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§1.4 运动图象及其应用
（一）物理图像“四种斜率”（纵横坐标相除为斜率）数理解析
1．图线斜率（图像为直线时，图线本身的斜率）
数学意义：线性函数
，函数图象为直线，为整个图线的斜率，表示图线的倾斜程度
物理意义：当图像为直线时，切线斜率、割线斜率，和图线的实际斜率都相同（若图像是过原点的
直线，径线斜率也相同），具体表示什么物理意义，要看函数关系中物理量的具体含义
2．切线斜率
数学意义：
物理意义：只与一个点有关，表示状态量，如表示瞬时速度、瞬时加速度
3．割线斜率（图线上两点连线斜率）
数学意义：
物理意义：与两点间的过程有关，表示过程量，如表示平均速度、平均加速度
4．径线斜率（图线上某点与原点连线斜率）
数学意义：
（图线上某点的纵横坐标值直接求比值）
物理意义：分两种情况
①只与图线上那个点有关，与原点无关，一般表示属性，如U-I 图线，这种斜率表示电阻；
②如果图线过原点，则表示的意义有可能与（2）相同表示过程量，当然也有可能表示属性量
（二）物理图像“两种面积”（纵横坐标相乘为面积）数理解析
1．累积面积（图线与横轴所夹图形面积）
数学意义：相当于积分（
）
物理意义：“累积”与过程中的每个状态都有关，表示过程量
如：v-t 图中这种面积表示位移x（x＝vt）
a-t 图中这种面积表示速度变化Δv
2．乘积面积（以图线上的点与原点为对角顶点的矩形面积）
数学意义：S＝xy，是某坐标点与原点为对角顶点的矩形面积
物理意义：“乘积”只与图线上某个点表示的状态有关，表示状态量
如：U-I 图中这种面积表示功率（P＝UI）
（三）速度-时间图像（v-t 图像）
1．v-t 图线与t 轴所夹图形的“面积”表示位移；两条v-t 图线所夹图形的“面积”表示相对位移
2．v-t 图线的斜率表示加速度。（1）切线斜率：表示瞬时加速度；（2）割线斜率：表示平均加速
度
▲匀变速直线运动的v-t 图像为一条倾斜的直线
【例1】甲、乙两个质点在并排的两条直轨道上运动，它们的速度随时间变化规律
如图所示，甲的图线是直线，乙的图线是抛物线，0～t3时间内两条图线与横轴围成的
面积相等，抛物线顶点的横坐标为t2，则下列说法正确的是（ ）
y
x
O
k1
k3
k2
y
x
O
累积
O
x
y
乘积
O
t1 t2
t3
t
v1
v2
v0
v
乙
甲
A．t3时刻，甲、乙一定相遇
B．0～t2时间内，甲、乙的位移大小之比为3:2
C．0～t1时间内乙的平均速度大于甲的平均速度
D．0～t2时间内甲的加速度一直小于乙的加速度
【答案】B
【解析】
A：由于不知甲、乙两个质点的出发点是否相同，所以不能判断t3时刻，甲、乙是否一定相遇，故A 错误；
B：0～t3时间内图线a、b 与横轴围成的面积相等，所以两质点通过的位移相等，设为x
根据题意，t2是0～t3的时间中点，由数学知识可得，甲车在0～t2时间内的位移
乙车在0～t2时间内的位移
所以甲、乙两车的位移之比
，故B 正确；
C：v-t 图像的“面积”表示位移，0～t1时间内乙的“面积”小于甲的“面积”，即乙的位移小于甲的位移
则乙的平均速度小于甲的平均速度，故C 错误；
D：在t2时刻，乙的加速度为零，所以0～t2时间内甲的加速度不是一直小于乙的加速度，故D 错误。
（四）位移-时间图像（x-t 图像）
1．匀速直线运动的x-t 图像为一条倾斜的直线；匀变速直线运动的x-t 图像为一条抛物线
2．x-t 图线的斜率表示速度。（1）切线斜率：表示瞬时速度；（2）割线斜率：表示平均速度
【例2】如图所示为一质点做直线运动的位移-时间图像，其中PQ 为图线在P 点处的
切线。下列说法正确的有（ ）
A．0～t0时间内质点的平均速度为
B．0～t0时间内质点的平均速度为
C．t0时刻质点的瞬时速度为
D．t0时刻质点的瞬时速度为
【答案】BC
【解析】切线PQ 的斜率表示瞬时速度，割线Px1的斜率表示平均速度
【例3】一个物体从静止开始做匀加速直线运动的
位移-时间图像如图所示，下列说法正确的有（ ）
A．物体的运动轨迹为抛物线
B．物体运动的加速度大小为1m/s2
C．t＝4s 时物体运动的速度为2m/s
D．前2s 内物体的位移大小为4m
【答案】B
【解析】
A：匀加速直线运动，轨迹为直线（x-t 图像为抛物线），A 错
O
t0
t
x1
x2
x3
x
P
Q
0
4
8
t/s
x/m
B：由图可知，t＝4s 时位移x＝8m，则由
，B 对
C：t＝4s 时的速度
，C 错
D：t＝2s 内的位移
，D 错
【例4】（上海高考题）质点做直线运动，其s-t 关系如图所示，质点在0～20s 内的
平均速度大小为
m/s，质点在
时的瞬时速度等于它在6~20s 内的平均速度。
【答案】0.8，10s 和14s
【解析】
20s 内位移为16m，平均速度大小
割线斜率表示平均速度，连接图线上6s 和20s 的两点得到一条割线
切线斜率表示瞬时速度，速度相等则作切线与割线平行
通过作图，可得10s 和14s 时的瞬时速度等于6～20s 内的平均速度
（五）加速度图像（a-t 图像、a-x 图像）
【例5】甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动
的加速度随时间变化的图像如图。关于两车的运动，下列说法正确的是（ ）
A．在0～4s 内甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动
B．在0～2s 内两车间距逐渐增大，2~4s 内两车间距逐渐减小
C．在t＝2s 时甲车速度为3m/s，乙车的速度为4.5m/s
D．在t＝4s 时甲车恰好追上乙车
【答案】C
【解析】
A：甲的加速度恒定，做匀加速运动；
乙做加速度均匀减小的变加速运动，0～4s 内速度一直增大，不是做减速运动，A 错；
v-t 图像的切线斜率表示加速度，据此可作出两车的v-t 图像如右所示
a-t 图线与t 轴所夹面积表示速度增量，据此可知t＝4s 时两车速度相同
B：两车的v-t 图像所夹图形面积表示相对位移，0～4s 内两车间距一直增大，B 错；
C：a-t 图线与t 轴所夹面积表示速度增量
据此可知t＝2s 时甲车速度为3m/s，乙车速度为4.5m/s，C 对；
D：在t＝4s 时乙车位移大于甲车位移，未追上，D 错
【例6】（高考全国I 卷）在星球M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P 轻
放在弹簧上端，P 由静止向下运动，加速度a 与弹簧压缩量x 间的关系如图中实线所示。在
另一星球N 上用完全相同的弹簧，改用物体Q 完成同样的过程，其a–x 关系如图中虚线所
0
10
20
10
20
t/s
s/m
0
10
20
10
20
t/s
s/m
14
3.0
1.5
0
2
4
t/s
a/(m·s-2)
甲
乙
0
2
4
t/s
6.0
4.5
3.0
v/m·s-1
甲
乙
示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M 的半径是N 的3 倍，则（ ）
A．M 与N 的密度相等
B．Q 的质量是P 的3 倍
C．Q 下落过程中的最大动能是P 的4 倍
D．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4 倍
【答案】AC
【解析】
A：由a-x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向
据牛顿第二定律得加速度
，则图象的斜率为
，纵轴截距为重力加速度
根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比
又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：
则星球密度
故两星球的密度之比
，故A 正确；
B：当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0 的一瞬间，其所受弹力和重力平衡，即
结合a-x 图象可知，当物体P 和物体Q 分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比
故物体P 和物体Q 的质量之比
，故B 错误；
C：物体P 和物体Q 分别处于各自的平衡位置（a＝0）时，它们的动能最大；
根据
，结合a-x 图象面积的物理意义可知：
物体P 的最大速度满足：
物体Q 的最大速度满足：
则两物体的最大动能之比：
，C 正确；
D：物体P 和物体Q 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a＝0）可知，P 和Q 振动的振幅分别为
和
即物体P 所在弹簧最大压缩量为
，物体Q 所在弹簧最大压缩量为
则Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时P 物体最大压缩量的2 倍，D 错误。
（六）平均速度-时间图像（
图像，
图像）
匀变速直线运动：
，由此可见：
1．匀变速直线运动的
图像为一条倾斜的直线
2．（1）纵轴截距：表示初速度v0
（2）图线斜率k：表示加速度a 的一半，即a＝2k
（3）矩形面积：表示前面过程中的位移
【例7】甲、乙两质点在同一平直轨道上同时（t＝0）同地向同一方向做直线运动，
它们的位移x 与时间t 的比值随t 的变化规律如图所示，则在前2s 过程中（ ）
A．t＝0.5s 时，甲在乙的前面最远处
B．t＝2s 时，甲在乙的前面最远处
C．t＝1s 时，甲、乙相遇
D．t＝2s 时，甲、乙相遇
【答案】AC
【解析】
表示前面时间内的平均速度
甲的平均速度恒为1m/s，则甲以v 甲＝1m/s 的速度做匀速运动
乙的平均速度均匀增大，猜想做初速度为0 的匀加速运动，设加速度为a，则
函数形式与图像相符，猜想正确，且加速度a 等于图线斜率的2 倍，即a＝2m/s2
AB：开始运动后甲在前，甲、乙间距增大
t＝0.5s 时，乙的速度
，此后甲、乙间距变小
所以t＝0.5s 时甲在乙的前面最远处，A 对B 错；
CD：t＝1s 时，甲、乙的平均速度相同，位移相同，甲、乙相遇，C 对D 错
【例8】一辆汽车在平直的公路上行驶，从t＝0 时刻开始刹车而做减速直线运动，
通过传感器在电脑上自动描绘出其位移x 与运动时间t 的比值
随t 变化的
图像
如图所示，则下列分析正确的是（ ）
A．刚要刹车时速度为40m/s
B．开始刹车后经4s 停下来
C．刹车过程中的加速度大小为5m/s2
D．刹车过程的总位移为20m
【答案】D
（七）v2－x 图像
匀变速直线运动：v2－v0
2＝2ax⇒v2＝2ax+v0
2，由此可见：
t
x
t
O
v0
a ＝2k
t0
阴影面积表示
时间t0 内的位移
t/s
)
/(
1
s
m
t
x
O
1
1
2
甲
乙
0
20
4 t/s
1
/ (
)
x
m s
t
v2
v02
O
x
v12
x1
a ＝
k/2
v
1．匀变速直线运动的v2-x 图像为一条倾斜的直线
2．（1）纵轴截距：表示v0
2
（2）图线斜率k：表示加速度a 的2 倍，即a＝k/2
【例9】如图所示为某汽车关闭油门后沿直线减速滑行的v2－x 图像（其中v 为运动速度，
x 为位移），下列关于该汽车从x＝0 处运动至x＝x0处的过程分析，正确的有（ ）
A．加速度大小为v0
2/2x0
B．运动的总时间为2x0/v0
C．在位移中点的速度为v0/2
D．在中间时刻的速度大于v0/2
【答案】AB
【例10】一辆汽车由静止开始沿直线运动，速度和加速度方向始终向右，速度v 的
二次方v2随位移x 变化的图象如图所示，则汽车从开始运动到前进x1的过程中（ ）
A．受到的合外力越来越大
B．受到的合外力越来越小
C．平均速度大于v1/2
D．平均速度小于v1/2
【答案】AD
【解析】
A：解析由v2＝2ax 和F＝ma，结合图像可知加速度a 增大，合力F 增大，A 正确；
B：汽车受到的合力越来越大，则相同的距离内合力对汽车做的功不相等，B 错误；
CD：汽车做加速度增大的加速运动，可作出v−t 图像如图所示
（八）数形结合秒杀法
图象法解题具有简单直观的特点，我们平时应养成使用图象解决问题的习惯。
图像法解题，特别适合三类问题：相对运动问题、分段运动问题、变加速运动问题。
【例11】（分段运动）用A、B 两辆相同的汽车在同种平直公路上进行性能测试。A 车以最大加速度a1加速到最大
速度后匀速运动一段时间，再以最大加速度a2匀减速制动，直到停止；B 车以最大加速度a1加速到同样的最大速度后，
立即以加速度a2/2 制动，直到停止。测得A、B 两车运动时间相等，而位移之比为5:4，则加速度大小之比a1:a2为（
）
A．1:1
B．1:2
C．1:3
D．1:4
【答案】B
【解析】根据题意，根据位移之比为5:4，可作出两车的v-t 图像如右所示
据v-t 图像易得B 正确
【例12】（变加速）汽车从静止开始以恒定功率沿直线启动，经5min 速度达到20m/s，则这段时间内汽车的位移（
）
A．小于3km
B．等于3km
C．大于3km
D．无法确定
【答案】C
【解析】汽车以恒定功率启动，根据
可知，随着v 增大，牵引力F 减小
因而汽车做加速度减小的变加速运动，v-t 图像如右所示
图线与所夹图形面积表示位移，易得C 正确
【例13】（相对运动）如图所示，水平速度为v、质量为m 的子弹击中并穿过放在光
滑水平地面上的木块，若木块对子弹的阻力大小恒定，则下面说法正确的有（ ）
A．m 越大，则木块获得的动能越大
B．m 越小，则木块获得动能越大
C．v 越大，则木块获得动能越大
D．v 越小，则木块获得的动能越大
【答案】BD
【解析】v-t 图像分析法。
v2
v02
O
x0
x
O
x1
v12
v2
x
v
t
O
t1
v1
O
2t0
3t0
4t0
t
v
vm
AB
A
A
B
a1
a2
a2/2
s0
2s0
2s0
t/s
O
v/m·s-1
300
20
O
v
m 大
m 小
木块
O
v
v 大
v 小
木块
根据牛顿第二定律及题意，易作出各情况下的v-t 图像如右所示
因木块长度一定，子弹与木块的图线所夹面积也一定
AB：由图（1）可见，子弹质量m 越大，射出木块时木块速度越小，
则木块动能也越小，A 错，则B 对；
CD：由图（2）可见，子弹速度v 越大，射出木块时木块速度越小，
则木块动能也越小，C 错，则D 对。
【例14】（浙江福建高考题）一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB 边重
合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为μ2。现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，
加速度方向是水平的且垂直于AB 边。若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？（以g 表示重力加速
度）
【答案】
a≥μ1+2 μ2
μ2
μ1 g
【下面是当年高考题给出的解答】
解：设圆盘的质量为m，桌长为L，在桌布从圆盘上抽出的过程中，盘的加速度为a1，有
μ
1 mg =ma 1 ①
桌布抽出后，盘在桌面上作匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有
μ
2 mg =ma 2 ②
设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下，有
v1
2=2a1 x1 ③ v1
2=2a2 x2 ④
盘没有从桌面上掉下的条件是
x2≤1
2 L−x1
⑤
设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有
x=1
2 at
⑥
x1=1
2 a 1 t2
⑦
而
x=1
2 L+x1
⑧
由以上各式解得
a≥μ1+2 μ2
μ2
μ1 g
（由8 个方程构成的方程组，还是很不好解的）
【一图秒解】
圆盘在桌布上和桌面上滑动时的加速度大小分别为μ1g、μ2g
设桌面边长为
，圆盘在桌布上滑动时间为
则在桌面上滑动时间
A
B
a
v
t
μ1gt1
O
at1
a
μ1g
μ2g
x 相
x 盘
t1
t2=μ1t1/
μ2
如右图，
，
，由两阴影图形面积满足
【作业】
班次 座号 姓名
1．物体以某一初速度v0沿斜面上滑，其v–t 图象在下图中不可能的有（ ）
【答案】C
【解析】
A：斜面光滑的情况，上滑与下滑加速度相同，整个图线为直线，A 对；
BC：斜面粗糙有摩擦的情况，上滑速度减到0 后能返回下滑
上滑的加速度大小
下滑的加速度大小
a 上＞a 下，B 对C 错；
D：斜面粗糙有摩擦的情况，上滑速度减到0 后停在斜面上不再下滑，D 对
2．A、B 两物体同时同地向同一方向运动，其速度与位移变化关系图像如图所示，
A 物体做匀速直线运动、速度大小为v0。B 物体的速度与位移关系图像为过原点开口向
右的抛物线。两图像交点坐标为（x1，v0），下列说法正确的是（ ）
A．出发后，A、B 两物体在x1处相遇
B．A、B 相遇时B 物体的速度为2v0
C．B 物体在x1处的加速度a＝v0
2/x1
D．B 物体做加速度减小的加速运动
【答案】B
3．某质点沿x 轴方向做匀变速直线运动，其位置坐标x 随时间t 变化的关系如右图像所示，
则在0～4s 内，下列说法正确的是（ ）
A．质点的加速度大小为4m/s2
B．在t＝1s 时，质点的速度最大
C．在t＝0 时，质点的速度大小为2m/s
D．在0～4s 内，质点的平均速度大小为2.5m/s
【答案】C
4．某同学用传感器探究一玩具车做直线运动的性质，得到了一段过程中的
的图象如图
所示，由此可知该玩具车在这段过程中（ ）
A．做速度为−3m/s 的匀速直线运动
B．做变加速直线运动
C．做匀加速直线运动，初速度大小为2m/s
D．做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2
【答案】
v
t
O
A
．
v
t
O
B
．
v
t
O
C
．
v
t
O
D
．
5．一物体由静止开始做直线运动，其加速度随位移变化的图象如图所示，则（ ）
A．位移为x0时物体已运动的时间为
B．位移为x0时物体的速度为
C．位移为2x0时物体速度为0
D．位移为2x0时物体速度为
【答案】AD
6．一个固定在水平面上的物块，其左侧面是光滑斜面AB，右侧面是光滑曲面
AC，且AB 和AC 长度相同。两个小球p、q 同时从A 点分别沿AB 和AC 由静止开
始下滑，则它们到达水平面的先后情况是（ ）
A．p 球先到
B．q 球先到
C．两球同时到
D．无法确定
【答案】B
7．（2010 年全国卷Ⅰ）汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0～60s 内汽车的
加速度随时间变化的图线如图所示。
（1）画出汽车在0～60s 内的v-t 图线；
（2）求在这60s 内汽车行驶的路程。
【解析】
（1）0～10s：a1=2m/s2，t1=10s 时汽车的速度v1=a1t1=20m/s
10s～40s：匀速运动
40s～60s：a3=-1m/s2，t3=60s 时汽车的速度v3=v1+a3（t3-t1）=0
据此可作出汽车的v-t 图像如右所示
（2）v-t 图线与t 轴所夹图形面积表示位移，求得为900m
8．一滑块（视为质点）以不同的初速度v0从长为4m 的斜面顶端沿斜面下滑，
其下滑距离x 随v0
2变化的x‒v0
2图象如图所示。
（1）求滑块下滑的加速度大小；
（2）若滑块下滑的初速度为5m/s，则它在斜面上下滑的时间为多长？
【答案】（1）2m/s2；（2）1s
【解析】
（1）据题意知，滑块在斜面上匀减速下滑
设加速度大小为a，取数据点v0
2=12（m/s）2、x=3m，则：
（2）斜面长L=4m，由图像的比例关系易得：
当v0
2=16（m/s）2即v0=4m/s 时，x=4m=L，滑块正好能滑到斜面底端
则v0′=5m/s 时，滑块将滑过斜面
设在斜面上滑行时间为t，则
分析知，t=4s 不合题意，则所求时间为1s
a
x
O
x0
2x0
a0
p
A q
B
C
O
30
60
-1
1
2
a/m·s−2
t/s
O
30
60
v/m·s−1
t/s
O
30
60
v/m·s−1
t/s
20
O
4
8
12
1
2
3
x/m
v02/(m·s−1)2
