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8.6 周期性与对称性（精练）（基础版）
题组一 对称性
1．（2022·吉林·梅河口市第五中学）已知定义在 上的函数 在 上单调递增，且 为偶
函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ 为偶函数，
∴ ，即函数 关于 对称，
又函数 在 上单调递增，
∴函数 在 上单调递减，
由 ，可得 ，
整理得， ，
解得 或 .
故选：B.
2．（2022·云南楚雄 ）已知函数 的图象与 的图象关于 轴对称，则不等式
的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知函数 的图象与 的图象关于x轴对称，
所以 ，
又 是 上的增函数，
所以 ，解得 .
故选：B.
3．（2022·浙江衢州 ）已知函数 ，若 、 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，则 ， ，
因为
，
因为 ，则 ，
因此， .
故选：B.
4．（2022·云南昆明 ）（多选）已知函数 对 ，都有 ， ，且
，则（ ）A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点（-2，0）中心对称
C． D．
【答案】BC
【解析】因为 ，所以 为奇函数，
又因为 ，所以 关于 对称，
所以 ，令 等价于 ，所以 ，
再令 等价于 ，所以 ，所以 的周期为4，
由 ， 可得： ，
所以 的图象关于 对称，故A不正确；
又因为 的图象关于 对称， 的周期为4，所以 的图象关于点 中心对称，故B正
确；
令 中 ，可得 ，所以 ，故C正确；
，故D不正确.
故选：BC.
5．（2022广西）（多选）若定义在 上的奇函数 满足 ，在区间 上，有
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 成中心对称
B．函数 的图象关于直线 成轴对称
C．在区间 上， 为减函数D．
【答案】AC
【解析】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
又 ，即 关于 对称，故B不正确；
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
因为在区间 上，有 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，即 ，
所以 的图象关于点 成中心对称，故A正确；
因为 关于 成轴对称，关于 成中心对称，且在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，故C正确；
因为 ，故D错误；
故选：AC
6．（2022·全国·高三）（多选）若函数f(x)满足： x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且
∀
则（ ）
A．f(0)＞f(3) B． x∈R，f(x)≤f(2)
∀
C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3【答案】AC
【解析】由 ， ，可得 图象关于 对称，
由 ， ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，当
时， 最小，结合函数的单调性和对称性得：距离 越近函数值越小，则显然A正确，B不正确；
对C， ，C正确；
对D， 时， 距 更远，则 ，解得 或 ，D不正确．
故选：AC.
7．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称，且当
时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称，且当 时， ，
若 ，则 .
故 ，即 .
故选：C.
8．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）函数 是R上的奇函数，函数 图像与函数
关于 对称，则 （ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
【答案】C【解析】函数 是R上的奇函数，则
设 ，则 ，则函数 的图像关于点 对称
函数 图像与函数 关于 对称，
所以函数 的图像关于 对称，所以
故选：C
9．（2022·广东惠州·高三阶段练习）定义在 上的函数 满足 .若 的图象关于
直线 对称，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 满足 ，
所以 ，所以 ，
又 的图象关于直线 对称，
所以 ，且 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
无法求出 .
故选：A.
10．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数 ，其中a为常数，若存在 ，且
，则 （ ）A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 关于直线 对称，又 ，
所以 .
故选：C．
11．（2022·河北·邢台市第二中学高三阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且
在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 满足 ，所以 的图象关于直线 对称，
又 在区间 上单调递增，所以在 上单调递减，
因为 ， ，
即 ，平方后解得 .
所以 的取值范围为 .
故选：B.
12．（2022·全国·单元测试）已知函数 的定义域为R， ，且 在 上单调递
减，则关于 的不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以函数 的图象关于直线
对称，
又 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，
结合草图可知：要使 ，则 到 的距离小于 到 的距离，故不等式
等价于 ，两边同时平方后整理得 ，解得 或 .
故选：C．
13．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数 ，若 ，则
___________.【答案】2
【解析】因为 ，对称轴为 ，所以 的对称中心为 ，即 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以方程 的解 均有且只有一个，
因为 ，所以 关于对称中心 对称，
所以 ，
故答案为：2
14．（2022·湖北·高三开学考试）函数 的极大值为 ，极小值为 ，则
______.
【答案】6
【解析】由题意，
，故 关于 对称.故取得极大与极小值的点关于 对称，所以
.故答案为：6
15．（2022·湖北武汉 ）定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，则 __________．
【答案】
【解析】 ， ，即 ，
又 为奇函数， ，
， ， .
故答案为： .
16．（2022·江苏盐城·高一期末）对 ，函数 都有 ，则 ___________.（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 ， 图象关于点 对称，则 .
故答案为： （答案不唯一）.
17．（2022·广西·南宁三中二模（文））若函数 的图象关于直线 对
称，则 _______．
【答案】7
【解析】由题意 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ，
此时 ，
，满足题意．
所以 ， ．
故答案为：7．
题组二 周期性
1．（2022·江苏南通·高三开学考试）定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，则 的值为___________.
【答案】
【解析】由题意，函数 满足 ，
化简可得 ，所以函数 是以4为周期的周期函数，因为 为奇函数，
所以 ，
因为 ，即 ，
所以 .
故答案为：
2．（2022·重庆八中高三开学考试）已知 为 上的奇函数，且 ，当 时，
，则 _____.
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 是周期 的函数，
因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ，则___________.
【答案】
【解析】因为在R上的函数 满足 ，且 ，
令 ，有 ，
又 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，
所以 .
故答案为： ．
4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知函数 是定义在 上的奇函数， 满足
，且当 时， ，则 的值为_________.
【答案】1
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
因为 ，所以 的周期为4，
因为当 时， ，
所以 ，故答案为：1
5．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知函数 是 上的偶函数，且
的图象关于点 对称，当 时， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 图象关于点 对称， ，又 为 上的偶函数， ， ，
，
是周期为 的周期函数，
，又 ， ，
.
故选：C.
6（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）设 的定义域为 ，且满足
，若 ，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．3033 D．3034
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，
由 得 ，
所以 ， ，
即 ，
所以 ，
所以 .
故选：A
7．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知定义在 上的奇函数 满足
，当 时， ，则 （ ）A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 的周期为4，
所以 ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，
又因为在 中，令 ，得 ，
所以 ，又当 时， ，所以令 ， ，
所以 .故A，B，C错误.
故选：D.
题组三 函数性质的综合运用
1．（2022·内蒙古赤峰）已知 是定义在R上的可导函数，且满足 ， ，
，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式 可化为 ，令 ，由 ，
得 ，所以 是减函数，
因为 ，所以 的图象关于点 对称，即 ，
又 ，
分别令 ， ， ， ， ，得 ， ， ， ，，
结合对称性有，
， ，
所以 ，从而 ，
因此不等式 为 ，所以 ．
故选：C．
2．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）（多选）已知 是定义在 上的偶函数，其图象关于
点 对称.以下关于 的结论正确的有（ ）
A． 是周期函数
B． 满足
C． 在 上单调递减
D． 是满足条件的一个函数
【答案】ABD
【解析】对于A： ，其图象关于点 对称即
所以 ，
函数 是周期函数且其周期为4，故A正确；
对于B：由A知，对于任意的 ，都有 满足 ，
又函数是偶函数，即 ，故B正确；
对于C：反例：如图所示的函数，关于 轴对称，
图象关于点 对称，函数的周期为4，但是 在 上不是单调函数，故C不正确；对于D： 是定义域为在 ，
且 ，
，
所以 是定义域为在 上的偶函数，其图象关于点 对称的一个函数，
故D正确．
故选：ABD．
3．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选）已知函数 为 上的奇函数，
为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A． 图象关于 对称 B．
C． 的最小正周期为4 D．对任意 都有
【答案】BCD
【解析】 为 上的奇函数，则 ， . 为偶函数，即 关于
轴对称，则 .
所以 ，则 ，故 ，则 最小正周期为
4；对A， ，故 图象不关于 对称，A错；
对B， ，B对；
对C， 最小正周期为4， ， 的最小正周期为4，C对；
对D， ，D对；
故选：BCD
4．（2022·江苏省高邮中学高三开学考试）（多选）已知函数 及其导数 的定义域均为R，记
．若 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】 为偶函数， 可得 ，所以
关于直线 对称，
设 ， ，所以选项A错误；
为奇函数， ，所以函数 关于点 对称.
令 得 .故选项B正确；
关于直线 对称，所以
所以 ，即
所以 ，所以 ，故选项C正确；
所以 ，所以 ，故选项D正确.故选：BCD
5．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）（多选）已知函数 的图像关于直线 对
称，函数 关于点 对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的周期为4
C． D．
【答案】AB
【解析】 的图像关于直线 对称， 的图像关于 对称，
又关于点 中心对称，所以周期为4，所以 正确而D错误；
又 ，其中 换 得 ，
再将 换 得 ，但无法得到 所以 正确C错误.
故选：AB.
6．（2022·全国·课时练习）（多选）定义在R上的偶函数 满足 ，且在 上是增
函数，则（ ）
A． 的图象关于直线 对称 B． 在 上是增函数
C． 在 上是减函数 D．
【答案】AD
【解析】因为 ， 是偶函数，
所以 ，即 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故A正确；
由偶函数在对称区间上的单调性相反，得 在 上是减函数，故B错误；因为函数 的图象关于直线 对称，且 在 上是减函数，
所以 在 上是增函数，故C错误；
由 ，可得 ，故D正确.
故选：AD.
7．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））定义在R上的奇函数 满足 ，
且 在 上是增函数，给出下列几个命题：
① 是周期函数；
② 的图象关于直线 对称；
③ 在 上是减函数；
④ ．
其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)
【答案】①②③④
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 的周期为 ，
即 为周期函数，故①正确；
因为 ，所以 ，又因为 为奇函数，所以 ，所以函数
的图象关于直线 对称，故②正确；
因为 是定义在R上的奇函数，所以 ,因为 在 上为增函数，且 为奇函数，所以
在 上为增函数，
因为 关于直线 对称，所以 在 上为减函数，故③正确；由 ，令 得 ，故④正确，
故答案为：①②③④
8．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设 的定义域为 ，且满足
，若 ，则 ___________.
【答案】2024
【解析】因为 ，所以 ，
由 ，得 ，有 ，
可得 ，有 ，
又由 ，可得 ，可知函数 的周期为4，
可得 ，
有 ，
因为 ，所以
由 得 ，
所以 ，
即 ，
所以
所以 .
故 .故答案为：2024
