文档文本内容
2.3 函数的奇偶性
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02 落实主干知识..................................................................................................................................3
一、函数的奇偶性................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................3
03 探究核心题型..................................................................................................................................5
题型一：常见函数奇偶性的判断........................................................................................................5
题型二：抽象函数奇偶性的判断........................................................................................................7
题型三：中值模型..............................................................................................................................10
题型四：利用奇偶性求值(解析式)...................................................................................................12
题型五：利用奇偶性解不等式..........................................................................................................13
题型六：求参数问题..........................................................................................................................16
04 好题赏析（一题多解）................................................................................................................19
05 数学思想方法................................................................................................................................21
①数形结合..........................................................................................................................................21
②转化与化归......................................................................................................................................24
③分类讨论..........................................................................................................................................26
06 课时精练（真题、模拟题）........................................................................................................28
基础过关篇..........................................................................................................................................28
能力拓展篇..........................................................................................................................................35
1、了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2、会依据函数的性质进行简单的应用.
一、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做偶函数
关于
轴对
称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做奇函数
关于原点对
称
判断
与
的关系时，也可以使用如下结论：如果
或
，则
函数
为偶函数；如果
或
，则函数
为奇函数．
常用二级结论
1、常用结论
①奇偶函数四则运算与复合
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
②奇函数
的定义域若包括0，则必有
.
③
为偶函数
④若
，且
的定义域关于原点对称，则
既是奇函数也是偶函数.
⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
⑥
的定义域关于原点对称，
为偶函数，
为奇函数，
为偶
函数.
⑦奇函数：
；偶函数：
⑧若
是偶函数，则奇次项系数
为0.
若
是奇函数，则偶次项系数
为0.
2、常用奇偶函数模型
(1)奇函数模型
①函数
或函数
.
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
(2)偶函数模型
①函数
；
②函数
；
③函数
类型的一切函数．
3、中值模型
基本模型：
，其中
为奇函数，
为常数
（1）
（2）
题型一：常见函数奇偶性的判断
【例1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于函数
，定义域为
，而
，∴该函数不是奇函数.故A 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是偶函
数，不是奇函数.故B 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为
，不是
.故C 错误.
对于函数
，定义域为
，
，∴该函数是奇函数.当
趋
于正无穷时，
趋于正无穷；当
趋于负无穷时，
趋于负无穷；并且函数在定义域内是连
续的，
值域为
.故D 正确.
故选:D.
【解题总结】
判断函数的奇偶性，其中包括两个必
条件
备
(1)定
域关于原点
称，否
即
非奇非偶函数
义
对
则
为
.
(2)判断
与
是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以
化
判断奇偶性的等价等量
转
为
关系式(
(奇函数)或
(偶函数))是否成立.
【变式1-1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A 选项，函数
的定义域为
，
因为
，
，故
，
所以，函数
不是奇函数，A 不满足；
对于B 选项，对于函数
，由
可得
，解得
，
所以，函数
的定义域为
，
因为
，故函数
为奇函数，
因为内层函数
在
上单调递减，
外层函数
为增函数，故函数
在定义域
上单调递减，B 不满足；
对于C 选项，函数
的定义域为
，
，
故函数
为偶函数，C 不满足；
对于D 选项，对任意的
，
，即函数
的定义域为
，
，即函数
为奇函数，
因为
，
内层函数
为增函数，外层函数
在
上为增函数，
所以，
在定义域
上为增函数，D 满足.
故选：D.
【变式1-2】（2025·广东深圳·二模）已知函数
（a 为常数），则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
为增函数
D．
为减函数
【答案】B
【解析】对于A，首先求
：已知
，
若
为奇函数，则
恒成立，即
恒成立.
因为
恒成立，所以
，解得
，所以
为奇函数
，选项A 错误.
对于B，接着求
：已知
，
若
为偶函数，则
恒成立，即
恒成立.
因为
不恒为
，所以
，解得
，所以
为偶函数
，选项B 正确.
对于C，D，对
求导得
.
当
时，
，
，所以
，则
为增函数.
当
时，令
，即
，则
，
，解得
.
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减，
所以选项C、D 错误.
故选：B.
【变式1-3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知定义域为
的函数
不是奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
是奇函数，则
；
若
不是奇函数，则
．
故选：B．
题型二：抽象函数奇偶性的判断
【例2】（多选题）已知
是定义在
上不恒为0 的偶函数，
是定义在
上不恒为0 的奇函数，
则（ ）
A．
为奇函数
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
为偶函数
【答案】BCD
【解析】由题意可知，
，所以
，所以
为偶函数，A 项错误；
由
，得
，所以
为奇函数，B 项正确；
因为
，所以
为偶函数，C 项正确；
因为
，所以
为偶函数，D 项正确.
故选：BCD.
【解题总结】
性质法判断
【变式2-1】（多选题）设
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
，
，
，
A，B，C 均正确.
，D 错误.
故选：ABC.
【变式2-2】（多选题）已知
，
都是定义在
上且不恒为0 的函数，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为奇函数
C．若
为奇函数，
为偶函数，则
为奇函数
D．若
为奇函数，
为偶函数，则
为非奇非偶函数
【答案】ABD
【解析】设
，
因为
，是定义在
上，所以
的定义域为
，
，所以
为偶函数，故A 正确；
设
，
因为
是定义在
上，所以
的定义域为
，
，
所以
为奇函数，故B 正确；
设
，
因为
，
都是定义在
上，所以
定义域为
，
因为
为奇函数，
为偶函数，
所以
，
所以
为偶函数，故C 错误；
设
，
因为
，
都是定义在
上，所以
定义域为
，
，
因为
是不恒为0 的函数，
所以
不恒成立，
所以
不是奇函数，
，
因为
是不恒为0 的函数，
所以
不恒成立，
所以
不是偶函数，
所以
是非奇非偶函数，故D 正确.
故选:ABD.
【变式2-3】（多选题）已知函数
的定义域为R，
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【答案】ABD
【解析】A 选项，
中，令
得，
，A 正确；
B 选项，
中，令
得，
，
解得
，B 正确；
CD 选项，
中，令
得，
，
解得
，
中，令
得，
，
函数
的定义域为R，故
为偶函数，C 错误，D 正确.
故选：ABD
【变式2-4】（多选题）已知定义在
上的函数
满足
，定义在
上的函数
满足
，则（ ）
A．
不是奇函数
B．
既是奇函数又是偶函数
C．
是奇函数
D．
既不是奇函数又不是偶函数
【答案】BC
【解析】令
，得
，令
，得
，则
，
所以
既是奇函数又是偶函数．
由
，得
，
因为
，所以
是奇函数．
故选：BC
题型三：中值模型
【例3】（2025·山东济南·三模）已知函数
，则
．
【答案】3
【解析】由题意有
，
又
，所以
，
故答案为：3.
【解题总结】
，其中
为奇函数，
为常数
（1）
（2）
【变式3-1】已知函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，则
的值为
．
【答案】2
【解析】由
，
令
，则
，
所以函数
在
上为奇函数，则
，
即
，所以
．
故答案为：2.
【变式3-2】若对于
，
，令
，则
在
上的最大值和最小值之和为
【答案】
【解析】令
，则
，所以
令
，则
，所以
为奇函数，
令
，则
，
所以
，
所以
为奇函数，
在
上的最大值与最小值的和为：
，
所以
.
故答案为：
【变式3-3】若定义在区间
上的函数
满足：对于任意的
，
，都有
，且
时，有
，若
的最大值为
，最小值为
，则
的值为 .
【答案】4048
【解析】令
得
，所以
，
令
得
，所以
，
令
，则
，
，
因为
，又
定义域关于原点对称，所以
是奇函数，
所以
，即
，所以
.
故答案为：4048
【变式3-4】已知
，
为
导函数，若
，则
．
【答案】2025
【解析】因为
，则
，
所以
，得
，
又
，故
．
故答案为：2025．
题型四：利用奇偶性求值(解析式)
【例4】（2025·云南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
是奇函数，
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为函数
为奇函数，即
，
所以
，可得
①，
因为函数
是偶函数，即
，
所以
，可得
②，
联立①②可得
，因此
.
故选：C.
【解题总结】
利用函数的奇偶性可求函数
或求参数的取
值
值,求解的关
在于借助奇偶性
化
求已知区
上的函数
键
转
为
间
或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
【变式4-1】已知函数
的定义域为
是奇函数，
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【解析】令
，
，
依题意可得
是奇函数，
是偶函数，
则
，
，
即
，解得
，
则
.
故选：B
【变式4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数．若以点
为圆心，半径
为2 的圆在
轴上方的部分恰好是
图像的一部分，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】以点
为圆心，半径为2 的圆的方程为
，
则该圆在
轴上方的部分的方程为
，
由
是定义域为
奇函数，得
，
当
时，
，
故选：D
【变式4-3】已知奇函数
在
上的解析式为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为奇函数
在0 处有定义，
所以
，
所以
在
上的解析式为
，
则
，
又因为函数为奇函数，
所以
.
故选：C
题型五：利用奇偶性解不等式
【例5】已知奇函数
在
上单调递减，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为奇函数
在
上有定义，所以
，
所以
所以
，解得
.
所以
的取值范围为
.
故选：D.
【解题总结】
利用函数的奇偶性可画出函数在其
称区
上的
象
对
间
图
,
合几何直
求解相关
结
观
问题.
【变式5-1】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数
，
,因为
，
所以
，
由
，则
，所以
为奇函数.
易知
，
因为
（当且仅当
，即
时等号成立），
（当且仅当
，即
时等号成立），所以
，所以
在
上单调递增.
由
，得
，故
，
所以
， 即
，令
，求导得
,
因为
，所以
恒成立，且
，所以解
，得：
，
故选:B.
【变式5-2】（2025·河北石家庄·三模）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，
都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数
，其中
，则
，
故函数
为偶函数，
当
、
且
时，都有
成立，
不妨设
，则
，即
，
故函数
在
上为增函数，即该函数在
上为减函数，
因为
，则
，
当
时，由
得
，即
，解得
；
当
时，由
得
，即
，解得
.
综上所述，不等式
的解集为
.
故选：B.
【变式5-3】（2025·山西临汾·三模）已知
，则满足
的实数m 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，易知其定义域为
，
由
，则函数
为偶函数，
，
由
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，则
，即
，
整理可得
，分解因式可得
，
解得
.
故选：A
【变式5-4】已知函数
的图象经过点
，则关于
的不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知
，解得
，所以
，即
，
易得
在
上单调递增．因为
，所以
为奇函数．
又
，故
等价于
，
则
，解得
.
故选：B.
题型六：求参数问题
【例6】（2025·安徽·三模）已知函数
的图象关于原点对称，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】易知
的定义域为
，且
是奇函数，
则
对任意
均成立，
，
即
解得
．
故选：D.
【解题总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为
，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、
填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
【变式6-1】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
.若
是奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】因为
为奇函数，故
，故
，
所以
即
为偶函数，故
，
故
，故
，
，
而
，故
，
故选：A.
【变式6-2】（2025·河北·模拟预测）若
（其中
）是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知：
，
则
，
化简为
，则
，解得
．
故选：A．
【变式6-3】（2025·高三·广西·期中）若
为奇函数，则实数
的值等于（ ）
A．－1
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】
，由
，得
或
，
所以函数的定义域为
，
因为奇函数的定义域关于原点对称，所以
，则
，此时
，
，
即
，函数
为奇函数，所以
．
故选：C．
【变式6-4】若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【解析】由题可得
的定义域为
.
因为
为偶函数，所以其定义域关于原点对称，所以
，
.
所以
，则
，
因为对任意的
，
恒成立，
所以
，所以
.
故选：C.
1 ．已知函数
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递减，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
法1：因为函数
是偶函数，所以
的图象关于直线
对称．
由
在
上单调递减，得
在
上单调递增，
且
，所以当
或
时，
，
当
时，
等价于
，或
即
或
解得
或
，
故选
法2：当
时，
，所以排除C；因为函数
是偶函数，
所以
的图象关于直线
对称，又
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
，
，所以当
时，
，故排除A，
故选：
2．已知定义在R 上的函数
满足
，
的图象关于y 轴对称．当
时，
对任意
，
满足
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
方法一：因为
的图象关于y 轴对称，所以
，
即有
①又因为
②，所以由①②得
，
所以
，所以
，所以
的最小期周期为
当
时，对任意
，
，且
，
令
，则
，
所以
，
所以当
时，
所以
方法二特殊值法
易知
的最小正周期为
见方法一解析
当
时，对任意
，有
，
取
，
，则
，
将
代入，可得
，
所以
故选
①数形结合
1．已知函数
，对任意
，都有
恒成立，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
，定义域为R，
且
，所以函数
为奇函数，
当
时，函数
，
因为函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，且当
时，函数值恒为正，
且函数
在
上的最大值为
，
所以函数
的图象大致如下：
由对任意
，都有
恒成立，
即对任意
，都有
，
，
因为
，所以
，
且
，
结合图象可得
，
即
在
上恒成立，
所以
，
易知
在
上的最大值为3，
，当且仅当
时等号成立，
则
在
上的最小值为4，
所以
，
故选：
2 ．已知定义在R 上的函数
为奇函数，且当
时，
，若
，不等式
恒成立，则a 的值不可能是
A．
B．2025
C．
D．3
【答案】D
【解析】若
，则函数
在R 上单调递增，又
，所以
，即
恒成立，故
满足题意，故排除选项
若
，则
，函数
在R 上不单调，图象如图所示，又
，即
，可理解为函数
的图象在函数
的图象下方，所以
，即
，
令
，
则
，
，
故选：
3．若定义在R 上的奇函数
在
上单调递减，且
，则满足
的x 的取
值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
定义在R 上的奇函数
在
上单调递减，且
，
，
根据题意，画出函数示意图：
则
等价于
或
所以
或
解得
故本题选：
②转化与化归
4．已知
为奇函数，对于任意的
，都有
，且
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
设
，因为
，所以
，
则
是增函数，且
，
因为
为奇函数，所以
为奇函数，所以
，
，
不等式
可转化为
，即
，
所以
，即
的解集为
故答案为：
5．已知函数
，则不等式
的解集是
．
【答案】
【解析】
构造函数
，则
是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到
，
的定义域为R，且
，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，所以
图象关于
对称．
不等式
等价于
，
等价于
，
结合
单调递增可知
，
，所以不等式
的解集是
故答案为：
6．设函数
的最大值为M，最小值为m，则
．
【答案】2
【解析】
显然函数
的定义域为R
函数可化为
，
令
，定义域为R，
因为
则
为奇函数，
的最大值与最小值的和为
函数
的最大值与最小值的和为
即
故答案为：
③分类讨论
7 ．设
是定义在
上的奇函数，对任意的
，
，
，满足：
，若
，则不等式
的解集为
．
【答案】
【解析】
令
，
因为
是定义在
上的奇函数，
则
，
故函数
为偶函数，
因为对任意的
，
，
，满足
，
则
在
上为单调递增函数，
故在
上为单调递减函数，
因为
，
则
，
所以
，
当
时，
，即
，所以
；
当
时，
，即
，所以
综上所述，不等式
的解集为
故答案为：
8．已知函数
，若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围
是
．
【答案】
【解析】函数
的定义域为R，且
，
所以
为偶函数，又当
时，
，
所以
在
上单调递增，
所以不等式
对任意
恒成立，
转化为
，即
，
所以
且
在R 上恒成立，
①若
在R 上恒成立，则
，解得
②若
在R 上恒成立，则
，解得
，
综上所述，实数a 的取值范围是
故答案为
9．已知函数
为偶函数，则
．
【答案】2
【解析】
因为函数
是偶函数，所以有
，
当
时，
，
所以
，
故
，
，
，
从而有
故答案为：
基础过关篇
1．（2025·安徽·模拟预测）函数
．若存在
，使得
为奇函数，则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的定义域为R，
，
存在
，函数
为奇函数，则
或
，
当
时，
为奇函数，则函数
是偶函数，
于是
，解得
，当
时，
，C 符合，ABD 不符合；
当
时，
，此时
或
，当且仅当
时为奇函数，与
矛盾，
所以实数
的值可以是
.
故选：C
2．（2025·四川·三模）函数
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．6
【答案】C
【解析】由题意可得
，解得
，
则
.
故选：C
3．（2025·山东济南·二模）设
为偶函数，当
时，
，则使
的
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】
因为
时，
单调递增，
又因为
为偶函数，故可以做出
的图像如图所示，
由图像可知，若
，则
或
.
故选：C
4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】A
【解析】函数的定义域为
，
因为
是奇函数，
所以
恒成立，
所以
，
故选：A．
5．（2025·江西·模拟预测）函数
是（ ）
A．奇函数，且最大值为5
B．奇函数，且最小值为
C．偶函数，且最大值为5
D．偶函数，且最小值为
【答案】C
【解析】因为
，所以
是偶函数，故AB 错误；
又因为
，
令
（
），
，
则
在
上单调递减，
，
故选：C.
6．（2025·江西·模拟预测）已知函数
同时满足以下三个条件：①
在定义域内是奇函数或偶函数；
②有奇数个零点；③在
内单调递增．函数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】选项中的四个函数对应的大致图象如图下图所示．
对于选项A：在区间
不单调，故A 错误；
对于选项B：没有零点，故B 错误；
对于选项C：是奇函数，有3 个零点，在
上单调递增，故C 正确；
对于选项D：有2 个零点，故D 错误.
故选：C
7．（2025·安徽·三模）已知函数
，
，若下图是函数
图象的一部分，则
可
能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图可知，
，所以
不合题意，排除C；
定义域内没有
，不合题意，排除D；
当
时，
，故B 错误；
故选:A.
8．（2025·河南·三模）已知
为定义在
上的奇函数，若
在
上单调递减，则满足不等式
的实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是奇函数，则
可化为
．
又
在
上单调递减且
是定义在
上的奇函数，所以
在
上单调递减．
则
，解得
或
，
即实数a 的取值范围是
．
故选：C
9．（2025·天津河西·二模）已知函数
是偶函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
是偶函数，且
，则
，
故
.
故选：D.
10．（2025·江西·二模）已知函数
，
是偶函数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】由
是偶函数，得
，
展开并整理得：
，
根据二倍角公式得：
，
整理得：
，结合
，得
，
代入
，
，则
，
利用积化和差公式：
化简得：
，
当
时，
取得最大值
.
故选：B
11．（多选题）（2025·云南曲靖·二模）下列函数中，既是偶函数，又在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】设
，
，
，
对于A 项，易知
定义域为R，
且
，所以
为偶函数.
根据二次函数的性质可知，
在
上单调递增.故A 正确；
对于B 项，
定义域为R，
且
，所以
不是偶函数.故B 错误；
对于C 项，
定义域为
，
且
.
当
时，
在
上单调递增.故C 正确；
对于D 项，
定义域为
，
且
，所以
为奇函数.故D 错误.
故选：AC.
12．（多选题）（2025·湖南·模拟预测）若函数
的定义域都为
，且
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
【答案】ABD
【解析】函数
的定义域都为
，
对于A，因为
，所以
是偶函数，故A 正确；
对于B，因为
为奇函数，所以
，则
是偶函数，故B 正确；
对于C，因
为偶函数，则
，即
是偶函数，故C 错误；
对于D，因
，则
为偶函数，又因为
为奇函数，则
是奇函数，故D 正确.
故选：ABD.
13．（多选题）（2025·山东菏泽·一模）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是增函数
D．
【答案】ABD
【解析】对于B：令
，由题设可知
，故
是奇函数.故B 正确；
对于A：又
的定义域为R，所以
，故A 正确.
对于C：不妨取
，则满足
，且
，故C 错误.
对于D：令
，则
；令
，则
，
故
，故D 正确.
故选:ABD
14．（多选题）（2025·江苏盐城·三模）已知函数
是奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
在R 上单调递增
D．若对任意实数
，不等式
恒成立，则
【答案】ACD
【解析】对于A、B，由已知可得，
，
又函数为奇函数，
所以有
，
即
，
所以有
，
所以有
，解得
.
当
时，有
，
此时有
，不满足题意；
当
时，有
，
此时有
，满足题意.
故
.故A 正确，B 错误；
对于C 项，
，定义域为R.
当
时，易知函数
，
在
上单调递增，
在
上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，
在
上单调递增；
而
为奇函数，故
在R 上单调递增.故C 正确；
对于D 项，由已知结合C 项可知，
在R 上单调递增，且为奇函数，
所以由
可得，
，
所以有
，
所以有
在R 上恒成立.
易知，当
时，
取得最小值为
.
要使
在R 上恒成立，
所以
.故D 正确.
故选：ACD.
15．（2025·广东茂名·二模）已知函数
在
上单调递增，函数
是定义在
上的奇函数，且
，则
可以是 .（写出一个满足条件的函数即可）
【答案】
(答案不唯一)
【解析】根据题意只要函数
是
上单调递增的奇函数即可符合题意，所以
，即
可以是
，
故答案为：
(答案不唯一).
16．（2025·江西新余·模拟预测）若函数
为偶函数，则
.
【答案】
【解析】因为函数
为偶函数，
而
是偶函数，
是奇函数，
所以
为奇函数，
，得
；
若
，函数
，定义域为
,不关于原点对称，函数不是偶函数，
若
，代入验证符合题意.
故答案为：
能力拓展篇
17．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，满足
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
.
令
，则
的定义域为
，且
，所以
为奇函数.又因为
，所以
在
上单调递增.
令
，则
，故
，即
，则
，
故
.
故答案为：
.
18．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
的解集是 ．
【答案】
【解析】当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；当
时，
，
因此函数
为奇函数，函数
在
上单调递减，在
上单调递减，
则函数
在
上单调递减，则
，
于是
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
19．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数
是偶函数，且当
时，
，则不等式
的解集为 ．（用区间表示）
【答案】
【解析】当
时，
，
则不等式
可化为
或
，
解之得
或
，即
，
又函数
是偶函数，则当
时，
由不等式
可得，
.
综上，不等式
的解集为
.
故答案为：
.
20．（2025·甘肃白银·二模）已知定义在
上的奇函数
和偶函数
满足
，且
，则
.
【答案】
/
【解析】因为
①，
所以
由题意可化简
②，
①-②可得
，所以
.
又
③，
④，
③+④可得
，即
.
故答案为：
21．已知
是定义在
上的奇函数，
，若
在
上单调递增，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】由
是定义在
上的奇函数，得
，
是
上的偶函数，由
，得
，
则
，由
在
上递增，得
在
上递减，
当
时，
，不等式
成立，因此
；
当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
22．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，
的定义域均为R，其中
是奇函数，
是偶函数，
且
，若对于任意
，都有
，则实数a 的取值范围是
．
【答案】
【解析】∵
是奇函数，
是偶函数，在
中，
用
去代换x，得
，
∴
，
，∵
，
∴由
，可得
，
令
，则
在
上单调递增．
若
，则
的图象的对称轴为直线
，图象开口向上，符合题意；
若
，则
的图象的对称轴为直线
，图象开口向下，
则需
，即
；若
，则
在
上单调递增，符合题意．
综上，
．
故答案为：
.
23．（2025·宁夏银川·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，且
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可得函数
在
上单调递减，
，
，
则当
时，
，当
时，
，
由
，则
，解得
，
由
，则
，解得
，
所以
的解集为
.
故答案为：
.
24．（2025·全国·一模）已知函数
，则
的解集为 .
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
，
当
时，
，得
，
在
上单调递减，
当
时，
，得
，
在
上单调递增，
又
，故
为
上的偶函数，
故
等价于
，
即
，两边平方解得
或
.
所以不等式解集为
，
故答案为：
25．（2025·湖南·二模）若函数
，
，若
，
为偶函数，则
.若
为奇函数，则
.
【答案】
，
，
【解析】当
时，
，
若
为偶函数，则
，
，
整理得
恒成立，
恒成立，
因此
，
，
若
为奇函数，则
，即
整理得：
，
因此
，此时
，
.
故答案为：
.
26．（2025·陕西西安·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在区间
上单调递
增．若实数
满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于函数
是定义在
上的偶函数，
所以
的图象关于
对称，
且
在
上的单调递增，在区间
上单调递减.
由
，
得
，
所以
，
所以
，即
，
所以
.
故答案为：
