文档内容
专题 09 函数的图像 函数的零点（八大题型+模拟精练）
目录：
01 画函数的变换图像
02 识别函数的图像
03 函数图像变换的应用
04 求函数的零点及个数
05 二分法求函数的零点
06 根据函数的零点求参数
07 函数零点的其他应用
08 补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用
01 画函数的变换图像
1．（2024高三·全国·专题练习）作出下列函数的图象：
(1) ；
(2) ；
(3)y＝|log x－1|；
2
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】(1)去绝对值化简成分段函数，画出图象即可．
(2)原式变形为y＝1＋ ，先作出y＝ 的图象，再结合图象变换，即可得出结论．
(3)先作出y＝log x的图象，结合图象变换，即可得出结论．
2【解析】(1)首先要化简解析式，y＝
利用二次函数的图象作出其图象，如图①所示.
(2)原式变形为y＝1＋ ，先作出y＝ 的图象，再将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，
即得如图②所示.
(3)先作出y＝log x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折
2
到x轴上方来，即得y＝|log x－1|的图象，如图③所示.
2
【点睛】本题主要考查了绝对值函数图象的画法，关键是化为分段函数或利用图象变换来画图，属于中档
题．02 识别函数的图像
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.
【解析】因为 ，所以当 时， ，故排除ABC，
又 的图象可由函数 的图象向右平移一个单位得到，则D正确.
故选：D.
3．（2024·湖北·模拟预测）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 时 的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【解析】 ，因为当 时， 都为增函数，
所以， 在 上单调递增，故B，C错误；
又因为 ，
所以 不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
4．（2024·宁夏固原·一模）已知函数 的部分图像如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用 在 上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用 在 上的单调性排除
D，从而得解.
【解析】对于B，当 时， ，易知 ， ，
则 ，不满足图象，故B错误；
对于C， ，定义域为 ，又 ，则 的图象关于 轴对称，故C错误；
对于D，当 时， ，
由反比例函数的性质可知， 在 上单调递减，故D错误；
检验选项A， 满足图中性质，故A正确.
故选：A.
03 函数图像变换的应用
5．（2024·四川南充·二模）已知函数 ，则函数 的图象（ ）
A．关于点 对称 B．关于点 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
【答案】A
【分析】
首先判断函数 为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.
【解析】函数 的定义域为 ，又 ，
所以 为奇函数，则函数 的图象关于原点 对称，
又 的图象是由 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，
所以函数 的图象关于点 对称.
故选：A
6．（22-23高二上·河南·阶段练习）直线 过函数 图象的对称中心，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得 的对称中心，从而得到 ，再利用基本不等
式“1”的妙用即可得解.
【解析】函数 的图象，
可由 的图象向右平移1个单位，再向上2个单位得到，
又 的定义域为 ， ，
所以 是奇函数，则其对称中心为 ，
故 的对称中心为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时,等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：A.
7．（2022高三·全国·专题练习）已知二次函数 的图象的顶点坐标是 ，且截 轴所得线段的长度
是4，将函数 的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线 ，则抛物线 与 轴的交点
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质，结合待定系数法求得 ，再利用平移的特征求得 ，从而得解.【解析】因为二次函数 的图象的顶点为 ，
故 的对称轴为直线 ，
又 的图象截 轴所得线段的长度是4，
所以 的图象与 轴的交点坐标为 和 ，
设 ，将点 代入得 ，解得 ，
所以 ，
因为 的图象为 的图象右移2个单位得到的，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 与 轴交点生标为 .
故选：B.
8．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数 的定义域为 且满足 ， ，将
的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数 的图象.
(1)分别求 与 的解析式；
(2)设函数 ，若 在区间 上有零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用换元法求得 的解析式，根据图象变换的知识求得 的解析式.（2）先求得 的解析式，然后利用换元法，根据根据函数的零点与方程的解、分离参数法、对钩函数
的性质求得 的取值范围.
【解析】（1）令 ， ，则 ， ，
所以 ，则 .
由题意可得， .
（2） .
令 ，当 时， ，
函数 有零点等价于关于 的方程 在 上有解.
令 ，则 ， ，
所以 ，
由双勾函数的单调性可知，
函数 在 上单调递减，
当 时，该函数取得最小值，即 ，
当 时，该函数取得最大值，即 ，
因此，实数m的取值范围为 .
【点睛】利用换元法求函数的解析式，要注意函数的定义域在求解过程中的变化.求解函数的零点问题，可
转化为方程的根来进行研究.如果零点问题含有参数，则可以考虑分离参数法、构造函数，转化为值域问题
来进行求解.
04 求函数的零点及个数9．（2023高三·全国·专题练习）已知指数函数为 ，则函数 的零点为（ ）
A． B．0
C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.
【解析】函数 ，由 ，即 ，整理得 ，解得 ，
所以函数 的零点为1.
故选：C
10．（2023·陕西西安·模拟预测）函数 的零点为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义即可求解.
【解析】令 ，得 ，则 ．
故选：A
11．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】
解析：f′（x）＝2x ln 2＋1＞0，所以f（x）在R上单调递增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函数的零点个数
为1.故选B.
12．（2019高三·山东·学业考试）函数 零点个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据零点的定义计算即可.【解析】由 得：
或
解得 或 ．
因此函数 共有2个零点．
故选：B.
13．（2024·广东湛江·二模）已知函数 ， ，则（ ）
A．当 有2个零点时， 只有1个零点
B．当 有3个零点时， 有2个零点
C．当 有2个零点时， 有2个零点
D．当 有2个零点时， 有4个零点
【答案】D
【分析】作出函数 ， 图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与 的图象
的公共点的个数，结合图象可得答案.
【解析】两个函数的零点个数转化为图象与 的图象的公共点的个数，
作出 ， 的大致图象，如图所示.
由图可知，当 有2个零点时， 无零点或只有1个零点；
当 有3个零点时， 只有1个零点；
当 有2个零点时， 有4个零点.
故选：D14．（2024·全国·模拟预测）函数 的图像关于点 中心对称，将函数
的图像向右平移 个单位长度得到函数 的图像，则函数 在区间 内的零点个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换
【解析】 函数 的图像关于点 中心对称， ，∴ ,
又 ，则 ．
将函数 的图像向右平移 个单位长度得到函数 的图像,
令 ，得 ∴函数 在区间 内的零点有
，共4个.
故选：D．
05 二分法求函数的零点
15．（2023高三·全国·专题练习）用二分法求函数 在区间 上的零点，要求精确
度为 时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过 次操作后，
区间长度变为 ，若要求精确度为 时则 ，解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.
【解析】因为开区间 的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过 次操作后，区间长度变为 ，
令 ，解得 ，且 ，
故所需二分区间的次数最少为7.
故选：C.
16．（2019高三·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案．
【解析】根据二分法的思想，函数 在区间 上的图象连续不断，且 ，即函数的零点
是变号零点，才能将区间 一分为二，逐步得到零点的近似值．
对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，
而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
故选：C.
06 根据函数的零点求参数17．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题 ：函数 在 内有零点，则命题 成立
的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出 的取值范围，结合必要不充分条件的意义
判断即得.
【解析】函数 在 上单调递增，由函数 在 内有零点，
得 ，解得 ，即命题 成立的充要条件是 ，
显然 成立，不等式 、 、 都不一定成立，
而 成立，不等式 恒成立，反之，当 时， 不一定成立，
所以命题 成立的一个必要不充分条件是 .
故选：D
18．（2023高三·全国·专题练习）函数 在区间 内有零点，则实数k的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据题意将问题转化为 与 ， 的图象有交点，再由 在 上递增，
可求得结果.
【解析】令 ，则 ，即 ，
即 与 ， 的图象有交点，
因为 和 在 上递增，所以 在 上递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
即实数k的取值范围是 ，
故答案为：19．（22-23高三·全国·课后作业）已知函数 的零点 ， ，则 ．
【答案】2
【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.
【解析】因为函数 为R上单调减函数，
故函数 为R上单调减函数，
又 ， ，
故 在 上有唯一零点，
结合题意可知 ，
故答案为：2
20．（22-23高三·全国·对口高考）方程 在区间 上有解，则实数a的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据 在区间 端点的正负列式求解即可.
【解析】考查 ，因为 ，且 开口向上，
故 在区间 上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程 在区间 上有
解，
则 ，即 ，解得 .
故答案为：
21．（2024·全国·模拟预测）若不等式 或 只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式．
已知不等式 为单元集不等式，则实数a的取值范围是 ．【答案】
【分析】不等式转化为 ，引入函数 ， ，分类讨论作出
函数图象，利用数形结合思想求解．
【解析】根据题意可转化为满足 的整数x的个数为1．
令 ， ，
当 时，作出函数 和 的图象，如图所示，
数形结合得， 的解集中整数的个数有无数多个，不符合题意；
当 时， ，所以 ，解得 ，只有一个整数解 ，
所以 符合题意；
当 时，作出函数 和 的图象，如图所示，
要使 的整数解只有一个，只需满足 ，
即 ，结合 可得 ．综上所述，实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：
（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；
（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；
（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.
07 函数零点的其他应用
22．（23-24高三上·山东威海·期末）已知函数 的图象是连续不断的，且 的两个相邻的零点是
， ，则“ ， ”是“ ， ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合函数的单调性，由充分必要条件的判断方法求解即可.
【解析】解：由题意知， ，对任意 ，
而函数 的图象是连续不断的，
由 ， ，可得 ， ，充分性成立，
反之 ， ，显然可推出 ， ，必要性成立，
故“ ， ”是“ ， ”的充要条件，
故选：C
23．（2020·江西赣州·模拟预测）设函数 在区间 上存在零点，则 的最小
值为（ ）
A． B． C．7 D．【答案】B
【分析】设t为 在 上的零点，可得 ，转化为点 在直线 上，
根据 的几何意义，可得 ，令 ，利用导数求得函数的单调性和最值，
即可得答案.
【解析】设t为 在 上的零点，则 ，
所以 ，即点 在直线 ，
又 表示点 到原点距离的平方，
则 ，即 ，
令 ，可得 ，
因为 ，
所以 ，
可得 在 上为单调递增函数，
所以当t=0是， ，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：B
【点睛】解题的关键是根据 的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数
求解，分析、计算难度大，属难题.
24．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知 是函数 的一个零点，若 ， ，
则（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【答案】D
【分析】利用数形结合判定函数值大小即可.
【解析】令 ．从而有 ，此方程的解即为函数 的零点．
在同一坐标系中作出函数 与 的图象，如图所示．
由图象易知， ，从而 ，故 ，即 ．
同理 ．
故选：D
25．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知三个函数 ， ，
的零点依次为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理得出结果.
【解析】因为 ， 在R上为增函数， 在 上为增函数，
所以由题知函数 ， ， 在各自定义域上都为增函数，又 ， ，∴
； ， ，∴ ；， ，∴ ，
∴ .
故选：D.
26．（20-21高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数 （其中a∈R），若 的
四个零点从小到大依次为 ，则 的值是（ ）
A．16 B．13 C．12 D．10
【答案】C
【分析】根据零点的定义，通过转化法、数形结合思想进行求解即可.
【解析】令 ，
设 ，图象如下图所示：
所以有 ，
且 ，
因此可得 ，
所以 ，
故选：C
08 补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用27．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油
量 （单位：L）与速度 （单位：km/h）（ ）的下列数据：
0 40 60 80 120
0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.
【解析】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为 ；第二，在定义域单调递增且单位
增长率变快；第三，函数图象过原点.
A选项：函数 在定义域内单调递减，故A错误；
B选项：函数 的单位增长率恒定不变，故B错误；
C选项： 满足上述三点，故C正确；
D选项：函数 在 处无意义，D错误.
故选：C
28．（23-24高三上·福建泉州·期末）函数 的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（ ）
-2 -1 0 1 2 3 52.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数 的数据即可得出答案.
【解析】由函数 的数据可知，函数 ，
偶函数满足此性质，可排除B，D；
当 时，由函数 的数据可知，函数 增长越来越快，可排除C.
故选：A.
29．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一
组数据：
月份 2 3 4 5 6 …
元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
请从模型 ，模型 中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为
（ ）（参考数据： ， ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，选择出好的模型之后利用解不等式求出
自变量的范围.
【解析】根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数 及 的图象．如图：
观察发现，这些点基本上是落在函数 图象上或附近，因此用 这一函数模型．
当 时， ，则有 .
由 且 ， 最小值为10.
故选：C.
30．（2024·北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 满足公式 ，其中
是空气密度， 是该飞行器的迎风面积， 是该飞行器相对于空气的速度， 是空气阻力系数（其大小
取决于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率 . 当 不变， 比原
来提高 时，下列说法正确的是（ ）
A．若 不变，则 比原来提高不超过
B．若 不变，则 比原来提高超过
C．为使 不变，则 比原来降低不超过
D．为使 不变，则 比原来降低超过
【答案】C
【分析】由题意可得 ， ，结合选项，依次判断即可.
【解析】由题意， ，所以 ， ，
A：当 ， 不变， 比原来提高 时，
则 ，所以 比原来提高超过 ，故A错误；
B：由选项A的分析知， ，
所以 比原来提高不超过 ，故B错误；
C：当 ， 不变， 比原来提高 时， ，
所以 比原来降低不超过 ，故C正确；
D：由选项C的分析知， 比原来降低不超过 ，故D错误.
故选：C
31．（2024·全国·模拟预测）2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大
任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道
半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：
， ）（ ）
A．1.587 B．1.442
C．0.587 D．0.442（ ）
【答案】C
【分析】利用指数和对数的运算求解即可.
【解析】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，
设 ，
当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为 ，
则 ，
两式相比得： ，即 ，
故 ，
故圆轨道半径增加的倍数大约是 .
故选：C.
32．（23-24高三下·陕西·阶段练习）某种生物群的数量Q与时间t的关系近似的符合： （其中e为自然对 …），给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（ ）
A．该生物群的数量不超过10
B．该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小
C．该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比
D．该生物群的数量的增长速度最大的时间
【答案】C
【分析】对解析式上下同时除以 ，结合反比例函数模型可判断A正确；对 ，求导， 即
为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断C错，BD正确
【解析】因为 ， ，故该生物种群的数量不会超过10，故A正确；
由 ，求导得 ，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正
比，故C错误；
因为 为对勾函数模型，故 ，
当且仅当 ，即 时取到等号，
当 时生物群的数量的增长速度随时间的增加而增加，当 时生物群的数量的增长速度
随时间的增加减小，即该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；
且当 时， 最大，故BD正确.
故选：C.
33．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生
里氏6.2级地震，震源深度10公里．面对突发灾情，社会各界和爱心人士发扬“一方有难、八方支援”的
中华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关．震级是以地震仪测定的每次地震活动
释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级．能量
E与里氏震级M的对应关系为 ，试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的（ ）
A．100倍 B．512倍 C．1000倍 D．1012倍
【答案】C【分析】借助能量E与里氏震级M的对应关系计算即可得.
【解析】由 ，设 ，
则 ，
即 ， .
故选：C.
34．（2024·江苏·一模）德国天文学家约翰尼斯·开普勒根据丹麦天文学家第谷·布拉赫等人的观测资料和星
表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦
点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系： ，其中
M为太阳质量，G为引力常量．已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为
水星的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
【答案】B
【分析】根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可.
【解析】设火星的公转周期为 ，长半轴长为 ，火星的公转周期为 ，长半轴长为 ，
则， ，且
得： ，
所以， ，即： .
故选：B．
35．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）“开车不喝酒，喝酒不开车．”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据
驾驶人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值 随着时间x（小时）的变化规律，可以用函数模型 来拟合，则该
人喝一瓶啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（ ）（参考数据： ， ）
驾驶行为类
酒精含量值（mg/100mL）
别
饮酒驾驶
醉酒驾驶
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】可结合分段函数建立不等式 ，利用指数不等式的求解即可.
【解析】对于
由 ，则 ，函数 先增后减，
当 时， ，
所以，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量可能大于20，
则驾车只能在2个小时之后，令 ，即 ，
解得 ，
， 的最小值为6，故至少经过6小时才可以驾车.
故选：B.
36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间
的变化遵循兰彻斯特模型： ，其中正实数 ， 分别为红、蓝两方的初始兵力， 为战斗时间； ， 分别为红、蓝两方 时刻的兵力；正实数 ， 分别为红方对蓝
方、蓝方对红方的战斗效果系数； 和 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．
规定：当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为
．则下列结论不正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，则红方获得战斗演习胜利
D．若 ，则红方获得战斗演习胜利
【答案】C
【分析】对于A根据已知条件利用作差法比较大小即可得出 ，对于B，利用A
中结论可得蓝方兵力先为0，即 解得 ；对于C和D，若要红方获得战斗演习胜
利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间 、 ，比较大小即可.
【解析】对于A，若 且 ，则 ，
即 ，所以 ，
由 可得 ，即A正确；
对于B，当 时根据A中的结论可知 ，所以蓝方兵力先为 ，即 ，化简可得 ，
即 ，两边同时取对数可得 ，
即 ，所以战斗持续时长为 ，所以B正确；
对于C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为 时所用时间为 ，蓝方兵力为 时所用时间为 ，
即 ，可得
同理可得 ，即 ，解得 ，
又因为 都为正实数，所以可得 ，红方获得战斗演习胜利；
所以可得C错误，D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题给的信息比较多，关键是理解题意，然后利用相应的知识（作差法、指数函数
的性质）进行判断.
一、单选题
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）函数 的零点是（ ）
A．2 B． C．-2 D．2或-1
【答案】A
【分析】由题意令 可得关于 的方程，进而求解.【解析】由题意令 ，因为 ，所以 ，即 .
故选：A.
2．（2023·陕西西安·模拟预测）函数 的零点为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义即可求解.
【解析】令 ，得 ，则 ．
故选：A
3．（2024·湖南·二模）已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.
【解析】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B；
由图可知，当 时， ，
而对于D选项，当 时， ，故排除D.
故选：A.4．（2024·山西长治·一模）研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长 （月）与肿瘤细胞含量 的关
系，其函数解析式为 ，其中 为参数．经过测算，发现 （ 为自然对数的底
数）．记 表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定信息，列出方程并求解即得.
【解析】依题意， ，而 ，则 ，即 ，
又 ，解得 ，所以 .
故选：D
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数 与函数 的图象有两个交
点，求导并画出函数 的图象求得切线方程，再由数形结合即可求得 的取值范围.
【解析】由 可得 ，则函数 与函数 的图象有两个交点；
设 ，则 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
令 ，解得 ，可求得 的图象在 处的切线方程为 ；
令 ，解得 ，可求得 的图象在 处的切线方程为 ；
函数 与函数 的图象如图所示：
切线 与 在 轴上的截距分别为 ,
当 时， 与函数 的图象有一个交点，
故实数 的取值范围为 .
故选：A
6．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设 ，函数 的零点分别为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意 分别为函数 与函数 图象交点的横坐标，作出函数
的图象，结合函数图象即可得解.【解析】分别令 ，
则 ，
则 分别为函数 与函数 图象交点的横坐标，
分别作出函数 的图象，如图所示，
由图可知， .
故选：A.
7．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 ，若函数 有4个零点，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知：函数 的零点个数即为 与 的交点个数，利用导数求过原点的切
线，结合图象分析求解.
【解析】作出 的图象，如图所示令 ，可得 ，
由题意可知：函数 的零点个数即为 与 的交点个数，
若 ，则 ，可得 ，
设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
则切线方程为 ，
代入点 ，可得 ，解得 ，
此时切线斜率为 ；
若 ，则 ，可得 ，
设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
则切线方程为 ，
代入点 ，可得 ，解得 ，
此时切线斜率为 ；结合图象可知 的取值范围为 .
故选：D.
【点睛】易错点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数
解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．
运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错
误的选择．
8．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 的图象在区间
内恰好有 对关于 轴对称的点，则 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】令 ， ，根据对称性，问题可以转化为 与 的图象在
内有 个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.
【解析】令 ， ，
因为 与 的图象关于 轴对称，
因为函数 的图象在区间 内恰好有 对关于 轴对称的点，
所以问题转化为 与 的图象在 内有 个不同的交点，
在同一平面直角坐标系中画出 与 的图象如下所示：因为 ，当 时 ， ，
结合图象及选项可得 的值可以是 ，其他值均不符合要求,.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为 与 的图象在 内有
个不同的交点.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状
态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为 ，继续排气4分钟后又测
得浓度为 ．由检验知该地下车库一氧化碳浓度 （单位： ）与排气时间 （单位：分钟）之间
满足函数关系 （ 为常数， 是自然对数的底数）．若空气中一氧化碳浓度不高于 ，人就
可以安全进入车库了，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．排气12分钟后浓度为
D．排气32分钟后，人可以安全进入车库
【答案】ACD
【分析】由题意列式，求出 ，即可判断A，B；可得函数解析式，将 代入，即可判
断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D.【解析】设 ，代入 ，得 ,
解得 ，A正确，B错误．
此时 ，所以 ，C正确．
当 时，即 ，得 ，所以 ，
所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确．
故选:ACD．
10．（2024·黑龙江·二模）定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， .设
函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象在 处的切线方程为
C．
D． 的图象与 的图象所有交点的横坐标之和为10
【答案】ACD
【分析】对于A，根据奇偶性和对称性可得图象关于 对称；对于B，根据周期性和对称性可求函数在
给定范围范围上的解析式，故可求切线方程；对于C，根据周期性可求目标代数式的值；对于D，数形结
合后可求交点的横坐标的和.
【解析】对于A，因为 为偶函数，故 ，
故 ，所以 ，故 的图象关于直线 对称，
故A正确.
对于B，由A中分析可得 是周期函数且周期为 ，故当 时， ，故 ，
故当 时， ，故 ，
故切线方程为： ，故B错误.
对于C，由 是周期函数且周期为 可得：
，
故C正确.
对于D，因为 ，故 的图象关于 对称，
而 ， 且 时 ，此时 在 上为增函数，
故 图象如图所示：
由图可得 的图象与 的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：分段函数的性质讨论，一般需利用变换的思想探究该函数的周期性、对称性，如果
已知确定范围上的解析式，那么可利用周期性和对称性求出其他范围上的解析式；对于不同函数的交点情
况的讨论，可结合它们的图象来分析.
11．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数 ， ，则（ ）
A．若 有2个不同的零点，则B．当 时， 有5个不同的零点
C．若 有4个不同的零点 ，则 的取值范围是
D．若 有4个不同的零点 ，则 的取值范围是
【答案】BCD
【分析】作出 的图象，由 有2个不同的零点，结合图象，可判定A错误；由 ，令
，得到 ，求得 ，结合图象，可判定B正确；由对数的运算性质，
求得 ，结合二次函数的对称性得到 ，进而判定C正确；由
，结合对勾函数的性质，可判定D正确．
【解析】由函数 ，可得 ，
作出 的图象，如图所示．
对于A中，由 ，可得 ，若 有2个不同的零点，
结合图象知 或 ，所以A错误；
对于B中，当 时，由 ，可得 ，令 ，则有 ，可得 ，
结合图像知， 有3个不等实根， 有2个不等实根， 没有实根，
所以 有5个不同的零点，所以B正确；
对于C中，若 有4个不同的零点 ，
则 ，且 ，则 ，
由二次函数的对称性得 ，则 ，
结合B知 ，所以 ，所以 的取值范围为 ，所以C正确；
对于D中，由 ，其中 ，
由对勾函数的性质，可得 在 上为单调递减函数，可得 ，
所以 的取值范围为 ，所以D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：求解复合函数 的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略：
1、先换元解“套”，令 ，则 ，再作出 和 的图象；
2、由函数 的图象观察有几个 的值满足条件，结合 的值观察 的图象，求出每一个 被
对应，将 的个数汇总后，即为 的根的个数，即“从外到内”.
3、由零点的个数结合 与 的图象特点，从而确定 的取值范围，进而决定参数的范围，即
“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）.
三、填空题12．（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数 零点所在的一个区间 .
【答案】
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【解析】根据对数函数单调性的性质，
函数 为 上的减函数,
函数的图像在 上为一条连续不断的曲线,
又 , ,
所以函数 零点所在的一个区间为 .
故答案为: .
13．（2024·河南·二模）已知函数 是偶函数，对任意 ，均有 ，当 时，
，则函数 的零点有 个.
【答案】4
【分析】转化为函数 的图象与 的图象的交点个数即可求解.
【解析】函数 是偶函数，说明函数 的图象关于 轴对称， 说明 的周期是
2，
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象与 的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即 有4个零点.
故答案为：4.14．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若方程 有7
个不同的实数根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先作出函数图象，解一元二次方程，结合函数图象含参讨论即可.
【解析】作出函数 的图象，如图所示．
由 ，得 ，
解得 或 ．
由图象易知，直线 与 的图象有3个交点，
所以方程 有3个不同的实数根，
因为方程 有7个不同的实数根，
所以直线 与 的图象有4个交点，
故 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ．
故答案为：
四、解答题
15．（2024·山东聊城·二模）对于函数 ，若存在实数 ，使 ，其中 ，则称为“可移 倒数函数”， 为“ 的可移 倒数点”．已知 ．
(1)设 ，若 为“ 的可移 倒数点”，求函数 的单调区间；
(2)设 ，若函数 恰有3个“可移1倒数点”，求 的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为 ，递减区间为 ；
(2) .
【分析】（1）根据给定的定义，列式求出 值，再利用导数求出函数 的单调区间.
（2）利用定义转化为求方程 恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.
【解析】（1）由 为“ 的可移 倒数点”，得 ，
即 ，整理 ，即 ，解得 ，
由 的定义域为R，求导得 ，
当 时， 单调递增； 时， 单调递减；
时， 单调递增，
所以 的单调递增区间为 ，递减区间为 ．
（2）依题意， ，
由 恰有3个“可移1倒数点”，得方程 恰有3个不等实数根，
①当 时， ，方程 可化为 ，解得 ，这与 不符，因此在 内 没有实数根；
②当 时， ，方程 可化为 ，
该方程又可化为 ．
设 ，则 ，
因为当 时， ，所以 在 内单调递增，
又因为 ，所以当 时， ，
因此，当 时，方程 在 内恰有一个实数根；
当 时，方程 在 内没有实数根．
③当 时， 没有意义，所以 不是 的实数根．
④当 时， ，方程 可化为 ，
化为 ，于是此方程在 内恰有两个实数根，
则有 ，解得 ，
因此当 时，方程 在 内恰有两个实数根，
当 时，方程 在 内至多有一个实数根，
综上， 的取值范围为 ．
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问
题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子
求出参数的取值范围．
