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2.11 函数与方程
函数零点的概念
1．函数的零点：对于函数y＝f (x)，把使f (x)＝0 的实数x 叫做函数y＝f (x)的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系：方程f (x)＝0 有实数解⇔函数y＝f (x)有零点⇔函数y＝f (x)
的图象与x 轴有公共点．
【注意】函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x 轴交点的横坐标．
函数零点存在定理：如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f
(b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个
c 也就是方程f (x)＝0 的解．
【注意】1．①函数f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f (a)·f (b)<0．这两个条
件缺一不可．
2．该定理是一个充分不必要条件，反过来，若在(a，b)上有零点，则不一定有f (a)f (b)<0 成立．如：
函数y＝x2有零点x0＝0，但函数值在零点两侧同号．
二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0 的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点
所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【注意】用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零
点0，但不能用二分法求解．
用二分法求函数零点的近似值
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f (x)零点x0的近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f (a)f (b)<0．
2．求区间(a，b)的中点c．
3．计算f (c)，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若f (c)＝0(此时x0＝c)，则c 就是函数的零点；
(2)若f (a)f (c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；
(3)若f (c)f (b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c．
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而
复始怎么办？精确度上来判断．
【注意】 (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点．
(2)精确度ε 表示当区间的长度小于ε 时停止二分．
考点一 判断零点所在区间
考点二 零点个数的判断
考点三 利用零点所在的区间求参数范围
考点四 比较零点的大小以及零点求和
考点五 利用零点的分布求参数
考点六 求方程的近似解
考点一 判断零点所在区间
1．（2026·天津东丽·二模）函数
的零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）函数
零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·重庆·月考）已知方程
的解为
，求
所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·四川宜宾·期末）函数
的零点在下列区间内（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）方程
的实数根所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·浙江杭州·期末）已知单调递增函数
的零点在区间
内，且
，
则n 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
考点二 零点个数的判断
7．（湖南邵阳市2026 年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）函数
在
上的零点个
数为________．
8．（2026·重庆·三模）（多选）已知函数
则（ ）
A．∃a R
∈，使得f（x）为偶函数
B．∃a R
∈，使得f（x）存在零点
C．∀a R
∈，f（x）为增函数
D．∃a R
∈，使得f（x）的最小值为0
9．（25-26 高二下·北京朝阳·期中）已知函数
；若方程
恰有三个根，写出一个满足条
件的实数
为__________.
10．（2026·浙江·三模）直线
与曲线
的交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·北京朝阳·二模）设函数
若关于
的方程
恰有两个不同的实数解，
则满足条件的实数
的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
12．（2026·北京顺义·二模）已知函数
.给出下列四个结论：
①当
时，对任意负实数
，方程
恰有一个实数解；
②存在
，有负实数
，使得方程
无实数解；
③存在
，有正实数
，使得方程
恰有2 个实数解；
④存在
，有实数
，使得方程
恰有3 个实数解.
其中所有正确结论的序号是__________.
考点三 利用零点所在的区间求参数范围
13．（25-26 高三上·湖南衡阳·月考）已知函数
在
上存在零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2026·河北衡水·一模）（多选）若函数
（
）在
内存在唯一的
，使得
，则
的取值可能为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
15．（25-26 高三上·全国·期末）若函数
在区间
上存在一个零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
16．（25-26 高二上·浙江台州·期末）若函数
在区间
各恰有一个零点，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（25-26 高三上·河南信阳·期末）函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（25-26 高三上·四川成都·期末）函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 比较零点的大小以及零点求和
19．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2026·河南新乡·三模）已知函数
的零点分别为
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
.
(1)求
的对称中心坐标；
(2)若
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)已知函数
，记方程
在区间
上的根从小到大依次为
，求
的值.
22．（25-26 高三上·湖南邵阳·月考）已知函数
，方程
有四个不同解
，
则
的取值范围是______．
23．（2026·湖北黄冈·二模）设
分别是
与
的零点，则
的取值范围
是___________．
24．（2026·湖南湘西·三模）已知
分别为函数
的
零点，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（江苏南通市2026 届高三下学期二模数学试题）已知函数
，
，
的零点分别为
、
、
，则
、
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（25-26 高三上·江西赣州·期中）函数
的所有零点的和为（ ）
A．
B．
C．3
D．5
考点五 利用零点的分布求参数
27．（25-26 高一·全国·课后作业）若函数
的表达式
在
内有零点，求实数
的取值范
围．
28．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数
，则
有零点的充要条件是______.
29．（2026·天津·一模）函数
，若
恰有四个不同零点，则实数a 的取值范围为
______________．
30．（25-26 高三上·广东江门·月考）已知函数
．
(1)求
的最小值；
(2)将
的图象向右平移
个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象，求
的单调递减区间；
(3)若关于x 的方程
在
上有四个不同的实数根，求实数a 的取值范围．
31．（25-26 高三上·江苏南通·月考）（多选）已知函数
，若关于
的方程
有3 个
实数解
，则（ ）
A．
B．
C．
D．关于
的方程
有3 个实数解
32．（25-26 高三上·浙江宁波·开学考试）已知幂函数
在
上单调递增．
(1)求
的值及函数
的解析式；
(2)若
有两个不相等的正数解，求实数
的取值范围．
33．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知函数
，
(1)若不等式
恒成立，求实数
的值；
(2)若函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若函数
在区间
上的值域为
，且
，求实数
的取值范围．
考点六 求方程的近似解
34．（25-26 高三上·云南昆明·期末）已知函数
在区间
内存在一个零点，用二分法计算
这个零点的近似值时，给定精确度为
，其参考数据如下：
则这个零点的近似值为___________．（精确到
）
35．（25-26 高三上·陕西西安·期末）用二分法求方程
根的近似解时，令
，
并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程
的一个近似解为（精确度为
）
（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（25-26 高三上·山西长治·期末）下列函数中，与x 轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
37．（25-26 高三上·河南新乡·期末）用二分法求方程
在
上的近似解时，经过两次二分后，可确定
近似解所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（25-26 高二下·重庆·阶段检测）函数
的零点个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
2．（25-26 高三下·贵州遵义·阶段检测）已知函数
，则
在区间
上的零点个数为
（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
3．（2026·天津·二模）函数f (x)=log2 x−1
3 x的一个零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·江西抚州·期中）已知
，
在
上有且只有两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高二下·云南德宏·期中）若函数
有两个不同的零点，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·河南许昌·三模）已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
B．
有4 个极值点
C．
在
上有零点
D．
在
上单调递增
8．（2026·江苏南京·一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
是偶函数
C．
在
上单调递增
D．
有且仅有2 个零点
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）设函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是增函数
C．
D．曲线
与曲线
有且仅有个交点
10．（25-26 高三上·四川南充·期末）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．函数
的反函数是
B．函数
过定点
C．对于函数
，能用二分法求函数零点近似值
D．已知
为奇函数，当
时，
，则
时，
11．（25-26 高三上·全国·期末）方程
在
上的近似解为 __（精确度为0.1）．
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
0.87
5
0.224
6
12．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026 学年高三上学期5 月春季联赛数学试题）若函数
在区间
上有且只有个零点，则
的取值范围是_________．
13．（25-26 高三上·江苏盐城·期末）若函数
的零点所在区间为
，则
的值为
___________．
2.71828）
14．（25-26 高三上·山东德州·期中）已知函数
.
(1)求
的最小正周期和增区间；
(2)若存在
，使等式
成立，求实数
的取值范围.
15．（25-26 高二下·四川内江·期中）已知函数
.
(1)若
，求函数在
的最值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有两个零点，求
的取值范围.
