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§2.2 力的合成与分解
（一）矢量运算基础知识
1．合力与分力的关系：等效替代关系
2．矢量合成（加法）与矢量分解（减法）运算方法（规则）
（1）基本运算规则：平行四边形定则；（2）简便运算方法：三角形多边形法；
（3）万能运算方法：正交分解法；
（4）蛮力分析法：作图测量法（准确作图，量长度角
度）
3．合成与分解的唯一性与多样性
（1）合成的唯一性：无论将多少个确定的力合成，合力都是唯一确定的
（2）分解的多样性：将一个确定的力分解，即使只分解为两个分力，也有无数种分解结果
（二）共点力的合成方法（法则）
1．平行四边形定则 矢量合成与分解的通用法则。
▲用表示两个力的矢量为邻边作平行四边形，与这两个力共顶点的对角线表示合力。
▲物理作图，贯穿于物理教学过程的始终，平时应养成规范作图的良好习惯。（必须用工具作图）
【例1】两共点力F1＝4N，F2＝6N，夹角为60°，试用1cm 表示2N，
在右边作出将它们进行合成的矢量平行四边形，并求出合力F 的大小。
【答案】8.7N
【解析】
按标度和角度要求，准确作出两力合成的矢量平行四边形如图所示
量得表示合力的对角线长约4.35cm，则合力大小约为8.7N
【说明】由于打印缩放问题，本图打印出来后，长度甚至角度可能会有变化
▲作图要求：
（1）工具作图：理论上讲，随手画不出直线、圆（圆弧）、抛物线、双曲线等，必须使用工具作
图
（物理图形图象必须使用工具作图，除非是任意曲线无法使用工具）
（2）图形准确：用尺规作图或“平移法”作平行对边；线段长度及方向（夹角）都要力求精确
（3）虚实有别：熟悉几何作图的四种基本线条
①粗实线：图形的主体，如物体的外轮廓、电路图中的元件及导线、实际光线、函数图线，等等
②细实线：一般用作标注线（端线及双向箭头线，圆的半径等）、光路图中的法线、轴线，等等
③虚线：一般有两种用途，一是作辅助线，二是立体图形中后方被挡住的线（体现立体感）
④点画线：一般作对称轴、转动轴
（4）箭头到位：线段可以画长些，但箭头号位置必须精确（起点到箭头号末端长度表示矢量大
小）
2．三角形（多边形）定则
▲因平行四边形由两个全等的三角形组成，可将矢量平行四边形简化为矢量三角形，如下左图所示
▲多个矢量合成，也可用矢量多边形方法，如上右图所示
▲矢量合成的三角形、多边形定则：对多个矢量进行合成时，可将各个矢量顺次首尾相连，则从第
一个矢量的起点指向末一个矢量的终点，就是它们的合矢量。
60°
F1 ＝4N
F2 ＝
6N
2cm
3cm
4.35cm
F ＝8.7N
F1
F2
F
F1
F2
F
F1
F2
F
F1
F2
F3
F
F1
F2
F3
F
F1
2
①对多个矢量用多边形定则进行合成，各矢量的合成顺序对合成结果无影响；
②若最后一个矢量的终点与第一个矢量的起点重合而构成一个闭合图形，则这些矢量的合矢量为零。
【例2】一物体受三个共点力F1、F2、F3的作用，表示这三个力的矢量刚好
构成如图所示的闭合三角形，则这三个力的合力为（ ）
A．0
B．2F1
C．2F2
D．2F3
【答案】D
【解析】
F1与F2是首尾相连的，它们的合力F12＝F3，所以三个力的合力为2F3，D 正确
3．余弦定理
两共点力F1、F2的夹角为θ，则它们的合力大小
合力F 与分力F1方向的夹角α：
（三）合力大小范围问题
1．合力大小与夹角
【例3】两个共点力F1、F2的夹角为θ，合力为F，则下列说法正确的是（ ）
A．若仅增大θ，则F 可能增大
B．若仅增大F1，则F 一定增大
C．若仅减小F1，则F 的大小一定改变
D．F 一定小于或等于F1和F2的代数和
【答案】D
【解析】
A．合力
，若仅增大θ，cosθ 减小，则F 减小，故A 错误；
B．若θ＝180°，仅增大F1，则F 有可能会减小，故B 错误；
C．若θ 为钝角，如图所示，仅减小F1，则F 的大小可能不改变，故C 错误；
D．由力的合成方法可知，两力合力的范围
所以F 一定小于或等于F1和F2的代数和，故D 正确；
2．两个共点力的合力范围
两共点力F1、F2的合力F 大小范围是：∣F1－F2∣≤F≤F1＋F2
【例4】两共点力F1与F2的合力大小F 随它们的夹角θ 变化的关系如图所示。则F1与F2的
大小分别为 、 。F1与F2的合力最大值为
、最小值为
。
【答案】3N（或4N）、4N（或3N）。7N、1N
【解析】
夹角为
时合力大小为5N，则：
夹角为
时合力大小为1N，则：
F2
F1
F3
F2
F1
F3
F1 与F2 的合
力
F12 ＝F3
F1
F2
F
θ
θ
α
联立解得：
、
，或
、
两力同向时合力最大，为7N；两力反向时合力最小，为1N
【说明】F1与F2两个力，因为不能肯定哪个是3N，哪个是4N，所以填空应该填两种结果
3．多个共点力的合力范围
【例5】有三个共点力大小分别是5N、8N、12N。则它们的合力最大值是 ，最小值是 。
【答案】25N，0
【解析】
多个共点力的合力最大值很好理解，当所有力同向时合力最大，等于各力大小之和，所以
求多个共点力合力的最小值，很多学生很容易出错，往往会有这种思维：5N 与8N 的合力最大值为13N，再与12N
合成，最小值为1N。这种想法，是认为5N 和8N 的两个力一定同向时总合力才最小，这是错误的。
求多个共点力合力的最小值，我们可以按下列两条思路（以三力为例）：
①将表示各力的有向线段顺次首尾相连，看能否构成闭合图形。
以长度分别为5、8、12 的三边可以构成一个闭合三角形，所以合力可以为0，最小值为0
②将其中的两个力合成，看另一个力的大小是否在这两个力的合力大小范围内。
5N 与8N 的合力范围是3N→13N，其中可能为12N，再与另一个12N 的力合成，合力可以为0，总合力最小为0
▲合力不一定大于分力。合力可能比任何一个分力都大，也可能比任何一个分力都小。
（四）力的分解方法
▲高中阶段重点要求掌握力的二分解，少数情况下可能需要进行三分解
1．运算法则：力的分解是力的合成的逆运算，合成时的所有方法与规律对分解都适用
2．分解种数：若无条件限制，一个力可分解为无数对分力，因而进行力的分解时必须要有约束条
件
【例6】已知两个共点力的合力为50N，分力F1 的方向与合力F 的方向成30角，分力F2 的大小为30N。则（
）
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
【答案】C
【解析】
如图所示，
，F 分解为F1与F2有两种可能，只有C 正确
3．分力方向的选定依据主要有以下几点：
①题目要求：怎么要求就怎么分解
②作用效果：一个力产生了哪几种作用效果，就按这几种作用效果进行分解
【例7】如图所示，一直角V 形槽横截面为ABC，棱B 垂直向外水平固定，侧面AB 与水平
面的夹角为θ，槽内有一质量为m 的方形物块。现用水平向外的恒力F 拉着物块在槽内匀速向外
滑动，物块与V 形槽两侧面的动摩擦因数均为μ，下列说法正确的有（ ）
最大值＝各力大小之和（各力方向一致）
最大的力- 其余各力大小之和（最大的力> 其余各力大小之和）
0 （最大的力≤其余各力大小之和）( 以各力大小为长度的边能构成一个闭合的多
边形)
最小值＝
合力F 合
F=50N
F1
F1′
30°
F2
F2′=30N
25
θ
A
B
C
A．F 等于物块受两侧面的摩擦力大小之和B．F 的大小与θ 无关，恒为μmg
C．θ＝45°时F 最大，最大值Fmax＝2μmg
D．θ＝0 与θ＝90°时F 最小，最小值Fmin＝μmg
【答案】AD
【解析】如图所示，将物块的重力沿垂直于V 形槽两侧面方向正交分解
物块对AB 侧面的压力F1＝mgcosθ，受AB 面的摩擦力f1＝μF1＝μmgcosθ（水平向里）
物块对CB 侧面的压力F2＝mgsinθ，受CB 面的摩擦力f2＝μF2＝μmgsinθ（水平向里）
物块匀速向外滑动，则
由此可知选项A 正确，B 错误
由三角函数知识可知，θ＝45°时F 最大，最大值
，选项C 错误
由函数式
可知
的函数图像如右所示，易知D 正确
③运动状态：若物体具有加速度，一般沿加速度方向及加速度的垂直方向进行正交分解
【例8】如图所示，质量为M 的斜面体置于光滑水平面上，其斜面上用平行于斜面的细线连接一个质量为m 的小球，
斜面的倾斜角为θ。为使小球从斜面上飘起来，作用于斜面体上水平向右的力F 至少应为多少？
【答案】
【解析】设加速度为a。将绳对小球的拉力T 沿水平和竖直方向正交分解
水平方向：Tcosθ＝ma
竖直方向：Tsinθ＝mg
联立解得：
对整体用牛顿第二定律，得
4．力的分解可转化为力的合成进行运算
分解运算往往不符合人们的思维习惯，而分解是合成的逆运算，因而可将分解转化为合成进行运算。
力的合成可表示为：F＝F1+F2（矢量式）（求合力F）
力的分解可表示为：F2＝F-F1（矢量式）（求分力F2）
力的分解式可变为：F2＝F+（-F1）（矢量式），即：可
将F1反向变为（-F1），再将F 与（-F1）进行合成求得F2。
（五）分力大小范围
1．分力大小与夹角
将一个确定的力分解为对称的两个分力，则两分力夹角越大，分力越大（不对称时比较复杂）
2．分力大小范围
【例9】两共点力F1与F2的合力为20N，其中F1＝6N，则F2的最大值为 N，最小值为 N。
【答案】26，14
θ
A
B
C
mg
mgcosθ
mgsinθ
0
45°
mg
μ
2 mg
μ
θ
F
90°
M
F
m
θ
M
F
m
θ
T
Ty
Tx
mg
θ
F1
F
F
F2
-F1
F1
规律与技巧：将合力F 分解为两个分力F1与F2，F2＝F-F1＝F+（-F1）（矢量式），求分力F2的
范围，其实就是求F 与-F1的合力范围。
（六）正交分解法
1．一般步骤：
①选取两个互相垂直的方向作为分解方向（可定为x 轴、y 轴方向）
②将不在这两个方向上的力沿这两个方向进行正交分解
③分别求出这两个方向上的合矢量（如：∑Fx、∑Fy）
④再将上述两个方向上的合力进行合成，或分别在这两个方向上分析处理
【例10】三共点力大小分别为F1＝10N、F2＝10N、F3＝5N，它们的方向关系如图
方格纸中所示，求它们的合力大小。
【答案】13N
【解析】
如图建立直角坐标系将F1、F3正交分解，得
F1x＝8N，F1y＝6N；F3x＝-3N，F3y＝-4N
则：ΣFx＝F1x+F3x＝5N；ΣFy＝F2+F1y+F3y＝12N
总的合力大小
2．两垂直方向的选取原则：尽量使问题的分析处理最为简便
①使尽可能多的力处在这两个方向上
②有加速度时，最好使加速度处在被选取的一个方向上
3．一点说明：正交分解后，Fx在y 轴方向上无作用效果，Fy在x 轴方向上无作用效果，因而正交分
解法最适合于用来分析动力学问题。
【例11】在同一平面内的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N 和15N，
方向如图所示，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求它们的合力。
【答案】大小为38.2N，方向与F1夹角为45°斜向右上方
【解析】用正交分解法求解：
如图建立直角坐标系将力沿x、y 方向正交分解
x 轴和y 轴方向的合力Fx和Fy分别为：
Fx＝F1＋F2cos37°－F3cos37°＝27N
Fy＝F2sin37°＋F3sin37°－F4＝27N
则总的合力：
，
即合力的大小约为38.2N，方向与F1夹角为45°斜向右上方
（七）多个共点力的合成方法
1．平行四边形法（用平行四边形定则依次合成）（麻烦，难度大，一般不用）
2．三角形、多边形法
3．正交分解法
4．分组法（先按各力按大小和方向的特点进行分组，每组的力先合成，再将各组的合力进行合
F1
F2
F3
x
y
O
F1x
F3x
F1y
F3y
F1
F2
F3
y
x
O
F2
F1
F3
F4
37°
37°
2F
3F
4F
5F
6F
F
成）
【例12】六个共面共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，
相邻间夹角均为60°，如图所示，则它们的合力大小是
，
合力方向是 。
【答案】6F，与5F 的那个力方向一致
【解析】将共线的两个力分为一组，共分为3 组
每一组分别求合力，每一组的合力大小均为3F，如右图所示
再次这3 个3F 的力合成，得总合力大小为6F，方向与原5F 的力方向一致
【特别说明】人们生活在一个有方向的三维空间中，矢量的方向，本来是一个很简单的问题
但学生对于方向的描述，却是一大难点！任何一次对任意简单方向的描述，总是有大部分学生说不清、说不对！
对于本题合力方向，不能说“向左偏上60°”（因为这6 个力可能全在水平面内），更不能说东南西北这些方
向（注意：“上北下南、左西右东”，只是画标准地图时的方向规定。绘制地图时，为了让人们一看就知道方向，全世
界统一规定为“上北下南、左西右东”。如果不是按这种规定制图的，则要在地图上标注方向。而画其他图时，没有
“上北下南、左西右东”的规定）。
本题描述合力的方向，应该以原有的6 个力的方向作为参考，而不能自行设定上下左右、水平竖直，或东南西北。
5．特殊关系法
【例13】已知共面的三个力大小F1＝20N，F2＝30N，F3＝40N，方向互成120°
夹角，则它们的合力大小为 ，方向是
。
【答案】
，与F2垂直且与F3成30°角
【解析】
从三个力中各提取一个20N 的力，这三个20N 的力互成120°角，合力为0
剩下的两个力
，
，两者成120°角
再将
与
合成，易得合力大小
，方向与F2垂直且与F3成30°角
【作业】
班次 座次 姓名
1．如图所示，作用在一物体上的三共点力F1、F2、F3恰好构成一封闭的三角形，则它们的合力最大的是（
）
【答案】C
2．五个共点力的大小和方向构成如图所示的正方形，大小F1＝F2＝F3＝F4＝F，F5是正方形
的对角线。下列说法正确的有（ ）
A．这5 个力的合力为0
B．F1、F2的合力与F5等大反向
C．F1、F4的合力大小为2F
D．F1、F5的合力与F3等大反向
【答案】BCD
3．两个大小相等的共点力，当它们的夹角为90°时合力大小为F，则夹角为120°时合力大小为（ ）
A．2F
B．
√2
2 F
C．√2F
D．
√3
2 F
3F
3F
3F
60° 60°
F′3 ＝
20N
F′2 ＝
10N
F
F3 ＝
40N
F2 ＝
30N
F1 ＝20N
F1
F2
F3
A
F2
F1
F3
B
F1
F2
F3
C
F2
F1
F3
D
F1
F2
F3
F4
F5
【答案】B
4．作用在一个物体上的下列几组共点力中，不能使物体做匀速直线运动的有（ ）
A．3N、4N、5N
B．2N、3N、6N
C．4N、6N、9N
D．5N、6N、11N
【答案】B
【解析】2N、3N、6N 的三个力的合力大小范围是1N～11N，合力不可能为0，不能使物体做匀速直线运动，选项B 错
5．一个物块在四个恒力的作用下处于静止状态，其中有两个力的大小分别为6N、8N，若只撤去大小为6N 的力，
物块的加速度大小为3m/s2，若同时撤去大小为6N 和8N 的两个力，则物块的加速度大小可能为（ ）
A．0
B．3m/s2
C．5m/s2
D．8m/s2
【答案】BC
【解析】
若只撤去大小为6N 的力，则剩下三个力的合力大小为6N，根据牛顿第二定律可知，物块的质量为2kg。
若同时撤去大小为6N 和8N 的两个力，则剩下两个力的合力大小在2N 到14N 之间，根据牛顿第二定律可知，物块
的加速度大小范围为1m/s2～7m/s2，BC 正确。
6．两个共点力Fl、F2大小不同，它们的合力大小为F，则（ ）
A．F1、F2同时增大一倍，F 也增大一倍
B．F1、F2同时增加10N，F 也增加10N
C．F1增加10N，F2减少10N，F 一定不变
D．若F1、F2中的一个增大，F 不一定增大
【答案】AD
7．一重力为mg 的物块静止在倾角为θ 的斜面上，根据重力产生的作用效果，可将重力分解为两个分力。已知物块
与斜面间的动摩擦因数为μ，下列对于分解重力的理解，正确的有（ ）
A．重力平行于斜面向下的分力产生下滑效果
B．物块对斜面的压力，就是其重力垂直于斜面向下的分力
C．物块受斜面的摩擦力大小为μmgcosθ
D．物块重力沿斜面向下的分力大小为mgsinθ
【答案】AD
【解析】本题主要是B 选项容易错
物块的重力垂直于斜面向下的分力就只是重力的分力，不是对斜面的压力
从以下几个方面可以说明：
①存在性：物块对斜面的压力F 压是客观存在的，而重力的分力Gy是假想不存在的
②受力物体：压力的受力物体是斜面，而重力的受力物体是物块
③力的性质：压力属于弹力，而重力属于万有引力
C 选项错误的原因：静摩擦力不符合滑动摩擦力公式，摩擦力大小应为mgsinθ
8．己知力F 分解为F1、F2两个分力，如果己知F1的大小及F2与F 的夹角θ，且θ＜90°，则（ ）
A．若F1＜Fsinθ，则F2一定有两个解
B．若Fsinθ＜F1＜F，则F2一定有两个解
C．若F1＜Fsinθ，则F2有唯一解
D．若F1＜Fsinθ，则F2无解
【答案】BD
8．如右是扩张机的原理示意图，A、B 为活动铰链，C 为固定铰链，在A 处作用一水平力F，
滑块就以比F 大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0m，b＝0.05m，F＝400N，滑块与左壁
接触，接触面光滑，则D 受到向上顶的力为（滑块和杆的重力不计）（ ）
A．3000N
B．2000N
C．1000N
D．500N
【答案】B
【解析】将力F 按作用效果沿AB 和AC 两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示
mg
θ
θ
Gx=mgsinθ
F 压
Gy
则有
再将F1按作用效果分解为N 和N′，作出力的分解图如图乙所示
则有
10．按规范化要求作出如图所示的
两共点力合成的矢量平行四边形。
【答案】如图
F
2
F
1
F
F
1
F
2
F
F
1
F
2
F
2
F
1
