文档文本内容
2.1 函数的概念及其表示
目录
01 思维导图与题型归纳......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点1、函数的概念.........................................................................................................................3
知识点2、分段函数的应用.................................................................................................................3
方法总结1、具体函数定义域的方法.................................................................................................3
方法总结2、抽象函数定义域的方法.................................................................................................3
方法总结3、求值域、最值的方法.....................................................................................................4
03 真题回顾..........................................................................................................................................6
04 经典题型归纳总结..........................................................................................................................7
题型 1：函数定义域的求解................................................................................................................7
题型 2：抽象函数定义域的求解........................................................................................................7
题型 3：定义域约束下的参数范围求解............................................................................................8
题型 4：函数值域的基本求解............................................................................................................8
题型 5：数形结合法求解值域..........................................................................................................10
题型 6：判别式法求解值域.............................................................................................................. 11
题型 7：三角换元法求解值域.......................................................................................................... 11
题型 8：值域约束下的参数范围求解..............................................................................................11
题型 9：换元法求解函数解析式......................................................................................................12
题型 10：待定系数法求解函数解析式............................................................................................13
题型 11：方程组消元法求解函数解析式........................................................................................13
题型 12：赋值法求解函数解析式....................................................................................................14
题型 13：分段函数的值域求解........................................................................................................14
题型 14：分段函数的参数范围求解................................................................................................15
题型 15：分段函数的综合运用........................................................................................................16
05 课后拓展精练................................................................................................................................18
知识点1、函数的概念
(1)一般地，给定非空数集A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x ，都有B 中唯一确定的
y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数.记作：x→y=f ( x)，
x∈A .集合A 叫做函数的定义域，记为D ，集合¿ ¿，x∈A¿¿ 叫做值域，记为C .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为y=f ( x)，x∈D
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
知识点2、分段函数的应用
1、分段函数的概念
在函数定义域内，对于自变量
的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.
2、分段函数的图像
在一个坐标系中根据每段的定义域和解析式依次画出每段图像, 组合在一起就是完整的分段函数图像.
方法总结1、具体函数定义域的方法
（1）分式中的分母不为 0 ；
（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于 0 ；
（3）零指数幂的底数不为 0 ；
（4）指数式的底数大于 0 且不等于 1 ；
（5）对数式的底数大于 0 且不等于 1 ，真数大于 0 ；
（6） 正切函数
且
.
方法总结2、抽象函数定义域的方法
原则：(1)定义域一定是
的范围；(2)同一对应法则下的括号内整体范围一样.
①已知
的定义域是
，求
的定义域
解不等式
，其解集就是
的定义域.
②已知
的定义域是
，求
的定义域
利用
求
的值域，该值域就是
的定义域.
③已知
的定义域是
，求
的定义域
利用
先求出
的值域
，然后解不等式
，其解集就是
的定义域.
方法总结3、求值域、最值的方法
1、观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值.
2、配方法(对称轴法)：对于形如
，
形式的二次函数，利用配方法或直接利
用对称轴
完成.可以结合图象完成求值域或最值.
3、换元法：代数换元法，三角换元法.
常见的模型
①
，令
，则
.
②
，令
，则
；
③
，令
，则
；
④
，令
，则
；
⑤
，令
，则
；
⑥令
，则
；
⑦令
，则
.
⑧
，令
，
(或令
，
).
⑨
时，令
，
；
⑩令
，则
.
4、图象法(数形结合法)：
①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成.
②求
或
的值域
③根据函数表达式的几何意义.
5、单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值.
6、基本（均值）不等式法
7、有界性法：含
，
，
，
，
，
，
的函数，若可用
表示它们，则常利
用其有界性来求值域。
8、判别式法
形如
中至少有一个不为零） 的函数求值域.
判别式法求其值域,要注意以下三个问题:
①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;
②定义域是否属于
;
③闭区间的边界值也要考查达到该值时的
是否存在;
④分子、分母必须是既约分式（不可约分）.
9、导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值.
1．（2026 年上海市春季招生统一文化考试（春季高考）数学试卷）对于函数
，
，设
.对于点集
，若存在
，使得任取
，总有
，则称
为最低点
“
”.对于函数
和
，以下说法中正确的是（ ）
A．若
和
都有最小值，则
有最低点；
B．若
有最低点，则
和
都有最小值；
C．若
或
有最小值，则
有最低点；
D．若
有最低点，则
或
有最小值.
2．（2025 年高考北京卷数学真题）已知函数
的定义域为D，则“
的值域为
是对任意
”
“
，
存在
，使得
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
3．（2018 年上海高考数学试题）设
是含数1 的有限实数集，
是定义在
上的函数，若
的图像
绕原点逆时针旋转
后与原图像重合，则在以下各项中，
的可能取值只能是（ ）
A．
B．
C．
D．0
4．（2017 年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））设函数
，则满足
的x 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
题型 1：函数定义域的求解
【典例1-1】（2026·高三·浙江杭州·阶段检测）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2026·甘肃·一模）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2026·高三·广东·期末）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型 2：抽象函数定义域的求解
【典例2-1】函数
的定义域为
，函数
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】（2026·高三·江西宜春·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定
义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型 3：定义域约束下的参数范围求解
【典例3-1】已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3-2】已知函数
的定义域为
，求实数
的取值集合（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】已知函数
的定义域为
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】函数
“
的定义域为R”是“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【变式3-3】已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型 4：函数值域的基本求解
【典例4-1】（2026·高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【典例4-2】求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
；
(3)
，
；
(4)
．
【变式4-1】求下列函数的值域：
(1)
，
；
(2)
；
(3)
．
【变式4-2】（2026·高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
(6)
；
(7)
；
(8)
.
题型 5：数形结合法求解值域
【典例5-1】给定函数
，
，
.用
表示
，
中的较小者，记为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．0
D．2
【典例5-2】给定函数
对于
用
表示
中的较小者，记为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-1】已知函数
，
，用
表示
，
中的最大者，记为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【变式5-2】
表示
与
中的较大者.设
，则函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．0
D．3
【变式5-3】已知函数
，
，
，则（ ）
A．
的最小值为
，最大值为2
B．
的最小值为2，无最大值
C．
的最小值为
，无最大值
D．
的最小值为
，最大值为2
【变式5-4】
表示
三个数中的最小值，则函数
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-5】函数
的最小值为_____.
题型 6：判别式法求解值域
【典例6-1】函数
的值域是______.
【典例6-2】若实数x，y 满足
，则x 的最大值是___________.
【变式6-1】函数
的值域为_____________．
【变式6-2】（2026·广东茂名·二模）已知实数a，b 满足
，则
的最小值是
__________.
【变式6-3】已知函数
的值域为
，则常数
______．
题型 7：三角换元法求解值域
【典例7-1】函数
的最大值为________，最小值为________．
【典例7-2】（2026·高三·全国·二轮复习）函数
的最小值为___________.
【变式7-1】已知函数
，则
的最大值为___________．
【变式7-2】（2026·高三·湖南·阶段检测）设函数
的最大值为
，最小值为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．3
D．2
题型 8：值域约束下的参数范围求解
【典例8-1】已知函数
有最大值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例8-2】（2026·高三·北京东城·期末）设函数
，若
在区间
上的最大值
为9，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【变式8-1】已知
，若函数
的值域为
，则a 的值最小为（ ）
A．e
B．2
C．1
D．
【变式8-2】若函数
在定义域
上的值域为
，则称
为“
函数．已知函数
”
是“
函数，则实数
”
m 的最大值是（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
【变式8-3】已知函数
，若
有最大值，则m 的最大值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
题型 9：换元法求解函数解析式
【典例9-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例9-2】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-1】若函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】（2026·高三·全国·二轮复习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】已知函数
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型 10：待定系数法求解函数解析式
【典例10-1】已知
是一次函数，
，且
，函数
满足
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【典例10-2】若函数
是一次函数，并且满足
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-1】若函数
是二次函数，满足
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-2】（2026·江西·模拟预测）已知对任意的
，都有
，则一次函
数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-3】已知函数
为一次函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．7
【变式10-4】已知二次函数
满足
，且
的最大值是8，则此二次函数的解
析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型 11：方程组消元法求解函数解析式
【典例11-1】已知函数
对任意的
都有
，则
________．
【典例11-2】设
，函数
满足
，函数
的解析式为______.
【变式11-1】已知函数
的定义域是一切非零实数，且满足
，则
的表达式为
______.
【变式11-2】若
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，且
，则函数
的零点个数为___________．
【变式11-3】（2026·高三·河南周口·阶段检测）已知
，则
________.
题型 12：赋值法求解函数解析式
【典例12-1】（2026·重庆·二模）已知
是偶函数，对任意
，
，
；当
时，
．则
的表达式可以为___________．（写出满足条件的一个即可）
【典例12-2】（2026·高三·北京东城·期末）已知函数
的定义域为
，满足
且
，写出满足条件的一个函数解析式
_____________．
【变式12-1】函数
满足：对任意x、
，都有
，
则不等式
的解集为______．
【变式12-2】设
是定义在
上的函数，
，且满足对任意
，
，等式
恒成立，则
的解析式为______．
【变式12-3】已知函数
具有下列性质：①
，
，
；②
，
，当
时，
，则函数
可能的一个解析式为______．
【变式12-4】已知函数
的定义域为
，且满足
，
，若
，则
函数
的解析式为_________.
题型 13：分段函数的值域求解
【典例13-1】（2026·安徽滁州·三模）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是
_________．
【典例13-2】（2026·北京昌平·一模）设函数
若
存在最小值，则
的一个取值
为____，
的最小值为_____．
【变式13-1】（2026·安徽滁州·一模）已知函数
的值域为
，则a 的取值
范围是____________．
【变式13-2】记函数
在
上的最大值为
，则
的最小值为____________，此时
____________．
【变式13-3】若函数
存在最小值，则实数
的取值范围为___________．
【变式13-4】（2026·上海杨浦·模拟预测）满足定义域为{1，2，3，4，5}，值域为{1，2，3}的函数个数
为__________．
题型 14：分段函数的参数范围求解
【典例14-1】（2026·河南周口·模拟预测）若函数
的值域为
，则
实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例14-2】（2026·广东茂名·二模）已知函数
在定义域内有最大值，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式14-1】（2026·河南开封·模拟预测）已知
，且
，若函数
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式14-2】（2026·山东济南·三模）已知实数
，函数
的值域为
，则a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式14-3】（2026·陕西西安·模拟预测）设函数
，若
存在最大值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式14-4】（2026·贵州六盘水·一模）已知函数
的值域为
，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型 15：分段函数的综合运用
【典例15-1】（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
为偶函数
C．当
时，
在区间
上单调递增
D．当
时，
【典例15-2】（多选题）（2026·高三·陕西西安·期中）已知函数f(x)=
，则下列判断正确的是（）
A．
是奇函数
B．
的图象与直线
有两个交点
C．
的值域是
D．
在
内是增函数
【变式15-1】（多选题）（2026·高三·山东枣庄·阶段检测）已知函数
，则下列关于函
数
的结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
的值是
C．
的值域为
D．
的解集为
【变式15-2】（多选题）（2026·高三·江苏扬州·开学考试）设
，函数
，则
下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，方程
有两个实数根
C．当
时，函数
存在最大值
D．当
时，函数
在区间
上单调递增
【变式15-3】（多选题）（2026·高三·重庆·阶段检测）设函数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
是偶函数
D．
是单调函数
1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
，
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
2．（2026·北京·三模）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
的值域为
3．（2026·江苏南京·三模）已知
，则
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·江苏南京·三模）已知定义在
上的非常数函数
满足：对于任意
都有：
，
.下列选项正确的是（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
D．
5．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若
且
，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·山西晋城·三模）若函数
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数
，则
（ ）
A．2025
B．2026
C．2027
D．2028
8．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数
满足对任意实数
，都有
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选题）（2026·重庆·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．当
时，
D．
，不等式
恒成立
10．（多选题）（2026·甘肃·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
的值域为
D．
在定义域上单调递减
11．（多选题）（2026·河北石家庄·一模）已知函数
，则（ ）
A．
B．函数
的零点为
C．曲线
上任意一点处切线的倾斜角不小于
D．若
，且
，则
12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知集合
，集合
，则函数
共有____
个；若函数
满足：
，使得
，则符合该条件的函数
共有____
个.
13．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数
若
存在最大值，则实数
的最大值为
___________．
14．（2026·贵州安顺·模拟预测）写出一个同时满足下列条件①②③的函数
的解析式：
_____________．（答案不唯一）
①
；②
恰有两个不同的零点；③
．
