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专题32 机械振动
学习目标
1．认识简谐运动，理解简谐运动的表达式和图像。
2．知道单摆，理解并熟记单摆的周期公式。
3．认识受迫振动，了解产生共振的条件及其应用。
知识点梳理
1．简谐运动
(1)定义：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图
像是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力
①定义：做简谐运动的物体受到的指向平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③性质：属于效果力。
④来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的公式和图像
(1)简谐运动的表达式
①动力学表达式：F＝－
kx
，其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
②运动学表达式：x＝A_sin_(2π
f t
＋
φ 0)，其中A 代表振幅，2πf 代表简谐运动
的快慢，2πf t＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫作初相。
(2)简谐运动的图像
①从平衡位置开始计时：函数表达式为x＝A_sin_(2π
f t
) ，图像如图甲所示。
②从最大位移处开始计时：函数表达式为x＝A
sin
(2π ft + π
2)，图像如图乙
所示。
3．单摆
(1)构成：细线的长度不可改变，细线的质量和小球相比可以忽略，球的直径
和细线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
(2)回复力：重力G 沿圆弧切线方向的分力。
(3)运动规律：摆角很小时，单摆的振动可近似视为简谐运动。
(4)周期：T＝2π❑√
l
g。
4．受迫振动和共振
(1)受迫振动
①概念：系统在驱动力作用下的振动。
②特征：做受迫振动的物体的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频率)，而与
物体的固有周期(或频率)无关。
(2)共振
①概念：驱动力的频率等于振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅达到最
大值的现象。
②共振的条件：驱动力的频率等于固有频率。
③共振的特征：共振时振幅最大。
④共振曲线：f ＝f 0时，A＝Am，f 与f 0差别越大，物体做受迫振动的振幅越
小，如图所示。
真题汇编
（多选）1．（2025•湖北）质量均为
的小球和由劲度系数为的轻质弹簧
连接，小球由不可伸长的细线悬挂在
点，系统处于静止状态，如图所示。
将小球竖直下拉长度后由静止释放。重力加速度大小为
，忽略空气阻力，
弹簧始终在弹性限度内。释放小球后
A．小球可能会运动
B．若小球做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当
时，小球才能始终做简谐运动
D．当且仅当
时，小球才能始终做简谐运动
【答案】
【分析】若弹簧对向上的弹力大于小球的重力时，球会运动；根据振幅的
定义分析；分别计算出弹簧的压缩量和在
球在平衡位置时弹簧的伸长量，然
后得到小球的最大振幅，然后根据做简谐运动的条件分析即可。
【解答】解：
、释放小球后，当小球向上运动挤压弹簧时，若弹簧的弹力
大于小球的重力，小球会向上运动，故
正确；
、当小球向上运动时小球不做简谐运动，所以小球始终做简谐运动的
临界条件是弹簧压缩时的最大弹力等于
，此时弹簧的压缩量为
，小
球
做简谐运动，在平衡位置时弹簧的伸长量为
，所以最大振幅为
，即将小球下拉
时，小球才能始终做简谐运动，
故
错误，
正确；
、小球做简谐运动时的振幅为
，故
错误。
故选：
。
2．（2024•福建）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小
段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向
上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所示，则试管
A．振幅为
B．振动频率为
C．在
时速度为零
D．在
时加速度方向竖直向下
【答案】
【分析】
根据简谐运动的
图像判断振幅和周期，再计算频率；
根据质点的运动位置判断速度大小；
根据回复力公式结合牛顿第二定律分析加速度方向。
【解答】解：
从图像中可以直接读出振幅为
，周期为
，则频率
，故
错误，
正确；
时，质点处平衡位置，速度为最大，故
错误；
时，质点处于负向位移最大处，根据
及牛顿第二定律，可知加
速度方向与位移方向相反，为竖直向上，故
错误。
故选：
。
3．（2024•浙江）如图1 所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧
竖直悬挂于同一水平杆上，间距为，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为
，
小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上
为正方向，小球和光源的振动图像如图2 所示，则
A．时刻小球向上运动
B．
时刻光源的加速度向上
C．
时刻小球与影子相位差为
D．时刻影子的位移为
【答案】
【分析】简谐运动的位移—时间图像是（余弦函数图像，反映同一质点在不同
时刻的位移，根据时间轴可以得到振动周期，纵轴可以得到振幅，根据图象可
以判断速度、加速度、位移、回复力的变化；横轴表示平衡位置，离平衡位置
越远，位移、加速度、回复力越大，速度越小，做简谐运动的物体回复力满足：
。
【解答】解：
．以竖直向上为正方向，根据图2 可知，时刻，小球位移为零，
位于平衡位置，随后位移变为负值，且大小增大，可知，
时刻小球向下运动，
故
错误；
．以竖直向上为正方向，
时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦函
数，表明其做简谐运动，根据
和
可得：
可知，其加速度方向与位移方向总是相反，位移方向向上，则加速度方向向下，
故
错误；
．根据图2 可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的
光被小球遮挡后，在屏上留下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，
即时刻小球与影子相位差为0，故
错误；
．根据图2 可知，时刻，光源位于最低点，则小球位于最高点，根据光的
直线传播可知，屏上影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移
处，根据数学知识可得：
解得：
即时刻影子的位移为
，故
正确。
故选：
。
4．（2024•北京）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置，手机加速度传
感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程
中加速度随时间变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是
A．
时，弹簧弹力为0
B．
时，手机位于平衡位置上方
C．从
至
，手机的动能增大
D．随变化的关系式为
【答案】
【分析】
、根据
时刻手机
，由牛顿第二定律可知弹簧弹力大小；
、根据手机加速度的正负、简谐运动的特点分析；
、根据做简谐运动的物体远离平衡位置，加速度越大，速度越小分析；
、根据图像可得周期，根据
可得
，则可得随变化关系式。
【解答】解：
、由图乙可知，
时刻，手机加速度为0，由牛顿第二定律可
得弹簧弹力大小为：
，故
错误；
、
时，手机的加速度为正值，可知手机的加速度向上，指向平衡位置，
根据简谐运动的特点可知手机位于平衡位置下方，故
错误；
、从
至
过程，手机的加速度增大，可知手机从平衡位置向最大位
移处运动，手机的速度减小，动能减小，故
错误；
、由图乙知，
，则
，可知
随变化的关
系式为：
，故
正确。
故选：
。
5．（2024•甘肃）如图为某单摆的振动图像，重力加速度
取
，下列说
法正确的是
A．摆长为
，起始时刻速度最大
B．摆长为
，起始时刻速度为零
C．摆长为
，
、
点的速度相同
D．摆长为
，
、
点的速度相同
【答案】
【分析】由单摆的振动图像直接读出周期，根据单摆周期公式求解摆长。起始
时处于位移最大处，此刻速度最小。根据
图像的斜率表示速度分析
、
点的速度关系和
、
点的速度关系。
【解答】解：由单摆的振动图像可知周期
，根据单摆的周期公式
，解得摆长为：
起始时处于位移最大处，此刻速度最小，且为零。
根据
图像的斜率表示速度，可知
、
点的速度大小相等，方向相反，
、
点的速度大小和方向均相同，故
错误，
正确。
故选：
。
1．动力学特征：F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比
例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方
向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减
小，靠近平衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T 或nT(n 为正整数)的两个时刻，振子处于同一
位置且振动状态相同；简谐运动中质点一个周期内路程s＝4A，1
2个周期内路
程s＝2A，但1
4个周期内路程不一定等于A，可能大于A，也可能小于A。
4．对称性特征
(1)相隔T
2 或
(2n+1)T
2
(n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，
位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度
考点1：简谐运动的基本特点
的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P′所用时间，即tPO＝tOP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即tOP＝tPO。
5．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动
能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
例题精讲：
【例1】（2025•龙岗区开学）如图所示，密度计静浮于装有液体的烧杯中，现
将密度计沿竖直方向轻轻按下少许后静止释放并开始计时（密度计底部与烧杯
底部始终不接触），密度计在一定时间内可近似看作是简谐运动。若取竖直向
下为正方向，则以下描述密度计振动的图像中可能正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】试管的运动是简谐运动，其位移—时间关系图像是正弦或余弦曲线，
计时起点位置在平衡位置下方最大位移处。
【解答】解：密度计在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等
的位置，取竖直向下为正方向，开始时，向下按下的距离就是其偏离平衡位置
的位移，为正向最大位，故
正确，
错误。
故选：
。
【例2】（2025•辽宁开学）关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列
说法正确的是
A．位移减小时，加速度减小，速度增大
B．位移方向总和加速度方向相反，和速度方向总相同
C．物体的速度增大时，加速度不一定减小
D．物体向平衡位置运动时，速度方向和位移方向相同
【答案】
【分析】根据简谐运动的位移、合外力、加速度和速度的变化情况进行分析解
答。
【解答】解：
．根据简谐运动的特点，位移减小时，合外力减小，则加速度
减小，速度增大，故
正确；
．根据简谐运动的特点，位移方向总和加速度方向相反，和速度方向可能相
同，也可能相反，故
错误；
．根据简谐运动的特点，物体的速度增大时，位移一定减小，则加速度一定
减小，故
错误；
．根据简谐运动的特点，物体向平衡位置运动时，速度增加，加速度和速度
方向相同，可知速度方向和位移方向相反，故
错误。
故选：
。
【例3】（2022 春•荔湾区校级期中）振子在
，间做简谐运动，如图所示，
为平衡位置，从某一时刻开始
经过
周期，振子具有正方向最大加速度，
那么能正确反映振子振动情况的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据简谐运动中回复力提供加速度可知，当振子具有正方向最大加速
度时，则为负向最大位移。
【解答】解：某一时刻作计时起点
，经
周期振子具有正方向最大加速度，
则位移为负方向最大，即在
点，说明
时刻质点经过平衡位置向左，即向
方向运动，故
正确，
错误。
故选：
。
1．简谐运动的表达式
(1)简谐运动中位移随时间变化的表达式叫振动方程，一般表示为x＝A sin
(ωt＋φ)。
(2)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，从最大位移处开始计
时，函数表达式为x＝A cos ωt。
2．简谐运动的图像
(1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。
(2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表
质点运动的轨迹。
3．图像信息
(1)由图像可以得出质点振动的振幅、周期和频率。
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
(3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向。
(4)可以确定某时刻质点速度的方向。
(5)可以比较不同时刻回复力、加速度的大小。
(6)可以比较不同时刻质点的动能、势能的大小。
例题精讲：
【例4】（2025•江西模拟）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机
加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机
考点2：简写运动的表达式和图像
振动过程中加速度随时间变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正
确的是
A．
时，弹簧弹力为0
B．
时，手机位于平衡位置上方
C．从
至
，手机的动能增大
D．随变化的关系式为
【答案】
【分析】
、根据
时刻手机
，由牛顿第二定律可知弹簧弹力大小；
、根据手机加速度的正负、简谐运动的特点分析；
、根据做简谐运动的物体远离平衡位置，加速度越大，速度越小分析；
、根据图像可得周期，根据
可得
，则可得随变化关系式。
【解答】解：
、由图乙可知，
时刻，手机加速度为0，由牛顿第二定律可
得弹簧弹力大小为：
，故
错误；
、
时，手机的加速度为正值，可知手机的加速度向上，指向平衡位置，
根据简谐运动的特点可知手机位于平衡位置下方，故
错误；
、从
至
过程，手机的加速度增大，可知手机从平衡位置向最大位
移处运动，手机的速度减小，动能减小，故
错误；
、由图乙知，
，则
，可知
随变化的关
系式为：
，故
正确。
故选：
。
【例5】（2025•张家口开学）如图（a），装有砂粒的试管竖直静浮于水中，
将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运
动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图（b）所
示，则试管
A．振幅为
B．
时，回复力为零
C．
时，速度最大且方向向上
D．位移—时间关系式为
【答案】
【分析】根据题图（b）可得振幅、周期；
时试管处于负向最大位移处，由
回复力与位移的关系判断此时回复力是否为零；
时试管处于平衡位置向上
运动，此时速度最大；根据图（b）求出位移一时间关系式。
【解答】解：
、根据题图（b）可知，振幅为
，故
错误；
、根据题图（b）可知，
时试管处于负向最大位移处，则此时回复力最大，
故
错误；
、根据题图（b）可知，
时试管处于平衡位置，此时速度最大且方向向上，
故
正确；
、根据题图（b ）可知，周期为
，位移一时间关系式为：
，故
错误。
故选：
。
【例6】（2024 秋•南京校级期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为
点，在
两点之间做简谐运动，
相距
，小球经过
点时开始计时，经过
首次到达
点。下列说法正确的是
A．小球振动的周期为
B．小球由
点到
点加速度不断减小
C．小球的位移—时间关系为
D．
末小球位移为
【答案】
【分析】根据题意求解周期以及振幅，结合经过
点时开始计时，从而求解小
球的位移—时间关系；加速度大小随位移变化而变化；根据时间与周期关系求
解路程。
【解答】解：
．弹簧振子的平衡位置为
点，在
两点之间做简谐运动，小
球经过
点时开始计时，经过
首次到达
点，可知小球振动的周期为
，故
错误；
．小球由
点到
点加速度先减小后增加，故
错误；
．振幅
，
小球经过
点时开始计时，小球的位移—时间关系为
故
正确；
．
末，即经过了5 个周期，小球回到
点，则小球位移为
，故
错误。
故选：
。
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力提供回复力，F＝mg sin θ＝－
mg
l x＝－kx，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反。
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力提供向心力，F 向＝
FT－mg cos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F 向＝mv
2
l ＝0，FT＝mg cos θ。
②当摆球在最低点时，F 向＝m vmax
2
l ，F 向最大，FT＝mg+m vmax
2
l 。
(4)单摆做简谐运动的成立条件为摆角θ<5°。
2．周期公式T＝2π❑√
l
g的三点说明
(1)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g 为当地重力加速度。
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g 月；单摆在电梯中处于超重或失重状态
时，重力加速度为等效重力加速度。确定等效摆长l 及等效重力加速度g 效
后，利用公式T＝2π❑√
l
g效
或简谐运动规律分析求解。
考点3：单摆及周期公式
例题精讲：
【例7】（多选）（2025•兴宾区校级开学）如图甲所示，一个单摆做小角度摆
动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移
随
时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，
取
，对于这个单摆的振
动过程，下列说法中正确的是
A．单摆的位移随时间变化的关系式为
B．单摆的摆长约为
C．从
到
的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大
D．从
到
的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐增大
【答案】
【分析】根据图像得到单摆的振幅和周期，然后结合图像可写出位移—时间关
系式；根据单摆周期公式计算；根据图乙分析即可；根据牛顿第二定律分析。
【解答】
．由题图乙可知，振幅
，单摆周期
，则圆频率
，可得单摆的位移
随时间
变化的关系式为：
，故
正确；
．由单摆的周期公式有
，解得单摆的摆长约为
，故
错误；
．由题图乙可知，从
到
的过程中，摆球从最大位移处向平衡位置
运动，位移逐渐减小，根据
可知回复力在逐渐减小，故
错误；
．由上面的分析可知，从
到
的过程中，摆球的位移逐渐减小，则
摆球的速度在增大，设绳子与竖直方向的夹角为
，根据牛顿第二定律有
，解得
，从
到
的过程中单摆的位移
正在减小，则减小，增大，所以拉力逐渐增大，故
正确。
故选：
。
【例8】（2025•浙江模拟）如图甲所示，单摆在竖直面内的
、
之间做简谐
运动。小李同学利用传感器得到了单摆摆球在垂直摆线方向的加速度
与时间
的关系如图乙所示。为了进一步的研究单摆的特性，小李继续实验，先使摆球
（视为质点）带负电（摆线是绝缘的），然后分别将其放在水平向右的匀强电
场和竖直向上的匀强电场中。对于此次研究，小李的猜想正确的是
A．由
图像可得单摆摆动的周期为
B．摆球运动到最低点
时，回复力为零，所受合力为零
C．加上水平向右的匀强电场后，小球不再做简谐运动
D．加上竖直向上的匀强电场后，单摆周期变小
【答案】
【分析】根据图乙判断周期大小；摆球在最低点时有向心加速度；小球仍可以
做简谐运动，但平衡位置会发生变化；根据等效重力加速度分析。
【解答】解：
、由图乙可知，单摆的振动周期为
，故
错误；
、摆球运动到最低点时，回复力为零，但是速度最大，所以向心加速度最大，
在沿摆线方向上的合力提供向心加速度，所以在最低点摆球所受合力不为零，
故
错误；
、加上水平向右的匀强电场后，小球的平衡位置不再是这个最低点位置了，
而是摆球在静止状态下的位置，在这个位置的左边，仍然会做简谐运动，但单
摆的周期会发生变化，故
错误。
、加上竖直向上的匀强电场后，小球受到的电场力方向向下，则等效重力加
速度
大于重力加速度
，根据单摆周期公式
可知，单摆的周期会变
小，故
正确。
故选：
。
【例9】（2025•来宾校级开学）如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次
摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移
随时间变化的
图像如图乙所示。不计空气阻力，
取
，对于这个单摆的振动过程，下
列说法中正确的是
A．单摆的位移随时间变化的关系式为
B．单摆的摆长约为
C．从
到
的过程中，摆球所受的回复力逐渐增大
D．从
到
的过程中，摆球所受绳子拉力逐渐减小
【答案】
【分析】由振动图像读出周期是
，振幅是
，则根据单摆的位移随时间
变化的关系式为
代入数据可求表达式；由单摆的周期公式可求摆长；
根据单摆的振动图像分析回复力的变化；根据绳子上力的变化判断。
【解答】解：
、单摆做小角度摆动，则其运动可以看为简谐运动，周期为
，振幅
，则单摆的位移
随时间变化的关系式为
，故
正确；
、根据周期公式
代入数据解得
，故
错误；
、根据图乙可知，从
到
的过程中，单摆从最大位移处运动到平
衡位置，位移逐渐减小，由于
可知摆球所受回复力逐渐减小，故
错误；
、根据图乙可知，从
到
的过程中，单摆从最大位移处运动到平
衡位置，位移逐渐减小，则绳子与竖直方向之间的夹角
减小，同时小球的速
度增大，绳子的拉力
，可知绳子的拉力逐渐增大，故
错误。
故选：
。
1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质
决定，即固有周
期T0或固有频率
f 0
由驱动力的周期
或频率决定，即
T＝T 驱或f ＝f 驱
T 驱＝T0或f 驱＝f
0
振动能量
振动物体的机械
能不变
由驱动力提供
振动物体获得的
能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆
机器工作时底座
发生的振动
共振筛、声音的
共鸣等
考点4：受迫振动和共振
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f ，纵坐标为振幅A，它直观
地反映了驱动力频率对某固有频率为f 0的振动系统做受迫振动时振幅的变
化，由图可知，f 与f 0越接近，振幅A 越大；当f ＝f 0时，振幅A 最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与
外界时刻进行能量交换。
例题精讲：
【例10】（2024 秋•滨江区校级期末）如图所示是一单摆做阻尼振动的
图
像，则此单摆的摆球在图中
与
时刻的
A．速度
B．加速度
C．绳的拉力
D．重力势能
【答案】
【分析】根据阻尼振动的特点（振幅逐渐减小，机械能持续损耗）、
图像
的物理意义（位移随时间的变化），以及单摆运动中重力势能、速率、拉力的
决定因素来分析各选项。
【解答】解：
、阻尼振动中，振幅随时间减小，机械能持续损耗。单摆做阻
力振动，则单摆的机械能越来越小，单摆的振幅越来越小。由
图知，摆球
在
与
时刻与最低点的距离相等，则重力势能相等，所以可知动能
所以
故
错误，
正确。
、根据题意可知，由于摆球在
与
时刻偏离竖直方向的角度
相等，则其
沿运动轨迹切线方向的加速度大小均为
设摆长为，摆球沿摆线方向的加速度大小为
由于
，可知
根据摆球在
与
时刻的加速度大小
可得
故
错误；
、根据题意可知，摆球在
和
时刻，沿摆线方向根据牛顿第二定律，有
由前面分析知
，则
与
时刻绳子的拉力
故
错误。
故选：
。
【例11】（2025 春•阜新期末）如图所示装置中，已知弹簧振子的固有频率
，电动机皮带轮的直径
是曲轴皮带轮
的
．为使弹簧振子的振幅
最大，则电动机的转速应为
A．60
B．120
C．30
D．240
【答案】
【分析】根据共振的条件可知驱动力的频率，再对电动机和曲轴由圆周运动规
律可求得电动机的转速。
【解答】解：要使弹簧振子振幅最大，则曲轴对弹簧振子的驱动力的频率应等
于
；故曲轴的周期
；
曲轴转动的角速度
；
因电动机皮带轮和曲轴皮带轮的线速度相同，则
；由
可知，皮带轮
的角速度应为
；解得：
故选：
。
【例12】（2025 春•广州期末）在广州，某同学研究单摆做受迫振动时振幅与
驱动力频率的关系，其共振曲线如图所示。则该单摆
A．摆长约为
B．驱动力频率增大时，振幅增大
C．驱动力频率增大时，振动频率不变
D．若该实验移至上海、共振曲线的峰值将向右偏移
【答案】
【分析】根据单摆周期公式计算即可；单摆实际摆动的频率等于驱动力的频率；
当固有频率等于驱动力的频率时，单摆发生共振，振幅最大；改变地点，
值
变化，固有周期发生变化。
【解答】解：
．由题图可知，该单摆的固有频率为
，则固有周期为
根据
，可得该单摆的摆长约为
，故
错误；
．当驱动力频率等于该单摆的固有频率时，振幅最大，所以驱动力频率增大
时，振幅不一定增大，故
错误；
．驱动力频率增大时，振动频率与驱动力频率相同，所以振动频率也随着增
大，故
错误；
．若该实验移至上海，由于上海的重力加速度大于广州的重力加速度，所以
固有周期变小，固有频率变大，图线横轴表示固有频率，根据当固有频率等于
驱动力的频率时，单摆发生共振，振幅最大，所以共振曲线的峰值将向右偏移，
故
正确。
故选：
。
课后提优练习
一．选择题（共15 小题）
1．（2025•六合区校级开学）上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一
千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振
动图像如图所示。关于阻尼器的说法正确的是（ ）
A．振动周期越来越小
B．t＝4s 时的动能为零
C．t＝8s 时沿x 轴负方向运动
D．t＝10s 时加速度沿x 轴负方向
【解答】解：A、根据振动图像可知，振动周期保持不变，故A 错误；
B、t＝4s 时处于平衡位置，速度最大、则动能为最大，故B 错误；
C、根据振动图像可知，t＝8s 时沿x 轴正方向运动，故C 错误；
D、t＝10s 时处于波峰，其加速度沿x 轴负方向，故D 正确。
故选：D。
2．（2025•如皋市模拟）如图所示，小球在竖直平面内的摆动可视为简谐运动，
振动周期为0.6s，图示的位置为小球运动过程的最左侧位置。现每隔0.2s 记
录一次小球的位置，则一个周期内所记录的小球位置可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：ABD、单摆的周期为0.6s，若从最左侧位置开始计时，小球到
最低点位置时的时间是0.15s，因为每隔0.2s 记录一次小球的位置，所以第一
次记录小球的位置在最低点的右侧，根据简谐运动的对称性可知，第二次记
录的位置还是刚才第一次记录的位置，这样再经过一个0.2s 正好是一个周期，
小球回到开始计时的位置，故AD 错误，B 正确；
C、若是从最低点的左侧某一位置（该位置不是最左侧位置）开始计时，因
为周期是0.6s，但是是经过0.2s 记录一次位置，所以记录的小球应该有三个
位置，不可能是两个位置，故C 错误。
故选：B。
3．（2023•南京开学）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速
度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振
动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法
正确的是（ ）
A．t＝0 时，弹簧弹力为0
B．t＝0.2s 时，手机位于平衡位置上方
C．从t＝0 至t＝0.2s，手机的动能增大
D．a 随t 变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2
【解答】解：A、由图乙可知，t＝0 时刻，手机加速度为0，由牛顿第二定律
可得弹簧弹力大小为：Fk＝mg，故A 错误；
B、t＝0.2s 时，手机的加速度为正值，可知手机的加速度向上，指向平衡位
置，根据简谐运动的特点可知手机位于平衡位置下方，故B 错误；
C、从t＝0 至t＝0.2s 过程，手机的加速度增大，可知手机从平衡位置向最大
位移处运动，手机的速度减小，动能减小，故C 错误；
D、由图乙知，T＝0.8s，则ω= 2π
T = 2π
0.8 rad / s=2.5 πrad / s，可知a 随t 变化
的关系式为：a＝4sin（2.5πt）m/s2，故D 正确。
故选：D。
4．（2024 秋•泗阳县期末）如图所示，弹簧振子在相距20cm 的B、C 两点间做
简谐运动，O 点为平衡位置。振子经过O 点向左运动开始计时，经过0.5s 第
一次到达C 点。取向左为正方向，则（ ）
A．周期为0.5s
B．振幅为0.2m
C．3s 末的位移为0.1m
D．振动方程为x＝0.1sinπtm
【解答】解：A、小球经过O 点时开始计时，经过0.5s 首次到达C 点，则小
球振动的周期为T＝2.0s，故A 错误；
B、由题意可知，小球振动的振幅为BC 之间距离的一半，即A＝0.1m，故B
错误；
CD、小球从平衡位置可知运动，初相位为0，所以振动方程为x＝Asin
（ωt）＝Asin2π
T t =0.1sinm＝0.1sinπt（m）
3s 末的位移为x3＝0.1sin3πm＝0，故C 错误，D 正确。
故选：D。
5．（2025•江苏模拟）台风“贝碧嘉”登陆上海，中国自主研发的千吨阻尼器
——“上海慧眼”（如图所示）摆动明显，保障了上海中心大厦的安全。
“上海慧眼”采用了电涡流阻尼技术，永磁体形成的磁场与质量块一起摆动
时，与其下方固定的导体板产生相对运动，从而在导体板中产生电涡流。关
于该阻尼器，下列说法正确的是（ ）
A．阻尼器的电涡流阻尼技术原理是电流的磁效应
B．振动稳定时，阻尼器的振动频率小于大厦的振动频率
C．阻尼器将机械能最终转化为内能
D．若将阻尼器下方的导体板换成木地板，对使用效果没有影响
【解答】解：B.阻尼器受迫振动，稳定时阻尼器的振动频率与大厦的振动频
率相等，故B 错误；
ACD.根据电磁感应原理可知，永磁体通过导体板上方时会在导体板中产生电
涡流，阻碍永磁体相对导体板的运动，将机械能最终转化为内能，若将阻尼
器下方的导体板换成绝缘的木地板，将不会产生电涡流，影响使用效果，故
AD 错误，C 正确。
故选：C。
6．（2025•南京模拟）单摆在振动过程中，不计空气阻力，下列说法正确的是
（ ）
A．摆球经过同一高度速度相同
B．摆球在最低点加速度为零
C．重力沿垂直摆线方向的分力提供回复力
D．同一单摆，在北京和南京振动的周期相同
【解答】解：A、由题意可知，不即空气阻力，摆球的机械能守恒，可知在
同一高度时，重力势能相同、动能相同、速度的大小相同；
由图可知，速度方向不一定相同，根据速度为矢量，可知同一高度处，摆球
的速度不一定相同，故A 错误；
B、根据摆球的运动特点，可知其在最低点时，受到的合力提供指向圆心方
向的向心力，即加速度指向O，故B 错误；
C、对摆球受力分析，如下图：
摆球在O 左侧时，其位移指向左侧，重力在垂直于摆线方向的分力与其位移
方向相反；
根据回复力的定义：与位移方向始终相反，大小满足：F＝﹣kx，可知重力
在垂直于摆线方向的分力，提供回复力，故C 正确；
D、根据单摆周期公式：T =2π ❑√
L
g ，即可知北京、南京的g 不同，会导致两
地的振动周期T 不同，故D 错误。
故选：C。
7．（2024 秋•南京校级期末）如图，轻质弹簧下端固定在垂直于斜面的挡板上，
弹簧的另一端与一物块连接。初始时将物块固定在光滑斜面的A 点，此时弹
簧刚好处于原长状态，现给物块一平行于斜面向下的瞬时速度v0，物块开始
运动（不会碰到挡板）弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，则下列说法
正确的是（ ）
A．由于存在v0，物块的运动不能视作为简谐运动
B．物块的运动可视为简谐运动，最大速应为v0
C．往复运动过程中，物块在最高点和最低点的加速度大小不等
D．往复运动过程中，物块在最高点和最低点时，弹簧的弹性势能大小不等
【解答】解：AB．物块在弹簧弹力与重力分力的合力作用下做简谐运动，简
谐运动与初速度无关，二者合力为0 时，物块处于平衡位置，此时速度最大，
弹簧刚好处于原长状态速度为v0，故v0不是最大速度，故AB 错误；
CD．根据简谐运动的特点可知，物块在最低点和最高点的加速度相等，根据
牛顿第二定律有kx1
mgsin
﹣
θ＝ma，kx2+mgsinθ＝ma
则弹簧的形变量不相等，所以物块在最高点和最低点时，弹簧的弹性势能大
小不等，故C 错误，D 正确；
故选：D。
8．（2024 秋•南京校级期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O 点，在BC
两点之间做简谐运动，BC 相距20cm，小球经过B 点时开始计时，经过0.5s
首次到达C 点。下列说法正确的是（ ）
A．小球振动的周期为2.0s
B．小球由C 点到B 点加速度不断减小
C．小球的位移—时间关系为x =0.1sin(2πt + π
2 )m
D．5s 末小球位移为﹣0.1m
【解答】解：A．弹簧振子的平衡位置为O 点，在BC 两点之间做简谐运动，
小球经过B 点时开始计时，经过0.5s 首次到达C 点，可知小球振动的周期为
T＝1.0s，故A 错误；
B．小球由C 点到B 点加速度先减小后增加，故B 错误；
C．振幅A＝0.1m，ω= 2π
T ，解得ω=2πrad / s
小球经过B 点时开始计时，小球的位移—时间关系为x =0.1sin(2πt + π
2 )m
故C 正确；
D．5s 末，即经过了5 个周期，小球回到B 点，则小球位移为0.1m，故D 错
误。
故选：C。
9．（2025•南通模拟）如图1 所示，一单摆悬挂在O 点，在O 点正下方P 点有
一个钉子，将小球（可视为质点）拉到A 点后静止释放，小球在竖直平面内
做简谐运动，摆球的振动图像如图2 所示。已知摆球摆角始终不超过5°，重
力加速度g 取10m/s2，不计一切阻力和能量损失，下列说法中正确的是（
）
A．该单摆的周期为0.4πs
B．OP 间的距离为1.6m
C．t＝0.2πs 时小球动能最大
D．图中x1与x2的比值为2：1
【解答】解：A、由图像可知，该单摆的周期为
T＝2（0.5
0.2
﹣
）πs＝0.6πs
故A 错误；
B、根据单摆周期公式
0.4 πs= π
❑√
LOA
g
0.2πs= π
❑√
LOA - LOP
g
代入数据，解得OP 间的距离为
LOP＝1.2m
故B 错误；
C、由图像可知，t＝0.2πs 时小球到达最高点，此时速度为零，则动能为零，
故C 错误；
D、不计摆线和钉子相碰时的能量损失，所以整个过程机械能守恒，由机械
能守恒定律可知
mgh1＝mgh2
所以摆球摆到两侧最高点的位置是等高；单摆在OP 左侧最大偏角为θ，由数
学知识得
x1=2 LOA sin θ
2
单摆在OP 右侧最大偏角为α，由数学知识得
x2=2 LBPsin α
2
由机械能守恒定律得
mgLOA（1
cos
﹣
θ）＝mgLBP（1
cos
﹣
α）
其中
LOA＝4LBP
联立解得
x1
x2
= 2
1
图中x1与x2的比值为2：1，故D 正确。
故选：D。
10．（2021 秋•响水县校级月考）如图所示，木块在水中沿竖直方向做简谐运
动。运动过程中相对平衡位置的位移x、运动的速度v 随时间t 变化的关系和
木块受到的合力F 和动能Ek随相对平衡位置的位移x 变化的关系图像可能正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：AB、因为木块在水中沿竖直方向做简谐运动，故运动的速度v
和相对平衡位置的位移x 随时间t 变化的关系图像都应该是三角函数的波形，
故A 错误，B 正确。
C、设木块底面积为S，根据简谐运动的规律可得，浮力与重力平衡，则有F
＝﹣ρSxg，则运动过程木块受到的合力F 应该过二、四象限，故C 错误；
D、随着x 增大，势能增大，由能量守恒可得，动能应减小，故D 错误；
故选：B。
11．（2021 秋•通州区期中）如图所示，O 为弹簧振子的平衡位置，t＝0 时刻把
小球向左拉到某位置静止释放．以水平向右为正方向，下列描述球相对O 点
的位移x、球的速度v、球所受回复力F、球的加速度a 随时间t 变化的关系
图像中，可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、由题，振子从负的最大位移处开始运动，其位移—时间图
像中t＝0 时刻应为负的最大值，不是正的最大值，故A 错误；
B、根据简谐振动的特点可知，简谐振动的速度—时间图像为正弦函数的图
像，故B 错误；
C、振子从负的最大位移处开始运动，根据公式：F＝﹣kx 可知，振子的回复
力随位移变化的图像为斜向下的斜线，故C 错误；
D、根据牛顿第二定律，振子的加速度：a= F
m =- kx
m ，可知振子的加速度随位
移变化的图像为斜向下的斜线，故D 正确。
故选：D。
12．（2024 秋•新吴区校级期中）如图所示，在一条张紧的绳上挂7 个摆，摆球
质量均相同，先让A 摆振动起来，则其余各摆也随之振动。已知A、B、F 三
摆的摆长相同，则下列判断正确的是（ ）
A．7 个摆的固有频率都相同
B．振动稳定后7 个摆的振动频率都相同
C．D 摆的振幅最大
D．D、E 摆离A 摆最近，它们的振幅最大
【解答】解：A．单摆的周期公式T＝2π❑√
L
g ，因为7 个摆的摆长不完全相同，
所以周期不完全相同，其固有频率不完全相同，故A 错误；
B．做受迫振动的单摆其固有周期等于驱动力的周期，与固有周期无关；A
摆振动起来后，带动其余6 个摆做受迫振动，振动稳定后7 个摆的振动频率
都相同，故B 正确；
CD．B、F 摆的摆长与A 摆相同，发生共振，振幅最大，故CD 错误。
故选：B。
13．（2025•武进区校级二模）弹簧振子做简谐运动的周期公式为T =2π ❑√
m
k ，
其中m 为振子的质量，k 为弹簧的劲度系数。小鸟落在树枝上所引起树枝的
振动可类比于弹簧振子的简谐运动。如图所示，两只质量不同的小鸟A 和B
先、后分别落在同一树枝的不同位置时，所引起树枝的振动周期恰好相同，
则以下说法中正确的是（ ）
A．小鸟A 所引起的振动的k 值较小，小鸟A 的质量小于小鸟B 的质量
B．小鸟A 所引起的振动的k 值较小，小鸟A 的质量大于小鸟B 的质量
C．小鸟A 所引起的振动的k 值较大，小鸟A 的质量小于小鸟B 的质量
D．小鸟A 所引起的振动的k 值较大，小鸟A 的质量大于小鸟B 的质量
【解答】解：两小鸟引起振动的周期相同，但枝头处的k 相对较小，根据简
谐运动的周期公式T =2π ❑√
m
k 可知，枝头处小鸟的质量较小，故A 正确，
BCD 错误。
故选：A。
14．（2025•苏州三模）将一小球（可视为质点）悬挂于O 点，拉开一个小角度
（θ＜5°）后静止释放，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小球质量越大，摆动周期越小
B．拉开角度越小，摆动周期越小
C．小球摆动过程中机械能守恒
D．摆动过程中，绳的拉力与重力的合力充当回复力
【解答】解：AB、根据公式T =2π ❑√
l
g可知摆动周期与小球质量以及拉开角
度无关，故AB 错误；
C、小球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，故C 正确；
D、摆动过程中，重力的切向分力提供回复力，不一定等于绳的拉力与重力
的合力，故D 错误。
故选：C。
15．（2025 春•南京期中）图1 是钓鱼时使用的浮标，钓鱼时浮标竖直浮在水面
上的上下振动可看作简谐运动。从t＝0 时刻开始计时，以竖直向上为正方向，
其振动的x
t
﹣图像如图2 所示，下列说法正确的是（ ）
A．浮标的振动周期为6s
B．1 分钟内浮标上某点运动所经过的路程为15cm
C．t＝1s 时，浮标振动的加速度最大
D．t＝4s 时，浮标的速度为0
【解答】解：A．根据题图2 可知浮标的振动周期为4s，故A 错误；
B．由图2 可知，浮标的振幅1 cm，一个周期内浮标上某点经过的路程为4 倍
振幅，由于t＝60s＝15T，所经过的路程为s＝15×4A＝60×1cm＝60cm，故B
错误；
C．t＝1s 时，浮标振动的位移最大，回复力最大，加速度最大，故C 正确；
D．t＝4s 时浮标在平衡位置，速度最大，故D 错误。
故选：C。
