文档文本内容
2.1 函数及其表示
10 大考点汇总
考点01 具体函数的定义域
考点02 抽象函数定义域
考点03 已知函数的定义域求参数
考点04 判断两个函数是否相等
考点05 待定系数法求解析式
考点06 换元法求解析式（整体换）
考点07 方程组法求解析式
考点08 求函数值域
考点09 利用值域求参数或范围
考点10 分段函数求值以及求参数
题型专练
考点01 具体函数的定义域
1．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，即
，
解得
，即函数
的定义域为
.
2．函数
的定义域是______．
【答案】
【详解】函数
有意义，等价于
，解得
且
，
故函数的定义域为
.
3．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】要使函数
有意义，需使
，解得
，
则函数的定义域为
.
4．函数
的定义域为___________．
【答案】
【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解后取交集得到定义域.
【详解】要使函数
有意义，
，解得
故答案为：
.
考点02 抽象函数定义域
5．若函数
定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可.
【详解】由题意可得
，解得
，
所以函数的定义域为
.
6．已知函数
的定义域是
，则函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．[1，3]
D．(1，3]
【答案】B
【详解】因为函数
的定义域为
，所以函数
的定义域为
，
所以
的定义域需满足：
，解得
.
7．已知
定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可.
【详解】设
，则
可化为
.
因为
定义域为
，即
，则
中的
，
即
，解得
.
所以
的定义域为
.
8．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 .
【详解】函数
的定义域为
，则
，所以函数
的定义域为
；
若函数
有意义，则
，解得
．
则函数
的定义域为
.
考点03 已知函数的定义域求参数
9．已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时
利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围.
【详解】因为函数
的定义域是
，所以不等式
对任意
恒成立，
当
时，
，对任意
恒成立，符合题意；
当
时，
即
解得
，
综上，实数
的取值范围是
．
故选：D.
10．已知
.
(1)若
定义域为
，求实数
的取值范围；
(2)若
定义域为
，求实数
的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若
定义域为
，由
恒成立求解；
（2）若
定义域为
，则-6，2 是一元二次方程
的两根，由韦达定理求解；
【详解】（1）若
定义域为
，则
恒成立，
则
，或
，
解得：
；
（2）若
定义域为
，
则-6，2 是一元二次方程
的两根，
由韦达定理得
，解得：
；
11．已知函数
.若
的定义域为
，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【分析】将问题转化为
在
上恒成立，分
、
讨论，并结合一元二次函数的性质求
解.
【详解】由题意可知，
在
上恒成立，
若
，则
，符合题意；
若
，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
.
故答案为：
12．若幂函数
的定义域为R，则m=______________．
【答案】1
【分析】根据幂函数的定义，可得m 值，代入检验，结合定义域，即可得答案.
【详解】因为
为幂函数，所以
，解得
或
，
当
时，
，定义域为R，符合题意；
当
时，
，定义域为
，不符合题意.
故
考点04 判断两个函数是否相等
13．下列函数中哪个与函数
是同一个函数（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的定义域是
, 值域是
,
A. 函数
的定义域是
，所以A 错误；
B. 函数
的定义域是
，所以B 错误；
C. 函数
与
的对应法则不同，所以C 错误；
D. 函数
，与函数
是同一个函数, 所以D 正确.
14．（多选）下列各组函数是同一函数的为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】AC
【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得.
【详解】选项A：
和
的定义域都是全体实数
，对应法则相同，是同一函数；
选项B：
的定义域是
；
要求分母不为0，定义域是
，二者定义域不同，不是
同一函数；
选项C：
，定义域是
；
的分段表达式即为
，定义域也是
，定义域和对应法则都
相同，是同一函数；
选项D：
的定义域满足
，即
，
化简得：
，
与
的对应法则不同，不是同一函数.
15．（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】对于选项A：
∵
的定义域为
，
，定义域为
，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一
个函数.
对于选项B：
∵
的定义域为
，化简后为
，而
的定义域为
，二者定义域不同，∴ 这两
个函数不是同一个函数.
对于选项C：
∵
的定义域为
，
的定义域为
，二者定义域和对应法则均相同，∴
这两个函数是同一个函数.
对于选项D：
∵
，定义域为
；
的定义域为
，化简后为
，二者定义域和对应法则
均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数.
综上，正确选项为A、C.
16．（多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】ACD
【详解】对于A：
，定义域为
，而
，定义域也是
，两个函数的定义域和对应法
则都相同，所以是同一个函数，故A 正确；
对于B：
，定义域为
，而
，定义域为
，定义域不同，所以不是同一个函数，故B
错误；
对于C：
，需满足
，即
，而
，需满足
，即
，
且
，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C 正确；
对于D：
，定义域为
，而
，定义域为
，且
，所以两个函数的定义域
和对应法则相同，为同一个函数，故D 正确.
考点05 待定系数法求解析式
17．已知函数
是一次函数，若
，则
______．
【答案】
或
【详解】设
，则
.
又
，所以
.
即
，解得
，或
.
所以
或
．
18．若函数
是一次函数，并且满足
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法可求答案.
【详解】令
，则
，
即为
，
所以
.
故选：C.
19．已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，函数
在R 上最小值为
，
则
的解析式为______________.
【答案】
【分析】根据题意，假设出二次函数的顶点式，再将点
代入即可得解.
【详解】因为
的对称轴为
，函数
在
上最小值为
，
所以可设
，
将
代入
，得
，解得
，
故
.
故答案为：
.
20．（1）已知
是二次函数，且满足
，求
解析式;
（2）已知
，求
的解析式;
（3）已知一次函数
满足
，求
的解析式.
【答案】（1）
，（2）
，（3）
【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）.
【详解】（1）设
，
因为
，所以
，则
.
由题意可知:
，
对照系数可得
，解得
.
所以
.
（2）令
，则
，
所以
.
所以
.
（3）设
，
因为
，所以
，
对照系数可得
，解得
，
所以
.
考点06 换元法求解析式（整体换）
21．已知
，则函数
的解析式为_________.
【答案】
，
【分析】使用换元法求解即可，设
，那么
，再代入即可求得函数
的解析式.
【详解】设
，那么
，则
，
所以
，
.
22．已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，且
，则
，
可得
，
所以
.
23．已知
，则
的解析式是__________.
【答案】
，
【分析】把
看成一个整体，用配凑方法化简即可得出结果，再利用基本不等式求出定义域范围即可.
【详解】因为
，则
，
当
时，
，当且仅当
时等号成立，
当
时，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
.
故答案为：
，
.
24．若函数
，则
________；
______.
【答案】
【分析】利用换元法求
解析式，再求
的值.
【详解】因为函数
，
设
，则
，
所以
，
所以
，则
.
故答案为：
；
考点07 方程组法求解析式
25．已知
且
，求函数
的解析式．
【答案】
且
【分析】利用解方程组法，分别用
，
代换题设式子中的
，得到方程组求解即可.
【详解】
，①
将①中的
用
代换得
②
再将①中的
用
代换得
③
则由
得
且
．
26．
是定义在
上的函数，满足
对
都成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，依次代入特殊值
，，
，
联立方程组，即可求出
.
【详解】令
，则
①，
令
，则
②，
令
，则
③，
令
，则
④，
联立③④，解得
，
，将
代入②，解得
，
再将
代入①，解得
.
27．已知函数
的定义域为
，且对定义域内任意的
满足2f ( x)+3 f ( 1
x )= x，则
_____.
【答案】
【分析】用1
x 代替
构造方程组求解.
【详解】用
代替
，得2f ( 1
x )+3 f ( x)= 1
x ，
与2f ( x)+3 f ( 1
x )= x联立得，
.
故答案为：
28．已知函数
满足
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】以
代x，利用解方程组法求解即可.
【详解】以
代x，由
①，得
②，
则①
②，得
，则
．
故选：A
考点08 求函数值域
29．函数
的值域为_____．
【答案】
【详解】使用二倍角公式
，将原函数化为
，
整理为关于
的二次函数
，
令
，可知
，
因此
，
易知该抛物线的对称轴为
，
因此函数
在区间
上是单调递减的，
所以函数最大值在
处取得，即
，
最小值在
处取得，即
，
因此，该函数的值域为
．
30．下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】使用函数的图象性质结合图象变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解.
【详解】对于A，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域相同，故A 正确；
对于B，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域不同，故B 错误；
对于C，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域不同，故C 错误；
对于D，
的定义域为
，值域为
，
定义域与值域不同，故D 错误；
31．已知函数
的值域为
，求
，
的值．
【答案】
【分析】去分母，并整理成关于
的一元二次方程的形式，当
时，根据一元二次方程有实数根的条
件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证
时也符合题意，从而
可得最终结果.
【详解】将式子变形为
；
当
时，
；即
；
所以1，9 是方程
的两个根，代入得：
；解得
；
将
代入，当
时，方程化为
，有实数解
，故
在值域内，符合题意.
综上，
．
32．（1）若函数
在
上的值域是
，则实数a 的值为______．
（2）函数
的最小值为______．
（3）函数
的最大值为______．
【答案】
【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数
的值；
（2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件；
（3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值.
【详解】（1）因为函数
在区间
上是增函数，值域为
.
所以
，
，即
，解得
．
（2）
.
当且仅当
，即
时，
．
（3）令
，则
，所以
，所以
.
设
，则
在
单调递增.
所以
，所以
（
时取等号），即
的最大值为
．
考点09 利用值域求参数或范围
33．已知函数
的值域为
，则a 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】分别求出
在
和
的值域，根据集合包含关系可得
，解不等式即
可求解.
【详解】因为当
时，
，此时
，即
，
所以在
时，
的值域为
，
函数为
，令
，则在
时为
，且
增大时减小，
在
时单调递增，所以
单调递减，
因此
在
上单调递增，
此时：当
时，
，当
时，
，
所以在
时，
的值域为
，
所以要使函数
的值域为
，则
，
解得：
，则a 的取值范围是
34．已知函数
的值域为R，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用单调性求出
在
上的函数值集合，由已知可得
在
上的值域包含
，
再利用导数探讨函数
在
上的函数值集合即可求出范围.
【详解】当
时，函数
在
上单调递增，函数值集合为
，
由函数
的值域为R，得函数
在
上的值域包含
，
当
时，函数
，求导得
，而
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，函数值集合为
，
而
恒成立，则
；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
函数值集合为
，于是
，解得
，则
，
所以a 的取值范围是
.
故选：A
35．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】当
时，整理函数解析式后利用基本不等式，即得
的取值范围，当
时，利用导数求得
的取值范围，再由
的值域为R，得到不等式，解之即得.
【详解】当
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，
即
时，
；
当
时，
，则
，
令
，解得
或
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
故
在
处取得极大值，也是最大值，为
，
又当
时
，所以
时，
，
由
的值域为
，可得
，即
，解得
.
故选：A
36．已知函数
．
(1)若
，函数
都有意义，求实数
的取值范围；
(2)若函数
的值域为
，求实数
的取值范围；
(3)求函数
的定义域．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题意转换为被开方数大于等于0 在
上恒成立，然后得到参数
的不等式，然后换元
构造二次函数，由对称得到单调区间，然后求出最大值即可得到参数
的取值范围；
（2）根据题意转化为
能取遍
，讨论
和
，由二次函数开口向上且有零点即可
求得参数
的取值范围；
（3）根据题意转化为求不等式
的解集，由判别式可知通过
的值与0 和
的关系讨论分别得
到对应不等式的解，即为函数定义域.
【详解】（1）根据题意得
在
上恒成立，
即
，令
，
由此可得
在
上恒成立，
所以问题可以转换为
，
又
的对称轴为
，所以
在
单调递减，
所以
当且仅当
．
综上：
的取值范围是
．
（2）根据题意得
能取遍
，
当
时，
，当
时，
；
当
时，有
，解得
．
综上所述，
（3）求函数
的定义域等价于求不等式
的解集，
当
且
时，即
或
时，
方程
的根为
分类讨论的临界值为0 和
当
时，定义域为
；
当
时，定义域为
；
当
时，定义域为
；
当
时，
，定义域为
．
【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，本题中参数是最高次项系数，对参数的讨论是解决本题的关键.
当
时，借助一次不等式求解；当
，借助二次不等式求解.
考点10 分段函数求值以及求参数
37．已知函数
，则
_____．
【答案】
【详解】因为
，
所以
38．定义在
上的函数
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】先根据递推关系推导函数周期为6，再计算2026 模6 的余数，对应周期内的函数值即可求解.
【详解】当
时，
，
因此
，
.
当
时，递推关系为
①，
将
替换为
得
②，
将①+②可得
，即
，
因此
，故函数
在
具有周期性，周期为
.
因为
，所以
，
因为
，
，
，
.
因此
.
39．已知
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题得
或
，解得
，故选项D 正确．
40．已知
为偶函数，若
，则
的值为______．
【答案】
【详解】因为
为偶函数，所以
，
当
时，
，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
因为
，结合单调性知
，可得
，
因为
时，
，结合
为偶函数，
由
，可得
，且
，
又
，所以
，所以
，解得
故
的值
．
41．已知函数
，若
，都有
，则实数a 的取值范围是________.
【答案】
【分析】以
，
和
分段求解
，分离参数后构造函数，用导数求出函数最值求解.
【详解】当
时，
，符合题意；
当
时，
恒成立，即
，
随着
的增大而减小，当
时，
，
；
当
时，
恒成立，即
，
令
，
，令
，即
，解得
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
所以
的最大值为
，
，
综上，
，即实数a 的取值范围是
.
42．已知函数
，则满足
的实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分类讨论，当
时，根据
解不等式，当
时，即
时根据函数的单
调性求解,
【详解】当
时，即
时，
，
故
满足题意；
当
时，即
时，令
，则
+1 在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，又
，
所以由
可得
，解得
，
又
，故
.
综上，实数a 的取值范围为
.
