文档文本内容
2.5 函数图像与零点
目录
01 思维导图与题型归纳.......................................................................................................................2
02 基础知识点梳理..............................................................................................................................3
知识点一、函数图像问题....................................................................................................................3
知识点二、函数的零点........................................................................................................................4
知识点三、二分法................................................................................................................................4
方法总结1：二次方程根的分布.........................................................................................................5
方法总结2：指数复合对勾类对勾函数.............................................................................................6
03 真题回顾..........................................................................................................................................7
04 经典题型归纳总结........................................................................................................................19
题型1：函数图象辨识判断...............................................................................................................19
题型2：图象辅助分析函数性质.......................................................................................................19
题型3：图象法求解不等式...............................................................................................................22
题型4：图象法求参数取值范围.......................................................................................................27
题型5：实际问题函数图象绘制.......................................................................................................31
题型6：函数图象变换及应用...........................................................................................................35
题型7：由图象匹配函数解析式.......................................................................................................38
题型8：函数零点区间判定...............................................................................................................41
题型9：零点与图象交点个数问题...................................................................................................44
题型10：数形结合求零点参数范围.................................................................................................46
题型11：嵌套函数零点问题.............................................................................................................49
题型12：零点和与积范围求解.........................................................................................................54
题型13：对勾与类对勾函数应用.....................................................................................................60
题型14：复杂曲线函数性质探究.....................................................................................................69
05 课后拓展精练................................................................................................................................74
知识点一、函数图像问题
1、利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线.
2、利用图象变换法作函数的图象
平移变换：①
；
注意：
；
②
；
翻折变换：③
；④
（偶函数）；
伸缩变换：⑤
；⑥
.
对称变换：①
关于直线
（即轴）对称
②
关于直线
（即轴）对称：
③
关于原点对称
④
关于直线
对称
⑤
关于直线
对称
⑥
关于点
对称
知识点二、函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数
，使
的实数叫做函数的零点.
（2）方程根与函数零点的关系
方程
有实数根
函数
有零点
函数
的图象与轴有交点，且交点
横坐标为
.
（3）方程
有实数根
函数
与函数
有交点，且交点横坐标为
.
（4）零点存在性定理
如果函数
在
上的图象是连续不断的，且
，那么函数
在
至
少有一个零点，即存在
，使得
，这个也就是方程
的解.
注意：①符合该定理的条件，能确定
在区间
内有零点，但零点不一定唯一.
②并不是所有的零点都可以用该定理来判定.不满足该定理的函数也可能有零点.
函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，零点存在性定理只适用“变号零点”.
③若
在区间
内有零点，且在区间
上单调，则
在
内有唯一零点．
④设
，若
在
上有零点，则
．
知识点三、二分法
①二分法的概念
对于在区间
上连续不断且
的函数
，通过不断地把它的零点所在区间一分
为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
②用二分法求方程近似解的步骤
（1）确定区间
，验证
，给定精确度；
（2）求区间
的中点；
（3）计算
，
（i）若
，则就是函数的零点；
（ii）若
，则令
（iii）若
，则令
（4）判断是否达到精确度
：即若
，则得到零点近似值为
（或）；否则重复（2）~
（4）
方法总结1：二次方程根的分布
①两根与的大小比较（以
为例）
分布情况
两根都小于，
即
两根都大于，
即
一根小于，一根大于
，即
大致图像
得出的结论
②两根分别在区间
外
大致图像
得出的结论
③根在区间上的分布（以
为例）
分布情况
两根都在
内
两根有且仅有一根在
内
一根
内，另一根在
内
大致图像
得出的结论
或
方法总结2：指数复合对勾类对勾函数
指数复合对勾类对勾函数
（1）函数
必是偶函数，图像关于
轴对称. 如图.
（2）函数
的图像必关于直线
对称，如图.
（3）函数
必是奇函数，图像关于原点对称，如图.
（4）函数
的图像必关于点
对称，如图.
1．（2026 年高考天津卷数学高考真题）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
由题意及图得，函数
为奇函数，且当
时，
，
对A 选项，当
时，
，与图象不符，故A 错误；
对B 选项，当
时，
，与图象不符，故B 错误；
对D 选项，当
时，
，与图象不符，故D 错误；
对C 选项，在
中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C 正确.
2．（2025 年高考天津卷数学真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图可知函数为偶函数，而函数
和函数
为奇函数，故排除选项AB；
又当
时
，此时
，
由图可知当
时，
，故C 不符合，D 符合.
故选：D
3．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）函数
在区间
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
4．（2023 年天津高考数学真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
故选：D
5．（2022 年新高考天津数学高考真题）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
且
，
函数
为奇函数，CD 选项错误；
又当
时，
，B 选项错误.
故选：A.
6．（2022 年高考全国乙卷数学（文）真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间
的大致图像，
则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，故排除B;
设
，当
时，
，
所以
，故排除C;
设
，则
，故排除D.
故选：A.
7．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
则
，
所以
为奇函数，排除BD；
又当
时，
，所以
，排除C.
故选：A.
8．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数
，
，当
时，曲
线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【解析】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
9．（2025 年高考天津卷数学真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
10．（2022 年新高考天津数学高考真题）设
，对任意实数x，用
表示
中的
较小者．若函数
至少有3 个零点，则
的取值范围为______.
【答案】
【解析】设
，
，由
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
11．（2023 年天津高考数学真题）设
,函数
,若
恰有两个零点，则
的取值范围为_________．
【答案】
【解析】（1）当
时，
，
即
，
若
时，
，此时
成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
且
；
若方程有一根为
，则
，解得：
且
；
若
时，
，此时
成立．
（2）当
时，
，
即
，
若
时，
，显然
不成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
；
若方程有一根为
，则
，解得：
；
若
时，
，显然
不成立；
综上，
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
．
所以，当函数有两个零点时，
且
．
故答案为：
．
12．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，
则
的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
13．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线
与
在
上有两个不同的
交点，则
的取值范围为______．
【答案】
【解析】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
14．（2024 年天津高考数学真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取值范围为______．
【答案】
【解析】令
，即
，
由题可得
，
当
时，
，有
，则
，不符合要求，舍去；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
或
（正值舍去），
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，即
，
故
时，
图象为双曲线
右支的
轴上方部分向右平移
所得，
由
的渐近线方程为
，
即
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递增，
故有
，解得
，故
符合要求；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
（负值舍去）或
，
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
同理可得：
时，
图象为双曲线
左支的
轴上方部分向左平移
所得，
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递减，
故有
，解得
，故
符合要求；
综上所述，
.
故答案为：
.
15．（2026 年高考全国2 卷数学高考真题（网络 收集版））若函数
有两个零点，则
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】令
，得
，即
，
方法一：
令
，则
，即
，
,
则一元二次方程
有两个正根，
那么
，
所以，
的取值范围是
.
方法二：
设
，那么设
，则
，
由于
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
根据函数图象可知，函数
有两个零点，则
的取值范围是
.
题型1：函数图象辨识判断
【典例1-1】（2026·高三·辽宁·阶段检测）函数
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，且定义域为R，
所以
为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B，D 项，
并且在y 轴右侧，
趋近于0 时，
，故
，
故只有选项
满足题意.
【典例1-2】（2026·天津北辰·三模）函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
，可得其定义域为
，关于原点对称，
且满足
，
所以函数
为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D 选项；
又由
，可排除C 选项，所以选项A 符合题意.
【变式1-1】（2026·天津·模拟预测）函数
，
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
，
可得
，
所以函数
为奇函数，其图像关于原点对称，故可排除选项C、D，
当
时，可得
，可排除选项B，
所以该函数的图象大致为选项A．
【变式1-2】（2026·河北衡水·模拟预测）函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易知函数
的定义域为
，
因为
，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，排除C，D；
当
时，令
，则
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递增，
所以
在区间
上为增函数，且
，
又
在区间
上为增函数，且
，
所以
在区间
上为增函数，排除B．
【变式1-3】（2026·天津西青·三模）已知函数
在区间
上的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
,因此
是奇函数，图像关于原点对称，
排除选项 C（偶函数图像，关于
轴对称）；
当
时，分子
，分母
，
因此
，选项 B 中
时函数值为负，矛盾，排除 B；
取
，计算
的值接近 8，说明
附近函数值仍接近 8，
选项 A 中
的函数值和8 相差比较大，排除 A；
因此，只有选项 D 符合所有特征.
题型2：图象辅助分析函数性质
【典例2-1】（多选题）（2026·湖北武汉·二模）已知函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】AD
【解析】A.
时，
，
时，
单调递减，
时，
单调递增，
所以
是
的极小值点，故A 正确；
如图，画出函数
的图象，
B.当
，
，得
或
所以当
，
，
当
，
单调递增，
由
增加到1，
，
由1 减小到
，存在点
时，
，故B 错误；
C.如图，当
时，
，
，
，此时
，不满足
，故C 错误；
D.当
时，
，
，此时
，
，所以
，故D 正确.
【典例2-2】（多选题）（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正三角形ABC 沿
着x 轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A 在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点
满足函数关系式
，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．函数
图象的对称轴方程为
C．不等式
的解集为
D．直线
与函数
的图象恰有3 个交点
【答案】ACD
【解析】如图，
在图中一段一段的扇形上运动，
对于选项A：初始时
在原点，当
时，
即为正三角形的高，
所以
，故A 正确；
对于选项B：由图可知：
的一条对称轴为
，周期为6，每经过半个周期均为
的对称轴，
所以函数
的对称轴方程为
，故B 错误；
对于选项C：如图所示，
若
，解得
，
所以不等式
的解集为
，故C 正确；
对于选项D：令
，解得
，
结合图象可知：直线
与函数
的图象恰有3 个交点，故D 正确.
【变式2-1】（多选题）（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，当
时，
，则下列叙述正确的有（ ）
A．
B．当
时，有
C．当
时，
的最小值为4，则
D．若关于
的方程
有实数根，则所有实数根之和为零
【答案】ACD
【解析】因为
是定义域为
的奇函数，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
当
时，
，
综上可得
，
所以
，故A 正确；
画出函数
的图象，如图，
当
时，
单调递增，故当
时，有
，故B 错误；
由图象可知
，当
时，
的最小值为4，则
，故C 正确；
因为函数
和
均是定义域为
的奇函数，
故方程
的所有除0 外的实数根成对出现，且关于原点对称，
所以所有实数根之和为零，故D 正确.
【变式2-2】（多选题）设函数
，其中
表示
，
，
中的最小者，
下列说法正确的有（ ）
A．
B．对任意的
，都有
C．对任意的
，有
D．当
时，
的最大值为1
【答案】ABD
【解析】因
，
当
时，
，显然
，
因
，故
；
当
时，
，显然
，
由
，解得
，
则当
时，
，当
时，
；
当
时，
，显然
，
由
，解得
，
则当
时，
，当
时，
；
当
时，
，显然
，
因
，故
.
即
.
作出函数
的图象如下：
对于
：由上函数的解析式易得
，故
正确；
对于
，
：由图可知，函数
的图象关于
轴对称，
所以任意的
，都有
，故
正确；
错误；
对于
：由图知，
与
在
轴右侧的交点横坐标为
，
且
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
而
，
因函数
的图象关于
轴对称，在
上都有
.
故当
时，
的最大值为1，故
正确.
故选：ABD.
【变式2-3】（多选题）（2026·高三·河北邢台·阶段检测）若直线
与函数
在
上的图象有三个交点，则
的值可能为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】AB
【解析】当
时，
；当
时，
，
故
，有
，如下图所示：
由直线
与函数
有三个交点，
可知
或
.
故选：AB.
题型3：图象法求解不等式
【典例3-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知
是定义在
上的偶函数，当
时，
的图象如图所示，则不等式
的解集为________．
【答案】
【解析】因为
是定义在
上的偶函数，所以其图象关于
轴对称.
结合图象可知，当
时，
；
当
时，
.
由
得
或
.
由
或
；
由
.
所以
或
或
.
所以不等式
的解集为：
.
故答案为：
【典例3-2】已知
是偶函数，
是奇函数，它们的定义域均为
，且它们在
上
的图象如图所示，则不等式
的解集是________.
【答案】
或
或
.
【解析】因为
，所以
或
，
因为
是偶函数，
是奇函数，
所以
时，
，
时，
，
时，
，
时，
；
所以
时，
，
时，
，
时，
，
时，
，
所以当
时，解得：
或
，
当
时，解得：
.
所以不等式
的解集为
或
或
.
故答案为：
或
或
【变式3-1】（2026·高三·北京·阶段检测）如图，已知函数
的图象是圆心在原点的单位圆的两段
弧，则不等式
的解集为_____．
【答案】
或
【解析】
由图象可知，函数
为奇函数，故原不等式
，
在同一坐标系中画出函数
的函数图象，当
时，求解方程
得
，
结合图象可得在第一象限
，
同理，根据图形对称性，可得在第三象限部分，
满足条件，
综上所述，解集为
或
.
故答案为：
或
.
【变式3-2】（2026·高三·北京·一轮复习）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
单调递增，则
的解集为_____.
【答案】
【解析】因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以由
得：
，
即
又
单调递增，所以有
，
画出曲线
与曲线
的图象，
如图所示：
可以看出
与
有两个交点，
且
与
分别为两交点横坐标，
所以不等式
的解集为
，
即不等式
的解集为：
，
故答案为：
.
【变式3-3】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，则不等式
的解集是______.
【答案】
【解析】解析 画出函数
的图象如图所示：
所以函数
在
上为增函数，
由
，得
，
即
，解得
.
故答案为：
.
题型4：图象法求参数取值范围
【典例4-1】（多选题）（多选）下列可能是函数
（其中
的图象的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】A 选项中的图象关于
轴对称，是常函数但是
不能是常函数，A 选项错误；
B 选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为
，可得
，
，
，函数
满足题意，B 选项正确；
C 选项中的图象，由定义域得
，由图象在
轴截距为正得
，当
时，
符合条件，
C 选项正确；
D 选项中的图象，由定义域得
，由图象在
轴截距为零得
，当
时，
符合条件，
D 选项正确；
故选：BCD．
【典例4-2】（多选题）函数
的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】因为
，所以
．
当
时，
，可能是A 中的图象；
当
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，可能是B 中的图象；
当
时，令
，得
或
，令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
可能是C 中的图象，但不可能是D 中的图象．
【变式4-1】（多选题）函数
，（
，
，是实数且
，
，
），则
的图
象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由
，
，
，当
时，函数值恒小于零，无负零点，故A 错误.
当
，如
，
，
时，
，定义域为
，
该函数图象和B 相符，B 可能；
当
时，如
，
，
时
，
该函数图象和C 相符，可以是C；
当
，如
，
时，
，
即把
的图象向右平移，故D 有可能，
故选：BCD
【变式4-2】（多选题）函数
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】根据题意，
当
时，
，
，其图象与选项
对应，
当
时，
，在区间
上，
，其图象在第一象限先减后增，在区间
上，
为减函数，其图象与选项
对应，
当
时，
，在区间
上，
为增函数，在区间
上，
，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项
对应，
故选：
．
【变式4-3】（多选题）（2026·高三·江苏·开学考试）已知
，则函数
的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由题意知
是
的两个零点，由选项可知
，即
当
时，
，
， ACD 错，B 对.
当
时，
，
，ABD 错，C 对.
故选：BC.
【变式4-4】（多选题）函数
的部分图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】当
时，
，
为偶函数，且在
上单调递增，A 符合题意；
当
时，
，
为奇函数，当
时，
，B 符合题意，C 不符合题意；
当
时，
，
为奇函数，且
，
当
时，
且
单调递减，D 符合题意.
故选：ABD
题型5：实际问题函数图象绘制
【典例5-1】某同学离家去学校，刚开始心情轻松缓慢行进，走了一段路程后，发现时间紧张，加快速度
跑步前进.图中
轴表示该学生离家的距离，轴表示所用的时间，下列图象与该同学走法相吻合的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意可知，
关于的函数图象呈上升趋势，故B 和D 都错误；
由于该同学是先走后跑，所以
关于的函数图象上升速度是先慢后快，故A 错误，C 正确.
故选：C
【典例5-2】一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100 千米/小时，特快
车的速度为150 千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000 千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车
之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当两车同时相向出发时，相遇时间
小时，
此时两车距离为0，快车行驶时间为4 小时，故排除B 选项；
相遇时，快车已经行驶的路程为
千米，
还需要行驶
小时才能到达乙地，故排除A 选项；
特快车相遇时已经行驶的路程为
千米，
只需要再行驶
小时才能到达甲地，
所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D 选项.
故选：C.
【变式5-1】（2026·高三·山东济南·阶段检测）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从
点出发，沿
花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈路线为
，则小明到
点的直线距离
与他从
点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】小明沿
走时，与
点的直线距离保持不变，
沿
走时，随时间增加与点
的距离越来越小，
沿
走时，随时间增加与点
的距离越来越大.故D 选项的函数图象符合题意.
故选：D
【变式5-2】（2026·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边
的底边重合，之后开始在平面
上按逆时针方向绕点
匀速转动（转动角度不超过
），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的
函数．这个函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，取
的中点
，连接
，因为
为等边三角形，可得
，
设等边
的边长为
，且
，其中
，
可得
，
又由
的面积为
，可得
，
且
，
则
的面积为
，
令
，其中
，
可得
，所以
为单调递增函数，
又由余弦函数的性质得，当
时，函数
取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项C 符合题意.
故选：C.
【变式5-3】（2026·山东·二模）如图所示，动点
在边长为1 的正方形
的边上沿
运
动，
表示动点
由A 点出发所经过的路程，
表示
的面积，则函数
的大致图像是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，是一条过原点的线段；
当
时，
，是一段平行于
轴的线段；
当
时，
，图象为一条线段.
故选：A．
题型6：函数图象变换及应用
【典例6-1】函数
的图象如图所示，那么函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
的图象可由
先关于
轴对称，再向右平移两个单位得到，
结合各选项，可知只有C 选项的图象符合．
【典例6-2】若图中所示为在同一直角坐标平面上
的图像及
的图像，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图像可知
图像上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数
的图像，
所以
.
故选：A
【变式6-1】将函数
向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，所得图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，
则C 选项符合所得函数图象.
故选：C.
【变式6-2】（2026·河北秦皇岛·三模）已知函数
的图象如图所示，则
的图象大致
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将
图象向右平移1 个单位，可得
图象.
将
图象x 轴下方部分，沿x 轴翻折至上方，x 轴上方部分不变可得
图象.
将
图象向上平移1 个单位，可得
图象.故选项C 满足题意.
故选：C
【变式6-3】已知函数
．甲同学将
的图象向左平移1 个单位长度，得到图象
；乙同学将
的图象上所有点的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），得到图象
．若
与
恰好重合，则下列给出
的
中符合题意的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据图象变换规则，甲得到的
对应的函数为
，乙得到的
对应的函数为
.
因为
与
重合，故
.
选项A，
，则
，
，
两者不相等，排除.
选项B，
，则
，
，
两者不相等，排除.
选项C，
，则
，
，
两者不相等，排除.
选项D，
，则
，
，
两者相等，符合条件.
故选：D
题型7：由图象匹配函数解析式
【典例7-1】函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，
由题意及图得，函数
为奇函数，且当
时，
，
对A 选项，当
时，
，与图象不符，故A 错误；
对B 选项，当
时，
，与图象不符，故B 错误；
对D 选项，当
时，
，与图象不符，故D 错误；
对C 选项，在
中，
，即该函数为奇函数，
，与图象相符，故C 正确.
【典例7-2】（2026·湖南长沙·一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π,π]的大致图象，则该函
数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设图象对应函数为
，由图可得
为奇函数，
注意到
为偶函数，
为奇函数.
则
为偶函数，不满足题设，故BC 错误；
又由图可得
，
，则D 不满足题意，故选A
【变式7-1】（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】图像中函数与
轴有两个交点（即两个零点），
选项A ，
只有1 个零点
，选项C，
没有零点，因此排除A、C.
图像中
时，函数值趋近于0，选项D
，当
时，
，不符合趋势，排
除D.
选项B：
，零点为
（两个零点，一负一正，符合图像）；
时，
，
，且
时，
，符合图像左半部分趋势；
时，
，
，
时
，符合；
时，
，求导得
，可得
时函数先增后减，且
时，指数函数增长快于多
项式，
，完全符合图像特征.
【变式7-2】（2026·北京东城·二模）已知函数
的部分图象如图所示，若
，则
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图象可知：
为奇函数；
对于A，
，
为偶函数，A 错误；
对于D，
，
为偶函数，D 错误；
对于BC，不妨设
，
，
令
，解得：
；令
，解得：
或
；
则
在
轴右侧接近
的两个零点依次为
和
；
在
轴右侧接近
的两个零点依次为
和
，
，
，
由图象可知：B 错误，C 正确.
【变式7-3】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数
的部分图象如图，则
的解析式可能为：
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由图可知，
关于原点中心对称，且不是
上的单调函数；
对于B，
是偶函数，不符合，排除B；
对于C，
的定义域不含
，不符合，排除C；
对于D，由复合函数的单调性知
是
单调递增函数，排除D；
所以A 正确.
题型8：函数零点区间判定
【典例8-1】函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知函数的定义域为
，
又因为
与
在
均单调递减，
所以
在
均单调递减且连续，
因为
，
，
所以函数的唯一零点所在区间为
.
【典例8-2】（2026·高三·全国·一轮复习）方程
的根所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】原方程的根等价于函数
的零点，
的定义域为
，
函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点，
，
因此
时，
，无零点，A 选项错误；
，因此
时，
，
无零点，B 选项错误；
，
因为
，因此
，
此时
且
，
，根据零点存在定理，存在
，使得
，
即方程的根在区间
内，C 选项正确；
，
结合
单调递增，
时
，故区间
内无零点，D 选项错误.
【变式8-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
的图象是连续不断的，有如下的x，
对应值
表
x
1
2
3
4
5
6
7
136.136
15.552
10.88
11.238
由表可知函数
存在零点的区间有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【解析】∵
，
，
，
，
∴函数
存在零点的区间有
共4 个.
【变式8-2】函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是增函数，
是增函数，所以函数
是增函数.
又
，
所以由零点存在性定理可得，函数
的零点所在的区间为
.
【变式8-3】已知
，则
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
的
值即
的零点．
而
，即
，
，
而
，所以
，
所以函数
的零点就是
，
．
要比较
与
的大小，等价于比较2 与
的大小，等价于比较
与
大小，
显然
，
，
．
题型9：零点与图象交点个数问题
【典例9-1】（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数
在定义域上恰有三个零点，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】①当
时，
，则
，所以
在
上单调递增，
因为
，而
，
由零点存在定理得，函数
在
上有且只有一个零点；
②
时，
，该二次函数的图象开口向上，对称轴为
，
要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使
在
上要有2 个零点，
即需使
在
上有两个不相等的实数根，
即
，解得
，
综上可得
.
【典例9-2】（2026·高三·天津·阶段检测）已知函数
若
有3 个实数解，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
时，
，
，
解得
，
解得
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
，
所以方程
在
和
上各有1 个实数解，
时，
，函数在
上单调递减，
依题意，
在
上有1 个实数解，
则
，解得
.
实数
的取值范围为
.
故选：B
【变式9-1】函数
的零点个数为
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【解析】因为函数
在定义域内单调递增，且
f (0)=-1<0, f (1)= 1
3 >0,
所以函数
有且只有一个零点，故选B.
【变式9-2】已知函数
是偶函数，当
时，
若
的图象与
轴恰有4
个公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于函数
是偶函数，且其图像与
轴恰有4 个公共点，因此，
在
上有两个不同
的零点，
当
时，令
，则
，
共有两个实数根，
由于函数
和
均为定义域内的单调函数，
因此
有一个实数根，
有一个实数根，
故
时，
，
时，
，
因此当
时，
.
【变式9-3】已知函数
有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
有两个零点，则方程
有两个实根，
即
有两个实根，即直线
与函数
的图象有两个交点.
结合函数
的图象，可得
，
所以的取值范围是
.
题型10：数形结合求零点参数范围
【典例10-1】已知函数
若函数
有三个不同的零点，则
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
解法1：令
得
．由题意可知函数
的图象与直线
有三个交点，由图可知
．
解法2：当
时，
．
令
，得
或
，
解得
或
，不满足题意，因此排除B、D 选项．
当
时，
，
令
，得
或
，
解得
或
，不满足题意，因此排除C 选项，故选A．
【典例10-2】已知函数
，
，若
与
的图象有唯一公共点，则
的值
为（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1
【答案】A
【解析】由函数
，可得其周期为
，且
，
又由
，所以
的图象关于
对称，
又由函数
，可得函数
的图象也关于
对称，
将
，代入
，可得
，
因为
与
的图象有唯一公共点，如图所示，
可得函数
与
的图象有唯一的公共点
，
将
代入
，可得
，解得
，
所以实数
的值为
.
【变式10-1】已知函数
则有（ ）
A．
B．
的值域为
C．
在
上单调递增
D．若关于
的方程
有两个不相等的实数根，则
的取值范围为
【答案】D
【解析】对于A 选项，
，故
，A 错；
对于B 选项，当
时，
；当
时，
.
因此，函数
的值域为
，B 错；
对于C 选项，因为
，
，则
，
故函数
在
不是增函数，C 错；
对于D 选项，如下图所示：
当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
此时关于
的方程
有两个不相等的实数根，
故实数
的取值范围是
，D 对.
故选：D.
【变式10-2】（2026·江西上饶·二模）已知函数
，若
恰有3 个正整数解，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
恰有3 个正整数解，转换为
的图象与
的图象交点问题，
作出
和
的图象，如图：
要使
恰有3 个正整数解，
则需满足：
，
解得：
，
故选：A．
【变式10-3】定义在
上的函数
满足：
若函数
有且仅有3 个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
恒过定点
，将
和
的大致图象画在同一直角坐标系，
有3 个零点等价于
与
图象有3 个交点，设
，
由图可知，
，即
．
【变式10-4】已知函数
有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：由
得到：
；
令
，由题意得
与
有两个交点：
则
，其中
，
是单调递减的，并且
时，
；
因此函数
存在唯一零点，
；
当
时，
；
时，
；
；
得如下函数图像：
显然当
时，
与
有两个交点：
法二：由题意得
，显然
恒成立，
①当
时，
，故
恒成立，
故
在R 上单调递减，至多有一个零点，不符合题意：
②当
时，令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取到最小值．要使
有两个零点，需
，
解得
．
当
时，令
，则
，
故
，
又
在
上单调递减，所以
在区间
上存在唯一的零点．
接下来证明
，记
，
当
单调递增，所以
，故
，
令
，则
，
故
．而
在
上单调递增，
所以
在区间
上存在唯一的零点．
综上，a 的取值范围是
．
【变式10-5】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数
，若函数
仅
有一个零点，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
为二次函数，对称轴为
，
所以
时，
单调递减，
令
，
，
所以
在
单调递增，
则函数
的图象如下：
函数
仅有一个零点，即
只有一个交点，
．
题型11：嵌套函数零点问题
【典例11-1】已知函数
，关于
的方程
有且仅有4 个不同的
实根，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易得
．
当
或
时，
，
在区间
单调递增；
当
时，
，
在区间
单调递减．
．作出
的图象，如图所示．
方程
可化为
，得
或
．
因为
，所以
且
，解得
．
【典例11-2】已知函数
，关于
的方程
有个不同的根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
的定义域为
.
，则函数
为偶函数.
当
时，
，函数
在
上单调递减，且
，
时，
；
函数
为偶函数，
函数
在
上单调递增；
函数
的值域为
，图象如图所示：
，
，解得
或
.
方程
有个不同的根，
函数
的图象与直线
和直线
的图象共有3 个交点.
，得
.
实数
的取值范围为
.
【变式11-1】已知函数
，若函数
恰有3 个不同的零点，则实
数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，可画出函数的图象，如图所示，
易知
处的函数值为
，即如图中的点
，所以
，
令
，则
，由图可知，
当
时，
与
无交点；
当
时，
与
有2 个交点；
当
时，
与
有1 个交点.
令
，则
，化简得
，解得
，
，
要使函数
恰有3 个不同的零点，
则当
时，有2 个零点，且当
时，有1 个零点，共3 个零点，
满足题意，此时
的取值范围为
；
或者，当
时，有2 个零点，且当
时，有1 个零点，共3 个零点，
满足题意，此时
的取值范围为
，
当
时，
，此时只有1 个零点，不合题意，
综上，函数
恰有3 个不同的零点时，
的取值范围为
.
【变式11-2】已知函数
，若函数
有8 个不同的零点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，
，开口向下，对称轴为
，
；
当
时，
，
，函数在
单调递减，在
单调递增；
作出
的大致图象如下，
设
，则关于的方程
有2 个不同的根
和
，
且关于
的方程
分别有4 个不同的根．
不妨设
，则关于的方程
需满足：
，
①若
，则
，故
，
且
，即
，
解得
；
②若
，则
，此时
，符合题意，故
．
【变式11-3】（江苏姜堰中学2026 届高三年级5 月学情调研数学试题）已知
是定义在
上的奇函数，
当
时，
，若关于x 的方程
恰有4 个互不相等的
实数根，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由
因式分解得：
即
或
.
是定义在
上的奇函数，则
；
由题意知当
时，
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
以此类推，可作出当
时
时的图象，再由奇函数对称性可得
时
时的图象，如图所示：
结合图象可知，
和
的图象有2 个交点，即
有2 个根；
当
时，
和
的图象有2 个交点，即
有2 个根，
结合图象可知其他选项不合题意，
所以
，满足原方程恰有4 个互不相等的实数根.
【变式11-4】已知函数
，若方程
有五个不同的实数根，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，由
可得
，
即
，解得
或
，
当
时，即当
时，
，
当
时，
，
，
作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，直线
与函数
的图象有两个交点，
又因为原方程有五个不同的实数根，所以直线
与函数
的图象有三个交点，
由图可得
，故实数
的取值范围是
.
故选：A.
【变式11-5】已知函数
，若关于x 的方程
有四个不同的实
数解，它们从小到大依次记为
，
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则
，
当
时，
，在
单调递减，
，
在
单调递增，
；
当
时，
，在
单调递减，
，
在
单调递增，
，作出
的图象如下：
若关于x 的方程
有四个不同的实数解，结合图像可知，
在
只
有一个解，
记
，
①当
有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在
，
由题意
，有
，解得
；
②当
有且仅有一个零点时，
，即
或
时，需要
才行，无解，
所以综上①②，a 的取值范围是
，故D 正确；
因为
，由
得
，所以
，故B 错误；
又
，根据韦达定理可知
中
，
，
，
所以
，故C 错误，A 错误.
故选：D.
题型12：零点和与积范围求解
【典例12-1】（2026·高三·江苏泰州·开学考试）已知函数
若关于
的方程
（
为实常数）有四个不同的解
，且
，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由图知，
且
，
由
，得
，即
，故
，
由
，则
，由
，则
，
所以
，且在
上
单调递增，
所以
.
故选：A
【典例12-2】已知函数
，若存在实数
、
、
且
，使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
令
，解得
，
故当
时，对称轴为直线
，则
，
因为
，所以，
，
又因为
，
，
由
可得
，则
，则
，
所以，
.
故选：D.
【变式12-1】已知函数
若实数
满足
且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】作出函数
的图象，如图，
因为
，
，
由图可知
，即
，又
，解得
，
又
，即
，即
，即
，
故
，即
，所以
，
由对勾函数的单调性可知
在
单调递减，
所以
，即
所以由图可知，
，即
，
所以
故
的取值范围为
.
故选：C.
【变式12-2】设函数
，若关于
的方程
有四个不同的解
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数
的图象如下图所示：
若关于
的方程
有四个不同的实数解
、
、
、
，且
，
由
可得
或
，解得
或
，
所以，
，
由
得
，即
，所以
，
由图可知，点
、
关于直线
对称，则
，
所以
，其中
，
令函数
，其中
，则函数
在
上单调递增，
所以
，即
，即
.
故选：D.
【变式12-3】已知函数
，若存在实数
，使得
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作出函数
的图象，如图所示，
由图可得：设
，
，
所以
，解得：
，
，解得：
，
，
所以
，
，
令
，则
在
上单调递减，
则
①，
方法一：排除法，
令
，则
在
上单调递增，
则
②，
由①②可得
,选项AD 不合题意；
设
，
又因为
,所以C 错误；
故选：B.
方法二：单调性法（该方法超纲）
由于该函数求导过于复杂，则采用作图软件知：
在
上减，
所以
,
又因为
，
所以
的取值范围为
所以C 选项不合题意，
故选：B．
【变式12-4】已知函数
，若方程
有四个不同的实数解，它们从小到大记
为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，其图象开口向上，对称轴为
，
又
，故
在
上单调递减，此时
，
在
上单调递增，此时
，
当
时，
，
则可知
在
单调递减，此时
，
在
单调递增，此时
，
于是，作出函数
的图象如下所示，
依题意，
，且
是方程
的实数根，则
，
而
满足等式
，故可得
，即
，
所以
．
故选：D．
题型13：对勾与类对勾函数应用
【典例13-1】已知函数
，若存在实数，使得方程
有
个不同的实数根
、
、
、
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】作出函数
与
的图象如下图所示：
由图可得
，
当
时，
，
由题意可知，关于
的方程
的两根分别为
、
，
即关于
的方程
的两根分别为
、
，由韦达定理可得
，
由图可得
，
由
得
，则
，
可得
，
，所以，
，
所以，
，
因为函数
在
上为增函数，
故当
时，
，因此，
的取值范围为
.
故选：C.
【典例13-2】已知函数
，若关于
的方程
恰有6 个不
同的实数解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
的定义域为
关于原点对称，
且
，所以
为偶函数，
，作出函数的图象如下：
由题意关于
的方程
恰有6 个不同的解，
令
，由
的图象得当
时，方程有四个根；
当
时，方程
有两个根；
当
时，方程
无解．
设方程
的两根分别为
，则
，
，
令
，则
，解得
，即
，
因此实数
的取值范围是
．
【变式13-1】若存在实数
，使得
成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知存在
，使得
成立，
去掉绝对值，方程等价于
，即
，
记
因为函数
与
在
上单调递增，故
在
上单调递增，
因为
，所以
值域为
；
因为
是对勾函数，如图，根据对勾函数单调性知
在
上单调递增，
因为
，所以函数
值域为
，
存在
使得等式成立，等价于
属于
或
的值域，
即
，
故实数
的取值范围是
.
【变式13-2】设函数
，
，若曲线
与
恰有一个交点，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知函数
，
，
令
，定义域为
，
由于曲线
与
恰有一个交点，即函数
只有一个零点，
又因为
，所以函数
是偶函数，
因此
的零点只能是
，即
，代入函数
，得
，解得
，故D 正确.
【变式13-3】关于
的方程
有且仅有2 个不同的实数根，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
，且
【答案】D
【解析】若关于
的方程
有且仅有2 个不同的实数根，
则函数
与
有两个交点，
作出函数
的图像如下：
当
时，则
，当且仅当
时等号成立，要使函数
与
有两个交点，则
，解得：
且
，
当
时，则
，当且仅当
时等号成立，要使函数
与
有两个交点，则
，解得：
且
，
当
时，
无意义，
综上，实数
的取值范围是
，且
；
故选：D
题型14：复杂曲线函数性质探究
【典例14-1】已知函数
的对称中心在直线
上，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，则
，
所以
，即函数的对称中心为
，
由
在直线
上，则
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
综上，
的最小值为
.
故选：C
【典例14-2】（2026·高三·河南·阶段检测）函数
的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对任意的
，
，即函数
的定义域为
，
又因为
，
所以
，故函数
的对称中心为
.
故选：D.
【变式14-1】（2026·高三·河南·阶段检测）对于函数
，
时，
，则函数
的图象关于点
成中心对称．探究函数
图象的对称中心，并利用它求
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因
，
令
，
则
，
两式相加得：
，解得
，
所以
的值为2021.
故选：D
【变式14-2】（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）设函数
，下列说法中正确的是（ ）
A．
的单调递增区间为
B．
图象的对称中心为
C．
图象的对称中心为
D．
的值域为
【答案】B
【解析】由题意，函数
，可得函数的定义域为
，
又由
，
所以函数
的单调递增区间为
，所以A 不正确；
由
，
因为
，则
，则
，可得
，
即函数
的值域为
，所以D 不正确；
又由
，可得
，则
，
所以函数
关于
对称，故B 正确，C 不正确.
故选：B.
【变式14-3】已知函数
，则
的值域为__________，曲线
的对称中心为
__________．
【答案】
/
【解析】因为
，
因为
，则
，故
，即函数
的值域为
，
因为
，
所以，
，
因此，函数
的对称中心为
.
故答案为：
；
.
【变式14-4】对于函数
，
时，
，则函数
的图象关于点
成中心
对称.探究函数
图象的对称中心，并利用它求
的值为________.
【答案】2024
【解析】因
，
令
，
则
，
两式相加得：
，解得
，
所以
的值为2024.
故答案为：2024.
【变式14-5】函数
（
，且
）图象的对称中心是______．
【答案】
【解析】方法一：
．
设
（
，且
），
因为
，
，
所以
是奇函数，其图象关于点
对称，
故函数
的图象关于点
对称，
从而
的图象关于点
对称；
方法二：
，
设函数
，
对比系数得
，解得
，
所以
，
设
（
，且
），
因为
，
，
所以
是奇函数，其图象关于点
对称，
所以函数
图象的对称中心是
．
故答案为：
.
1．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，若
的零点
个数为
，则实数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据解析式知
的图象如图所示：
由题意，
有4 个不相等的实数根，
设
，结合图象可知
有两个不等实根，
设此关于方程的解为
、
，其中
均不为零且
．
由题设可得关于
的方程
和
共有4 个不同的解，
，
故
不能都大于2，不能都小于等于1，
故
（舍）或
或
（舍）．
令
，其开口向上，
需满足
，即
，解得
.
2．已知函数
，若函数
有
个不同的零点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题当
时，
，所以
，
所以当
时，
，当
时，
；
所以
在区间
上单调递增，在
上单调递减，
当
时
，当
时，
；
当
时，
；
所以可作出函数的图象，如下图，
若要使函数
有
个不同的零点，
所以
的图象与直线
有
个交点，
即
，解得
.
即实数
的取值范围是
.
3．已知函数
，若
恰有3 个零点
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
的零点，即为函数
的图象与直线
交点的横坐标，作出
的大致图象及直
线
，如图，它们有三个交点，
由于
，
，因此
，
，
，
而
，即
，所以
，
所以
，
故选：B．
4．设
，若函数
有4 个不同的零点
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，函数
当
时，
，可得
的图象关于直线
对称.
作出
的大致图象，如图所示.
由
，可知
.
由对勾函数的单调性可知，函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，
所以
，
则
.
由对勾函数的单调性可知，函数
在
上单调递增，
所以
，
即
，
即
的取值范围是
.
故选：A.
5．已知函数
，若关于
的方程
有四个不同的实数解
、
、
、
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数
的图象如下图所示：
若关于
的方程
有四个不同的实数解
、
、
、
，且
，
由
可得
或
，解得
或
，
所以，
，
由
得
，即
，所以，
，
由图可知，点
、
关于直线
对称，则
，
所以，
，其中
，
令函数
，其中
，则函数
在
上单调递增，
所以，
，即
，即
.
故选：D.
6．已知函数
，若存在实数
，
，
，
使得
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】做出函数
图像如下图所示：
，
，
，
根据三角函数的对称性，
+
=12，且
，
=
,
.
故选:D
7．已知函数
若
，且
，则的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，作出
的大致图象，如图所示，
要使得
，
即函数
与
的图象有4 个不同交点，则
，
所以实数的取值范围是
．
故选：A.
8．（2026·高三·四川遂宁·阶段检测）设函数
，若关于x 的方程
有四个实
根
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．10
D．9
【答案】D
【解析】作函数
的大致图象，如图所示：
当
时，
对称轴为
，所以
，
关于
的方程
有四个实根
，
则
，由
，得
或
，则
，
又
，所以
，
所以
，所以
，且
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为.
故选：D.
9．已知函数
若方程
有四个不相等的实数根
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
即为
，其图象如图所示：
因为方程
有四个不相等的实数根
，且
，
由图象知：
，且
，
则
，
所以
，
因为
在
上递增，
所以
故选：C
10．已知函数
，
，若
恰有4 个零点，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
的定义域为
.
，
为奇函数，
图象关于原点对称.
，
恰有4 个零点，
可得
时，
恰有2 个零点；
时，
恰有2 个零点，且这4 个零点关于原点对称.
，
当
时，
，得
.
时，
，
当
且
时，令
，得
，即
.
时，
恰有2 个零点，等价于
且
时，
有2 个解；
即
与
在
且
时有两个交点.
令
（
且
），则
；
；
，
；
当
且
时，
，即
在
和
上单调递减；
当
时，
；
时，
；
，
；
时，
；如图
所示：
由图可知，当
时，
与
有两个交点；
恰有4 个零点时，实数k 的取值范围是
．
11．（2026·北京石景山·二模）已知函数
．若
存在2 个零点，则
a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】若
存在2 个零点，则
有2 个解，即
有2 个解，
即函数
与
的图象有2 个交点.
当
时，
单调递减，值域为
，
当
时，
单调递增，值域为
，
先求
与
相切的情况：
设切点为
，因为
，所以
，所以
，所以切点为
，
代入切线方程
，得
.
当
时，直线
与
相切于点
，
同时与
有个交点，此时共2 个交点；
当
时，直线
与
有个交点，
与
有个交点，共2 个交点；
当
时，直线
与
无交点，与
有个交点，共个交点；
当
时，直线
与
无交点，与
无交点，共
个交点；
综上，
存在2 个零点时，
的取值范围是
.
12．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，
，若对任意
，存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于
，当
时，
，则
；
当
时，
，故函数
的值域为
；
设
，则
的值域为
.
因对任意
，存在
，使得
成立,即
成立，
故函数
的值域是函数
值域的子集，
故只需
，即
，解得
.
13．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
，若方程
只有一个实数解，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在
上单调递减，
在
单调递增，
则
的图像如下：
方程
只有一个实数解，则
的取值范围为
．
14．（2026·山西临汾·二模）已知函数
若方程
有三个不
同的实数根，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可得
或
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
作出函数
、
、
的图象如下图所示：
由图可知，直线
与曲线
有
个交点，即方程
无解，
所以由题方程
有个不同的解，即直线
与曲线
有个交点，则
.
15．已知函数
，关于
的方程
，
，恰有6 个不同实数解，
则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
即
，则作出函数
的图象如下图：
设
，
，则方程等价为
有图像可知：方程
，
，恰有
个不同实数解等价于方程
有两个不
同的根且满足
，
当
时，
，即
此时方程等价为
则判别式：
又
，则
，即
同时
，得
，得
综上所述：
，即
的取值范围是
本题正确选项：
16．（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数
，若函数
与函数
的图
象的交点有
个，记为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】因为
，
且
，
所以
的图象关于点
中心对称；
又因为
，
由
，可得
，
即函数
的定义域为
，
且
，
易知函数
在
上单调递增，
又
，
所以
的图象关于点
中心对称；
所以两函数的交点也关于点
中心对称；
作出两函数的图象，如图所示：
由此可得两函数图象共有3 个交点，其中一个交点为
，
设另外两个交点分别为
，
则
，
所以
.
17．（多选题）（2026·山东聊城·二模）已知函数
则（ ）
A．
B．
为
的极大值点
C．
有2 个零点
D．若
，则
在
上的值域为
【答案】BCD
【解析】对于
，故A 错误；
对于B，当
时，
，
令
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，
故
在
处取极大值，故B 正确；
对于C，当
时，
，结合B 选项知
在
时仅有一个零点.
当
时，令
，解得
，
所以
共2 个零点，故C 正确；
对于D，结合B，C 选项，
在
上的图象为
由图象可知，
若
，则函数
在
上的值域为
，
故D 正确.
18．（多选题）已知函数
．则下列说法正确的是（ ）
A．
在
处取得最小值
B．方程
有且仅有一个实根
C．对任意
，函数
关于
单调递增
D．对任意
，都有
【答案】ABC
【解析】由
，得
．
当
时，
；当
时，
．
所以
在
处取得最小值．故A 正确；
方程
等价于
，
即
，
令
．
则
，
且
．
除
外，
，
故
严格递增，只有一个零点0．所以方程有且仅有一个实根．故B 正确．
对任意
，
．
对
求导得
．
所以
关于
单调递增．故C 正确．
当
时，
．
令
，有
．
故不可能对任意
都有
．D 错误．
19．（多选题）（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数
，若函数
有三个互不相等的零点
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．实数
的取值范围是
B．
的单调递减区间为
，
C．
D．函数
有4 个零点
【答案】BCD
【解析】作出函数
的大致图象，如图．
对于A，因为函数
有三个互不相等的零点，则函数
与
的图象有三个不同的交点．
结合图象可得
，故A 不正确．
对于B，由函数
的图象可知其单调递减区间为
，
，故B 正确．
对于C，由函数
的图象可知
，且
，所以
，
即
，所以
，故C 正确．
对于D，设
，则
．
令
，由函数
的图象，得
或
．
当
，即
时，则
，解得
；
当
，即
时，所以
或
，解得
或
或
，
所以函数
有4 个零点，故D 正确．
20．（2026·高三·全国·一轮复习）已知
，关于
的方程
恰有三个不同的实数解
，
，
，则
的值为____________．
【答案】4
【解析】令
，则
，
由均值不等式可知， 的取值范围是
原方程可转化为
，即
，
对于方程
，整理为
，其判别式
，
当
时，
，有2 个不同实数解；
当
时，
，有1 个实数解（重根）；
当
时，
，无实数解，
原方程有 3 个不同实数解，说明关于 的方程的两个根中，
一个根满足
，另一个根满足
，
由韦达定理，方程
的两根之和为 5，
两根之积为
，因此两根均为正数，故一个根是
，另一个根
，
当
时，方程
的解为
，
当
时，方程
即
，由韦达定理，两根之和
，
因此，三个解的和为
.
