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考点巩固卷 06 利用导数研究函数的单调性、极值
和最值（八大考点）
考点01：利用导数求函数的单调区间
求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
1．已知函数 ，则 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．2．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．函数 单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 ，其导函数为 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间．
6．已知函数 (其中 为常数)．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)求函数 在 上的最小值．
7．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，证明： ；
试卷第2页，共3页(3)若 既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
8．设函数 .
(1)若 是 的极值点，求a的值，并求 的单调区间；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 ，求 的取值范围.
9．已知函数
(1)求函数 的单调区间；
(2)函数 有唯一零点 ，函数 在 上的零点为 ．证明： ．
10．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处切线的斜率；
(2)当 时，讨论 的单调性．
考点02：求已知函数的极值与最值
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而
且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做
函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而
且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做
函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小
值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
11．函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 在区间 上不单调 B． 有两个极值点
C． 有两个零点 D． 在 上有最大值
12．函数 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
13．函数 的极大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
14．若函数 在 上存在最小值，则实数a的取值范围是 .
15．已知函数 ，若方程 有2个不同的实根，则实数 的取值范
围是 .
16．已知函数 的图象在点 处的切线过点 ．
(1)求实数 的值；
(2)求 的单调区间和极值．
17．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程
(2)当 时，求函数 的极值
(3)若 在 上是单调增函数，求实数a的取值范围.
试卷第4页，共3页18．已知函数 （ ）.
(1)求函数 的极值；
(2)若集合 有且只有一个元素，求 的值.
19．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值;
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
20．已知 .
(1)求 的单调区间，并求其极值；
(2)画出函数 的大致图象；
(3)讨论函数 的零点的个数.
考点03：已知函数在区间上递增（递减）求参数
已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：1.在区间内 是函数 在此区间上为增（减）函数的充分不必要
条件；
2.可导函数 在区间 是增（减）函数的充要条件是： 都有
，且 在 的任意一个子区间内都不恒为 ；
3.由函数在区间 是增（减）函数，求参数范围问题，可转化为
恒成立问题求解.21．若函数 的单调递增区间是 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
22．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 在区间[1，2]上单调递增，则实数a的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
24．已知函数 在 上单调递增，则 的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
25．已知函数 为定义域上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．若对任意的 ，且 ， ，则 的最大值是 ．
27．已知函数 在区间 上不单调，则m的取值范围
是 .
28．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为
.
29．已知函数 ．
(1)若 在定义域内是单调函数，求a的取值范围；
试卷第6页，共3页(2)若 有两个极值点 ， ，求证： ．
30．已知函数
(1)写出函数的定义域，求当 时 的单调区间；
(2)若 ， 在区间 上为减函数，求a的取值范围.
考点04：已知函数存在单调区间或在区间上不单调求参数
已知函数 在区间 上不单调 ，使得 （且 是变号零点）
31．函数 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
32．已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．已知函数 在区间 上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
34．已知函数在 上不单调， 则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．已知函数 在 上不单调，则a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
36．已知 在 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．已知函数 在 上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
38．已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的极小值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 ，令 ，且 在 上不单调，求实数 的取值范围．
39．已知函数 ， ，若 在 上不单调，求a的取值范围.
40．已知函数 在 处取得极大值，且极大值为3.
(1)求 的值：
(2)求 在区间 上不单调，求 的取值范围.
考点05：利用函数的单调性比较大小
试卷第8页，共3页核心思想一：由 引出的大小比较问题
如图所示：
① 在 在 ，在 时，取得最大值且为
②极大值左偏，且
③若 ，则
若 ，则
口诀：大指小底永为大（大小指 ）
核心思想二：对数等比定理
41．若函数 对任意的 都有 成立，则 与 的大小
关系为（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
42．已知 ，则下列有关 的大小关系比较正确的是
（ ）
A． B． C． D．43．比较 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
44．若函数 对任意的 都有 恒成立，则 与 的大小关系
正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
45．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知
， ， ，要比较 ， ， 的大小，我们就可通过构造函数
来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（ ）
A． B． C． D．
46．已知 ， ， ，试比较 ， ， 的大小（ ）
A． B． C． D．
47．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程
的实数根x叫做函数 的“躺平点”．若函数 ， ，
的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
48．设 ，比较 的大小关系（ ）
A． B． b
C． D．
试卷第10页，共3页49．已知 ，试比较 的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
50．已知 ，试比较 大小关系（ ）
A． B． C． D．
考点06：利用函数单调性处理抽象不等式
单调性定义的等价形式
f (x) [a,b]
（1）函数 在区间 上是增函数:
x ,x ∈[a,b] x 0
x ,x ∈[a,b] x ≠x x −x
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 ；
x ,x ∈[a,b] x ≠x (x −x )[f (x )−f (x )]>0
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 1 2 ；
x −x
1 2 >0
x ,x ∈[a,b] x ≠x f (x )−f (x )
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 .
f (x) [a,b]
（2）函数 在区间 上是减函数:
x ,x ∈[a,b] x 0
⇔任取 1 2 ，且 1 2，都有 1 2 ；
f (x )−f (x )
1 2
<0
x ,x ∈[a,b] x ≠x x −x
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 ；
x ,x ∈[a,b] x ≠x (x −x )[f (x )−f (x )]<0
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 1 2 ；
x −x
1 2 <0
x ,x ∈[a,b] x ≠x f (x )−f (x )
⇔任取 1 2 ，且 1 2， 1 2 .
定义法判断函数奇偶性
判断 与 的关系时，也可以使用如下结论：
如果 或 ，则函数 为偶函数；
如果 或 ，则函数 为奇函数．
利用单调性、奇偶性解不等式原理
1、解 型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“ ”，将“抽象”的不等式问题转化为“具
体”的不等式问题求解；
（2）若不等式一边没有函数符号“ ”，而是常数（如 ），那么我们应该将常
数转化带有函数符号“ ”的函数值再解。
2、 为奇函数，形如 的不等式的解法
第一步：将 移到不等式的右边，得到 ；
第二步：根据 为奇函数，得到 ；
第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“ ”，列出不等式求解。
51．已知函数 ，关于 的不等式 的解集为 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
52．若函数 与 的图象有且仅有一个交点，则关于 的不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
53．已知函数 ，若不等式 的解集为 ，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
54．关于 的不等式 的解集中有且仅有两个大于2的整数，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B．
试卷第12页，共3页C． D．
55．定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
56．已知定义在 上的奇函数 满足： ，则关于 的不
等式 在 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
57．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
58．已知函数 ，关于x的不等式 的解集中有且只有一个整数，则实
数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
59．定义在 上的函数 的导函数为 ，且 对任意恒成立.若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
60．已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时 ，则
不等式 在 上的解集为（ ）
A． B．
C． D．
考点07：根据极值点（最值点）求参数
题型1：已知极值点求参数的值.
1.已知函数 有极值点 ，求参数的值或范围,一般有两种情况：
（1）由 可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由 求出参数的值，
再代回 去研究 的单调性，确认 在 处取得极值即可.
（2）由 不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的
单调性，当 的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.
当我们知道函数的具体极值点是极大值还是极小值求参数时，也可以利用下面高观点方
法，当然，这个方法仅供有兴趣的同学了解，并非通法，它在解决一些问题时要方便一些.
2.极值第二充分条件：若 ，且 ，则若 ，则
在 处取得极大值；若 ，则 在 处取得极小值.
3.极值第二充分条件：
试卷第14页，共3页若 在 处具有直到 阶的连续导数，且 ，
但 ，则：当 为偶数时， 为函数 的极值，当 为奇数时，
不是函数 的极值.
题型2：已知极值个数求参数的范围
这类问题的形式就是已知 存在几个极值点，求参数 的取值范围. 这类问题实质是
考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后
讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个
新的函数来讨论其零点个数.
61．若函数 在 处取得极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
62．已知函数 在 处取得极值 ，则 （ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
63．若函数 在 处取得极值，则函数 在区间 上的最小值
为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
64．若函数 有两个极值点 ，且 ，则下列结论中不正确的是
（ ）
A． B．
C． 的范围是 D．
65．若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
66．若 为函数 的极大值点，则实数 的取值范围为（ ）.
A． B．
C． 或 D．
67．函数 在区间 上有最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
68．已知函数 ，若 在 处取得极小值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
69．已知函数 在区间 上有定义，且在此区间上有极值点，则实
数 的取值范围是 ．
70．已知函数 ，若 是函数 的驻点，则实数
考点08：导函数图像与原函数图像的关系
原函数与导函数互相判断应遵循以下步骤：
①若已知导函数判断原函数
第一步：观察导函数 轴的上下 ，上则为递增，下则为递减.
第二步：导函数 轴的值越大，则原函数增的越快（斜率越大）
②若已知原函数判断导函数
第一步：观察原函数是上坡路还是下坡路，若为上坡路则导函数 ，若为下坡路
则.
试卷第16页，共3页导函数
第二步：原函数斜率越大，则导函数 轴的值越大，原函数斜率越小，则导函数 轴的值
越小.
71．已知函数 的导函数为 ，定义域为 ，且函数 的
图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A． 有极小值 ，极大值
B． 仅有极小值 ，极大值
C． 有极小值 和 ，极大值 和
D． 仅有极小值 ，极大值
72．已知函数 ，其导数 的图象如下图所示，则 （ ）
A．在 上为增函数
B．在 处取得极小值
C．在 处取得极大值
D．在 上为增函数73．已知定义域为 的函数 的导函数为 ， ，且 的图象如
图所示，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
74．已知函数 的导函数 图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 是极大值点
C． 的图象在点 处的切线的斜率等于0
D． 在区间 内一定有2个极值点
75．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则 的图象可能是（ ）
试卷第18页，共3页A． B．
C． D．
76．函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
77．已知函数 的图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
78．已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）A． B．
C． D．
79．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 在 上的图象如图所示，
则（ ）
A．1是 的极小值点 B．1是 的极大值点
C． 是 的极小值点 D． 是 的极大值点
80．如果函数 的导函数 的图象如图所示，则以下关于 判断正确
的是（ ）
A．在区间 上是严格减函数 B．在区间 上是严格增函数
试卷第20页，共3页C． 是极小值点 D． 是极小值点
