
上的可导函数，其导数为
，若
是
奇函数，且对于任意的
，
，则对于任意的
，下列说法正确的是（ ）
A．
都是
的周期
B．曲线
关于点
对称
C．曲线
关于直线
对称D．
都是偶函数
9．（多选题）（2026·高二·浙江宁波·期中）已知定义域为
的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为偶函数
C．
为周期函数
D．
10．（多选题）（2026·河北邢台·二模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
，
函数
和
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．
11．（2026·高三·辽宁沈阳·期末）设函数
的定义域为
，满足
，且当
时，
.（1）当
时，
的最小值为__________；（2）若对任意
，
都有
成立，则实数m 的最大值是__________.
12．（2026·高一·贵州遵义·期中）若函数
的定义域为
，且
为奇函数，
．若
，则
的值为________
13．（2026·山西晋中·三模）已知函数
的定义域为
是偶函数，
，则
__________.
14．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）已知函数
的定义域是
，
，
，当
时，
，则
________.
15．（2026·高一·海南·期末）已知函数
满足
，且当
时，
且
），则
_______，
_______．
16．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知
是定义在
上的连续函数，
．若
为
奇函数，
为偶函数，且
，则
________．
17．已知函数
的定义域均为
，若
是偶函数且
，则
_______
18．（2026·高三·北京石景山·期末）关于定义域为
的函数
是偶函数，且
，
，给出下列四个结论：
函数
①
的图象关于
对称；
函数
②
的图象关于
对称；
函数
③
是以6 为周期的周期函数；
函数
④
是以4 为周期的周期函数．
其中正确结论的序号是___________．
19．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数
，
的定义域为
，且
，
，若
的图像关于直线
对称，则以下说法正确的有________．
①
②
③
④
20．（2026·高三·河北秦皇岛·阶段检测）已知函数
的定义域均为
，且
.若函
数
的图象关于直线
对称，
的图象关于点
对称，且
，则
____________
21．（2026·高一·重庆·期末）已知
的定义域为
，满足
，
，若
，则
______.
22．（2026·高一·江苏南通·期末）已知函数
为偶函数，
为奇函数，
，则
______.
