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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 08 公切线问题（精讲+精练）
①有一个切点的公切线问题
②有两个切点的公切线问题
③公切线中的参数问题
一、必备知识整合
一、公切线问题一般思路
两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.
主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，
通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
考法1：求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，
则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.
具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P(x，f(x))，在y＝g(x)上的切点P(x，g(x))，
1 1 1 2 2 2
则f′(x)＝g′(x)＝ .
1 2
考法2：由公切线求参数的值或范围问题
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．
二、考点分类精讲
【典例1】（单选题）（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函数 与 在 处有相
同的切线，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2【典例2】（单选题）（23-24高二下·江西吉安·期末）函数 与函数 公切线的斜率
为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【典例3】（单选题）（2024·广东茂名·一模）曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练-刷真题】
一、填空题
1．（2024·全国·高考真题）若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则
.
二、解答题
2．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处的切线也
是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
【题型训练-刷模拟】
1 . 有一个切点的公切线问题
一、单选题
1．（23-24高二下·河南·阶段练习）过原点的直线 与曲线 都相切，则实数 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏南通·模拟预测）若曲线 与曲线 有且只有一个公共点，且
在公共点处的切线相同，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南曲靖·一模）已知 ，若点 为曲线 与曲线 的交点，且
两条曲线在点 处的切线重合，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象在公共点处
有相同的切线，则公共点坐标为 .
5．（2024·上海·三模）设曲线 和曲线 在它们的公共点 处有相同的切
线，则 的值为 .
2 . 有两个切点的公切线问题
一、单选题
1．（23-24高二下·江西吉安·期末）函数 与函数 公切线的斜率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若直线 是曲线 与曲线 的
公切线，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·福建·模拟预测）已知直线 既是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（23-24高二下·广东佛山·期中）经过曲线 与 的公共点，且与曲线 和
的公切线 垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）试写出曲线 与曲线 的一条公切线方程 .
3 . 公切线中的参数问题
一、单选题1．（2023·四川绵阳·模拟预测）若函数 与函数 的图象在公共点处有相同的切
线，则实数 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁大连·一模）斜率为 的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
3．（2023·河南·三模）已知函数 的图像关于原点对称，则与曲线 和 均
相切的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线 与 恰有两条公切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得
曲线 在这两点处的切线重合， 则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三上·浙江湖州·期末）已知函数 ，若总存在两条不同的直线与函数
， 图象均相切，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河北沧州·模拟预测）已知直线 与曲线 和曲线 均相切，则实数 的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
