文档内容
专题 2.7 函数的周期性与对称性-重难点题型精讲
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f
(x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f
(x)的最小正周期．
2．函数图象的对称性
(1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数
g(x)=f(x+a)-b为奇函数.
(2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数
g(x)=f(x+a)为偶函数.
【题型1 函数的周期性及应用】
根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有
将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论，若 T是函数的周期，则kT
（k
∈Z且k≠0）也是函数的周期.
【例1】（2021秋•宿州期末）已知函数f（x）＝cos x，则下列正确的是（ ）
A．f（x）是周期为1的奇函数 π
B．f（x）是周期为2的偶函数
C．f（x）是周期为1的非奇非偶函数
D．f（x）是周期为2的非奇非偶函数1
【变式1-1】（2022春•船山区校级期中）函数f(x)=sin2x− 是（ ）
2
A．周期为 的偶函数 B．周期为 的奇函数
C．周期为2π 的偶函数 D．周期为π2 的奇函数
【变式1-2】（2π022春•云岩区校级期中）下列函数中，周期为π 的奇函数是（ ）
A．y＝sinx B．y＝sin2x C．y＝tan2x π D．y＝cos2x
π
【变式1-3】（2021秋•五华区校级月考）下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间（ ， ）上为
2
π π
减函数的是（ ）
x
A．y＝|sinx| B．y＝sin2x C．y＝2|cosx| D．y＝cos
2
【题型2 函数的对称性】
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求
值或参数问题；
(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数 f (x＋a)为偶函数(奇函数)，则y＝f (x)的图象关于直
线x＝a对称(关于点(a,0)对称)．
【例2】（2022•福州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）＝2﹣f（x），若f（x）的图象关于直
线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．f（﹣3）＝1 B．f（0）＝0 C．f（3）＝2 D．f（5）＝﹣1
【变式2-1】（2022春•惠州月考）定义在R上的函数f（x）满足f（4﹣x）+f（x）＝2．若f（x）的图象关
于直线x＝4对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．f（﹣2）＝1 B．f（0）＝0 C．f（4）＝2 D．f（6）＝﹣1
【变式2-2】（2022•辽宁三模）函数y＝f（2x﹣1）是R上的奇函数，函数y＝f（x）图像与函数y＝g（x）
关于y＝﹣x对称，则g（x）+g（﹣x）＝（ ）
A．0 B．﹣1 C．2 D．1
【变式2-3】（2022•辽宁模拟）已知函数y＝f（2x+1）的图象关于直线x＝1对称，函数y＝f（x+1）关于
点（1，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．f（1）＝0 B．f（1﹣x）＝f（1+x）
3
C．f（x）的周期为2 D．f(x)=f( −x)
2
【题型3 周期性与奇偶性结合】
【例3】（2022•郫都区校级模拟）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f5
（x）＝16x，则f（− ）+f（1）＝（ ）
2
A．﹣8 B．﹣4 C．12 D．20
3
【变式3-1】（2021秋•金安区校级期末）若f（x）是R上周期为3的偶函数，且当0＜x≤ 时，f（x）＝
2
13
log x，则f(− )=（ ）
4
2
1 1
A．﹣2 B．2 C．− D．
2 2
【变式3-2】（2020•深圳模拟）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x [2，3]时，f（x）＝x，
则x [﹣2，0]时，f（x）的解析式为（ ） ∈
A．∈f（x）＝2+|x+1| B．f（x）＝3﹣|x+1| C．f（x）＝2﹣x D．f（x）＝x+4
【变式3-3】（2022•道里区校级四模）已知f（x）为定义在R上的周期为4的奇函数，当x （0，1）时，
∈
2023 2019
f（x）＝e5x+a，若f( )−f(2022)=2e3，则f( )=（ ）
5 5
A．e3+e B．﹣e3﹣e C．e3﹣e D．﹣e3+e
【题型4 对称性与周期性结合】
【例4】（2021•房山区二模）已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为 4，若f（﹣1）＝2，则f
（2017）＝（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4
【变式4-1】（2021秋•泸县月考）已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图像关于直
1
线x＝1对称，当x [﹣1，0）时，f(x)=1−( ) x，则f（2020）+f（2021）＝（ ）
2
∈
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【变式4-2】（2021•西城区校级模拟）若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则下列
表述错误的是（ ）
A．f（x）的值域为R
B．f（x）为周期函数，且4为其一个周期
C．f（x）的图象关于x＝1对称
D．函数y＝f（x+1）的图象与函数y＝f（1﹣x）的图象关于y轴对称
【变式4-3】（2021•西城区校级模拟）若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），则下列表述错误的是（ ）
A．f（x）的值域为R
B．f（x）为周期函数，且4为其一个周期
C．f（x）的图象关于x＝1对称
D．函数y＝f（x+1）的图象与函数y＝f（1﹣x）的图象关于y轴对称
【题型5 函数性质的综合应用】
对于所给题目条件，得到函数解析式，判断函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质，进行转化求
解即可.
【例5】（2021秋•湛江月考）定义域为R的奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x [0，1]时，f
（x）＝3x﹣1，则f（2000）+f（2001）+f（2002）+…+f（2021）＝（ ） ∈
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【变式5-1】（2021秋•广州期中）已知函数 x2−1，有以下结论：
f(x)=
x2+1
①f（x）的图象关于原点对称；
②f（x）的图象关于y轴对称；
③f（x）在R上单调递增；
④f（x）的值域为[﹣1，1）．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．② B．①④ C．②④ D．①③④
【变式5-2】（2021秋•枣强县校级期末）已知定义在 R上的奇函数f（x）的周期为4，其图象关于直线x
1
＝1对称，且当x （2，3]时，f（x）＝﹣（x﹣2）（x﹣4），则f（sin ），f（sin1），f（cos2）的大
2
∈
小关系为（ ）
1
A．f（cos2）＞f（sin1）＞f（sin ）
2
1
B．f（cos2）＞f（sin ）＞f（sin1）
2
1
C．f（sin ）＞f（cos2）＞f（sin1）
2
1
D．f（sin1）＞f（sin ）＞f（cos2）
2
【变式5-3】（2021秋•安徽月考）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，3
f（x+1）是偶函数，且f(− )=1．则下列选项中说法正确的有（ ）
2
A．f（x）为偶函数 B．f（x）周期为2
9
C．f( )=1 D．f（x﹣2）是奇函数
2
【题型6 抽象函数性质的综合应用】
【方法点拨】
抽象函数问题可以全面考查函数的概念与性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、
图象集于一身，解决这类问题一般采用赋值法解决.
【例6】（2022•抚顺一模）已知函数f（x）对任意x R都有f（x+4）＝f（x）﹣f（2），若y＝f（x+1）的
∈
图像关于直线x＝﹣1对称，且对任意的，x ，x [0，2]，当x ≠x 时，都有f(x )−f(x ) ，则下
1 2 1 2 1 2 ＜0
x −x
2 1
∈
列结论正确的是（ ）
1 1 1 1 1 1
＜ ＜ ＜ ＜
A．f(−3) f(4) 11 B．f(−3) 11 f(4)
f( ) f( )
2 2
1 1 1 1 1 1
＜ ＜ ＜ ＜
C． 11 f(−3) f(4) D．f(4) 11 f(−3)
f( ) f( )
2 2
【变式6-1】（2021秋•武昌区校级期中）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对任
意x，y （﹣∞，0）∪（0，+∞）恒有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0，且f（2）
＝﹣1．∈
（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）求关于x的不等式f（3x﹣2）+f（x）+4≥0的解集．
【变式6-2】（2021秋•天心区校级期中）已知函数f（x），对于任意的x，y R，都有f（x+y）＝f（x）+f
∈
1
（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f(1)=− ．
2（1）求f（0），f（3）的值；
（2）当﹣8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值．
【变式6-3】（2021秋•东城区校级期中）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：
① x，y （﹣∞，0）∪（0，+∞），f（x•y）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x＞0），且f（2）＝
1．∀ ∈
（1）试判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）求函数f（x）在区间[﹣4，0）∪（0，4]上的最大值；
（4）求不等式f（3x﹣2）+f（x）≥4的解集．
