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§1.4 运动图象及其应用
（一）物理图像“四种斜率”（纵横坐标相除为斜率）数理解析
1．图线斜率（图像为直线时，图线本身的斜率）
数学意义：线性函数
，函数图象为直线，为整个图线的斜率，表示图线的倾斜程度
物理意义：当图像为直线时，切线斜率、割线斜率，和图线的实际斜率都相同（若图像是过原点的
直线，径线斜率也相同），具体表示什么物理意义，要看函数关系中物理量的具体含义
2．切线斜率
数学意义：
物理意义：只与一个点有关，表示状态量，如表示瞬时速度、瞬时加速度
3．割线斜率（图线上两点连线斜率）
数学意义：
物理意义：与两点间的过程有关，表示过程量，如表示平均速度、平均加速度
4．径线斜率（图线上某点与原点连线斜率）
数学意义：
（图线上某点的纵横坐标值直接求比值）
物理意义：分两种情况
①只与图线上那个点有关，与原点无关，一般表示属性，如U-I 图线，这种斜率表示电阻；
②如果图线过原点，则表示的意义有可能与（2）相同表示过程量，当然也有可能表示属性量
（二）物理图像“两种面积”（纵横坐标相乘为面积）数理解析
1．累积面积（图线与横轴所夹图形面积）
数学意义：相当于积分（
）
物理意义：“累积”与过程中的每个状态都有关，表示过程量
如：v-t 图中这种面积表示位移x（x＝vt）
a-t 图中这种面积表示速度变化Δv
2．乘积面积（以图线上的点与原点为对角顶点的矩形面积）
数学意义：S＝xy，是某坐标点与原点为对角顶点的矩形面积
物理意义：“乘积”只与图线上某个点表示的状态有关，表示状态量
如：U-I 图中这种面积表示功率（P＝UI）
（三）速度-时间图像（v-t 图像）
1．v-t 图线与t 轴所夹图形的“面积”表示位移；两条v-t 图线所夹图形的“面积”表示相对位移
2．v-t 图线的斜率表示加速度。（1）切线斜率：表示瞬时加速度；（2）割线斜率：表示平均加速
度
▲匀变速直线运动的v-t 图像为一条倾斜的直线
【例1】甲、乙两个质点在并排的两条直轨道上运动，它们的速度随时间变化规律
如图所示，甲的图线是直线，乙的图线是抛物线，0～t3时间内两条图线与横轴围成的
面积相等，抛物线顶点的横坐标为t2，则下列说法正确的是（ ）
A．t3时刻，甲、乙一定相遇
y
x
O
k1
k3
k2
y
x
O
累积
O
x
y
乘积
O
t1 t2
t3
t
v1
v2
v0
v
乙
甲
B．0～t2时间内，甲、乙的位移大小之比为3:2
C．0～t1时间内乙的平均速度大于甲的平均速度
D．0～t2时间内甲的加速度一直小于乙的加速度
（四）位移-时间图像（x-t 图像）
1．匀速直线运动的x-t 图像为一条倾斜的直线；匀变速直线运动的x-t 图像为一条抛物线
2．x-t 图线的斜率表示速度。（1）切线斜率：表示瞬时速度；（2）割线斜率：表示平均速度
【例2】如图所示为一质点做直线运动的位移-时间图像，其中PQ 为图线在P 点处的
切线。下列说法正确的有（ ）
A．0～t0时间内质点的平均速度为
B．0～t0时间内质点的平均速度为
C．t0时刻质点的瞬时速度为
D．t0时刻质点的瞬时速度为
【例3】一个物体从静止开始做匀加速直线运动的
位移-时间图像如图所示，下列说法正确的有（ ）
A．物体的运动轨迹为抛物线
B．物体运动的加速度大小为1m/s2
C．t＝4s 时物体运动的速度为2m/s
D．前2s 内物体的位移大小为4m
【例4】（上海高考题）质点做直线运动，其s-t 关系如图所示，质点在0～20s 内的
平均速度大小为
m/s，质点在
时的瞬时速度等于它在6~20s 内的平均速度。
（五）加速度图像（a-t 图像、a-x 图像）
【例5】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动
的加速度随时间变化的图像如图。关于两车的运动，下列说法正确的是（ ）
A．在0～4s 内甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动
B．在0～2s 内两车间距逐渐增大，2~4s 内两车间距逐渐减小
C．在t＝2s 时甲车速度为3m/s，乙车的速度为4.5m/s
D．在t＝4s 时甲车恰好追上乙车
【例6】（高考全国I 卷）在星球M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P 轻
放在弹簧上端，P 由静止向下运动，加速度a 与弹簧压缩量x 间的关系如图中实线所示。在
另一星球N 上用完全相同的弹簧，改用物体Q 完成同样的过程，其a–x 关系如图中虚线所
示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M 的半径是N 的3 倍，则（ ）
A．M 与N 的密度相等
B．Q 的质量是P 的3 倍
C．Q 下落过程中的最大动能是P 的4 倍
D．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4 倍
（六）平均速度-时间图像（
图像，
图像）
匀变速直线运动：
，由此可见：
O
t0
t
x1
x2
x3
x
P
Q
0
10
20
10
20
t/s
s/m
0
4
8
t/s
x/m
3.0
1.5
0
2
4
t/s
a/(m·s-2)
甲
乙
t
x
t
O
v0
a ＝2k
t0
阴影面积表示
时间t0 内的位移
v
1．匀变速直线运动的
图像为一条倾斜的直线
2．（1）纵轴截距：表示初速度v0
（2）图线斜率k：表示加速度a 的一半，即a＝2k
（3）矩形面积：表示前面过程中的位移
【例7】甲、乙两质点在同一平直轨道上同时（t＝0）同地向同一方向做直线运动，
它们的位移x 与时间t 的比值随t 的变化规律如图所示，则在前2s 过程中（ ）
A．t＝0.5s 时，甲在乙的前面最远处
B．t＝2s 时，甲在乙的前面最远处
C．t＝1s 时，甲、乙相遇
D．t＝2s 时，甲、乙相遇
【例8】一辆汽车在平直的公路上行驶，从t＝0 时刻开始刹车而做减速直线运动，
通过传感器在电脑上自动描绘出其位移x 与运动时间t 的比值
随t 变化的
图像
如图所示，则下列分析正确的是（ ）
A．刚要刹车时速度为40m/s
B．开始刹车后经4s 停下来
C．刹车过程中的加速度大小为5m/s2
D．刹车过程的总位移为20m
（七）v2－x 图像
匀变速直线运动：v2－v0
2＝2ax⇒v2＝2ax+v0
2，由此可见：
1．匀变速直线运动的v2-x 图像为一条倾斜的直线
2．（1）纵轴截距：表示v0
2
（2）图线斜率k：表示加速度a 的2 倍，即a＝k/2
【例9】如图所示为某汽车关闭油门后沿直线减速滑行的v2－x 图像（其中v 为运动速度，
x 为位移），下列关于该汽车从x＝0 处运动至x＝x0处的过程分析，正确的有（ ）
A．加速度大小为v0
2/2x0
B．运动的总时间为2x0/v0
C．在位移中点的速度为v0/2
D．在中间时刻的速度大于v0/2
【例10】一辆汽车由静止开始沿直线运动，速度和加速度方向始终向右，速度v 的
二次方v2随位移x 变化的图象如图所示，则汽车从开始运动到前进x1的过程中（ ）
A．受到的合外力越来越大
B．受到的合外力越来越小
C．平均速度大于v1/2
D．平均速度小于v1/2
（八）数形结合秒杀法
图象法解题具有简单直观的特点，我们平时应养成使用图象解决问题的习惯。
图像法解题，特别适合三类问题：相对运动问题、分段运动问题、变加速运动问题。
【例11】（分段运动）用A、B 两辆相同的汽车在同种平直公路上进行性能测试。A 车以最大加速度a1加速到最大
速度后匀速运动一段时间，再以最大加速度a2匀减速制动，直到停止；B 车以最大加速度a1加速到同样的最大速度后，
立即以加速度a2/2 制动，直到停止。测得A、B 两车运动时间相等，而位移之比为5:4，则加速度大小之比a1:a2为（
）
A．1:1
B．1:2
C．1:3
D．1:4
【例12】（变加速）汽车从静止开始以恒定功率沿直线启动，经5min 速度达到20m/s，则这段时间内汽车的位移（
）
A．小于3km
B．等于3km
C．大于3km
D．无法确定
【例13】（相对运动）如图所示，水平速度为v、质量为m 的子弹击中并穿过放在光
滑水平地面上的木块，若木块对子弹的阻力大小恒定，则下面说法正确的有（ ）
A．m 越大，则木块获得的动能越大
B．m 越小，则木块获得动能越大
t/s
)
/(
1
s
m
t
x
O
1
1
2
甲
乙
0
20
4 t/s
1
/ (
)
x
m s
t
v2
v02
O
x
v12
x1
a ＝
k/2
v2
v02
O
x0
x
O
x1
v12
v2
x
C．v 越大，则木块获得动能越大
D．v 越小，则木块获得的动能越大
【例14】（浙江福建高考题）一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB 边重
合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，
加速度方向是水平的且垂直于AB 边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？（以g 表示重力加速
度）
【作业】
班次 座号 姓名
1．物体以某一初速度v0沿斜面上滑，其v–t 图象在下图中不可能的有（ ）
2．A、B 两物体同时同地向同一方向运动，其速度与位移变化关系图像如图所示，
A 物体做匀速直线运动、速度大小为v0。B 物体的速度与位移关系图像为过原点开口向
右的抛物线。两图像交点坐标为（x1，v0），下列说法正确的是（ ）
A．出发后，A、B 两物体在x1处相遇
B．A、B 相遇时B 物体的速度为2v0
C．B 物体在x1处的加速度a＝v0
2/x1
D．B 物体做加速度减小的加速运动
3．某质点沿x 轴方向做匀变速直线运动，其位置坐标x 随时间t 变化的关系如右图像所示，
则在0～4s 内，下列说法正确的是（ ）
A．质点的加速度大小为4m/s2
B．在t＝1s 时，质点的速度最大
C．在t＝0 时，质点的速度大小为2m/s
D．在0～4s 内，质点的平均速度大小为2.5m/s
4．某同学用传感器探究一玩具车做直线运动的性质，得到了一段过程中的
的图象如图
所示，由此可知该玩具车在这段过程中（ ）
A．做速度为−3m/s 的匀速直线运动
B．做变加速直线运动
C．做匀加速直线运动，初速度大小为2m/s
D．做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2
5．一物体由静止开始做直线运动，其加速度随位移变化的图象如图所示，则（ ）
A．位移为x0时物体已运动的时间为
B．位移为x0时物体的速度为
C．位移为2x0时物体速度为0
D．位移为2x0时物体速度为
6．一个固定在水平面上的物块，其左侧面是光滑斜面AB，右侧面是光滑曲面
AC，且AB 和AC 长度相同。两个小球p、q 同时从A 点分别沿AB 和AC 由静止开
始下滑，则它们到达水平面的先后情况是（ ）
A．p 球先到
B．q 球先到
C．两球同时到
D．无法确定
7．（2010 年全国卷Ⅰ）汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60s 内汽车的
加速度随时间变化的图线如图所示。
（1）画出汽车在0～60s 内的v-t 图线；
（2）求在这60s 内汽车行驶的路程。
A
B
a
v
t
O
A
．
v
t
O
B
．
v
t
O
C
．
v
t
O
D
．
a
x
O
x0
2x0
a0
p
A q
B
C
O
30
60
-1
1
2
a/m·s−2
t/s
O
30
60
v/m·s−1
t/s
8．一滑块（视为质点）以不同的初速度v0从长为4m 的斜面顶端沿斜面下滑，
其下滑距离x 随v0
2变化的x‒v0
2图象如图所示。
（1）求滑块下滑的加速度大小；
（2）若滑块下滑的初速度为5m/s，则它在斜面上下滑的时间为多长？
O
4
8
12
1
2
3
x/m
v02/(m·s−1)2
