文档文本内容
2.2 函数基本性质
目录
01 思维导图与题型归纳...............................................................................................................................................2
02 基础知识点梳理........................................................................................................................................................3
知识点1、函数的单调性..............................................................................................................................................3
知识点2、函数的最值..................................................................................................................................................3
知识点3、函数的奇偶性..............................................................................................................................................4
方法总结1：单调性常见方法及结论.........................................................................................................................4
方法总结2：奇偶性常用结论......................................................................................................................................5
方法总结3：常用奇偶函数模型..................................................................................................................................5
方法总结4：中值模型..................................................................................................................................................6
方法总结5：不动点与稳定点......................................................................................................................................6
方法总结6：悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数.............................................................................................6
03 真题回顾....................................................................................................................................................................8
04 经典题型归纳总结.................................................................................................................................................12
题型1：函数单调性的判定........................................................................................................................................12
题型2：函数单调区间的求解....................................................................................................................................12
题型3：单调性应用与不等式求解...........................................................................................................................13
题型4：单调性约束下的参数范围求解...................................................................................................................14
题型5：抽象函数的单调性分析...............................................................................................................................15
题型6：分段函数的单调性应用...............................................................................................................................15
题型7：函数单调性的唯一性分析...........................................................................................................................16
题型8：函数奇偶性的判定........................................................................................................................................17
题型9：奇偶性约束下的参数求解...........................................................................................................................17
题型10：利用奇偶性确定函数解析式.....................................................................................................................18
题型11：中值模型的应用..........................................................................................................................................19
题型12：奇偶性的图象分析......................................................................................................................................19
题型13：奇偶性与单调性综合运用.........................................................................................................................21
题型14：不动点与稳定点问题..................................................................................................................................22
题型15：悬链线与双曲三角函数.............................................................................................................................24
05 课后拓展精练..........................................................................................................................................................26
知识点1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数
的定义域为
，区间
：
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
当
时，都有
，那么就说
在区间
上是增函数．
如果对于
内的任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
，那么就说
在区间
上是减函数．
①属于定义域
内某个区间上；
②任意两个自变量
，
且
；
③都有
或
；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数
在区间
上是增函数或减函数，那么就说函数
在区间
上具
有单调性，
称为函数
的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
减函数．
知识点2、函数的最值
1、最大值：
的定义域为，如果
满足：（1）对
，都有
，（2）
，使得
，则称
为
的最大值，记作
；
2、最小值：
的定义域为，如果
满足：（1）对
，都有
，（2）
，使得
，则称
为
的最小值，记作
．
知识点3、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做偶函数
关于
轴对
称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做奇函数
关于原点对
称
判断
与
的关系时，也可以使用如下结论：如果
或
，则
函数
为偶函数；如果
或
，则函数
为奇函数．
方法总结1：单调性常见方法及结论
1、单调性定义的变式：设
，且
，
①
在
是增函数
恒成立
②
在
是减函数
恒成立
2、判断函数单调性
设
，
具有单调性，常数
，常数
，则
①
，
，
与
有相同的单调性
②
，
与
有相反的单调性
③若
，
都是区间
上的增（减）函数，则
在区间
上也是增（减）
函数．
④设
，
都是区间
上的恒正的增（减）函数，则
在区间
上也是增
（减）函数．
⑤增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，
增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；
3、复合函数单调性
讨论复合函数
的单调性时要注意:
①若
在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则
为增函数;
②若
在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则
为
减函数. 列表如下:
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
方法总结2：奇偶性常用结论
①奇偶函数四则运算与复合
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
②奇函数
的定义域若包括0，则必有
.
③
为偶函数
④若
，且
的定义域关于原点对称，则
既是奇函数也是偶函数.
⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
⑥
的定义域关于原点对称，
为偶函数，
为奇函数，
为偶
函数.
⑦奇函数：
；偶函数：
⑧若
是偶函数，则奇次项系数
为0.
若
是奇函数，则偶次项系数
为0.
方法总结3：常用奇偶函数模型
(1)奇函数模型
①函数
或函数
.
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
(2)偶函数模型
①函数
；
②函数
；
③函数
类型的一切函数．
方法总结4：中值模型
基本模型：
，其中
为奇函数，
为常数
（1）
（2）
方法总结5：不动点与稳定点
不动点对于函数
，我们把方程
的解
称为函数
的不动点，即
与
图像交点的横坐标．
稳定点对于函数
，我们把方程
的解
称为函数
的稳定点，即
与
图像交点的横坐标．很显然，若
为函数
的不动点，则
必为函数
的稳定点．
方法总结6：悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数
双曲正弦：
，①奇函数；②
上单调递增．
双曲余弦：
，①偶函数；②
．
双曲正切：
，①奇函数；②
上单调递增．
1．（2026 年高考全国2 卷数学高考真题）已知
是定义域为R 的偶函数，
，且当
时，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．（2026 年高考天津卷数学高考真题）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026 年高考北京卷数学高考真题）下列函数
是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 年高考天津卷数学真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知
，C 在
上，
则
的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值
B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值
D．既没有最大值，也没有最小值
6．（2025 年高考全国一卷数学真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024 年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）函数
在区间
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023 年北京高考数学真题）下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026 年高考上海卷数学高考真题）已知函数
是偶函数，当
时，
，若
，则
__________．
11．（2025 年高考天津卷数学真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的最小值为_______
12．（2024 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））若函数
是奇函数，则实数
______.
13．（2023 年北京高考数学真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是____________．
14．（2026 年高考全国1 卷数学高考真题）已知函数
的定义域为
，且当
时，
．对任
意
，定义集合
．
(1)若当
时，
，求
；
(2)若
是奇函数，
，且
，证明：
；
(3)设
满足：①若
，则
；②当
时，
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
在区间
单调递增．
15．（2026 年高考上海卷数学高考真题）已知
是，
，的一个排列，若函数
，
，
，对任意
，都有
且
，则称
是关于
，
，
的一个
排列，则关于
，
，
的
排列总数记为
．
(1)已知
，
，
，
，判断
是否为
排列；
(2)对
，
，
，
满足条件的
，求
的取值范围；
(3)对
，且对任意
，
，令
，
，
，
，证明：若
严格减，则存在
，使
；若
严格增，则存在
，
．
16．（2026 年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷（回忆版））设
是定义在
上的
函数.定义性质
：若对任意
，当
时，
，则称函数
具有“性质
”.
(1)判断函数
是否具有“性质
”；
(2)若分段函数
具有“性质
”，求所有满足条件的实数
和
的解；
(3)已知
的值域为
，且在
上是严格增函数，证明：
是偶函数的充要条件是：
具
有“性质
”.
17．（2025 年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知函数
的定义域为
．对于正实数a，
定义集合
．
(1)若
，判断
是否是
中的元素，请说明理由；
(2)若
，求a 的取值范围；
(3)若
是偶函数，当
时，
，且对任意
，均有
．写出
，
解析式，并证明：对任意实数c，函数
在
上至多有9 个零点．
题型1：函数单调性的判定
【典例1-1】已知函数
在区间
上单调递增，且
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】若函数
满足
，且
，都有
，则
的解
析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数
的定义域为
，其图象是连续曲线，对任意的正
实数，
在
上是增函数，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
上不单调
C．
可能存在最大值
D．
可能存在最小值
【变式1-2】（2026·湖北·三模）已知函数
，则
（ ）
A．是奇函数，且在区间
单调递增B．是偶函数，且在区间
单调递减
C．是奇函数，且在区间
单调递减D．是偶函数，且在区间
单调递增
题型2：函数单调区间的求解
【典例2-1】函数
的单调递减区间（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】（2026·河北沧州·一模）已知函数
，则函数
的单调递增区间为（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
，
【变式2-1】函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】已知函数
，则函数
的单调增区间是（ ）
A．
和
B．
C．
和
D．
题型3：单调性应用与不等式求解
【典例3-1】（2026·高三·河南驻马店·阶段检测）已知定义在
上的函数
满足以下条件：对任意
，
，有
，
，且当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3-2】已知函数
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2026·河北邢台·三模）已知函数
则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】已知函数
是定义域为
的偶函数，且在
上单调递减，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】已知函数
是定义在
上的偶函数，且在
上单调递增，若
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4：单调性约束下的参数范围求解
【典例4-1】若
是
上的单调递增函数，则实数
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【典例4-2】已知函数
，则“
在
上单调递减”的充要条件是
（
）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】函数
，若
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知
在R 上满足
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】函数
在
上是减函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型5：抽象函数的单调性分析
【典例5-1】（多选题）已知函数
的定义域为
，且
，当
时，
，
且满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
在
上单调递增
D．
【典例5-2】（多选题）（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知
是定义在
上的函数，
，
都有
，且当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．函数
在
上单调递增
C．若
，则不等式
的解集为
或
D．
为奇函数
【变式5-1】（多选题）已知函数
的定义域为
，满足
，当
时，
，且
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
在
单调递增
D．
的解集为
【变式5-2】（多选题）（2026·四川宜宾·一模）定义在
上的函数
，对
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
单调递减
C．
D．数列
的前n 项和为
，则
题型6：分段函数的单调性应用
【典例6-1】（2026·湖南常德·一模）已知函数
在
上单调递减，则
的最小
值是（ ）
A．
B．2
C．
D．5
【典例6-2】已知函数
，满足对任意的
都有
成立，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（2026·云南·模拟预测）函数
是
上的严格减函数，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】（2026·河北保定·二模）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调
递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7：函数单调性的唯一性分析
【典例7-1】若函数
是
上的单调函数，且对任意实数
，都有
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．0
【典例7-2】已知函数
是定义在
上的单调函数，若对任意
恒成立，则
的值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式7-1】已知
为定义在
上的单调函数，且对
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】设
是定义在
上的单调函数，若
，则不等式
的解集为
__________.
【变式7-3】已知函数
是定义在
上的连续单调函数，若
，则不等式
的解集为___________.
题型8：函数奇偶性的判定
【典例8-1】设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8-2】已知函数
，
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【变式8-1】（2026·天津河西·三模）下列函数中，在
内单调递增的偶函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（2026·云南昆明·二模）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数，且在
上单调递增
B．
是奇函数，且在
上单调递减
C．
是偶函数，且在
上单调递增
D．
是偶函数，且在
上单调递减
【变式8-3】（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型9：奇偶性约束下的参数求解
【典例9-1】已知
是定义域为R 的偶函数，
，且当
时，
，
则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【典例9-2】（2026·山东潍坊·三模）已知
，函数
，
为奇函数，则
（ ）
A．13
B．24
C．80
D．240
【变式9-1】已知
是偶函数，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式9-2】若函数
为奇函数，则实数
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．0
【变式9-3】（2026·高三·河北衡水·阶段检测）若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-4】（2026·江苏·模拟预测）若函数
（
且
）是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10：利用奇偶性确定函数解析式
【典例10-1】（2026·上海静安·二模）已知定义在R 上的偶函数
的最小正周期为2，当
时，
，则当
时，
______．
【典例10-2】设函数
，若
是奇函数，则
的表达式是___________．
【变式10-1】设函数
的定义域为
，
.若
为奇函数，
为
偶函数，则
的最大值为_____.
【变式10-2】设
在区间
内有定义，则
能表示一个偶函数
与一个奇函数
之和，其
中
_____，
_____.
【变式10-3】已知函数
是定义在
上的偶函数，且
的图象关于直线
对称，若当
时，
，则当
时，
=_________________．
【变式10-4】已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，则在
上
的表达式
为______
题型11：中值模型的应用
【典例11-1】已知函数
在
上最大值为
，最小值为
，则
_________．
【典例11-2】函数
在区间
上的最大值为
最小值为
则
_____.
【变式11-1】已知函数
，若
，
，且
，则
的最小值为______.
【变式11-2】已知
，
．求
______．
【变式11-3】设函数
上的最大值为
，最小值为
，则
______
【变式11-4】若对于
，
，令
，则
在
上的最大值和最小值之和为________
【变式11-5】若关于x 的函数
的最大值为
，最小值为
，且
，则实数的值为_______________
【变式11-6】已知函数
在区间
上的最大值与最小值的和为
18，则实数
的值为______．
题型12：奇偶性的图象分析
【典例12-1】函数
的大致图象是（）
A．
B．
C．
D．
【典例12-2】函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-1】（2026·高三·青海·阶段检测）已知函数
的大致图象如图1 所示，则图2 所对应
的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-2】函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式12-3】（2026·高三·重庆九龙坡·开学考试）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析
式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型13：奇偶性与单调性综合运用
【典例13-1】已知
是定义在
上的奇函数，对任意
且
，都有
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例13-2】设函数
，则使得
成立的
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-1】（2026·福建漳州·三模）已知
是定义域为
的奇函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
则不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．(
1，0)
D．
【变式13-3】（2026·四川广安·模拟预测）已知函数
，则
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-4】函数
，若满足
恒成立，则实数的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-5】已知函数
，且
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-6】已知函数
，则关于x 的不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型14：不动点与稳定点问题
【典例14-1】（2026·北京海淀·模拟预测）对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点
，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称
为该函数的一个不动点，现新定义：若
满足
，则称
为
的次不动点，有下面四个结论
①定义在R 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
②定义在R 上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
③当
时，函数
在
上仅有一个不动点和一个次不动点．
④不存在正整数m，使得函数
在区间
上存在不动点，其中，正确结论的序号为
__________．
【典例14-2】已知函数
．
(1)判断函数
的奇偶性；
(2)利用单调性定义证明：
在
上单调递增；
(3)若存在实数
，使得
，则称
为函数
的不动点．设函数
，证明：函数
存在不为0 的“不动点”．
【变式14-1】对于函数
，若存在实数
，使得
，则称
为函数
的“不动点”
(1)若
是奇函数
的一个“不动点”，求证：
也是函数
的一个“不动点”；
(2)已知函数
.
（i）若对任意实数
，函数
都有“不动点”，求实数
的取值范围；
（ii）若
，且函数
恰有两个不同的“不动点”，求实数
的取值范围.
【变式14-2】函数
的定义域为
，如果存在
，使得
，称t 为
的一个不动点．函
数
（
，为自然对数的底数），定义在R 上的函数
满足
，且当
时，
．
(1)求证：
为奇函数；
(2)当a 变化时，求函数
不动点个数；
(3)若存在，
，且
为函数
的一个不动点，求a 的取值范围．
【变式14-3】记函数
的定义域为
．若存在
，使
成立，则称以
为坐标的点为
函数
图象中的不动点．
(1)若函数
图象上有两个关于原点对称的不动点．求
、
应满足的条件；
(2)在（1）的条件下，若
，记函数
图象上的两个不动点分别为
、
，
为函数
图象上的
另一点，且其纵坐标
，求点
到直线
距离的最小值及取得最小值时
点的坐标；
(3)下述命题“若定义在
上的奇函数
图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若
正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．
题型15：悬链线与双曲三角函数
【典例15-1】已知函数
，
.由于这两个函数与正弦、余弦函数有着诸多相似的
性质，故分别称其为“双曲正弦函数”，“双曲余弦函数”.下列关于
的描述错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例15-2】定义双曲正弦函数、双曲余弦函数分别为
，
，设函数
，若实数m 满足不等式
，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式15-1】（2026·广东佛山·一模）定义：双曲正弦函数
，双曲余弦函数
，双曲正切函数
，则（ ）
A．函数
是偶函数
B．函数
在
上单调递减
C．
D．
【变式15-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用
下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种
特殊的悬链线函数，其函数表达式为
，相应的双曲正弦函数的表达式为
．设
函数
，若实数
满足不等式
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式15-3】悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；
如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.
这类悬链线对应的函数表达式为
（
，
是非零常数，无理数
）.给出下列三
个结论：
①当
，
时，
为奇函数；
②当
时，
为单调函数；
③若
的最小值为2，则
的最小值为2.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
1．（2026·天津西青·三模）已知函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·福建·模拟预测）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·福建宁德·二模）设
是定义在
上的函数，若
，当
时，
，
称函数
具有性质
，则下列函数具有性质
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）（2026·高三·广西·期末）定义在
上的函数
对任意实数
均满足
，且当
时，
，
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数
为偶函数
C．
在
上单调递减，在
上单调递增
D．不等式
的解集为
5．（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意实数
，满足
，且
，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
不可能为
上的减函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
6．（多选题）（2026·高三·全国·阶段检测）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，
它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点
，
使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称
为该函数的一个不动点.现新定义：若
满
足
，则称
为
的次不动点.下列说法正确的是（ ）
A．定义在
上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
B．定义在
上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
C．当
时，函数
在
上仅有一个不动点和一个次不动点
D．满足函数
在区间
上存在不动点的正整数
不存在
7．（多选题）（2026·海南海口·模拟预测）已知函数
，其导函数为
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
在
上单调递减
D．“
是周期函数”的否定是真命题
8．（多选题）（2026·江西·模拟预测）关于定义域为
的函数
，下列说法正确的有（ ）
A．存在函数
，使得
恒成立
B．存在函数
，使得
恒成立
C．存在函数
，使得
恒成立
D．存在函数
，使得
恒成立
9．（多选题）（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，
，
，则下列说法错误的是（ ）
A．
的图象关于原点对称
B．
的图象关于
轴对称
C．
D．对任意的
，
的最大值与最小值之和为4
10．（2026·江苏无锡·三模）已知函数
，其中是自然对数的底数，若
，
则实数
的取值范围是__________.
11．（2026·安徽合肥·二模）写出一个满足下列条件的函数
的解析式：________．
①
；
②对任意正数
，，
；
③
，
；
④
．
12．（2026·北京·三模）能说明命题“若
是奇函数，则
”为假命题的一
组
的值可以是
______，
______，
______．
13．（2026·重庆·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为__________.
14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知奇函数
满足：当
时，
，则
________．
15．（2026·湖南长沙·三模）若定义在
上的函数
为奇函数，则
__
16．（2026·广东茂名·二模）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是
________．
17．（2026·山东威海·二模）已知函数
为偶函数，则
________．
18．记函数
的定义域为D，若存在
，使
成立，则称以
为坐标的点是函数
的图象上的“稳定点”．
（1）若函数
的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a 的取值范围；
（2）已知定义在实数集R 上的奇函数
存在有限个“稳定点”，求证：
必有奇数个“稳定点”．
