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2.11 函数与方程
函数零点的概念
1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f (x)的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0 有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)
的图象与x 轴有公共点．
【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x 轴交点的横坐标．
函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f
(b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个
c 也就是方程f (x)＝0 的解．
【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条
件缺一不可．
2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0 成立．如：
函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号．
二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0 的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点
所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【注意】用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零
点0，但不能用二分法求解．
用二分法求函数零点的近似值
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)<0．
2．求区间(a，b)的中点c．
3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c 就是函数的零点；
(2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c．
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而
复始怎么办？精确度上来判断．
【注意】 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点．
(2)精确度ε 表示当区间的长度小于ε 时停止二分．
考点一 判断零点所在区间
考点二 零点个数的判断
考点三 利用零点所在的区间求参数范围
考点四 比较零点的大小以及零点求和
考点五 利用零点的分布求参数
考点六 求方程的近似解
考点一 判断零点所在区间
1．（2026·天津东丽·二模）函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
又
，
，则
，
根据零点存在性定理，函数
的零点所在区间为
.
2．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）函数
零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因函数
与
都是
上的增函数，则
也是
上的增函数，
又
，
故函数
有唯一的零点，其所在区间为
.
3．（25-26 高三上·重庆·月考）已知方程
的解为
，求
所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先构造函数判断单调性，再用零点存在定理算端点值判断零点所在区间即可.
【详解】设
，因为
和
都是
上的单调递增函数，
因此
是
上的单调递增函数，原方程的解
就是
的唯一零点.
当
时，
，
当
时，
，
由
，可知单调函数
的零点
.
4．（24-25 高三上·四川宜宾·期末）函数
的零点在下列区间内（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数
的单调性，结合函数的零点存在定理判断即可．
【详解】函数
在定义域
上连续，且为增函数，
又
，
，
故函数
的零点在区间
内.
5．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）方程
的实数根所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令函数
，而函数
在
上都单调递增，
则函数
在
上单调递增，又
，
因此函数
在
上存在零点，
所以方程
的实数根所在的区间为
．
6．（25-26 高三上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数
的零点在区间
内，且
，
则n 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】由解析式知
在定义域
上单调递增，且
，
所以
的零点在
，故
.
考点二 零点个数的判断
7．（湖南邵阳市2026 年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）函数
在
上的零点个
数为________．
【答案】3
【详解】令
，则
或
，
且
，则2 x∈[0,2π)，
可得
或
或
，解得
或
或
，
所以函数
在
上的零点个数为3.
8．（2026·重庆·三模）（多选）已知函数
则（ ）
A．∃a R
∈，使得f（x）为偶函数
B．∃a R
∈，使得f（x）存在零点
C．∀a R
∈，f（x）为增函数
D．∃a R
∈，使得f（x）的最小值为0
【答案】ABD
【详解】对A，若
为偶函数，则
，即
，则
时，
为偶函数，A 正确；
对B，当
时，
，
当
时，
单调递增，
单调递减，因此
在
上单调递增，
又
，由零点存在定理，
在
时必然存在零点，B 正确；
对C，a=2时，
，故
不是单调递增函数，C 错误；
对D，设
，则
，在坐标系中作出
和
的图象，则
的图
象是
向上和向右分别移动
个单位形成．
如图2 所示，当
与
的图象在第二象限相切时，
的最小值为零．D 正确.
9．（25-26 高二下·北京朝阳·期中）已知函数
；若方程
恰有三个根，写出一个满足条
件的实数
为__________.
【答案】
，
【分析】本题可将方程根的问题，转化为函数图像交点的问题，先分析分段函数每段情况，画出函数图像. 要使方
程
恰有三个根，即函数
与函数
有三个不同的交点，观察图像可知，当
时，均可满足
方程有三个根，从而解决问题.
【详解】解：当
时，
，令
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减，因此
为
的极大值点，
此时极大值
，亦为最大值，因此，
；
当
时，
，由二次函数开口向上，对称轴
，
所以
，函数图像如下所示，
要使方程
恰有三个根，则函数
与函数
有三个不同的交点，
由图可知，当
时，函数
与函数
均有三个不同的交点，
即方程
恰有三个根，可以取
.
10．（2026·浙江·三模）直线
与曲线
的交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】直线
与曲线
的交点，整理可得
，
而
，
，
所以方程无实根，交点个数为
个．故A 正确．
11．（2026·北京朝阳·二模）设函数
若关于
的方程
恰有两个不同的实数解，
则满足条件的实数
的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】分
和
两种情况讨论，当
时，分
且
，
，
，
四种情况；当
时，分
，
，
三种情况，当
时，设
，利用导数求出
，对最大值的符号进行讨论分
，
，
三种情况.
【详解】（i）当
时，
，代入方程
整理得：
，两根为
和
，
因此，当
且
时，则
有2 个不同根；
当
时，则
有1 个根；当
时，仅存在根
；
当
时，
，故
恒有1 个根.
（ii）当
时，
，代入方程
整理得：
，
设
， 求导得
，
当
时，
，得
，
有1 个根，
若
，
，
在
单调递增，
时
，
时
，故
恒有1 个根；
当
时，
，
，
单调递增；
，
单调递减，
故
在
取最大值
，
令
，
单调递减且
.
当
时，
，方程
有2 个根；
当
时，
，方程
有1 个根；
当
时，
，方程
无实根；
综上所述：
，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
时，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
时，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
其余
均不满足条件，共3 个符合的
.
12．（2026·北京顺义·二模）已知函数
.给出下列四个结论：
①当
时，对任意负实数
，方程
恰有一个实数解；
②存在
，有负实数
，使得方程
无实数解；
③存在
，有正实数
，使得方程
恰有2 个实数解；
④存在
，有实数
，使得方程
恰有3 个实数解.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【分析】将方程有无实数根的问题，转化为函数零点问题，进而转化为两个基本初等函数图象交点的问题，结合
函数的单调性及数形结合的方法，对参数
和
分别取满足条件的不同值，即可对四个命题作出判断.
【详解】令
，得
，易知
恒过
点.
①当
，则
，
恒过
，图象如下，
对任意负实数
，；两个函数图象都有一个交点，即方程
恰有一个实数解，①正确；
②易知
时，
与
轴的交点位于
轴正半轴，因此，
当
时，
与
在
上一定有交点，如图所示，
即方程
一定有实数解，所以②错误；
③当
，
时，当
时，方程为
，即
，
令
，则
，令
，则
，
所以当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增，
又因为
，
，
，
所以函数
在
内必有一个零点，在
上也必有一个零点，
所以
与
，在
内必有一个交点，在
上也必有一个交点，
又因为当
时，在
上，
与
无交点，
与
的图象如下，
所以，当
，
时，
与
有两个交点，
即方程
恰有2 个实数解，所以③正确；
④方程
时，有
，此时
恒过
点，
当
，
时，
与
有个不同交点，
即方程
恰有3 个实数解，所以④正确.
考点三 利用零点所在的区间求参数范围
13．（25-26 高三上·湖南衡阳·月考）已知函数
在
上存在零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
要使函数
在
上存在零点，
则
，解得
，
则实数
的取值范围为
.
14．（2026·河北衡水·一模）（多选）若函数
（
）在
内存在唯一的
，使得
，则
的取值可能为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】BC
【详解】由
，知
在
内存在唯一的解.
当
时，
，则
，即
，
因仅有选项B,C 中的值在此范围，故B,C 正确.
15．（25-26 高三上·全国·期末）若函数
在区间
上存在一个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数零点的判定定理及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】当
时，
，在
上没有零点，不符合题意；
当
时，
为一次函数，
函数
在区间
上存在零点的充要条件为
，
即
，
即
．解得
或
．
故选：
16．（25-26 高二上·浙江台州·期末）若函数
在区间
各恰有一个零点，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先分离参数
，转化为求两函数图像交点的问题，画出
在区间
的图像即可.
【详解】因为
在区间
各恰有一个零点，所以
在区间
各有一个解，
当
时，
，故
可化为
，
令
，
，则问题转化为
与
在
各有一个交点.
设
，
，
时，
，
故
，
在
单调递增，
又
，所以
时，
，
，
在
单调递增.
时，设
，
故
在
上单调递增，
又
，故存在
使
成立，
，
，
单调递减；
，
，
单调递增.
又
，
，所以存在
使
成立，
，
，
单调递增；
，
，
单调递减.
又
,
所以
大致图像如图所示，
故
的取值范围为
故选：A.
17．（25-26 高三上·河南信阳·期末）函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据零点分析得
，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数
在
单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可.
【详解】当
时，
在
上恒成立，此时
在区间
内无零点；
要使函数
的一个零点在区间
内，则
，
因为函数
和
在
单调递增，所以函数
在
单调递增，
由零点存在性定理可知
，解得
．
故选：B
18．（25-26 高三上·四川成都·期末）函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用单调性将命题转化为
，再解不等式即可.
【详解】由于
在
上单调递增，
故命题等价于
，即
，
解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D.
考点四 比较零点的大小以及零点求和
19．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果.
【详解】由
及
得
，
由
及
得
，
由
及
得
，
由函数
的零点分别为
，
可得函数
，
，
与
图象交点的横坐标分别为
，
在同一坐标系中分别作出函数
，
，
，
的图象如图，
由图知
20．（2026·河南新乡·三模）已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可.
【详解】
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
的零点即为方程
的解，即为
的图像与
图像的交点横坐标，
∵函数
的零点分别为
,
作出函数
的图象如图，
由图可知：
,
21．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
.
(1)求
的对称中心坐标；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)已知函数
，记方程
在区间
上的根从小到大依次为
，求
的值.
【答案】(1)对称中心为
，其中
.
(2)
.
(3)
.
【分析】（1）利用两角和差公式和倍角公式、辅助角公式化简求出解析式，再结合正弦函数的性质可得；
（2）代入后化为
恒成立，分离参数
，设
，利用
单调递减、
单调递增，证明该函数在区间上单调递减，求出最大值即可；
（3）令u=π
4 x−π
3 ，结合
的图象与
的交点即可求出.
【详解】（1）因为
，
所以
，
令
，得
，故对称中心为
，其中
.
（2）由（1）知，
，
.
则原不等式化为
，
当
时
，所以
对任意的
恒成立，
设
，
任取π
4 ≤x1< x2≤π
3 ，在此区间上
单调递减、
单调递增，
故
，
，
从而
.
所以
在
上单调递减，故
.
故a≥1+2❑√2，故实数
的取值范围为
.
（3）由（1）知，
.
令u=π
4 x−π
3 ，当
时
.
画出
的图象如图：
由图可知，其图象与
共有
个交点，
且
，
，
，
则
，
，
，
故
.
22．（25-26 高三上·湖南邵阳·月考）已知函数
，方程
有四个不同解
，
则
的取值范围是______．
【答案】
【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可.
【详解】如图所示：
由方程
即
有四个不同解
，
即
的图象与
有四个不同的交点，由图可知
，
不妨假设
，由图可知
，
又由图可知
，
故
，解得：
，
又
，结合图象可知
，所以
，
所以
，
设
，
任取
，且
，
则
，
因为
且
，
所以
且
，
所以
，
所以
在
上单调递减，
所以
即
，即
，
所以
.
23．（2026·湖北黄冈·二模）设
分别是
与
的零点，则
的取值范围
是___________．
【答案】
【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数的单
调性进行求解即可.
【详解】当
时，因为函数
是实数集上的增函数，
所以函数
是实数集上的增函数，
因为
是
的唯一零点，
所以
，
即
是指数函数
和反比例函数
的唯一交点的横坐标.
当
时，因为
是
的零点，
所以
，
设
，
当
时，因为函数
是正实数集上的增函数，
所以
是正实数集上的增函数，
即
是指数函数
和反比例函数
的唯一交点的横坐标，
显然函数
与函数
的图象关于直线
对称，如下图所示：
显然
，由数形结合思想可知：
，
的中点在
上，
所以
，
，设
，
由对勾函数的单调性可知该函数在
时，单调递减，
即
，
所以
的取值范围是
.
24．（2026·湖南湘西·三模）已知
分别为函数
的
零点，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可.
【详解】由
，得2
x =
1
x−1，则函数
与
的图象的交点横坐标就是
；
由
，得lg x =
1
x−1，则函数
与
的图象的交点横坐标就是
；
由
，得log2 x =
1
x−1，则函数
与
的图象的交点横坐标就是．
作出函数图象如图，可知
．
25．（江苏南通市2026 届高三下学期二模数学试题）已知函数
，
，
的零点分别为
、
、
，则
、
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用零点存在定理得出
的取值范围，并求出
、
的值，即可得出
、
、
的大小关系.
【详解】因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，故
，
因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，
，故
，
由
可得
，即
，故
.
26．（25-26 高三上·江西赣州·期中）函数
的所有零点的和为（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】B
【分析】根据题意，
的零点转化为
与
的交点，结合图像及对称性求解即可．
【详解】由
，得
，
则
所有零点的和等价于函数
与
的图象所有交点的横坐标之和．
易得
与
的图象均关于点
对称．
，
，
，结合
与
的图象，
可知
与
的图象在
内共有2 个交点，
则
与
的图象共有5 个交点，且关于点
对称，
则这5 个交点的横坐标之和为
，即
所有零点的和为
．
考点五 利用零点的分布求参数
27．（25-26 高一·全国·课后作业）若函数
的表达式
在
内有零点，求实数
的取值范
围．
【答案】
【分析】先考虑
时，不成立；再考虑
时，有
，从而解不等式即可.
【详解】当
时，
，显然不成立；
当
时，函数
在
内有零点，需
，
即
，即
，解得
或
，
故实数a 的取值范围是
.
故答案为：
28．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
，则
有零点的充要条件是______.
【答案】
【分析】将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程根的问题求解即可.
【详解】函数
有零点
方程
有解.
当
时，方程有一解
；
当
时，方程
有解
，
综上知：
有零点的充要条件是
.
故答案为：
.
29．（2026·天津·一模）函数
，若
恰有四个不同零点，则实数a 的取值范围为
______________．
【答案】
【分析】结合三角函数零点与二次函数的零点分析判断即可.
【详解】当
时，令
，则
，所以
，
此时零点为正奇数：
.
当
时，
，
此时
在
上单调递增，最多有一个零点.
因为
恰有四个不同零点，所以
在
上至少有三个零点，
故
，此时
，
在
上有且仅有一个零点，
所以
时，
与
轴有3 个交点，需满足
，
所以实数a 的取值范围为
.
30．（25-26 高三上·广东江门·月考）已知函数
．
(1)求
的最小值；
(2)将
的图象向右平移
个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，求
的单调递减区间；
(3)若关于x 的方程
在
上有四个不同的实数根，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式，先化简函数
的解析式，再求其最小值.
（2）先根据函数的图象变换得到函数
的解析式，再利用整体代换法求函数的单调递减区间.
（3）设
，把问题转化为方程
在
上有两个不同的实数根，再结合二次函数的
零点分布求参数
的取值范围.
【详解】（1）由
，
所以
（当
即
，
时取等号）.
（2）将
的图象向右平移
个单位长度，可得函数
的图象；
再把
函数图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.
由
，
，
.
所以函数
的单调递减区间为：
，
.
（3）因为
，
，
所以
可化为
.
设
，因为
，所以
，所以
，即
，
则
，
.
要使原方程在
上有四个不同的实数根，等价于方程
在
上有两个不同的实数根.
设
，
由
.
即实数
的取值范围为
.
31．（25-26 高三上·江苏南通·月考）（多选）已知函数
，若关于
的方程
有3 个
实数解
，则（ ）
A．
B．
C．
D．关于
的方程
有3 个实数解
【答案】AC
【分析】画出
的图像，结合图像，得到
，可判定A 不正确；根据题意，求得
，结合指数函数的性质，可判定B 不正确；分别求得
且
，可判定C
正确；求得
，设
，得到
，结合对数函数的性质和一元二次方程的性质，可判定D
错误.
【详解】作出函数
的图象，如图所示，
对于A，因为方程
有3 个实数解
，
即函数
与
的图象有三个不同的交点，
结合图象，可得
，故A 正确；
对于B，当
时，
，可得其对称轴为
，所以
，
当
时，由
，即
，解得
，即
，
因为
，可得
，则
，
所以
，故B 错误；
对于C，当
时，由
，可得
，所以
，
当
时，由
，即
，即
，
则
，故C 正确；
对于D，当
时，由
，
可得
在
上为单调递减函数，且
，即
，
设
，则
，
由方程
，即
，其中
，
当
时，可得
，即
，解得
，方程有唯一解；
当
时，可得
，则
，解得
，
因为
，当
，此时不满足
，舍去；
当
，此时满足
，所以此时有唯一的解，
综上可得，方程
只有两个实数解，所以D 错误.
故选：AC.
32．（25-26 高三上·浙江宁波·开学考试）已知幂函数
在
上单调递增．
(1)求
的值及函数
的解析式；
(2)若
有两个不相等的正数解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质可得；
（2）将方程转化为一元二次方程有两个不相等的正根，由判别式及根与系数关系可得.
【详解】（1）因为函数
为幂函数，所以
，解得
或
.
当
时，
在
上单调递减，不符合题意，舍去；
当
时，
在
上单调递增，符合题意，
所以
，
.
（2）因为
有两个不相等的正数解，即方程
有两个不相等的正数根.
设方程的两个正数根为
，则
，解得
.
所以实数
的取值范围为
.
33．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知函数
，
(1)若不等式
恒成立，求实数
的值；
(2)若函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若函数
在区间
上的值域为
，且
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列出不等式求解.
（2）求出方程的两个根，再建立不等式组求解.
（3）按
图象对称轴与区间
的关系分段求出最小值，并建立不等式求解即可.
【详解】（1）函数
为开口向上的二次函数，当
恒成立时，
，
即
，所以
.
（2）由（1）知
，由
，得
，解得
，
，
由函数
在区间
上有两个零点，得
，解得
，
所以实数
的取值范围
.
（3）依题意，
，即
，则
，而
，又
，
则
，即
，又
，因此
，
（ⅰ）当
时，
在区间
上单调递增，则
，
于是
，解得
，且
或
，因此
；
（ⅱ）
，则
，于是
，
解得
，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
考点六 求方程的近似解
34．（25-26 高三上·云南昆明·期末）已知函数
在区间
内存在一个零点，用二分法计算
这个零点的近似值时，给定精确度为
，其参考数据如下：
则这个零点的近似值为___________．（精确到
）
【答案】
【分析】先得到零点位于
，由精确到
，得到近似值.
【详解】
，且
，
函数
在区间
内存在一个零点，故零点位于
，
精确到
，故零点的近似值为
.
故答案为：
35．（25-26 高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程
根的近似解时，令
，
并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程
的一个近似解为（精确度为
）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二分法判断即可得出结果.
【详解】设函数
的零点为
，
因为
，
，则
，所以
，区间长度为
，
取区间
中点，
，则
，
所以
，区间长度为
，
取区间
的中点
，
，则
，
所以
，区间长度为
，
取区间
的中点
，则
或
，
此时区间长度为
，故方程
的一个近似解为
，
故选：B.
36．（25-26 高三上·山西长治·期末）下列函数中，与x 轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号，
对于A，
单调递增，在零点
处左右函数值异号，能用二分法求零点；
对于B，
先减后增，在零点
处左右函数值都为正，不能用二分法求零点；
对于C，
单调递增，在零点
处左右函数值异号，能用二分法求零点；
对于D，
先减后增，在零点
，
处左右函数值异号，能用二分法求零点.
37．（25-26 高三上·河南新乡·期末）用二分法求方程
在
上的近似解时，经过两次二分后，可确定
近似解所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解.
【详解】记
，由于
均为
上的单调递增函数，故
为
上的单
调递增函数，
因为
，
且
，所以函数
的零点落在区间
内，
又因为
，
所以
，
所以函数
的零点落在区间
内，
即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为
.
故选：B.
1．（25-26 高二下·重庆·阶段检测）函数
的零点个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【分析】利用导数确定单调性，进而求出函数零点个数.
【详解】函数
的定义域为R，求导得
，
函数
在R 上单调递减，而当
时，
，
所以函数
的零点个数为1.
2．（25-26 高三下·贵州遵义·阶段检测）已知函数
，则
在区间
上的零点个数为
（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【详解】令
，则
，
解得
，
令
，解得
，
所以
，
在区间
上的零点个数为8 个
3．（2026·天津·二模）函数f (x)=log2 x−1
3 x的一个零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论
【详解】f (x)=log2 x−1
3 x定义域为
，
，
令
得
，令
得
，
所以f (x)=log2 x−1
3 x在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
其中
，故
，
，
，
由零点存在性定理可得函数f (x)=log2 x−1
3 x的一个零点所在区间为
，
其他选项均错误.
4．（25-26 高三上·江西抚州·期中）已知
，
在
上有且只有两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式进行化简
，问题转化为方程
在区间
上有
且仅有两个不相等的实根，然后结合
的范围及正弦函数的性质，求出
的取值范围．
【详解】
.
函数
在
上有且只有两个零点，可以转化为方程
在区间
上有且仅有两个不相等的实
根，
令
，因为
，则
.
结合
的图象可知，若
在
有且仅有两个不相等的实根，
则
，解得
.
故
的取值范围是
.
5．（25-26 高二下·云南德宏·期中）若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数有两个不同的零点，转化为函数
的图象与直线
有两个交点，利用求导判断函数
单调性和图象趋势，分析即得参数范围.
【详解】函数
有两个不同的零点，
则方程
有两个不同的实根，也即函数
的图象与直线
有两个交点.
由
求导得
，当
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且当
时，
，
当
时，
，且
，当
时，
取得极小值
.
作出函数的图象：
由图可知，当且仅当
时，函数
与直线
有两个交点，
故实数
的取值范围是
.
6．（2026·河南许昌·三模）已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
，求导，利用导数分析函数单调性和极值点；分析
在区间
内的单调性和关键点，作出函数图象，结合图象得出
有3 个零点的a 的取值范围．
【详解】当
时，
，求导得
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
是
的极小值点，即为最小值点，
，
且
；
当
时，
，
，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，
故函数
的图象如下：
已知函数
有3 个零点，由图象可知，
当
时，
有3 个交点；
当
时，
有3 个交点；
综上，实数a 的取值范围是
．
7．（2026·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
B．
有4 个极值点
C．
在
上有零点
D．
在
上单调递增
【答案】ACD
【分析】对于A，代入计算即可；对于B，求原函数的极值点即求导函数的变号零点即可；对于C，求函数在某区
间是否有零点，利用零点存在性定理判断即可；对于D，判断函数在某区间的单调性即求其导函数在该区间的正
负情况即可.
【详解】对于A 选项，由
，所以选项A 正确；
对于B 选项，令函数
，
则
，
所以
为偶函数，
，
令函数
，则
，
令函数
，则
，
当
时，
，所以
在
上单调递减，
即
在
上单调递减，所以
，
则
在
上单调递减，所以
，
即
，所以
在
上单调递减，
则
在
上单调递增，即
在
上单调递增，
在
上单调递减，因为
，
，
，
所以
在
上有1 个极值点，在
上有1 个极值点，
所以
只有2 个极值点，所以选项B 错误；
对于C 选项，由
，
，
由零点的存在性定理可知
在
上有零点，所以选项C 正确；
对于D 选项，
，
当
时，
，
，
因为
，所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，所以选项D 正确.
8．（2026·江苏南京·一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
是偶函数
C．
在
上单调递增
D．
有且仅有2 个零点
【答案】ABD
【分析】利用对数函数的性质求解定义域判断A，利用偶函数的定义判断B，利用导数的性质判断C，利用分类讨
论思想结合零点存在性定理与偶函数性质判断D 即可.
【详解】对于A，令
，解得
，
则
的定义域为
，故A 正确，
对于B，由已知得
的定义域关于原点对称，
而
，
则
是偶函数，故B 正确，
对于C，当
时，得到
，
则
，此时
，
得到
在
上单调递减，故C 错误，
对于D，由题意得
的定义域为
不妨令
，讨论
时的情况即可，
当
时，设
，
可得
，此时
，
得到
在
上单调递减，而
，
，
可得
，则
，
由零点存在性定理得存在
作为
零点，
当
时，
，此时
无零点，
当
时，结合偶函数性质得
有1 个零点，
综上可得，
有且仅有2 个零点，故D 正确.
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）设函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是增函数
C．
D．曲线
与曲线
有且仅有个交点
【答案】ABD
【分析】先确定函数的定义域，再用函数的奇偶性的定义可得A 对错；由函数的性质可判断B，根据函数的奇偶
性及单调性可判断C；对D 构造函数
，用导数判断函数的零点可得.
【详解】由函数
的定义域：由
，
，得
，
即函数
的定义域为
.
对于A：
，满足奇函数定义，A 正确；
对于B ：化简
，因为函数
在
上单调递增，
函数
在
上单调递减，由函数的性质得函数
在
单调递增，故B 正
确；
对于C，由奇函数性质，
，
所以不等式
可化为：
，
，
，所以
,
又因为
在
上单调递增，得
，故原不等式错误，故C 错误；
对于D，设
，因为
均为奇函数，
所以
是奇函数，只需分析
：
当
时，
，即
是一个交点；
当
时，求导得
，
因为
，所以
，
，所以
，
所以
在
上单调递减，
，因此
在
无零点；
因为
是奇函数，所以
在
无零点，
因此函数
在
有且仅有零点，故D 正确.
10．（25-26 高三上·四川南充·期末）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．函数
的反函数是
B．函数
过定点
C．对于函数
，能用二分法求函数零点近似值
D．已知
为奇函数，当
时，
，则
时，
【答案】AB
【分析】选项A，根据反函数的定义判断；选项B，根据对数函数的性质求出定点；选项C，根据二分法的适用条
件判断；选项D，根据奇函数的性质求出
时的函数表达式.
【详解】选项A：函数
，其定义域为
，值域为
，
且
是单调递增函数，则它存在反函数，
两边取自然对数可得
，将
互换，得到
，
所以函数
的反函数是
，故选项A 正确；
选项B：对数函数
，当
时，
，
在函数
中，
令
，即
，此时
，
因为
（
且
），所以
，
即函数
过定点
，故选项B 正确；
选项C：对于函数
，
令
，即
，解得
，
当
时，
，不存在区间
使得
，
所以不能用二分法求函数零点近似值，故选项C 错误；
选项D：因为
为奇函数，则
，
当
时，
，
当
时，
，则
，
因为
是奇函数，所以
，而非
，故选项D 错误.
故选：AB.
11．（25-26 高三上·全国·期末）方程
在
上的近似解为 __（精确度为0.1）．
【答案】1.3126（答案不唯一）
【分析】根据二分法，依次计算区间端点及中间点的函数值，根据精确度判断零点所在区间，根据精确度要求写
出方程的一个近似解.
【详解】设函数
，
区间端点及中点的函数值用二分法逐次计算列表如下：
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
0.87
5
0.224
6
因为
，
，
，
所以原方程的解在区间
上，所以取方程的近似解1.3126.
故答案为：1.3126（答案不唯一）
12．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026 学年高三上学期5 月春季联赛数学试题）若函数
在区间
上有且只有个零点，则
的取值范围是_________．
【答案】[
15
4 , 27
4 )
【分析】利用正弦函数的性质，得到
的零点
，结合题设条件建立不等式组即可求解.
【详解】由
，得到
，
因为
在区间
上有且只有个零点，故存在
，
使得
，
故
，
因为
，故
且
即
，
故
，
若
，则
即
，
若
，则
，无解，
综上
.
13．（25-26 高三上·江苏盐城·期末）若函数
的零点所在区间为
，则
的值为
___________．
2.71828）
【答案】1
【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得函数
的零点所在区间，从而得到
的值.
【详解】因为函数
与函数
均为增函数，所以函数
为增函数.
因为
，
，所以函数
的零点所在区间为
.
所以
.
故答案为：.
14．（25-26 高三上·山东德州·期中）已知函数
.
(1)求
的最小正周期和增区间；
(2)若存在
，使等式
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为
，增区间为
；
(2)
【详解】（1）
，
所以
的最小正周期为
，
令
，则
，
所以
的增区间为
；
（2）当
时，
，则
，故
，
令
，得
，即实数
的取值范围是
.
15．（25-26 高二下·四川内江·期中）已知函数
.
(1)若
，求函数在
的最值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个零点，求
的取值范围.
【答案】(1)最大值为
，最小值为
.
(2)当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
上单调递
增.
(3)
.
【分析】（1）将
代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间
上的符号，确定函数单调性，
根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值；
（2）对
求导，将导函数
整理为关于
的因式形式；参数
的取值会影响导数的符号，分
和
两种情况讨论
正负所在的区间，确定函数单调性；
（3）结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的极值情况；因为函数有两个零点，根据不同
的取值范围，分析
函数的最值、极限趋势，结合零点存在定理确定
的取值范围.
【详解】（1）
，则
；
，即
在
内单调递减.
，
；
即函数在
时的最大值为
，最小值为
.
（2）
，则函数
的定义域为
.
.
当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，令
，即
，解得
.
若
，则
，即
在
上单调递增；
若
，则
，即
在
上单调递减；
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）由（2）知，当
时，
在
上单调递减，
最多只有一个零点，不符合题意；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取得极小值，也是
最小值；
即
有2 个零点，
，即
.
令
，则
；
在
上单调递增.
又
，
时，
；
，得
；
即
的取值范围为
.
