文档文本内容
2.10 函数的图像
利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象
y＝－
f ( x ) 的图象;
y＝f(x)的图象
y＝f ( －
x ) 的图象;
y＝f(x)的图象
y＝－
f ( －
x ) 的图象;
y＝ax(a>0,且a≠1)的图象
y＝logax(a>0,且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)
y＝f(ax);
y＝f(x)
y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象
y＝| f ( x )| 的图象;
y＝f(x)的图象
y＝f (| x |) 的图象.
考点一 作具体函数的图像
考点二 函数图象的识别
考点三 利用函数图象选择解析式
考点四 函数图象的变换
考点五 函数图象的应用
考点一 作具体函数的图像
1．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）已知函数
．
(1)判断并证明函数
的奇偶性；
(2)将函数
写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间．
【答案】(1)
是偶函数，证明见解析
(2)
，函数图象见解析；单调增区间为：
，单调减区间为：
【分析】（1）利用奇函数定义，直接判断
的奇偶性即可；
（2）讨论
和
去绝对值，即得到解析式，再利用解析式特征作图，看图得到单调区间即可．
【详解】（1）函数
，定义域为
，
对于任意的
，
故
是偶函数；
（2）依题意，
时，
，开口向下、对称轴为
的抛物线的一部分；
时，
，开口向下、对称轴为
的抛物线的一部分，
故
，
作图如下：
由图象可知，函数的单调增区间为：
，单调减区间为：
．
2．（25-26 高三上·天津·月考）函数
的图象与
的图象交点的个数为________.
【答案】2
【分析】根据指数函数和对数函数的图象判断即可.
【详解】
.
当
时，
单调递减，值域为
，
单调递减，值域为
，
此时有1 个交点；
当
时，
单调递减，值域为
，
单调递增，值域为
，
此时有1 个交点；
综上，函数
的图象与
的图象有2 个交点.
故答案为：2.
3．（2026 高三上·全国·专题练习）作出函数
的图象.
【答案】图象见解析
【分析】先作
的图象，保留
轴上方的图象，把
轴下方的图象对称翻到
轴上方，再把它向上平移1
个单位，即得到
的图象.
【详解】先作函数
的图象，保留
轴上方的图象，把
轴下方的图象对称翻到
轴上方，再把它向上平
移1 个单位，
即得到
的图象，如下图所示：
4．（25-26 高三上·江西南昌·期中）已知函数
.
(1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象.
(2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）.
【答案】(1)作图见解析；
(2)函数
的单调递增区间是
，
，单调递减区间是
.值域为
.
【分析】（1）解析式化为
，直接画出图形即可；
（2）由分段函数的性质结合二次函数的性质可得.
【详解】（1）因为
，画出其大致图象如下，
（2）
，
由图象可知：
的单调递增区间是
，
，单调递减区间为
，
值域为
.
5．（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象
(1)
；
(2)
；
(3)
；
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】略
6．（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象
(1)
；
(2)
；
(3)
；
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；
（2）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；
（3）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换及平移变换作图即可.
【详解】（1）先作出
的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象，
如下：
（2）先作出
的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下：
（3）同上先作出
，将图象向右平移一个单位得到
的图象，
再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得，
如下：
考点二 函数图象的识别
7．（2026·河北衡水·模拟预测）函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性排除C，D；利用复合函数的单调性排除B.
【详解】易知函数
的定义域为
，
因为
−(2
x+2
−x)sin x =−f ( x)，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D；
当
时，令
，则
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在区间
上为增函数，且
，
又
在区间
上为增函数，且
，
所以
在区间
上为增函数，排除B．
8．（2026·安徽合肥·三模）当
时，函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出函数
的定义域，结合
时，
的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对于函数
，因为
，由
可得
且
，
故函数
的定义域为
，排除AC，
当
时，
，排除D.
9．（2026·天津·模拟预测）函数
，
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及赋值法判断即可．
【详解】由
，
，
可得
，
所以函数
为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D，
当
时，可得
，可排除选项B，
所以该函数的图象大致为选项A．
10．（25-26 高二下·天津滨海新区·期中）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则
的图像可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由导函数
的图像可知，当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，所以B 正确，A，C，D 错误.
11．（25-26 高三上·北京·期中）函数
在区间
上的大致图象不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数的值，再判断即可.
【详解】选项A，B 中函数图象关于原点对称，则对应的
为奇函数，
令
，则
为偶函数，
即
，即
，
所以
，解得
，
当
时，
，符合A 项，
当
时，
，符合B 项；
选项C，D 中函数图象关于
轴对称，则对应的
为偶函数，
令
，则
为奇函数，
即
，即
，
所以
，此时
，当
时，
，故D 符合，故C 不符合.
12．（25-26 高二下·安徽·期中）（多选）函数
的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】求导可得
，分类讨论
的取值情况，得出函数对应的单调性，结合选项即可求解.
【详解】因为
，所以
．
当
时，
，可能是A 中的图象；
当
时，f
′( x)=3a x
2+3>0恒成立，
所以
在
上单调递增，可能是B 中的图象；
当
时，令
，得
或
，令
，得
，
故
在(−∞,−❑√−1
a),(
❑√−1
a ,+∞)上单调递减，在
上单调递增，
可能是C 中的图象，但不可能是D 中的图象．
考点三 利用函数图象选择解析式
13．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
的部分图象如图，则
的解析式可能为：（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解
【详解】由图可知，
关于原点中心对称，且不是
上的单调函数；
对于B，
是偶函数，不符合，排除B；
对于C，
的定义域不含
，不符合，排除C；
对于D，由复合函数的单调性知
是
单调递增函数，排除D；
对于A，
是奇函数，且在
上递增，在
上递减，在
上递减，符合图像，是
的
一个解析式，A 正确.
14．（25-26 高三下·天津·阶段检测）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．f ( x)=
x
3
2(1−| x|)
B．f ( x)=
x
2( x
2+1)
C．f ( x)=
x
3
2( x
2−1)
D．f ( x)=
x
2+1
2( x
2−1)
【答案】A
【分析】由
取值情况判断B；由
时函数值情况判断C；由
的值判断D；分析函数性质判断A.
【详解】对于B，函数f ( x)=
x
2( x
2+1)的定义域为R，而给定图象对应函数中
，B 不是；
对于C，函数f ( x)=
x
3
2( x
2−1)，当
时，
，此时图象在
下方，C 不是；
对于D，函数f ( x)=
x
2+1
2( x
2−1)，
，其图象过点
，D 不是；
对于A，函数f ( x)=
x
3
2(1−| x|)，定义域为
，
f (−x)=
(−x)
3
2(1−|−x|) =
−x
3
2(1−| x|) =−f ( x)，函数
为奇函数，图象关于原点对称，
当
时，
；当
时，
，A 可能是.
15．（2026·山东济南·二模）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案.
【详解】对于A 选项，对于函数
，由
可得
，
即函数
的定义域为
，与题中图象不符；
对于B 选项，令
，可得
，即函数
只有一个零点，与题中图象不符；
对于C 选项，函数
的定义域为
，
，函数
为偶函数，与题中图象不符；
对于D 选项，函数
的定义域为
，
，函数
为奇函数，
令
得
，可得
，
当
时，
，则
，与题中图象相符.
16．（2026·天津东丽·二模）已知函数
的部分图象如图，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得.
【详解】由图象可知，函数
定义域为
，为奇函数，且
，
对B：
的定义域为
，不符，故B 错误；
对C：
时，
，不符，故C 错误；
对D：
时，
，不符，故D 错误；
对A：
时，
，定义域为
，
且
，
故该函数为奇函数，符合题意，故A 正确.
17．（2026·天津南开·一模）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及
，逐一验证选项，即可求解.
【详解】由图可知：
的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且
，
对于A，
，故
为偶函数，不合题意，
对于C，
，故
为偶函数，不合题意，
对于B，
，故
为奇函数，但
，不合题意，
对于D，
，故
为奇函数，
，
符合题意.
18．（2026·天津·一模）已知函数
的部分图象如下：
则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案.
【详解】A 选项：
，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A 不可能.
C 选项：同A 选项判断方法也可判断C 选项
为偶函数，C 错误.
D 选项：因为
，当
足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当
时，
，与图像矛盾.
B 选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为
.
考点四 函数图象的变换
19．（2026·北京顺义·二模）把函数
的图象
向右平移2 个单位长度，再把所得图象上所有
点的纵坐标变为原来的
倍，得到图象
，若此时图象
恰与
重合，则
的值为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据平移变换求出图象
的函数解析式，然后根据图象重合列方程解出
的值.
【详解】把函数
的图象
向右平移2 个单位长度，
得到函数表达式为
，
再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍，
得到图象
的函数表达式为
，
因为图象
与
重合，所以
，
即
，解得
，
.
20．（2026·北京密云·一模）为了得到
的图象，只需把函数
的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
【答案】B
【详解】对于A，把函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得
，A 错
误；
对于B，把函数
的图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得
，B 正确；
对于C，把函数
的图象上所有点的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），得
，C 错误；
对于D，把函数
的图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变），得
，D 错误.
21．（2026 高二上·北京·学业考试）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移1 个单位长度
B．向右平移1 个单位长度
C．向上平移1 个单位长度
D．向下平移1 个单位长度
【答案】A
【详解】根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：
向左平移一个单位得到
的图像.
22．（25-26 高三上·全国·课后作业）把函数
的图象向右平移
个单位，然后把横坐标扩大为原来
的3 倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________．
【答案】
【分析】根据三角函数平移变换和伸缩变换即可得出函数的解析式.
【详解】把函数
的图象向右平移
个单位，
则得到
的图象，
即解析式为
，然后把横坐标扩大为原来的3 倍（纵坐标不变），
得到函数
的图象，即函数的解析式为：
，
故答案为：
.
23．（25-26 高三上·江苏南通·月考）（多选）下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从
变为
的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】根据函数图像的平移变换规律进行判断即可.
【详解】对于A，无法通过平移由
得到
，故A 错误，
对于B，涉及伸缩变换，故B 不正确，
对于C，
，所以
可通过
的图象向左平移
个单位得到，故C 正确；
对于D，
，
故可将
的图象向上平移1 个单位得到
的图象，故D 正确，
故选：CD．
24．（25-26 高三上·北京通州·期末）函数
的图象向右平移个单位长度，所得图象与g( x)= 1
2关于
轴对称，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出与
关于
轴对称的函数，再将所得函数的图象向左平移一个单位，即可求解.
【详解】设与
关于
轴对称的函数为
，且
为函数
的图象上任一点，
则
关于
轴的对称点为
，所以点
在
的图象上，
则
，又
的图象向左平移一个单位得到
，所以
，
故选：B.
25．（2026·河北邢台·一模）函数
图象的对称中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案.
【详解】
，
易知函数
的图像可由函数
向左平移个单位，再向下平移
个单位得到，
由奇函数
的图像关于
成中心对称，则函数
的图像关于
成中心对称.
故选：D.
考点五 函数图象的应用
26．（25-26 高三上·湖南邵阳·期中）（多选）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
有3 个实数根
C．若
有8 个实数根，则
D．若
有4 个实数根，从小到大分别为
，则
【答案】ACD
【分析】直接计算，根据自变量范围进行取舍即得判断AB；设
，结合图象，将问题转化为方程
在
上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围
判断C；则需要作出函数
的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单
调性即可判断D.
【详解】对于A，由题意，
，故A 正确；
对于B，当
时，由
，可得
，
解得
，因
，故得
；
当
时，由
可得log2 x = 7
2，或
，
解得x =2
7
2或
，故
有x＝－2±
，
共四个实数根，故B 错误；
对于C，设
，则方程
，即
，
由图知，要使原方程有8 个实数根，需使
有两个相异实根
，
且
，
，设
，
依题意，需使
，
解得
，故C 正确；
对于D，作出函数
的图象，由
时，
≤5，
且
，可知当
时，直线
与函数
有两个交点；
又由
时，
，
当
时，直线
与函数
均有两个交点，故由
有4 个实数根可得，
，
由图知，
，
则
，解得
＝4，又由
解得
，
由
解得x＝1，则有
，于是
，
因函数
在
单调递减，故
，
则
，故D 正确.
27．（2026·湖南湘西·三模）已知
分别为函数
的
零点，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可.
【详解】由
，得2
x =
1
x−1，则函数
与
的图象的交点横坐标就是
；
由
，得lg x =
1
x−1，则函数
与
的图象的交点横坐标就是
；
由
，得log2 x =
1
x−1，则函数
与
的图象的交点横坐标就是．
作出函数图象如图，可知
．
28．（25-26 高三上·海南海口·期中）已知函数
，则关于直线
与函数
的图象的
交点的个数说法错误的是（ ）
A．当
时，有3 个交点
B．当
时，有且只有1 个交点
C．当
时，有2 个交点
D．当
时，没有交点
【答案】D
【分析】作出
，
，
的函数图象，根据图象的交点以及
的范围进行分类讨论，由此判断
即可.
【详解】直线
与直线
有一个交点
，
联立直线
，解得
或
，
所以直线
与直线
的交点为
，
，
在同一平面直角坐标系中作出
，
，
的图象如图所示，
当
时，有3 个公共点，分别为
，A 正确.
当
时，有且只有1 个公共点，为
，B 正确.
当
时，有2 个公共点，分别为
，C 正确.
当
时，①
时，有3 个公共点，分别为
；
时，有2 个公共点，分别为
，D 错误.
29．（25-26 高三下·云南昭通·期中）已知函数
则图象上关于原点对称的点有（ ）
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
【答案】C
【详解】点
关于原点的对称点为
，即
时，
，
已知函数
，
，
当
时，
，方程
图象有两个交点；
当
时，
，方程
图象有1 个交点；
综上，图象上关于原点对称的点有3 对．
30．（2026·山西临汾·二模）已知函数
若方程
有三个不同的实数
根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解方程
得
或
，数形结合得方程
无解，进而得到直
线
与曲线
有个交点，结合图象可得出实数
的取值范围.
【详解】由
可得
或
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
作出函数
、
、
的图象如下图所示：
由图可知，直线
与曲线
有
个交点，即方程
无解，
所以由题方程
有个不同的解，即直线
与曲线
有个交点，则
.
31．（25-26 高二下·云南怒江·阶段检测）（多选）已知函数
且
，
，则（ ）
A．
B．
的值可能为
C．
的取值范围是
D．关于x 的方程
至多有13 个不同的根
【答案】ACD
【详解】对于A，
的图象如图所示.由图可知，
，A 正确.
对于B，由图可知
，
，
，
则
，
，当且仅当
，
时，等号成立.
因为
，所以
，B 错误.
对于C，设
，则
.由
，得
，得
，
因为
，
，所以
的取值范围是
，C 正确.
对于D，令
，则
至多有5 个不同的根，此时
，
有5 个不同的根.
设这5 个不同的根从小到大分别为
，
，
，
，
，则
.
由图可知
，
均有5 个不同的根，
，
，
均有1 个根，
所以关于x 的方程
至多有13 个不同的根，D 正确.
1．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
的奇偶性及其在
时
的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】对任意的
，
，故函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
因为
，故函数
为偶函数，
函数
的图象关于
轴对称，排除AC 选项，
当
时，
，则
，此时
，排除B 选项，
选项D 满足以上特点.
2．（2026 高三上·甘肃武威·开学考试）将函数
向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，所得图象
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象.
【详解】
，
函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，
则C 选项符合所得函数图象.
故选：C.
3．（2026·四川南充·二模）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数定义域、值域及对称性判断.
【详解】B 选项，函数
，定义域为R，与图象不符，B 选项错误；
CD 选项，对于函数
， 当
时，
恒成立，与图象不符，CD 选项错误；
A 选项，函数
，定义域为
，
，函数为奇函数，图象关于原点对称，
当
或
时，
；当
或
时，
.
A 选项正确.
4．（25-26 高三上·湖北十堰·月考）已知函数
若
有个不同
的实数根，则的范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简分段函数，画出函数的图象，分析
的根的个数，确定的范围.
【详解】
，
将函数
的图象关于
轴对称并将
轴下方部分翻折到
轴上方，即可得到
的图象；
对于
，最小正周期为
，
故
上有
个周期，令
，
，
则可得
，
，
由此作出函数
的图象，
如图，
当
时，由图可知
，当
时，
，
取其他值时，
，故D 正确.
5．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上的所有的点
（ ）
A．保持y 不变，横坐标伸长为原来的2 倍，再向左平移1 个单位长度
B．保持y 不变，横坐标伸长为原来的2 倍，再向右平移1 个单位长度
C．保持y 不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移1 个单位长度
D．保持y 不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移1 个单位长度
【答案】A
【详解】把函数
的图象的所有的点保持
不变，横坐标伸长为原来的2 倍得到函数
的图象，向左
平移1 个单位长度得到函数
的图象.
6．（25-26 高三上·河南·月考）（多选）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象上所
有点（ ）
A．横坐标变成原来的
（纵坐标不变）
B．横坐标变成原来的2 倍（纵坐标不变）
C．向上平移1 个单位长度
D．向左平移1 个单位长度
【答案】AC
【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将
化为
，结合函数图象的变换即可进行判断.
【详解】因为
，
即,将函数
图象上所有点横坐标变成原来的
（纵坐标不变），可得到
的图象；
又因为
，
所以还可以将函数
图象上所有点向上平移1 个单位长度，可得到
的图象．
故选：AC．
7．（25-26 高三上·陕西渭南·期末）（多选）已知函数
，若函数
恰有
2 个零点，则实数
可以是（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】AD
【分析】根据幂函数、对数函数、二次函数在各自定义域的图像特点，画出函数
，由数形结合思想直线
与
图象的有两个交点，即可求解.
【详解】当
时，
为增函数，值域为
.
当
时，
为增函数，值域为
.
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
则此时
，值域为
.
作出函数
的图象如下：
由函数
恰有
个零点，得
恰有两个不等实数解，
即
与
有两个不同交点.
由图象可知，
当
或
或
时，满足条件，故AD 正确.
故选：AD.
8．（25-26 高二下·天津西青·月考）已知定义在
上的函数
，若函数
恰有2 个
零点，则实数
的取值范围是__________.
【答案】
【详解】
，
函数
恰有2 个零点等价于函数
和
有恰两个交点，
作出函数
的图象
由
得
，设直线
与
图象的切点为
，
则
，所以
，
由
得
，
与
在原点相切时，
，
由
得
，
与
在原点相切时，
，
所以直线
与曲线
相切，
由直线
与曲线
的位置关系可得：当
时有两个交点，即函数
恰有两个零点.
9．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
，方程
有四个不等的实数解，分别为
，
，
，
（
），则m 的取值范围是__________；
的取值范围是__________.
【答案】
【分析】分段画出函数图像，将方程不同的实数解转化为图象间的交点问题进行解答，之后使用二次函数的韦达
定理和函数的单调性进行解答.
【详解】函数
，
当
时，
，
令
，即
，图象为对勾函数向下平移
个单位，
最低点是
，即
时取到，坐标为
；
当
时，
，
当
时，
，即
，可得
，
这是单调递减的指数型函数，最低点坐标为
，与
轴交点为
，
当
时，
，即
，可得
，
这是单调递增的指数型函数，从点
开始，当
时，
，渐近线为
，
分段画出函数图象，
由图象可知，
有四个不等的实数解，
即函数
和直线
有四个交点，
的取值范围是
.
根据题目条件，
，
因此由图象可知，
和
是方程
的两个根，化简可得
，
根据韦达定理，可得
，
是方程
的根， 可得
，即
，
是方程
的根，可得
，即
，
所以
，
因此
，
设函数
，配方可得
，
当
时，
单调递减，值域为
，
所以
，即
，
因此
的取值范围是
.
10．（25-26 高二下·四川内江·期中）已知函数
(1)求函数
的极值；
(2)在给定的直角坐标系中画出函数
的大致图像；
(3)讨论关于x 的方程
的实根个数．
【答案】(1)极小值为
，无极大值
(2)
(3)当
时，方程
有唯一的实数根；
当
时，方程
有两个不同的实数根；
当
时，方程
无实数根.
【分析】（1）求导得
，分析单调性，得极小值
，无极大值；
（2）结合单调性、零点
和极限趋势，画出函数图像；
（3）将方程根的个数转化为函数
与
的交点个数，结合图像分情况讨论.
【详解】（1）因为函数
定义域为
，
，又
恒成立，
当
时，
；当
时，
；
所以，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，极小值为
，无极大值.
（2）当
时，
，
，此时
，
再结合（1）中分析，可得
图象如下：
（3）方程
的根的个数等价于函数
与
的交点个数；
结合（2）中图象可知：
当
时，
与
有且仅有一个交点；
当
时，
与
有两个不同交点；
当
时，
与
有且仅有一个交点；
当
时，
与
无交点；
综上所述：当
时，方程
有唯一的实数根；
当
时，方程
有两个不同的实数根；
当
时，方程
无实数根.
11．（25-26 高三上·甘肃兰州·期末）用图像法判定方程
的根的个数.
【答案】无实数根
【分析】将问题转化为判断函数
与函数
图象的交点个数.
【详解】
由上图可知两函数图象没有交点，
所以该方程无实数根.
12．（25-26 高三上·宁夏吴忠·期中）已知函数
，
.
(1)在图1 同一坐标系中画出函数
，
的图象：
(2)用
表示
，
中的较小者，即
，画出函数
的图象(图2），并求函
数
的解析式，写出
的单调区间和值域（不需要证明）．
(3)若
，求
的取值范围
【答案】(1)作图见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据解析式直接作出图像即可；
（2）根据
的定义可得解析式和图象.即可求解；
（3）由
得
或
，结合（2）得图象即可求解.
【详解】（1）
图象如下图所示，
（2）令
，即
，
当
时，
，解得：
；
当
时，
，解得：
；
则当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
；图象法表示
如下：
由图象可得： m(x)的单调增区间为
；单调减区间为
m(x)的值域为
（3）由
得
或
.
所以由图像可知不等式
解集为
13．（25-26 高二下·山东菏泽·期中）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)直接写出方程
解的个数；
(3)若
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)极小值
，无极大值
(2)当
时，方程
的解的个数为0 个；
当
或
时，方程
的解的个数为1 个；
当
时，方程
的解的个数为2 个．
(3)
【分析】（1）对函数求导，利用导数分析函数单调性，进而得出极值点，进而求解；
（2）结合函数图象分析得出
的解的个数；
（3）把不等式进行化简变形为
，令
，结合函数单调递增，将不等式转化
为
，构造函数
，求导并分析函数单调性得出最小值
，进而求出实数
的取
值范围．
【详解】（1）由题意得
，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
在
处取得极小值
，无极大值．
（2）方程
解的个数即为函数
的图象与直线
的交点个数，
时，
，
由（1）知在
时
，
，
；
时，
，
时，
，
函数
的图象如下：
当
时，方程
的解的个数为0 个；
当
或
时，方程
的解的个数为1 个；
当
时，方程
的解的个数为2 个．
（3）由
，可得
，
即
，
则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，
则
，令
，得
，
当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，
，故
，
实数
的取值范围是
．
