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2.2 函数单调性与最值
9 大考点汇总
考点01 定义法判断或证明函数的单调性
考点02 求函数的单调区间
考点03 利用函数的单调性求参数值
考点04 利用图像判断函数单调性
考点05 复合函数的单调性
考点06 利用函数的单调性解不等式
考点07 比较函数值的大小关系
考点08 利用函数单调性求最值或值域
考点09 根据函数的最值求参数
题型专练
考点01 定义法判断或证明函数的单调性
1．已知函数
，判断并证明函数
在
上的单调性.
【答案】
在
上单调递减，证明见解析
【详解】
在
上单调递减，证明如下：
由
，任取
，
则
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递减.
2．判断函数
在
上的单调性，并用函数单调性的定义来证明.
【答案】
在
上是增函数，证明见解析
【分析】先利用特殊值法猜想
的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证.
【详解】对于
，
令
，得
，
故猜想
在
上是增函数，证明如下：
任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，即
，
因此
在
上是增函数.
3．已知函数
，不等式
的解集为
或
.
(1)求函数
的解析式；
(2)设
，判断
在区间
上的单调性，并用定义法证明.
【答案】(1)
(2)
在区间
上单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据不等式解集得到
是
的两根，从而由韦达定理得到方程，求出
，
得到解析式；
（2）
，定义法求函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论.
【详解】（1）由题意得：
是
的两根，
故
，解得
，
；
（2）
在
上单调递增，证明如下：
，
任取
，且
，
，
又
，
，
，
，
，
在区间
上单调递增.
4．已知函数
，证明：函数
在
上单调递减；
【答案】证明见解析
【分析】通过作差法即可求证.
【详解】设
是区间
上的任意两个实数，且
，
则
由于
，
所以
，
所以
，
即
，
所以函数
在区间
上单调递减.
考点02 求函数的单调区间
5．（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
是偶函数，递增区间是
B．
是偶函数，递减区间是
C．
是奇函数，递减区间是
D．
是奇函数，递增区间是
【答案】CD
【详解】将函数
去掉绝对值得
，
画出函数
的图象，如图，观察图象可知，
函数
的图象关于原点对称，
故函数
为奇函数，且在
上单调递减，在
上单调递增，故CD 正确．
6．函数
的单调递增区间是________.
【答案】
【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间.
【详解】由
作图：
可得函数
的单调递增区间是
，
故答案为：
7．函数
的单调递增区间是_____________
【答案】
，
，
【分析】根据二次函数的性质，结合偶函数的性质即可求解.
【详解】由于
的定义域为
,且
，故
为
偶函数，
当
时，
，此时
在
单调递减，在
单调递增，
因此
的单调递增区间为
，
，
故答案为：
，
，
8．函数
的单调递增区间为____________
【答案】
和
【分析】分离常数即可求解.
【详解】
，
所以
的单调递增区间为
和
故答案为：
和
考点03 利用函数的单调性求参数值
9．（多选）已知函数
在区间
上单调递增，则
的可能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】函数
的单调递增区间为
，
依题意，
，则
，解得
，
因此
的可能取值是
，ABD 是，C 不是.
10．已知函数
，且
为增函数，则实数
的取值范围是_____
【答案】
【分析】根据函数在各段单调递增，且在分段点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可.
【详解】因为
，即
，
又
为增函数，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
11．已知
在R 上满足
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】条件可转化为函数
在R 上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的
范围.
【详解】由题意知，
在R 上单调递增，
当
时，
，满足题意；
当
时，需满足
，解得
，所以
.
综上，
.
12．设函数
在区间
上是增函数，那么
的取值范围是________．
【答案】
【详解】
，定义域为
，
因为函数
在区间
上是增函数，
所以
，解得
，
故
的取值范围是
.
考点04 利用图像判断函数单调性
13．设定义在
上的函数
的图像如图所示，则关于函数
的单调区间表述正确的是
（ ）
A．在
上单调递减
B．在
上单调递减，在
上单调递增
C．在
上单调递减
D．在
上单调递增
【答案】B
【分析】利用函数的定义域可对选项
，
，
作出判断；根据
与
在定义域内的某个区间上单
调性相反，可判断选项
.
【详解】选项
，由图象可知，
，
，
，
所以当
，
，
时，函数
无意义，
错误；
选项
，由图象可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
正确；
选项
，由函数
在
处无意义，
错误；
选项
，由函数
在
处无意义，
错误.
14．（多选）已知函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
在区间
上单调递增
C．
在区间
上单调递减
D．
在区间
上单调递增
【答案】AD
【分析】利用数形结合思想即可判断.
【详解】由图可知函数
在区间
和
上单调递增，
在区间
和
上单调递减．故AD 选项正确．
15．已知函数
的解析式为
.
(1)画出函数的图象，并直接写出函数的值域和单调区间；
(2)解不等式
；
(3)若直线
（k 为常数）与函数
的图象分别有两个和四个公共点，直接写出相对应的k 的范围.
【答案】(1)函数图象见解析；值域为
，单调递增区间为
，
，单调递减区间为
，
；
(2)
(3)当
或
时，有两个公共点；当
时，有四个公共点.
【分析】（1）画出函数图象，并根据图象得到值域和单调区间；
（2）先从图象得到
的解，数形结合得到
的解集；
（3）从图象得到公共点的个数和相对应的k 的范围.
【详解】（1）函数图象如下：
函数的值域为
，单调递增区间为
，
，
单调递减区间为
，
；
（2）
，从图象可知，令
，解得
，
故
的解集为
；
（3）从图象可以看出，当
或
时，直线
（k 为常数）与函数
有两个公共点，
当
时，直线
（k 为常数）与函数
的图象有四个公共点.
16．已知函数
的定义域为
，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．
的单调递减区间为
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的单调递增区间为
【答案】D
【分析】利用函数
的图象逐项判断即可.
【详解】对于A，由图象可知：
的单调递减区间为
，A 正确；
对于B，当
时，
，B 正确；
对于C，当
时，
，C 正确；
对于D，由图象可知：
的单调递增区间为
和
，但并非严格单调递增，不能用“
”连接，
D 错误.
故选：D.
考点05 复合函数的单调性
17．函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可.
【详解】函数
有意义，则
，解得
.
令
，开口向下，对称轴为
.
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
函数
关于
是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层
的减
区间，
即
.
18．函数
的单调递增区间是__________.
【答案】
【分析】先求出
的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案.
【详解】令
，解得
或
，所以函数的定义域为
，
令
，
，则
，
因为
在
上单调递增，
在
上单调递减，
根据复合函数单调性得
在
上单调递减，
又
在
上单调递减，在
上单调递增，
根据复合函数单调性得
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间是
.
故答案为：
.
19．函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案.
【详解】由题意知函数
满足
，解得
或
，
即函数定义域为
，
令
，则
的图象开口向上，且对称轴为直线
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
在
上单调递增，
故
的单调递减区间是
.
故选：B
20．函数
的单调递减区间为__________.
【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案.
【详解】由题意
，
令
，可得
，解得
，
因为
为开口向下，对称轴为
的抛物线，
所以
的减区间为
，
因为
在
上单调递增，
由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得
的减区间为
.
故答案为：
考点06 利用函数的单调性解不等式
21．已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合函数的奇偶性和单调性求解.
【详解】
的定义域为R，
因为
，所以函数
是R 上的增函数.
因为
，所以函数
是奇函数，
所以由
得
，
则
，解得
.
所以不等式
的解集为
.
22．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式.
【详解】由已知得
，当
时，
，
所以
，当
时，同理有
，可知
是奇函数．
又当
时，
，所以
在
上单调递增，
从而可得
在
上单调递增．
不等式
即
，
所以有
，解得
．
23．已知函数
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解.
【详解】
的定义域为
，
，故
为偶函数，
当
时，
，由于
为
上的单调递增函数，故
为
上的单
调递增函数，结合
为单调递增函数，故
为
上的单调递增函数，
由
可得
，解得
.
24．已知函数
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性，结合复合函数单调性的性质、对数函数、指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】函数
的定义域为全体实数，
，
所以函数
是偶函数，
当
时，
，
因为函数
是单调递增函数，且
，
所以函数
是单调递增函数，
因为
是单调递增函数，且
，
所以函数
是单调递增函数，且
，
所以函数
在
上单调递增，
所以由
，或
，解得
，或
，
所以不等式
的解集
.
考点07 比较函数值的大小关系
25．设
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性，可得a 的范围，根据对数函数的单调性，可得b，c 的范围，比较即可得
答案.
【详解】因为
在R 上单调递增，所以
，则
，
因为
在
上单调递增，所以
，则
，
因为
在
上单调递增，且
，
所以
，则
.
26．设
，则
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过构造函数
，利用导数判断其单调性，再结合
的大小关系，即可比较
的
大小.
【详解】设函数
，则
，令
，得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
而
，
，
，
又因为
，且
在
上单调递减，所以
，
即
.
27．已知函数
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因函数
在
上单调递减，
在
上单调递增.
故
.
设
在
上单调递增且恒为正数，而
在
上单调递增，
由复合函数的单调性可知
在
上单调递增，
所以
，即
．
28．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造
，
，可知
在
内单调递增，结合函数单调性比较大小即可.
【详解】构造
，
，则
，
可知
在
内单调递增，
因为
，可得
，即
，所以
，
又因为
，可得
，
则
，所以
，
综上所述：
.
考点08 利用函数单调性求最值或值域
29．定义
为
中的最小值，设
，则
的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】B
【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解.
【详解】画出
，
，
的图像，观察图像可知，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
的最大值在
时取得为
，故B 正确．
30．（多选）设非负实数
，
满足
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是
C．
的最小值是
D．
的最小值是4
【答案】ACD
【分析】根据二次函数的最值以及基本不等式求解即可.
【详解】已知非负实数
满足
，因此
，得
，
.
选项A.将
代入得
，开口向下，对称轴为
，
最大值
，正确.
选项B.将
代入得
，函数在
上单调递减，
最小值在
处取得
，错误.
选项C.
.由A 知
，因此
，
等号在
时成立，正确.
选项D.
.
由基本不等式
，因此
，等号在
时成立，正确.
31．已知函数
，且
.
(1)用定义证明函数
在
上是增函数；
(2)求函数
在区间
上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为5，最小值为4
【分析】（1）先由条件求出
的值，再利用函数的单调性定义证明；
（2）利用函数的单调性计算即得函数在给定区间上的最值.
【详解】（1）因为函数
，且
，所以
，解得
，
故
.
任取
，且
，
则
，
因为
，所以
，则
，
所以
，即
，
故函数
在
上为增函数.
（2）由（1）知，函数
在
上为增函数，则其在
上为增函数，
则
，
故函数
在区间
上的最大值为5，最小值为4.
32．设定义在
上的函数
，则
的最小值是______．
【答案】
/
【分析】令
，
，分析
的单调性，即可求得
的最小值，即
的最小
值.
【详解】令
，
.
设
，
.
因为
，所以
，所以
，所以
，即
.
所以
在
上单调递增，所以
．
故答案为：
.
考点09 根据函数的最值求参数
33．已知函数
，若
在
上既有最大值，也有最小值，则实数a 的取值范围
是______．
【答案】
【分析】求出函数
的单调区间及对应的函数值集合，再由给定条件列出不等式组求解.
【详解】函数
在
上单调递减，函数值集合为
，
在
上单调递增，函数值集合为
，在
上单调递减，函数值集合为
，
由函数
在
上既有最大值，也有最小值，得
，
因此
，解得
，所以实数a 的取值范围是
.
34．已知函数
，若
，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用单调性求出
时
的最小值，再根据题意讨论求解的取值范围,得到
时符合题意；
因此当
时，只要研究
的情况就可以了.当
时，
恒成立，当
时，求出
，根据题意得到的不等式，进行求解.
【详解】当
时，
，
在
上单调递减，所以
，
则当
，存在
，使
，符合题意.
当
时，不存在
，使
.
所以只要
即符合题意.
当
时，只要研究
的情况.
当
时，
恒成立，不符合题意；
当
时，
，
所以
，则
，解得
.
故的取值范围为
.
故选：D.
35．已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)判断函数
的奇偶性并证明；
(3)若
在区间
上的最小值为7，求
的值.
【答案】(1)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
(2)答案见解析
(3)
或
.
【分析】（1）根据二次函数的性质，分段分析，即可得单调区间.
（2）分别讨论
和
两种情况，根据奇偶性的定义，分析推理，即可得证.
（3）分别讨论
、
、
、
、
和
几种情况，根据二次函数的性质，结合
条件，分析求解，即可得答案.
【详解】（1）若
，则
，
所以当
时，
为开口向上，对称轴为
的抛物线，
当
时，
为开口向下，对称轴为
的抛物线，
所以
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
（2）当
时，则
，
，定义域关于原点对称，
又
，所以
是奇函数；
当
时，
，
，
所以
且
，所以
既不是奇函数也不是偶函数.
综上，当
时，
是奇函数；当
时，
既不是奇函数也不是偶函数.
（3）当
时，
，
对称轴为
，所以函数
在
上单调递增，
所以
，即
，解得
（舍）或
；
当
时，
，对称轴为
，
所以函数
在
上单调递增，所以
，
即
，解得
（舍）或
（舍）；
当
时，
，对称轴为
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
，
所以
，
若
，
，
所以
，即
，解得
（舍）或
（舍）；
若
，
，则
，即
，
解得
（舍去）或
；
当
时，
，
，
此时
，不符合题意；
当
时，
，
因为
，则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
（舍）或
（舍）.
综上，
的值为
或
.
36．已知函数
.
(1)利用函数单调性的定义证明函数
在区间
上单调递减；
(2)若
在区间
上的最大值为
，求
在区间
上的最小值.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
.
【分析】（1）令
，可得
，根据函数单调性定义证明即可；
（2）由（1）知，函数
单调递减，所以当
时，函数
取得最大值
，可求得
，当
时，
函数
取得最小值.
【详解】（1）令
，则
，
因为
，所以
，
，
，
所以
，所以
，
所以函数
在区间
上单调递减.
（2）由（1）知，函数
在区间
上单调递减，
又
在区间
上的最大值为
，
即当
时，函数
取得最大值，即
，所以
，
解得
，
当
时，函数
取得最小值，所以
.
