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专题02 运动学图像、多过程运动模型及追击相遇
目录
题型一 运动学图像的理解与应用..............................................................................................................................1
类型1 x－t图象与v－t图象的比较.................................................................................................................1
类型2 v-t图像中的曲线问题...........................................................................................................................4
类型3 x-t图像中的曲线问题...........................................................................................................................6
题型二 常见的多过程运动模型................................................................................................................................13
类型1 “0—v—0”运动模型..............................................................................................................................13
类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型.................................................................................................14
类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题.....................................................................................16
类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题..................................................................................................17
类型5 三倍加速度运动模型............................................................................................................................19
题型三 追及相遇问题.................................................................................................................................................21
类型1 变速物体追匀速物体............................................................................................................................22
类型2 变速物体追变速物体............................................................................................................................22
类型3 体育赛事中的追及问题........................................................................................................................24
类型4 图像法在追及相遇问题中的应用.......................................................................................................25
类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题.......................................................................................................27
题型一 运动学图像的理解与应用
【解题指导】1．x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹.
2. x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇.
3. v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速
度方向不变.
4. v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移．图线在t轴上方，表示位移为正；
图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和.
5.有些特殊图像，比如v2－x图像、－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，
转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量．
类型1 x－t图象与v－t图象的比较
x－t图象 v－t图象
图象
举例
倾斜直线表示匀速直线运动；曲线表 倾斜直线表示匀变速直线运动；曲线表
意义
示变速直线运动 示变加速直线运动
特别处 两条图线的交点表示相遇 图线与时间轴所围面积表示位移运动 甲做匀速直线运动，乙做速度逐渐减 丙做匀加速直线运动，丁做加速度逐渐
情况 小的直线运动 减小的变加速直线运动
位移 0～t 时间内甲、乙位移相等 0～t 时间内丁的位移大于丙的位移
1 2
平均 0～t 时间内丁的平均速度大于丙的平均
0～t 时间内甲、乙平均速度相等 2
速度 1 速度
【例1】（2024·全国·高考真题）一质点做直线运动，下列描述其位移x或速度v随时间t变化的图像中，
可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2024·河南·模拟预测）如图所示，甲、乙两个图像分别表示四个物体沿同一直线的运动情况， 、
为直线， 、 为曲线， 末， 、 物体图线的斜率分别与 、 物体图线的斜率相同，下列说法正确
的是（ ）
A． 末， 、 两物体的速度相等， 、 两物体的加速度相等
B． 、 在 末相遇， 、 也在 末相遇
C． 、 两物体在 内的平均速度相等
D．四个物体的运动方向一直都相同【变式演练1】（2024·辽宁·二模）某场冰壶比赛中，投掷出的冰壶沿直线运动，运动员通过刷冰使冰壶在
逐渐减小的摩擦力作用下停到指定位置。能正确反映该过程中冰壶的位移x、速度v、加速度a随时间t变
化规律的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【变式演练2】物体甲的 图像和物体乙的 图像分别如图所示，则这两物体的运动情况是（ ）
A．甲在整个 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m
B．甲在整个 时间内有来回运动，它通过的总位移为零
C．乙在整个 时间内有来回运动，它通过的总位移为零
D．乙在整个 时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4m
【变式演练3】如图所示，甲图是x-t即位置与时间图像，乙图是v-t图像，图中给出的四条曲线1、2、3、
4，分别代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是（ ）
A．两图像中，t、t 时刻分别表示物体2、物体4已经向负方向运动
2 4
B．两图像中，物体1和物体2在t 时刻相遇，物体3和物体4在t 时刻相遇
1 3C．x-t图像中0至t 时间内物体1和物体2的平均速度相等
1
D．v-t图像中0至t 时间内物体3和物体4的平均速度相等
3
类型2 v-t图像中的曲线问题
v v v v
v 2 v 2 变加速 v 1 变减速 v 2 匀减速
匀加速
匀减速
变加速 匀加速 v 变减速
v v 2 v
1 1 1
O O O O
t t t t t t t t
0 0 0 0
¯v<(v+v)/2 ¯v>(v +v)/2 ¯v>(v+v)/2 ¯v<(v+v)/2
1 2 1 2 1 2 1 2
加速度增大 加速度减小 加速度增大 加速度减小
曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动
【例1】甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t 的时间内，它们的v一t图像如图所示。在
1
这段时间内（ ）
A．汽车甲的平均速度比乙的小
B．汽车甲的平均速度大于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐增大，汽车乙的加速度大小逐渐减小
【例2】刚刚结束的奥运会上，广东小将全红婵（图甲）以总分466.2分打破世界纪录，获得跳水单人十米
台金牌。自运动员离开跳台开始计时到完全落入水中，其速度随时间变化情况可简化如图乙，选向下为正
方向，下列结论正确的是（ ）A．0-t 为空中运动时间，速度始终向下
2
B．t-t 内的加速度比在t-t 内加速度大
1 2 2 3
C．在0-t 内，平均速度等于
1
D．在t-t 内，平均速度
2 3
【变式演练1】如图甲运动员从离开跳板开始计时，其重心的 图像如图乙所示，不计空气阻力，则下
列说法正确的是（ ）
A．运动员在空中做的是自由落体运动 B．运动员在 时，刚好到达最高点
C．运动员在水中的加速度逐渐增大 D．运动员双脚离开跳板后重心上升的高度为
【变式演练2】在抗击“新冠”疫情期间，为了保障百姓基本生活，许多快递公司推出了“无接触配送”
即用无人机配送快递（如图1）。某次快递员操作无人机竖直向上由地面向10楼阳台配送快递，无人机飞
行过程的v-t图像如图2所示，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）A．0~t 时间内，无人机做匀加速直线运动 B． 时间内，无人机的平均速度小于
1
C．t 时刻，无人机仅受重力作用 D．t-t 时间内，无人机的机械能增加
3 1 2
类型3 x-t图像中的曲线问题
瞬时速度
x
x
1
x
2
平均速度
O t t t
1 2
(1)一般曲线
①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动；
②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度；
③注意路程和位移区别。0~t，路程等于位移大小(x)；0~t，路程(2x-x )大于位移大小(x)。
1 1 2 1 2 2
（2）抛物线
x x
x
3 x
0
x
2
x
1
O O
1 2 3 t 1 2 3 4 t
匀加速直线运动 匀减速直线运动
①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速；
②加速度用逐差法计算：(x-x)-(x-x)=aT2；
3 2 2 1
③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v=(x-x)/2T。
2 3 1
【例1】在水平面上做匀减速直线运动的质点通过O、A、B三点的过程中，其位移随时间变化规律 图
像如图所示。则质点（ ）A．从O点运动到B点过程的平均速度为
B．通过A点时的速度为
C．加速度为
D．从A点运动到B点，速度的变化量为
【变式演练1】蹦极是一项深受年轻人喜爱的极限运动。为了研究蹦极运动过程，做以下简化（如图甲）：
将游客视为质点，他的运动始终沿竖直方向。弹性绳的一端固定在O点，另一端和游客相连。游客从O点
开始下落到最低点的过程中，位移－时间（ ）图像如图乙所示，其中 为游客速度最大的时刻， 为
游客运动到最低点的时刻，空气阻力不计。下列说法正确的是（ ）
A． 时刻游客的加速度大小为gB． 时刻游客的加速度为0
C．0~ 时间内游客做自由落体运动
D． ~ 时间内游客所受合力的大小逐渐变大
【变式演练2】某同学在百米赛跑过程中，其位移 随时间 变化的关系可简化为如图所示的图像，其中
Oa段为抛物线，ab段为直线，根据该图像，关于 时间内该同学的运动，下列说法正确的是（ ）
A．加速度逐渐增加
B．速度最大值为
C． 时间内加速度的大小为
D． 时间内平均速度的大小为
【变式演练3】一质点做匀变速直线运动，其运动的位移-时间图像如图所示， 为图像上一点。
为过 点的切线，与 轴交于点 。则下列说法正确的是（ ）A． 时刻，质点的速率为 B． 时刻，质点的速率为
C．质点的加速度大小为 D．质点的加速度大小为
类型四 非常规运动学图像
1．四类图象
(1)a－t图象
由v＝v＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示．
t 0
(2)－t图象
由s＝vt＋at2可得＝v＋at，图象的斜率为a，如图乙所示．
0 0
(3)v2－s图象
由v2－v2＝2as可知v2＝v2＋2as，图象斜率为2a.
t 0 t 0
(4)s－v图象
s与v的关系式：2as＝v2－v2，图象表达式：s＝v2－v2.
0 0
2．解题技巧
(1)用函数思想分析图象：
图象反映了两个变量(物理量)之间的函数关系，因此要由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来
分析图象的意义．
(2)要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图象类题型的解题准确率和速度．
【例1】（2024·山东烟台·三模）在非洲的干旱草原和半沙漠地带有一种猫科动物狞猫，狞猫跳跃能力极强，
奔跑速度快，能捉降落或起飞时的鸟类。某次狞猫在捕食树上的鸟时，先慢慢趴低身体，使身体贴近地面，
然后突然蹬地向上加速，重心上升后离地向上运动，狞猫在离开地面前，其加速度a与重心上升高度h的
关系如图所示，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2，则狞猫离地后重心上升的最大高度为（ ）
A．1.5m B．3m C．4.5m D．6m【例2】．（2024·四川·模拟预测）无人驾驶汽车制动过程分为制动起作用阶段和持续制动阶段，制动起作
用阶段，汽车的加速度大小随时间均匀增大，持续制动阶段，汽车的加速度大小恒定。如图为某次试验中，
无人驾驶汽车制动全过程的加速度随时间的变化关系图像，若汽车的初速度v=12.9m/s，则持续制动阶段
0
的位移为（ ）
A．13.9m B．12.9m C．12m D．11m
【例3】．一个物体沿直线运动，从 时刻开始， 的图像如图所示，图线与纵坐标交于 ，与横坐
标交于 ，横坐标 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 时刻，物体运动的方向改变
B．在 时刻，物体运动的加速度方向改变
C．在0到 时间间隔内，物体的位移为0
D．在 到 时间间隔内，物体的位移为
【例4】（2024·山东济宁·三模）智能寻迹小车目前被应用于物流配送等多个领域，为测试不同寻迹小车的
刹车性能，让它们在图甲中A点获得相同的速度，并沿直线AB刹车，最终得分为刹车停止时越过的最后
一条分值线对应的分数，每相邻分值线间距离为0.5m。某小车M测试时恰好停止于100分分值线，该车的
位移和时间的比值 与t之间的关系图像如图乙所示，小车均可视为质点。下列说法正确的是（ ）A．小车M刹车过程中加速度大小为
B．A点距100分分值线的距离为2m
C．1s时小车M的速度为
D．若某小车恰好匀减速停止于96分分值线，则该车的加速度大小为
【例5】（2024·贵州遵义·一模）某物理探究组成功发射了自己制作的小火箭，该火箭竖直发射升空过程可
分为AB和BC两个阶段，火箭速度的平方（ ）与位移（x）关系图像如图所示，不计空气阻力，重力加
速度g大小取 ，下列说法正确的是（ ）
A．该火箭先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀减速直线运动
B．该火箭在BC段运动的时间为4s
C．该火箭在BC段受到的反冲力为其所受重力的0.2倍
D．该火箭在AB阶段的平均速度大于12m／s
【变式演练1】如图甲所示，运动员在进行蹦床比赛，取向上为正方向，运动员离开蹦床后的 图像如
图乙所示，运动员可视为质点，取重力加速度大小 ，则下列叙述正确的是（ ）A．运动员离开蹦床后加速度大小为
B．运动员在 时的速度大小为
C．运动员离开蹦床前的过程中，速度最大值是
D．运动员在最高点的速度为零，只受重力的作用
【变式演练2】放在水平面上的物体，在力F作用下开始运动，以物体静止时的位置为坐标原点，力F的
方向为正方向建立x轴，物体的加速度随位移的变化图象如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．0～x 过程中物体做匀加速直线运动，x～x 过程中物体做匀减速直线运动
2 2 3
B．0～x 段，物体的运动的时间
2
C．位移为x 时，物体的速度达到最大
2
D．物体的最大速度为
【变式演练3】．“加速度的变化率”可以表示加速度随时间变化的快慢。汽车加速度的变化率越小，乘
客舒适感越好。某汽车由静止启动，前3s内加速度随时间的变化关系如图所示，则（ ）
A． 内汽车做匀加速运动
B．加速度变化率的单位为C．第3s末，汽车速度达到
D．乘客感觉 内比 内更舒适
【变式演练4】一物体做直线运动，0时刻位于坐标原点，运动过程中的 图像如图所示，一段过程中
纵坐标的变化量为m，对应的横坐标变化量为n，且这个过程对应的时间间隔为 ，这段过程的末时刻与
0时刻的时间间隔为 ，则（ ）
A．物体做匀加速直线运动，加速度等于
B．从零时刻开始，第一个 内位移大于
C．零时刻速度为
D． 内位移为
题型二 常见的多过程运动模型
类型1 “0—v—0”运动模型
v
v
0
a
1 a
2
O t 1 t 2 t
1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式：①速度公式 推导可得：
②速度位移公式 推导可得：
③平均速度位移公式 推导可得：
位移三个公式： ； ；
2.
【例1】【多选】水平桌面上，一质量为m的物体在水平恒力F拉动下从静止开始运动，物体通过的路程
等于 时，速度的大小为 ，此时撤去F，物体继续滑行 的路程后停止运动，重力加速度大小为g，则
（ ）
A．在此过程中F所做的功为
B．在此过中F的冲量大小等于
C．物体与桌面间的动摩擦因数等于
D．F的大小等于物体所受滑动摩擦力大小的2倍
【变式演练1】2023年江苏利用5G融合通信网，让传统采煤矿车变身“智慧矿车”，确保地下工作人员
安全。地下矿井中的矿石装在矿车中用电机通过竖井送至地面，某竖井中矿车上升的速度大小v随时间的
变化关系如图所示。已知载有矿石的矿车总质量为 ，上升的高度为 ，上升过程中所受的
阻力为自身重力的0.2倍，重力加速度大小为 ，求：
（1）0~6s内，矿车的最大速度 ；
（2）4s~6s内，电机拉力大小F；
（3）0~6s内，电机拉力的最大功率 。【变式演练2】甲、乙两辆车沿平直公路行驶，从A地到B地，乙车以速度v 匀速行驶，用时t；甲车从
0 0
静止开始先以加速度大小a 加速到v ，所用时间为t，再以加速度大小a 减速到0，所用时间为t，总共
1 max 1 2 2
用时也为t。则下列关系式正确的是（ ）
0
A． B． C． D．
【变式演练3】图甲所示为一种自动感应门，其门框上沿的正中央安装有传感器，传感器可以预先设定一
个水平感应距离，当人或物体与传感器的水平距离小于或等于水平感应距离时，中间的两扇门分别向左右
平移。当人或物体与传感器的距离大于水平感应距离时，门将自动关闭。图乙为该感应门的俯视图，O点
为传感器位置，以O点为圆心的虚线圆半径是传感器的水平感应距离，已知每扇门的宽度为d，运动过程
中的最大速度为 ，门开启时先做匀加速运动而后立即以大小相等的加速度做匀减速运动，当每扇门完全
开启时的速度刚好为零，移动的最大距离为d，不计门及门框的厚度。
（1）求门从开启到单扇门位移为d的时间 ；
（2）若人以 的速度沿图乙中虚线AO走向感应门，人到达门框时左右门分别向左向右移动的距离不小
于 ，那么设定的传感器水平感应距离R至少应为多少？
【变式演练4】一质量为m的物块在大小为F的水平拉力作用下，从静止开始沿水平面运动距离x后撤掉
F，又运动了3x后停下。已知接触面粗糙程度不变，重力加速度为g，求：
（1）物块运动的总时间；
（2）若水平拉力F增大为原来的两倍，物块仍通过4x的距离后停止，拉力作用时间？类型2 先减速为为0，后原路返回运动模型
v
v
1
a
1
O t 1 t 2 t
a
v 2
2
（1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。
（2）位移三个公式：位移公式 ；速度位移公式 ；
平均速度位移公式
① ；② ③
；
（3）三个比例式：
【例2】【多选】一质量为m的物体自倾角为 的固定斜面底端沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动
能为 ，向上滑动一段距离后速度减小为零，此后物体向下滑动，到达斜面底端时动能为 。已知
，重力加速度大小为g。则（ ）
A．物体向上滑动的距离为
B．物体向下滑动时的加速度大小为
C．物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D．物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
【变式演练1】如图甲所示，一物块从倾角为 的斜面底端以一定的初速度沿足够长的斜面上滑，其运动
的速度一时间图像如图乙所示，2t 时刻速度减为零，5t 时刻回到出发点。则下列说法正确的是（ ）
0 0A. 物块返回斜面底端时的速度大小为
B. 物块返回斜面底端时的速度大小为
C. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
D. 物块与斜面之间的动摩擦因数为
【变式演练2】海洋馆中一潜水员把一质量为m的小球以初速度 从手中竖直抛出，从抛出开始计时，
时刻小球返回手中，小球始终在水中且在水中所受阻力大小不变，小球的速度随时间变化的关系图像如图
所示，重力加速度大小为g，则小球在水中竖直下落过程中的加速度大小为（ ）
A． B． C． D．类型3 先匀速，后减速运动模型---反应时间问题
v
v
0
a
x
1
x
2
O t 1 t
总位移
【例3】无人驾驶汽车通过车载传感系统识别道路环境，自动控制车辆安全行驶。无人驾驶有很多优点，
如从发现紧急情况到车开始减速，无人车需要0.2s，比人快了1s。人驾驶汽车以某速度匀速行驶，从发现
情况到停下的运动距离为44m，汽车减速过程视为匀减速运动，其加速度大小为 。同样条件下，
无人驾驶汽车从发现情况到停下的运动距离为（ ）
A. 24m B. 26m C. 28m D. 30m
【变式演练1】（2024·湖南·模拟预测）现有一辆小汽车以 的速度匀速驶向路口，当行驶至车头距路
口斑马线 处时，司机发现有人正沿前方斑马线横穿马路，司机经过 时间做出反应，随后开始刹车刚
好在斑马线处停下，全过程的 图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．小车刹车时的加速度为
C．汽车 内的平均速度为 D．汽车停车前最后 发生的位移是
【变式演练2】一辆质量为m的货车以速度 在平直公路上做匀速直线运动。司机突然发现正前方有障碍
物，司机反应过来后立即紧急刹车，刹车过程中货车受到的阻力大小恒为 。已知司机的反应时间为 ，反应时间内车匀速行驶。
（1）求从司机发现障碍物到车停下来货车前进的距离 ；
（2）安全驾驶人人有责，为防止发生交通事故，请通过分析第（1）问中影响货车前进距离 的因素，给
货车司机提出两条安全驾驶的建议（写出给出的建议的依据，只给建议不写依据不得分）。
【变式演练3】如图所示，一辆匀速行驶的汽车即将通过路口，在距离停车线 处时，司机发现信号灯
由绿灯变为黄灯，经 反应时间后，开始刹车，汽车做匀减速运动，在黄灯闪烁的 末，汽车恰好停
在停车线处。则汽车匀速行驶的速度大小为（ ）
A． B．
C． D．
类型4 先加速后匀速运动模型----限速问题
v
v
0
a
O t t
加速时间 ；加速距离
匀速时间 ；匀速距离
总位移【例4】（2024·河北·三模）某游泳运动员在 时间内运动的 图像如图所示。关于该运动员，下列
说法正确的是（ ）
A．在 内所受的合力一直不为0
B．在 内的位移大小为
C．在 内一定处于超重状态
D．在 内的位移大小为
【变式演练】中国高铁向世界展示了中国速度和谐号和复兴号高铁相继从沈阳站点由静止出发，沿同一方
向做匀加速直线运动。两车运动的速度一时间图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．复兴号高铁追上和谐号动车前， 时两车相距最远
B．复兴号高铁经过95s加速达到最大速度
C． 时，复兴号高铁追上和谐号动车
D．复兴号高铁追上和谐号动车前，两车最远相距4900m
类型5 三倍加速度运动模型
v
v
1
a -a
1 2
O t 1 t 2 t
-v
2（1）特点：初速度为零，两段总位移为零。
（2）位移两个公式： ；
（3）特殊结论：若 ,则有 ,
【例5】物体从A点由静止开始做加速度大小为 的匀加速直线运动，经时间t到达B点，速度大小为 ，
这时突然改为做加速度大小为 的匀减速直线运动，又经过时间t回到A点，速度大小为 ，求： 和
。
【变式演练1】如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，质量为m的物块在沿斜面向上的恒力作
用下由静止开始运动，经时间t后撤去恒力作用，再经3t时间后物块恰好返回起点。已知重力加速度为
g，求：
（1）恒力的大小？
（2）物块返回起点时的速度大小？
（3）物块沿斜面向上运动的最远点与起点间的距离？
【变式演练2】如图所示，在水平地面上固定一个倾角为 的绝缘光滑斜面体，斜面体底端连接有挡
板，有一个电荷量为q、质量为m的滑块静止于挡板处，某时刻加一沿斜面方向的匀强电场，使得滑块沿
斜面方向运动，经历t时间后撤去电场，接着又经历相同的时间，滑块回到挡板位置处。不计空气阻力，
已知重力加速度为g，求：
（1）电场强度的大小；
（2）滑块距挡板的最远距离。【变式演练3】如图所示，静置于光滑斜面（倾角为 ）的质量为m的物块，受到沿斜面方向的恒力F的
作用，作用时间t后撤去F，再经时间 后刚好返回起点，则（ ）
A．F与 的比应该为3比7
B．F与 的比应该为9比5
C．F与 的比应该为7比3
D．F与 的比应该为2比3
【变式演练4】一质点从A点做初速度为零、加速度 的匀加速直线运动，经过一段时间后到达B点，此
时加速度突然反向，大小变为 ，又经过同样的时间到达C点。已知 、 的距离为 、 的距离的一半，
则 与 的大小之比 可能为（ ）
A． B． C． D．
题型三 追及相遇问题
【解题指导】1．(1)“慢追快”型：v ＝v 时，Δx最大．追匀减速运动的机车时，注意要判断追上时前车
后 前
是否已停下．(2)“快追慢”型：v ＝v 时，Δx最小，若此时追上是“恰好不相撞”；若此时还没追上就追
后 前不上了；若此之前追上则是撞上.
2. 在已知出发点的前提下，可由v－t图像“面积”判断相距最远、最近及相遇等情况.
3.基本解题思路是：利用速度相等找位移关系．
【必备知识与关键能力】
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断
问题的切入点。
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的
突破口。
2.临界法
寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大
者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。
3.函数法
设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这
两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。
4.图像法
(1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，
则说明两物体相遇。
(2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。
5.特别提醒
若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
类型1 变速物体追匀速物体
【例1】小强同学在上学途中正沿平直人行道以 的速度向公交站台走去时，发现质量
的公交车以 的速度从身旁平直公路同向匀速驶过，此时他们距站台的距离
。为了乘上该公交车去学校，小强开始尽全力加速向前跑去，其最大加速度为 ，能达到的最大速度 。假设公交车刹车时受合力大小恒为 ，且刹车后刚好到站台停下，不
计车长。求：
（1）公交车刹车过程合力所做的功；
（2）公交车在站台至少停多久小强才能赶上公交车。
【变式演练】在某次军事演习中，歼击机以 的恒定速度追击前面同一直线上匀速飞行的无人靶
机。当两者相距 时；歼击机发射一枚导弹，导弹脱离歼击机后沿水平方向做加速度为
的匀加速直线运动， 时击中无人靶机并将其击落。已知发射导弹的时间不计，发射导弹
对歼击机速度无影响。求：
（1）无人靶机被击中前飞行的速度大小；
（2）导弹飞行过程中与无人靶机的最大距离；
（3）若导弹击中无人靶机后，歼击机须尽快到达无人靶机被击落的空中位置且要求歼击机到达时速度为
零继而悬停在空中。已知歼击机以最大加速度加速 后达到最大速度 ，且歼击机加速和
减速过程最大加速度大小相等，忽略歼击机从发现导弹击中无人靶机到开始加速的反应时间，求从导弹击
中无人靶机至歼击机到达无人靶机所在位置的最短时间。（结果保留3位有效数字）
类型2 变速物体追变速物体
【例】 时，静止在笔直公路上相距101m的甲、乙两辆汽车同时开始相向行驶。甲车加速度大小为
，乙车加速度大小为 。行驶3s后，乙车减速，速度减为零时掉头行驶，减速及掉头时的加速
度大小相同为 ，忽略乙车掉头所用时间。甲车允许行驶的最大速度为20m/s，乙车允许行驶的最大
速度为15m/s，两车达到最大速度后开始以最大速度匀速行驶。求：（1）乙车减速至速度为零时，两车间的距离；
（2）甲车追上乙车时，甲车的位移；
（3）若甲车以最大速度行驶10s时，两车都开始减速，甲减速的加速度为 ，乙减速的加速度为
，判断两车是否会再相遇，若不可以请给出分析过程；若可以，求从开始运动到再次相遇时甲运动
的时间。
【变式演练】如图，一小汽车停在小山坡底部，突然司机发现山坡上距坡底x=60m处，因地震产生的小
1
泥石流以v=4m/s的初速度、a=0.4m/s2的加速度匀加速倾斜而下，泥石流到达坡底后以a=0.3m/s2的加速
0 1 2
度沿水平地面做匀减速直线运动，司机从发现险情到发动汽车共用了t=2s，设汽车启动后一直以
0
a=0.5m/s2的加速度，沿与泥石流的同一直线做匀加速直线运动。求：
3
（1）泥石流到达坡底速度的大小；
（2）泥石流与汽车相距的最近距离。
【变式演练2】小明和小强玩遥控赛车，他们让两个小车在同一直线上沿同一方向匀速运动，小明的车在
前，速度为2m/s，小强的车在后，速度为5m/s。当两小车相距3m时小明和小强同时开始刹车，两玩具车
刹车过程均可视为匀变速运动，已知小明的玩具车刹车时加速度大小为1 。
（1）如果小强的玩具车刹车的加速度大小为2.5m/s2，求两车的最小距离；
（2）如果两玩具车相距5m时开始刹车，小强的玩具车刹车的加速度大小为2 ，求整个过程两车的距
离s与时间t的关系。
【变式演练3】一列火车和一辆汽车沿同一方向做匀变速直线运动，速度分别为v 和v。t=0时刻，火车在
1 2
汽车前方26m处，此后v、v 在各个时刻的大小如表所示。根据表格中的数据，通过计算求：
1 2
（1）经过多长时间两车相遇？
（2）两车初始间距满足什么条件可以相遇两次？
t/s 0 1 2 3 4 5
v/m•s-¹ 16.0 14.0 12.0 10.0 … …
1
v/m•s-¹ 4.0 5.0 6.0 7.0 … …
2类型3 体育赛事中的追及问题
【例4】国庆前，不少学校都举行了秋季运动会。新规则下，4×100米接力跑的接力区由原来的20米改为
30米，即原来接力区始端外的10米预跑区也变成了接力区。比赛过程中，接棒者可以在接力区内前10米
内起跑，但必须在接力区内里完成交接棒，“接力区内”的判定是根据接力棒的位置，而不是根据参赛者
的身体或四肢的位置。甲、乙两同学在直跑道上进行交接棒接力训练，他们在奔跑时有相同的最大速度
10m/s，乙从静止开始全力奔跑需跑出30m才能达到最大速度，这一过程可看做是匀加速直线运动。现在
甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区始端伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑的速度达到最大速度的
90%，以后便以此速度匀速跑出接力区，则：
（1）甲、乙交接棒的位置距离接力区末端的距离是多少；
（2）甲在距离接力区始端多远处向乙发出加速口令；
（3）若乙在接力区始端傻傻地站着接棒，接到棒后才从静止开始全力奔跑，这样会浪费多少时间。
【变式训练1】如图，短道速滑接力比赛时，“交棒”的运动员在到达接力地点时，需要推送一下前面
“接棒”的队友以完成接力。在某次直道交接训练中，质量为50kg的队员甲以 的速度匀速向质
量为60kg的队员乙滑来，当甲运动到P点时，乙从Q点开始滑动，乙起滑后到交接前的运动可看做匀加
速直线运动，其加速度大小为 ，甲、乙两人在M点完成交接，交接时间很短。交接前瞬间乙的
速度大小是甲的 ，交接后乙的速度大小为14.6m/s。队员甲完成推送后在水平直道上自然向前滑行了
，直至撞上缓冲垫后停下，此过程甲与冰面间的动摩擦因数为 ，重力加速度的大小g取
10m/s2。求：
（1）在直道上，乙在距甲多远的距离处开始滑动；（2）队员甲撞上缓冲垫时的速度大小。
【变式演练2】4×100米接力中的交接棒过程会直接影响比赛成绩。甲、乙两名运动员在直跑道上进行交
接棒训练，某次训练中，甲在距离接力区前端x=24m处向乙发出起跑口令，并以10m/s的速度跑完全程，
0
乙在接力区前端听到起跑口令后立即起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。已知乙在起跑加速阶段的第4s内
通过的距离为7m，乙从起跑到接棒前做的是匀加速直线运动，接力区的长度为L=20m，求：
（1）乙加速阶段的加速度大小及交接棒时乙的速度大小；
（2）为使甲、乙在速度相等时完成交接棒且保证交接棒时的位置距接力区前端16m，求甲在距离乙多远
时发出起跑口令及乙起跑时与接力区前端的距离。
【变式演练3】重庆市某学校成功举行了秋季田径运动会，高-16班同学小王和小杨在赛前进行了
接力赛交接棒的练习。小王、小杨两位同学分别为第四棒和第三棒，小王一小段加速后能保持 的速
度跑完全程，小杨也能以 的速度接力跑，但由于体力原因，离接力区8.5m时，开始以 的加速
度做匀减速运动，进入接力区后做匀速运动。两人为了确定小王起跑的时机，需在接力区前适当的位置设
置标记。在某次练习中，小杨在距离接力区前端d处作了标记，当小杨跑到此标记时向小王发出起跑口令，
此后小杨在接力区恰能在两人速度相同时追上小王完成交接棒。已知小王在接力区的前端听到口令且有
0.1s的反应时间（忽略声音传播的时间），接力区的长度为 ，小王起跑后以 的加速度做匀加
速运动（练习时两人均做直线运动）。求：
(1)小杨追上小王时，小杨的速度大小及此时小王离接力区末端的距离；
(2)标记处离接力区的距离d。
类型4 图像法在追及相遇问题中的应用
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进
行分析．
【例1】（2024·河北·二模）甲、乙两车（均可视为质点）在平直公路上沿两平行车道同向行驶，两车运动
的v-t图像如图所示。已知t=0时甲车在乙车前面30m处，在t=6s时两车恰好相遇。下列说法正确的是（
）
A．图中t 时刻两车相距最近
1
B．图中t 等于
1
C．图中的v 与v 之差等于16m/s
2 1
D．乙车比甲车的加速度大3m/s2
【例2】．甲、乙两个质点从同一位置沿同一方向做直线运动，运动的位移随时间变化的图像如图所示，
质点甲做初速度为零的匀加速直线运动，质点乙做匀速直线运动，两图像相切于P点，下列说法正确的是
（ ）
A．质点甲运动的加速度大小为
B． 的值为4.5s
C．甲、乙两质点相遇前的最大距离为6m
D．从两质点相遇开始，两质点间的距离与相遇后运动的时间平方成正比
【例3】． 、 两质点沿直线 轴正方向运动， 时，两质点同时到达坐标原点 ，测得两质点在之
后的运动中，其位置坐标 与时间 的比值（平均速度）随时间 变化的关系如图所示，以下说法正确的是（ ）
A．质点 由静止开始做匀加速运动，质点 做匀加速直线运动
B．质点 做匀加速运动的加速度为
C． 时， ， 第1次相遇
D．质点 ， 有可能第2次相遇
（23-24高一下·广东河源·期中）如图所示为无人驾驶汽车A、B在同一场地同时测试时获得的速度v随时
间t变化的部分图像，其中汽车A的图线为直线。关于汽车A、B在该路段的测试，下列说法正确的是（
）
A．汽车A做直线运动，汽车B做曲线运动
B． 时间内，汽车A的速度一直小于汽车B的速度
C．若汽车A、B在 时刻相遇，则在 时刻一定不相遇
D． 时间内，汽车A的加速度一直小于汽车B的加速度
类型5 运动学中的安全行驶与STSE问题
【例1】（2024·四川泸州·三模）2023年4月17日，AITO问界M5华为高阶智能驾驶版首发，可以实现无
人驾驶。如图所示，车道宽为2.7m，长为12m的货车以v=10m/s的速度匀速直线行驶，距离斑马线20m
1时，一自行车以v=2m/s的速度匀速直线行驶，恰好垂直越过货车右侧分界线，此时无人驾驶轿车车头恰
3
好和货车车尾齐平，轿车以v=15m/s速度匀速直线行驶，轿车紧急制动的加速度大小a=10m/s2。当货车在
2
侧面遮挡轿车雷达波时，自行车需完全越过货车左侧分界线，轿车雷达才能准确探测到前方自行车。则下
列判断正确的是（ ）
A．货车不减速也不会与自行车相撞 B．轿车不减速也不会与自行车相撞
C．轿车探测到自行车立即制动不会与自行车相撞 D．轿车探测到自行车立即制动会与自行车相撞
【变式演练1】如图，在车厢长度 的小货车上，质量 、厚度 的冰块用绳绑住并
紧贴车厢前端，与货车一起以 的速度沿坡度为5%（即斜面倾角θ满足 ， ，
）的斜坡向上行动。 某时刻，冰块从绑住的绳间滑脱并沿车厢底部滑向尾部，与尾挡板发生碰撞
后相对车厢等速反弹；碰撞后，司机经过 的反应时间，开始以恒定加速度a刹车。 已知冰块与车
厢底板间动摩擦因数 ，设冰块与尾挡板碰撞前后，冰块没有破碎，车厢的速度变化可以忽略；取
重力加速度 。
（1）求从冰块滑脱，到司机开始刹车的这段时间内，小货车行驶的距离；
（2）若刹车过程，冰块恰能滑至初始位置且与车厢前端不发生碰撞，求a的最大值。
【变式演练2】某天大雾弥漫，能见度很低，甲、乙两辆汽车同向行驶在同一平直公路上，甲车在前，乙
车在后，甲车的速度 ，乙车的速度 ，当乙车行驶到距甲车 时，驾驶员发现了前方的甲车，设两车驾驶员的反应时间均为 。
（1）若乙车的驾驶员发现甲车后经反应时间 后立即刹车做匀减速运动，加速度大小 ，当两
车相距最近时，求乙车在该过程发生的位移大小。
（2）若乙车的驾驶员发现甲车后经反应时间 后，仅采取鸣笛警告措施，甲车驾驶员听到鸣笛后经反应
时间 后立即做匀加速运动，为了防止相撞，求甲车加速运动的最小加速度的大小 （声音的传播时间忽
略不计）。
【变式演练3】某市开展礼让行人活动，要求在没有信号灯的路口，一旦行人走上人行道，机动车车头便
不能越过停止线。如图所示一辆家用轿车长度 ，正以 的速度行驶，车头距停止线的距离
为 ，人行道宽度为 。距离人行道为 的行人以 的速度匀速走向长度为
的人行道，停止线到人行道的距离可忽略。
（1）若行人与轿车均未发现对方，均做匀速运动，求两者能否相遇；
（2）若轿车立即以恒定的加速度 加速，求是否违反要求；
（3）若轿车以恒定的加速度 减速，要保证不违反要求，求加速度 的大小需要满足的条件。
