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§2.12 函数模型的应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”
“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，
了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识梳理
1．三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
性质
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表现为 随n值的变化而各有
图象的变化
为与 y 轴 平行 与 x 轴 平行 不同
2．常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则
每件还能获利．( × )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝
log x(a>1)的增长速度．( √ )
a
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )教材改编题
1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝5x B．y＝log x
5
C．y＝x5 D．y＝5x
答案 D
解析 结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．
2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的函数模型是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log x
2
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计
算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log x，可知满足题意，故选D.
2
3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y
＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．
答案 150
解析 因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品
的利润最大时，当日售价为150元.
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，
该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用 1单位某药
物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
答案 ABC
解析 从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；
根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当
两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等
于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一
次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低
中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．
(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝
log x；⑤y＝x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选
2
________．(填序号)
答案 ④
解析 由图可知上述点大体分布在函数y＝log x的图象上，
2
故选择y＝log x可以近似地反映这些数据的规律．
2
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函
数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是
否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P
沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是
下图中的( )答案 A
解析 当点P在AB上时，y＝×x×1＝x,0≤x≤1；
当点P在BC上时，y＝S －S －S －S ＝－x＋，1≈≈4.87，则n>5.87，
故至少需要“打水漂”的次数为6.
(2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．
某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销
售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用
t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产
品每1万件的进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元．
答案 37.5
解析 由题意，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之
间满足x＝3－，
即t＝－1(140，即4×x－2 018>40，
∴x－2 018>10，
∴x－2 018> 10，
∴x－2 018>＝≈5.678 6，
∴x>2 023.678 6，
即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确．
7．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大
限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班
主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经
过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转
化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天
的最后一次模考总分为 400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为
________．(保留到个位)(lg 61≈1.79)
答案 462
解析 由题意得，
f(60)＝≈＝P，
∴k≈＝0.465，
∴f(100)＝＝
≈＝62，
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.
8．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A ，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振
0
幅，A 是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此
0
时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级
地震最大振幅的________倍．
答案 6 10 000
解析 M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A，A，则9＝lg A－lg A＝lg ，则＝
1 2 1 0
109，
5＝lg A－lg A＝lg ，则＝105，所以＝104.
2 0
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．
9．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”
养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单
位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当40，a>1)与y＝ ＋k(p>0，k>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积 10 倍以上的最小月份．(参考数据：lg
2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝ ＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为
增函数，
随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝ ＋k(p>0，k>0)
的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得
解得k＝，a＝，故该函数模型的解析式为
y＝·x(x∈N)．
(2)当x＝0时，y＝·0＝，
故元旦放入凤眼莲的面积为 m2，
由·x>10×，即x>10，
故x> 10＝＝，
由于≈≈5.7，又x∈N，故x≥6.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．
11．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝ (其中a为常数)，大约每经过5 730年衰减为原来的
一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量
的75%，则可推断该文物属于( )
参考数据：log 0.75≈－0.4
2
参考时间轴：
A．宋 B．唐 C．汉 D．战国
答案 D
解析 依题意，当t＝5 730时，P＝，而P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝ ，
则有＝ ，解得a＝5 730，于是得P＝ ，t>0，当P＝0.75时， ＝
0.75，
所以＝ 0.75＝－log 0.75≈0.4，
2
解得t≈5 730×0.4＝2 292，
由2 021－2 292＝－271得，对应时期为战国，
所以可推断该文物属于战国．
12．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进
行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关
系式 ln kx＝ln k ＋ln(1－e－kt)，其中 k ，k 分别称为给药速率和药物消除速率(单位：
0 0
mg/h)．经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h后，人体内的药物含量为，则该药物的
消除速度k的值约为( )
(参考数据：ln 2≈0.693)
A．0.105 5 B．0.106 5
C．0.116 5 D．0.115 5
答案 D
解析 由题意，ln＝ln k＋ln(1－e－12k)⇒e－12k＝⇒－12k＝－2ln 2，即6k＝ln 2≈0.69 3，
0
解得k≈0.115 5.
13．(多选)(2023·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程f(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x)＝2x－1，f(x)＝x2，f(x)＝
i 1 2 3
x，f(x)＝log (x＋1)，则下列结论正确的是( )
4 2
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 CD
解析 甲、乙、丙、丁的路程f(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x)＝2x
i 1
－1，f(x)＝x2，f(x)＝x，f(x)＝log (x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二
2 3 4 2
次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f(2)＝3，f(2)＝4，所以A不正确；
1 2
当x＝5时，f(5)＝31，f(5)＝25，所以B不正确；
1 2
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当 x＝1时，甲、乙、丙、
丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最
后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数
型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
14．已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电
模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰
减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待
机状态时开启A模式，并在m小时后切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的
电量，则m的取值范围是( )
A．(5,6) B．(6,7) C．(7,8) D．(8,9)
答案 D
解析 设模式A：y＝－300t＋3 000，模式B：y＝p·，其中p为初始电量．
A模式用了m小时，电量为3 000－300m，
m小时后B模式用了(10－m)小时，
∴(－300m＋3 000)·>3 000·5%，
2m－10(10－m)>，令10－m＝x，∴>，
∴2x－1－x<0，令f(x)＝2x－1－x，即求f(x)<0时，x的取值范围．
∵f(1)＝0，f(2)＝0，又由指数函数与一次函数图象知，当1
