文档文本内容
2.11 函数模型及其应用
6 大考点汇总
考点01 利用二次函数模型解决实际问题
考点02 分段函数模型的应用
考点03 分式型函数模型的应用
考点04 对数函数模型的应用
考点05 幂函数模型的应用
考点06 函数模型的应用实例
题型专练
考点01 利用二次函数模型解决实际问题
1．某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10 万元/辆，出厂价为12 万元/辆，年销售量为10000 辆．本
年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为
，
则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=（出厂价-投入成本）
×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出投入成本，出厂价，年销售量，利用年利润公式求解即可.
（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加得到
，计算得解.
【详解】（1）投入成本为
，出厂价为
，年销售量为
，
则
，
整理得
．
（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
，
即
，解得
，
所以投入成本增加的比例应在
范围内．
2．经市场调查，某商品每吨的价格为
百元时，该商品的月供给量为
万吨，
；月需求量为
万吨，
.当该商品的需求量大于供给量时，销
售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量
与价格的乘积.
(1)已知
，若某月该商品的价格为
，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）；
(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6 百元，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
百元
(2)
【分析】（1）比较
与
的大小后可确定销售量，即可计算得到该月的销售额；
（2）均衡价格即为
时的价格，设
，因为该商品均衡价格不低于每吨6 百元，并且每
吨的价格为
百元，结合函数单调性，故有
，
，解不等式即得.
【详解】（1）若
时，
，
，由
可得
，
所以该月销售额为：
（百元）；
（2）设
，
因为
，所以
在区间
上是增函数，
若该商品的均衡价格不低于每吨6 百元，即函数
在区间
上有零点，
所以
，即
，解得
.
3．某企业生产某种大型工业设备，全年需投入固定成本
万元，每生产
台该产品，需另投入成本
万元；当年产量不足
台时，
，当年产量不小于
台时，
．已
知每台设备售价
万元，且生产的设备能全部销售完．
(1)求出年产量分别为
台和
台时的年利润；
(2)求出年利润
（万元）关于年产量
（台）的函数解析式；
(3)当年产量为多少台时，该厂所获年利润最大，最大利润是多少万元？
【答案】(1)
万元；
万元；
(2)
(3)当年产量为
台时，该厂所获年利润最大，年利润最大为
万元
【分析】（1）根据函数关系式可求得总成本，利用总收入减去总成本即可得到年利润；
（2）分别在
和
的情况下，利用总收入减去总成本可得
；
（3）根据二次函数最值、基本不等式求最值的方法可求得
和
情况下年利润
的最大值，
比较两值可得最终结论.
【详解】（1）当年产量为
台时，总成本为
（万元），
年利润为
（万元）；
当年产量为
台时，总成本为
（万元），
年利润为
（万元）.
（2）当
时，总成本为
，
则年利润
；
当
时，总成本为
，
则年利润
；
综上所述：
.
（3）当
时，
，
则当
时，
；
当
时，
（当且
仅当
，即
时取等号），
即
；
，
当年产量为
台时，该厂所获年利润最大，年利润最大为
万元.
4．某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35 万件，每万件电子芯片的计划售价为16 万元.已
知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30 万元/年，每生产
万件
电子芯片需要投入的流动成本为
（单位：万元），当年产量不超过14 万件时，
；当年
产量超过14 万件时，
.假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完.
(1)写出年利润
（万元）关于年产量
（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本
－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
【答案】(1)
(2)9 万件
【分析】（1）分
和
两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）根据题意得，当
时，
，
当
时，
，
故
（2）当
时，
，
且当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
此时
.
当
时，
，当且仅当
时，等号成立.
因为
，故当
时，
取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片.
5．国内某知名玩偶公司出售一款2025 年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入
300 万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80 元．若按最高售价销售，可售出15 万
件，且每降价1 元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30 万件，则经销商按照每件30 元成本收费，
若购进30 万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润
（万元）与销量
（万
件）的关系为
(1)当购进产品数量为10 万件、25 万件、40 万件时，利润分别是多少？
(2)该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】(1)
万元，
万元，
万元
(2)当购进并销售产品40 万件时，利润最大，此时利润是810 万元
【分析】（1）根据给定条件，按
、
、
分段求出函数关系即可；
（2）由（1）分段，结合函数单调性、二次函数及基本不等式求出最大值并比较大小即得．
【详解】（1）设利润为
当
时，
；
当
时，不妨设降价元，则
，得到
，
所以
；
当
时，
，
所以
当
，
当
，
当
．
（2）由（1）知，当
时，
，
当
时，利润最大，此时利润是450 万元；
当
时，
，
当
时，利润最大，此时利润是500 万元；
当
时，当
时，
，
当且仅当
，即
时，利润最大，此时利润是810 万元．
因为
，所以当购进并销售产品40 万件时，利润最大，此时利润是810 万元．
6．某公司为了提高生产效率，决定投入72 万元购进一套生产设备．预计使用该设备后，每年因该设备额外
产生收益50 万元，该设备前
年的维修、保养等费用共
万元．设使用
年后该设备的盈利额为
万元（设备的盈利额＝因设备额外产生的收益－设备的购进成本-设备维修保养费），其中
．
(1)写出
关于
的函数关系式，并求出从第几年开始，该设备开始盈利．
(2)使用若干年后，对该套设备的处理方案有以下两种：
方案①：当年平均盈利额达到最大值时，以52 万元价格处理该设备；
方案②：当盈利额达到最大值时，以20 万元价格处理该设备．
请你研究哪种方案处理较为合理，并说明理由．
【答案】(1)
；3
(2)两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理.
【分析】（1）先求出前
年的盈利额
，利用
求解即可.
（2）由(1)分别利用基本不等式和一元二次函数性质分别计算两方案的盈利情况进行比较.
【详解】（1）由题意得使用
年后：
，
令
，
即
，解得
因为
，所以
，
即从第3 年开始，该设备开始盈利
（2）方案①：平均盈利额为
，
当且仅当“
”即
时等号成立
第6 年平均盈利额达到最大值，以52 万元价格处理该设备，共盈利
万元
方案②：盈利额为
，当
时，盈利额达到最大值，为128 万元
第10 年盈利额达到最大值，以20 万元价格处理该设备，共盈利
万元，
两方案盈利相同，但方案①使用时间更短，设备更新更快，更有利于提高生产效率，所以方案①更合理.
考点02 分段函数模型的应用
7．一校办服装厂花费2 万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验，每生产1 百套这种品牌运动
装的成本为1 万元，每生产
（百套）的销售额
（万元）满足：
(1)求出该服装厂生产1000 套此种品牌运动装可获得利润多少万元？
(2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？最大利润是多少万元？
【答案】(1)3.1 万元
(2)生产700 套此种品牌运动装利润最大，最大利润为4 万元.
【分析】（1）根据已知条件及关系式即可求解；
（2）根据二次函数及基本不等式分段求函数的最值即可求解.
【详解】（1）每生产
（百套）的销售额
（万元）满足：
，
生产1000 套此种品牌运动装即
，代入
，可得
（万元），
已知购买生产与销售权花费为2 万元，每生产1 百套这种品牌运动装的成本为1 万元，
生产1000 套，成本为
（万元），故利润为
（万元），
因此生产1000 套此种品牌运动装可获得利润3.1 万元.
（2）当
时，利润
，
对于二次函数
，图像开口向下，对称轴为
，
当
时，
（万元），
当
时，利润
，
根据基本不等式可知
（万元）
当且仅当
，即
时等号成立，
因为
，所以当
，即生产700 套时，利润最大，最大利润为4 万元.
因此，生产700 套此种品牌运动装利润最大，最大利润为4 万元.
8．2025 年某家具厂准备生产一种大办公桌，经市场分析，全月需投入固定成本3 万元，每生产
（张）（
，
）办公桌需另投入成本
（元），且
.由市场调
研知，每张办公桌售价
元，且每月生产的办公桌当月能全部销售完.
(1)求出每月销售这种办公桌的利润（元）关于月产量
（张）的函数关系式（利润
销售额
成本）；
(2)当这种办公桌月产量为多少张时，家具厂因此所获利润最大？
【答案】(1)
；
(2)当这种办公桌月产量为74 张时，家具厂因此所获利润最大.
【分析】（1）分
且
和
且
两种情况，求出函数解析式；
（2）在（1）基础上，利用函数单调性和基本不等式求出最值，比较后得到答案.
【详解】（1）当
且
时，
，
当
且
时，
，
综上，
；
（2）当
且
时，
，
当
时，取得最大值，最大值为
；
当
且
时，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
由于
，故当这种办公桌月产量为74 张时，家具厂因此所获利润最大.
9．为激发当地市场活力，政府决定为某小微企业提供
（万元）的专项补贴.该企业在收到政府
（万元）补贴后，产量将增加到
（万件）.同时该企业生产
（万件）产品需要投入成本
（万元）
关于政府补贴
（万元）满足函数：
现以每件
元的价格将其生产
的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本）
(1)求该企业收到补贴后生产所获收益
（万元）关于政府补贴
（万元）的函数关系式；
(2)当政府的专项补贴为多少万元时，该企业所获收益最大？
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根据实际意义表示出收益
即可；
（2）利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数各段的最大值，然后可解.
【详解】（1）由题意，
（2）由（1）知，当
时，
，
则当
万元时，
最大，其最大值为16 万元；
当
时，
，
当且仅当
，即：
万元时，
最大，其最大值为
万元.
所以当
（万元）时，该企业收益最大，为
万元.
10．（多选）漳州市龙海区港尾镇和浮宫镇盛产杨梅，杨梅果味酸甜适中，有开胃健脾、生津止渴、消暑除
烦，抑菌止泻，降血脂血压等功效．杨梅的保鲜时间很短，当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采
摘之后的时间t（单位：小时）与失去的新鲜度y 满足函数关系
，其中m，a 为常数．
已知采用该种保鲜方法后，杨梅采摘10 小时之后失去
的新鲜度，采摘40 小时之后失去
的新鲜度．
如今我国物流行业蓬勃发展，为了保证港尾镇的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于
，则物流
时间（从杨梅采摘的时刻算起）可以是（参考数据：
）（ ）
A．20 小时
B．25 小时
C．28 小时
D．35 小时
【答案】ABC
【详解】由题意可知
，所以
即
，
.
由题意可知当
时，失去的新鲜度小于
，没有超过
.
当
时，则有
即
，所以
，
所以
，解得
．
11．某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：
某珍稀水果树的单株产量
（单位：千克）与施用肥料
（单位：千克）满足如下关系：
肥料成本投入为
元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计
元．
已知这种水果的市场售价大约为21 元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为
（单位：
元）．
(1)写出单株利润
（单位：元）关于施用肥料
（单位：千克）的关系式．
(2)若施用肥料
千克，当
取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)
，540 元
【分析】（1）分
与
两种情况，求解出利润y（单位：元）表示为施用肥料x 的函数；
（2）利用基本不等式求解出利润的最大值即可．
【详解】（1）由题意可知，当
时，
；
当
时，
，
综上，
.
（2）当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以当
时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540 元．
12．已知函数
.
(1)若
的最大值为4，求实数a 的值；
(2)若
在
上单调递增，求实数a 的取值范围；
(3)若
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别求
和
时
的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结
合最大值为4 建立关于
的方程求解；
（2）根据分段函数在
上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在
处的函数值不大于右
段函数在
处的函数值，再根据单调性条件建立关于
的不等式求解；
（3）判断
和
与0 的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解.
【详解】（1）当
时，
，取不到4，
所以
时，
的最大值为4，
因为
在
上单调递增，
所以
，则
.
（2）当
时，
单调递增；
当
时，
单调递增，
因为
在
上单调递增，只需
，则
，
所以实数a 的取值范围为
.
（3）易知
，
当
，即
，
因为
在
上单调递增，所以
成立；
当
，即
，
因为
在
上单调递增，所以
成立；
当
时，
，
，
所以
，
，
所以
，不符合题意.
综上所述，实数a 的取值范围为
.
13．习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能等前沿技术创新”的发展方
向.某企业为响应这一战略，计划在2026 年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终端配套的
算法服务
包.通过市场分析，全年需投入固定成本260 万元（含研发､服务器部署等），每生产
千个算法服务包，需
另投入成本
万元，且
已知每个算法服务包的售价为0.6 万元，假设
年内生产的服务包当年能全部销售完.
(1)试写出2026 年利润
（万元）关于年产量
（千个）的函数解析式；
(2)当2026 年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据利润、成本、售价之间的关系进行求解即可；
（2）利用配方法和基本不等式分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知：
.
当
时，
；
当
时，
，
所以2026 年利润
（万元）关于年产量
（千个）的函数解析式：
（2）当
时，
，
当
时，函数
有最大值
；
当
时，
，
当且仅当
时取等号，即有
，
所以当
时，函数
有最大值
，
综上所述：
2026 年产量为
千个算法服务包，企业所获利润最大，最大利润为
万元.
考点03 分式型函数模型的应用
14．现在要装修一间高为4 米，底面积为30 平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那
面长为
米（
）.现有
两支装修队给出了报价，A 的报价方案为：有窗的墙体每平方米300 元，
普通的三面墙体每平方米200 元，屋顶和地面以及其他共计18000 元；B 给出总价为
万元（
）.若B 要确保拿到装修资格，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】先求出
的报价，根据
的报价低于
的报价列式，分离参数，可得
，再设
，利用函数的单调性求其最小值，进而可得
的取值范围.
【详解】若有窗墙体的长为
米
，则左右宽度为
，
则A 的报价为
（元），
B 给出的总价为
元.
由
.
因为
，所以函数
在
上单调递增，
且当
时，
，
故
，
由
，所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
15．某地为了改善中小型企业经营困难的情况，特推进中小型企业加快产业升级，着力从政府专项基金补贴
扶持，产量升级和政府指导价三个方向助力中小型企业．某企业A 在产业升级前后的数据如下表：
A 企业
产量万件
投入成本万元
销售单价元/件
产业升级前
2
45
30
完成产业升级后，
获补贴x 万元，
产量
为升级后产量
若该企业在政府指导价下出售产品，能将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本．
(1)当该企业没有政府补贴时，收益是多少万元？
(2)
企业向政府申请多少专项基金补贴时，所获收益最大，最大收益是多少万元？
【答案】(1)
万元
(2)当政府补贴为
万元时，所获收益最大，最大收益为33 万元
【分析】（1）根据题意补贴为0，再结合收益
销售金额
成本，列出算式，即可求解；
（2）设获政府补贴
万元时，收益为
万元，求得
，结合基本不等式，得到
的最大
值，及其相应的
值，即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意得，当该企业没有政府补贴时，收益
销售金额
成本，
即：
万元；
（2）解：设获政府补贴
万元时，收益为
万元，
则
，其中
，
所以
，
当且仅当
，即
，即
时等号成立，
所以不是申请的政府补贴越多，收益越大，当政府补贴为
万元时，所获收益最大，最大收益为33 万元．
16．某科技企业为增加产能，第1 年年初投入560 万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设
备前
年
的材料费、维修费、人工工资等共
万元，该台设备可使该企业每年的销售收入
为360 万元，设使用该设备前
年的总盈利额为
万元.
(1)写出
关于
的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；
(2)若第3 年年初企业再投入560 万元购买了一台该设备，该设备使用第
年与第1 台设备使用第
年的材料
费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360 万元，若
，求这两
台设备的年平均盈利额
最大时
的值.
【答案】(1)
，从第3 年开始盈利
(2)7
【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出
，再解一元二次不等式可得答案；
（2）先求出前
年的总盈利再求出
，结合双勾函数的性质即可得结果.
【详解】（1）由题意得
，
令
，得
，而
，
所以该设备从第3 年开始使企业盈利.
（2）当
时，第 1 台设备使用了
年，第 2 台设备使用了
年，
前
年的总盈利为
，
则年平均盈利额
，
由双勾函数的性质可得
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
，而
，
所以当
时，
取得最大值，
这两台设备的年平均盈利额
最大时
.
17．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I 的声音对应的等级
为LdB，则有
．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善
相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（ ）
（参考数据：
）
A．49dB
B．46dB
C．26dB
D．13dB
【答案】A
【分析】设原强度
、新强度
,代入分贝公式拆分对数，利用已知
和
计算,得结果
.
【详解】设原来的噪音强度为
，对应的等级
.
改善后的噪音强度为
，对应的等级为
.
根据公式
，代入
得：
.
计算
：
.
将
，
代入：
.
18．在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数
与训练数据量
（单位：
）的关
系式为
，其中
为常数.当训练数据量为
时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍
数
达到135 时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约
为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题设条件，将
代入关系式
可求出
的值，再利用对数的运算即可求解.
【详解】当
时，
，即
.
当
时，
，即
，
则
，即
.
因为
，
所以
.令
，则
，
所以
，则
.
19．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023 年全年投入科研经费1300 万元，
在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长
，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000 万元的
年份是（参考数据：
，
，
）（ ）
A．2023 年
B．2024 年
C．2025 年
D．2027 年
【答案】D
【分析】若2024 年是第1 年，根据题意得第n 年该高校全年投入的科研经费，根据条件列出不等式，解得n
的范围即可．
【详解】不妨取2024 年是第1 年，
根据题意得第n 年该高校全年投入的科研经费为
，
令
，即
，即
，
两边取对数可得：
，即
，
则
，则第4 年符合题意，
即2027 年该高校全年投入的科研经费开始超过2000 万元．
考点04 对数函数模型的应用
20．在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的
时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值
（
为初始损失值，t 为训练轮
次，k 为衰减系数），已知训练到第10 轮时（当
时），训练损失值降至初始损失值的
，则训练到第
几轮就要对模型调整（参考数据
）（ ）
A．24
B．35
C．47
D．100
【答案】C
【分析】由题意可得，
将
代入，解得
，再将
代入，由
求解即可.
【详解】因为
，所以当
时，
，
即
，解得
，即
，
所以
，所以
，
所以
，解得
，
所以训练到第47 轮就要对模型调整.
21．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：
）可
以表示为
，其中
表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲
正前方18m 处，9s 后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（ ）
A．3
B．9
C．27
D．81
【答案】D
【分析】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案.
【详解】设甲的速度为
，耗氧量的单位数为
，乙的速度为
，耗氧量的单位数为
，
由题意得
，则
，
所以
，解得
.
故选：D
22．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍
感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：
，其中是理想速度（单位：
），
是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：
），
是火箭起飞时的总质量（单位：kg），
是火箭自身
的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用
某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为
，火箭自身的质量为
，燃料的质量为
，在不计空气阻力
等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（
，
）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将数据代入理想速度方程，再结合对数的运算性质即可求解.
【详解】由
，代入数据可得
，
故选：C
23．某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100 万元，全部用于甲、乙两种产品的
研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润
（单位：万元），乙产品的利润
（单位：万
元）与研发投入
（单位：万元）之间的关系如下表所示.
万元)
4
9
16
25
万元)
28
33
40
49
万元)
30
42
54
66
(1)根据以上表格中的数据判断：①
；②
；③
；④
，上述四
个模型哪两个更适宜分别作为
与
关于
的函数模型？（不需要说明理由）
(2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式；
(3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？
【答案】(1)选①作为
，选③作为
；
(2)
，
(3)甲、乙两种产品的研发投入分别为64 万元和36 万元，可使总利润最大，最大为166 万元
【分析】（1）根据表格数据判断函数类型即可；
（2）直接代入前两个值求解表达式系数即可；
（3）设乙产品的研发投入为x 万元，列出总利润和x 的关系，利用换元法转化为二次函数即可求解．
【详解】（1）因为
关于
成线性关系，
关于
成线性关系，所以选①作为
，选③作为
；
（2）
，代入
得
，
代入
得
，解得
，
验证
时，
，符合，
时，
，符合；
所以
.
，代入
得
，
代入
得
，解得
，
验证
时，
，符合，
时，
，符合；
所以
.
（3）设乙产品的研发投入为
万元（
），则甲产品的研发投入为
万元，
总利润
，
当且仅当
，即
时取等号，则甲产品的研发投入为
（万元），
所以甲、乙两种产品的研发投入分别为64 万元和36 万元，可使总利润最大，最大为166 万元.
24．某科技公司设立了两个研发实验室，分别探索不同技术路线来提升人工智能芯片的性能．两个实验室的
研发起点相同（
月时，芯片基础性能得分均为0），记录了研发时间t（月）与芯片性能得分P（得分越
高，性能越好）的关系如下：
实验室A（技术路线甲）：早期数据增长迅猛，如下表所示：
t（月）
1
2
3
4
P（得分）
3
12
27
48
实验室B（技术路线乙）：增长平稳，符合对数函数特点，已知其性能增长模型为
，
，
且当
时，
；当
时，
．
(1)根据实验室A 的数据，判断性能得分P 与时间t 更符合哪一种函数模型：指数函数
还是幂函数
?说明理由，并写出函数解析式；
(2)根据实验室B 的数据，求出常数a，b 的值，并写出P 关于t 的函数解析式；
(3)若两个实验室均研发至第6 个月．
（i）用实验室A 的模型预测性能得分；
（ⅱ）用实验室B 的模型预测性能得分；
（ⅲ）从从技术发展的长期可持续性角度，哪一种技术路线能获得更高的性能得分？请结合函数增长特性说
明理由．（
，
）
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
甲,理由见解析.
【分析】（1）利用函数过原点，可确定幂函数模型，再用待定系数法求解即可；
（2）利用待定系数法直接可求出函数解析式；
（3）利用两函数的解析式分别求第6 个月的函数值，即可得到预测性能分，然后根据二次函数和对数型函
数模型的增长率作出比较即可得到答案．
【详解】（1）由
时，
，若
，则
，此时
，不满足题意，
故
，又当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
此时
，当
时，
，当
时，
，满足题意，
故
；
（2）由于用实验室
的数据来求参数，
所以当
时，
，代入
得：
，
当
时，
，代入
得：
，
两式相减得：
，代入
可得：
，
所以
；
（3）（i）实验室
研发至第6 个月，用实验室A 的模型预测性能得分：
则
，所以用实验室A 的模型预测性能得分为
分；
（ⅱ）实验室
研发至第6 个月，用实验室B 的模型预测性能得分：
则
，
所以实验室B 的模型预测性能得分约为
分；
从技术发展的长期可持续性角度，我认为甲技术路线更优，因为尽管在第1 个月时乙路线得分更高，但从第
2 个月起，甲路线的得分就反超并持续大幅领先，且二次函数的增长速度远快于对数函数，因此甲路线更优.
考点05 幂函数模型的应用
25．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y（万元）存在的关系为
（α 为常数），其中x 不超过5 万元．已知去年投入广告费用为3 万元时，药品利润为27 万元，若今
年广告费用投入5 万元，预计今年药品利润为（ ）
A．115 万元
B．120 万元
C．125 万元
D．130 万元
【答案】C
【分析】根据已知代入求解得出解析式，再计算求解.
【详解】由已知投入广告费用为3 万元，药品利润为27 万元，代入
中，得
，解得
，
故函数解析式为
，所以当
时，
．
故选：C.
26．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：
）与管道半径
（单位：
）的四次方成正比．若气体在半径为
的管道中，流量为
，气体在半径为
的
管道中，流量大于
且小于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，当
，
时，求出
的值，再由
可求出
的取值范
围.
【详解】根据题意，设
，由题意可得
，解得
，故
，
当
时，
，解得
，
故选：D.
27．党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机
遇推进生产改革，从单一产品转为生产
两种产品，根据市场调查与市场预测，
产品的利润
与投
资金额
成正比，其关系如图①；
产品的利润
与投资金额
的关系满足函数
，
如图②（注：
单位为万元）.
(1)分别求出
两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10 万元资金，并全部投入
两种产品的生产，问：怎样分配这10 万元资金，才能使企
业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)
，
(2)A 产品投入6 万元，B 产品投入4 万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7 万元
【分析】（1）利用待定系数法求得
，根据图②的数据代入
的解析式后可求参数的值，
从而可求
.
（2）列出企业利润的函数解析式
，结合换元法可求利润最大
值.
【详解】（1）由题设
，由图知
，故
，故
.
又
，
，所以
，
，
所以
，故
，故
，故
．
（2）设A 产品投入
万元，则B 产品投入
万元，设企业利润为
万元
则
，
令
，则
，
所以当
时，
，此时
.
故A 产品投入6 万元，B 产品投入4 万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7 万元.
28．某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2 万元时，其纯利润
（单位：万
元）随销售收入
（单位：万元）的变化情况如下表所示：
(万元)
2
3
5
(万元)
(1)根据表中数据，分别用模型
（
且
）与
建立
关于
的函数解析
式；
(2)已知当
时，
，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：
）
【答案】(1)
，
；
(2)模型
（
且
）更合适，理由见解析；
【分析】（1）将表格中的数据代入两模型解方程组可求得函数解析式；
（2）将自变量
代入两模型计算求得
，得出与
更接近的模型即可.
【详解】（1）对于模型
（
且
），
将表格中数据代入可得
，
解得
；
所以
；
对于模型
，
将表格中数据代入可得
，
解得
；
所以
；
（2）当
时，模型
对应的
；
模型
对应的
，
当
时，显然
，
所以模型
更合理.
29．风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速
的关系满足方程：
（其中为轮毂高度风速，单位：
，
为风力等级）．我国某海上风
电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到
，则该瞬时风速对应的风力等级约为（ ）（注：
，
）
A．9 级
B．11 级
C．13 级
D．15 级
【答案】B
【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解．
【详解】将轮毂高度瞬时风速
代入
，得
，
由
知，
，则
，
所以
，
又
，所以
，
所以
．
30．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量
随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量
与时间之间满足关系式
，其中
是臭氧的初始含量，则（ ）
A．随着时间的增加，臭氧含量在增加
B．当从1 变化到2 时，臭氧含量减少
C．当从0 变化到2 时，臭氧含量的平均变化率为
D．当
时，臭氧含量的瞬时变化率为
【答案】D
【详解】臭氧含量
与时间之间满足关系式为
，
因为
是臭氧的初始含量，所以
，所以
是减函数，所以A 错误；
当从1 变化到2 时，臭氧含量减少
，所以B 错误；
当从0 变化到2 时，臭氧含量的平均变化率为
，所以C 错误；
对于
，
，
所以当
时，臭氧含量的瞬时变化率为
，所以D 正确.
考点06 函数模型的应用实例
31．医学规定：服用某药物后，100mL 血液中药物浓度不超过14mg 时，可正常驾驶机动车.某患者服药后，
血液中药物浓度瞬间升至2.1mg/mL；停止服药后，血液中药物含量每小时以剩余量的30%匀速衰减.则该患
者至少经过多少小时后可正常驾驶.（ ）
参考数据：
，
，
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】由题意建立不等式，结合对数的运算法则，代入参考数据后即可求解.
【详解】由题意得，血液中药物浓度不超过
时，可正常驾驶机动车，
设患者服药后经过小时可正常驾驶，由题意得
，
即
，两边同时取对数得
，
即
，
，
，代入参考数据得
，
整理得
，故至少经过小时后可正常驾驶.
32．2023 年9 月17 日，联合国教科文组织第45 届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化
景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲
泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳
饮用口感的放置时间，每隔1 分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度
（单位：℃）与时间（单位：分
钟）的部分数据如下表所示：
时间/分钟
0
1
2
3
4
5
水温
95
88
(1)给出下列三种函数模型：①
，②
，③
，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，
并利用表中前3 组数据求出相应的解析式；
(2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：
，
）
【答案】(1)选择模型②
，解析式为
；
(2)约6.5 分钟。
【分析】（1）首先由表格数据确定函数的单调性和递减速度，从而判断模型，再利用待定系数法，列方程
组求解；
（2）根据（1）的结果，解方程
.
【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢，
模型③
为单调递增 函数，不符合，
模型①
为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②
，
则
，解得：
，
，
，
所以
；
（2）
，得
，
，
刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为
分钟.
33．中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于
，但
小于
；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于
.某驾驶员饮酒后血液中
酒精含量为
，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时
的速度减少，则该驾驶员至少需经过
（ ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于
）.参考数据：
.
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【详解】设至少需要
小时，则有
.
所以至少需要经过
小时才能合法驾驶.
34．（多选）一款运动APP 测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间
t（单位：分钟）之间的关系满足
，其中
为正整数，
表示不
超过
的最大整数.当
时，心率为120 次/分钟，当心率不低于90 次/分钟时，身体处于“运动后活跃
期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60 次/分钟，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为124
C．该运动员第9 分钟时恢复到静息心率
D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟
【答案】ABD
【分析】对于A，根据分段函数定义可得当
时，
，
，结合函数单调性即
可判断；对于B，对每段函数分别求最大值即可判断；对于C，将
代入函数计算函数值即可判断；对于
D 根据“运动后活跃期”定义求得满足
的值即可判断.
【详解】对于A，当
时，
，则
，其中
，
为正整数，
当
时，
，此时
，符合题意，
当
时，
，此时
，不符合题意，
因为
单调递减，且
为正整数，所以
，故A 正确；
对于B，当
且
时，
，
所以当
时，
取得最大值：
，
当
且
时，
，
，
因为
在
上单调递减，所以
，
所以当
时，
取得最大值：
，
综上，
的最大值为124，故B 正确；
对于C，当
时，
，
所以该运动员第9 分钟时没有恢复到静息心率，故C 错误；
对于D，当
且
时，
，
当
时，
取得最小值，
，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”，
当
且
时，
，
，即
，
所以
，即
，解得
，所以有
，
，
综上，当
且
时，
，
因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5 分钟，故D 正确.
