文档文本内容
2.10 函数与方程
9 大考点汇总
考点01 求函数的零点
考点02 零点存在性定理的应用
考点03 根据零点所在的区间求参数范围
考点04 求函数零点或方程根的个数
考点05 根据函数零点的个数求参数范围
考点06 利用函数零点的分布求参数范围
考点07 求零点的和的问题
考点08 二分法求方程近似解
考点09 函数与方程的综合应用
题型专练
考点01 求函数的零点
1．（多选）下列函数存在零点的是（ ）
A．
B．
C．
（
且
）
D．
【答案】ABC
【详解】A，令
，解得
，得函数
的零点为1 和-1，A 正确；
B，令
，解得
或
，
定义域为
或
，
令
，解得
或
，即函数的零点为
和1，B 正确；
C，
的定义域为
，令
，解得
，
即函数
的零点为1 和-1，C 正确；
D，当
时，
，此时函数无零点，
当
时，
，此时函数无零点，
故
不存在零点.
2．已知a 是函数
的零点，则实数a 的值为________．
【答案】
27
【分析】根据零点定义结合对数运算求值.
【详解】因为a 是函数
的零点，
所以
，所以
，
则实数a 的值为
．
3．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．函数
的零点为
B．函数
的零点为
C．函数
的零点，即函数
的图象与
轴的交点
D．函数
的零点，即函数
的图象与
轴的交点的横坐标
【答案】BD
【详解】根据函数零点的定义，可知
的零点为
．A 错误，B 正确；
函数
的零点，即函数
的图象与
轴的交点的横坐标，因此D 正确，C 错误．
4．已知三个函数
，
，
的零点依次为a，b，c，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断
的范围.
【详解】
是
上的增函数，
，
，
因此零点
，即
.
令
，得零点
.
是
上的增函数，
，
，因此零点
，
即
，
综上可得大小关系：
.
5．（多选）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
在
上单调递增
B．
的极小值为
C．
的图象关于原点对称
D．
有两个零点
【答案】AC
【分析】先求导，利用导数研究单调性进而判断AB，判断
的奇偶性即可判断C，求
的零点即可判
断D.
【详解】函数
的定义域为
，
所以
，
对于A，由
，得
或
，函数
在
上单调递增，故A 正确；
对于B，由
，得
，函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以函数
在
取得极小值
，故B 错误；
对于C，
，函数
是奇函数，其图象关于原点对称，故C 正确；
对于D，由
，解得
，函数
有3 个零点，故D 错误．
6．函数
的零点为______．
【答案】
或
【详解】令
，解得
，
故
或
．
考点02 零点存在性定理的应用
7．方程
的根所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】原方程的根等价于函数
的零点，先判断
单调递增，然后利用零点存在
性定理逐一判断即可.
【详解】原方程的根等价于函数
的零点，
的定义域为
，
函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
因此
在
上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点，
，
因此
时，
，无零点，A 选项错误；
，因此
时，
，
无零点，B 选项错误；
，
因为
，因此
，
此时
且
，
，根据零点存在定理，存在
，使得
，
即方程的根在区间
内，C 选项正确；
，
结合
单调递增，
时
，故区间
内无零点，D 选项错误.
8．函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
是增函数，
是增函数，所以函数
是增函数.
又
，
所以由零点存在性定理可得，函数
的零点所在的区间为
.
9．函数
零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因函数
与
都是
上的增函数，则
也是
上的增函数，
又
，
故函数
有唯一的零点，其所在区间为
.
10．函数
的一个零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论
【详解】
定义域为
，
，
令
得
，令
得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
其中
，故
，
，
，
由零点存在性定理可得函数
的一个零点所在区间为
，
其他选项均错误.
11．函数
的零点在区间
内，则
_________．
【答案】4
【分析】利用函数零点的存在性定理求解.
【详解】由题意知，函数
在
上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单
调递增，
又有
，
，
由函数零点存在性定理可知零点在
内，结合题意可得
.
12．已知函数
在
上存在零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可.
【详解】因为函数
在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，
要使函数
在
上存在零点，
则
，解得
，
则实数
的取值范围为
.
考点03 根据零点所在的区间求参数范围
13．若函数
的零点所在区间为
，则
的值为___________．
2.71828）
【答案】1
【分析】利用零点存在性定理以及函数的单调性求得函数
的零点所在区间，从而得到
的值.
【详解】因为函数
与函数
均为增函数，所以函数
为增函数.
因为
，
，所以函数
的零点所在区
间为
.
所以
.
故答案为：.
14．函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据零点分析得
，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数
在
单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可.
【详解】当
时，
在
上恒成立，此时
在区间
内无零点；
要使函数
的一个零点在区间
内，则
，
因为函数
和
在
单调递增，所以函数
在
单调递增，
由零点存在性定理可知
，解得
．
故选：B
15．函数
的一个零点在区间
内，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用单调性将命题转化为
，再解不等式即可.
【详解】由于
在
上单调递增，
故命题等价于
，即
，
解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D.
16．命题“
在区间
上有零点”为真命题，则命题成立的一个必要不充分条件是
（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】先由
在区间
上有零点，得到
或
，令集合
或
，该命题一个
必要不充分条件，则集合A 是该条件范围的真子集，根据选项范围求解即可.
【详解】因为
在区间
上有零点，
所以
，即
，解得
或
；
令集合
或
，
由命题“
在区间
上有零点”的一个必要不充分条件，
集合A 是该条件范围的真子集，根据题目选项A 满足.
故选：A.
考点04 求函数零点或方程根的个数
17．直线
与曲线
的交点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】直线
与曲线
的交点，整理可得
，
而
，
，
所以方程无实根，交点个数为
个．故A 正确．
18．已知函数
定义在
上，且
，满足
，且当
时，
，则函数
的零点个数是____.
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可.
【详解】定义在
上函数
满足
，可得
为奇函数，
又由
，可得
有对称轴
，
由
，可得
，
则
最小正周期为4，
函数
的零点即函数
与函数
图象交点的横坐标，
又当
时，
，
在同一坐标系内作出函数
与函数
图象如下：
两函数图象有3 个公共点
，
则函数
的零点个数是3.
19．方程
的解的个数为__.
【答案】2
【分析】方程
的解的个数，即函数
和函数
的图象的交点个数，画出两
函数图象即可得.
【详解】方程
的解的个数，
即函数
和函数
的图象的交点个数，
如图所示，数形结合可得，
函数
和函数
的图象的交点个数为2，
故方程
的解的个数为2.
20．若函数
满足
，且
时，
，已知函数
，则函数
在区间
内的零点个数为_____.
【答案】
【分析】结合函数周期性和解析式可作出
与
在
上的图象，根据图象交点个数可得所
求函数零点个数.
【详解】
，
是周期为
的周期函数；
当
时，
；当
时，
；
，
又
，
，
，
可作出
与
在
上的图象如下图所示，
由图可知：
与
在
上有
个交点，
函数
在区间
内的零点个数为
.
21．设方程
的根为a，方程
的根为b，求
的值．
【答案】
【分析】先化简得出
，
，再结合函数图象应用反函数的对称性解题.
【详解】将方程整理得
，
．
如图可知，a 是指数函数
的图像与直线
交点A 的横坐标，
b 是对数函数
的图像与直线
交点B 的横坐标．
由于函数
与
互为反函数，所以它们的图像关于直线
对称，
由题意可得出A、B 两点也关于直线
对称，于是A、B 两点的坐标为
，
．
而A、B 都在直线
上，所以
（A 点坐标代入），或
（B 点坐标代入），
故
．
22．已知函数
则函数
的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】令
并结合各段解析式所在的定义域即可求解.
【详解】当
时，解
得
或
（舍），此时有1 个零点，
当
时，解
得
，此时有1 个零点，所以
共有2 个零点.
考点05 根据函数零点的个数求参数范围
23．已知二次函数
有且仅有一个零点，则
的最小值为__________．
【答案】
【分析】借助根的判别式与基本不等式计算即可得.
【详解】由题意知，
，∴
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
的最小值为
.
24．若函数
的零点为1，2，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为函数
的零点为1，2，
所以
，
.
所以不等式
可化为
.
所以所求不等式的解集为
.
所以选项D 正确.
25．已知函数
，若函数
有
个不同的零点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用导数作出函数
的图象，转化条件为
的图象与直线
有
个交点，数形结
合即可得解.
【详解】由题当
时，
，所以
，
所以当
时，
，当
时，
；
所以
在区间
上单调递增，在
上单调递减，
当
时
，当
时，
；
当
时，
；
所以可作出函数的图象，如下图，
若要使函数
有
个不同的零点，
所以
的图象与直线
有
个交点，
即
，解得
.
即实数
的取值范围是
.
26．已知函数
，若函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
，求导，利用导数分析函数单调性和极值点；分析
在区间
内的单调性和关键点，作出函数图象，结合图象得出
有3 个零点的a 的取值范围．
【详解】当
时，
，求导得
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
故
是
的极小值点，即为最小值点，
，
且
；
当
时，
，
，
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，
故函数
的图象如下：
已知函数
有3 个零点，由图象可知，
当
时，
有3 个交点；
当
时，
有3 个交点；
综上，实数a 的取值范围是
．
27．对于正整数n，函数
定义如下：
，存在实数t，使得方程
有四
个不同实数解的所有正整数n 的和为（ ）
A．26
B．27
C．28
D．29
【答案】B
【分析】对
和
时的函数根据
的范围分析单调性，进而判断出方程
的实数解的个数.
【详解】当
时，
，
所以当
时，
先减后增，
则存在实数，方程
有两个不同的实数解；
当
时，
单调递减，
方程
至多有一个实数解；
当
时，
，
所以当
时，
先减后增，
则存在实数，方程
有两个不同的实数解；
当
时，
单调递增，
方程
至多有一个实数解；
综上，当
时，存在实数，方程
有四个不同的实数解，
又
为正整数，所以
可取
，和为
.
28．已知函数
，若关于x 的方程
有6 个不相等的实数根，
则实数a 的取值范围为_____.
【答案】
或
【分析】先作出函数
的图象，再令
，则
，易得
，且
关于的方程必有两个不等实根，设为
，再分
，
和
三种情况讨论
即可.
【详解】作出函数
的图象如图所示，
令
，则
，
若原方程有6 个不相等的实数根，
则
，且关于的方程必有两个不等实根，设为
，
当
时，
代入
，则
，解得
，
此时关于的方程为
，解得
，满足题意；
当
，且
时，令
，
则函数
有两个大于
的不等零点，
因为函数
的图象过点
，
则
，解得
，
即
；
当
时，因为函数
的图象过点
，
则
，无解，
综上所述，实数a 的取值范围为
或
.
故答案为：
或
.
29．已知函数
,若关于x 的方程
有6 个根，则m 的取
值范围为________.
【答案】
【分析】先作出函数
的图像，结合图像可把问题转化为
在
上有两个不同实根
，
，数形结合即可求得答案．
【详解】作出函数
图像如图所示：
令
，则
可化为
，
若
有6 个根，
结合图像可知方程
在
上有2 个不相等的实根，
不妨设
，
，
则
，解得
，
故m 的取值范围为
.
故答案为：
30．已知函数
，若函数
有8 个零点，则实数
的取值范围为___________．
【答案】
【分析】据题意对实数
进行讨论，分
，
，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解．
【详解】当
时，
，对称轴为
.
当
时，函数
在
单调递增，函数图象如下：
令
，则由
，
结合图象可得
或
，即
或
.
结合图象可知，
有2 个解，
有1 个解，
此时函数
有3 个零点，不符合题意.
当
时，函数
在
单调递增，在
单调递减，函数图象如下：
令
，则由
，结合图象可得
或
或
，
即
或
或
.
由图可知，
有2 个解，
有3 个解，
又函数
有8 个零点，则需
有3 个解.
需使
，解得
.
综上，实数
的取值范围为
.
考点06 利用函数零点的分布求参数范围
31．函数
至多有______个零点．
【答案】1
【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可.
【详解】当
，令
，解得
，但
，所以只有
可能是零点，且
.
当
，令
，解得
，又
，所以只有
，即
时，
可能是零点.
综上，当
，至多1 个零点；当
，至多1 个零点．即函数
至多1 个零点
故答案为：1．
32．已知函数
，则
有零点的充要条件是______.
【答案】
【分析】将函数有零点的问题转化为方程有根的问题，根据一元二次方程根的问题求解即可.
【详解】函数
有零点
方程
有解.
当
时，方程有一解
；
当
时，方程
有解
，
综上知：
有零点的充要条件是
.
故答案为：
.
33．已知幂函数
在
上单调递增．
(1)求
的值及函数
的解析式；
(2)若
有两个不相等的正数解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质可得；
（2）将方程转化为一元二次方程有两个不相等的正根，由判别式及根与系数关系可得.
【详解】（1）因为函数
为幂函数，所以
，解得
或
.
当
时，
在
上单调递减，不符合题意，舍去；
当
时，
在
上单调递增，符合题意，
所以
，
.
（2）因为
有两个不相等的正数解，即方程
有两个不相等的正数根.
设方程的两个正数根为
，则
，解得
.
所以实数
的取值范围为
.
34．已知
,
关于x 的方程
有两个小于1 的正根，则p 是q 的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先求出“方程
有两个小于1 的正根”的等价条件，再利用充分必要条件判断即得.
【详解】设
，
为方程
的两个小于1 的正根，
则
，且
，
，
因
且
等价于
且
，
则得
，
且
，
故
是
的必要条件；
当
，
时，若取
，
，
此时方程
无实根，故
不是
的充分条件.
综上可得，p 是q 的必要不充分条件.
35．已知函数
，若正实数
互不相等，且
，则
的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据分段函数可得函数图象，从而可得
的范围，据此可求
的取值范围.
【详解】
的图象如图所示：
不妨设
，则
且
，
其中
，
故
即
，
故
，
故答案为：
.
36．设函数
，若函数
的四个零点从左到右分别满足：
，
则
的值为________．
【答案】
【分析】画出
与
的图象，结合图象求得
，从而求得正确结论.
【详解】因为函数
有四个零点，令
，即
，等价于直线
与函
数
的图象有四个交点，
作出函数图象如图，由图可知直线
与函数
的图象有四个交点，
则有
，又因
，即
，所以
．
故答案为：
37．（多选）已知函数
的零点分别为a，b，c，则下列结
论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由题意得函数
，
，
与函数
的交点的横坐标分别为
，画出函数
图，结合图象及函数的对称性即可逐项求解.
【详解】由函数
的零点分别为
，
得函数
，
，
的图象与函数
的交点的横坐标就是
，
如图，在平面直角坐标系中，作函数
，
，
的图象，
由图知，
，故A 错误，B 正确；
因为
，
互为反函数，其图象关于直线
对称.
因为
与
垂直，所以
与
的中点是直线
与
的交点.
由
得
，所以
，
.
又
，所以
，所以
，故C 正确；
又
，
，所以
，故D 正确.
故选：BCD
38．已知函数
，若函数
有4 个不同的零点，则
的取值范围是
___________；若4 个零点分别记为
，且
，则
的取值范围是
___________．
【答案】
【分析】根据函数图象得出
的取值范围，再根据函数图象与性质可得
，
，结合图象，
并利用
的范围即可求解.
【详解】函数
有4 个不同的零点等价于函数
与
有4 个不同的交点，且交点横
坐标分别为
，作出
的图象如下：
由图象得：
，
，
且
关于函数
的对称轴
对称，
所以
，
故
，所以
，
所以
，
令
，
根据对勾函数的性质，函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
所以
，
又
，
所以
，
故答案为：
；
考点07 求零点的和的问题
39．函数
的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为
和
．
(1)求函数
的解析式及单调递减区间；
(2)求方程
在
内所有解的和．
【答案】(1)
(2)
和
，和为
．
【分析】（1）利用函数最值列方程组求出
,由两点横坐标差得半周期进而求出
,代入最高点坐标结合
范围确定
,再根据正弦函数递减区间解出
的单调递减区间.
（2）换元化简绝对值方程,分类讨论求得
,再解三角方程,找出区间内所有解并求和.
【详解】（1）由题意，最高点
和最低点
，得
，
.
解得
，
.
，故
.
由
得
.所以
.
代入
：
，即
.
又
，得
，故
.
解析式为
.
令
，解得
.
故单调递减区间为
.
（2）令
，方程
.
当
时，
（舍去）；
当
时，
.
故
，即
，
.
得
，解得
.
在
内的解为
和
，和为
.
40．函数
，则函数
的所有零点之和为_________．
【答案】13
【分析】令
，根据
，求得
或
，再根据
和
，结合分段函数的解析
式，即可求解.
【详解】令
，
由
得
或
，所以
或
，
当
时，
或
，
当
时，则
或
，解得
，
所以函数
的所有零点之和为
．
41．函数
的所有零点的和为（ ）
A．
B．
C．3
D．5
【答案】B
【分析】根据题意，
的零点转化为
与
的交点，结合图像及对称性求解即可．
【详解】由
，得
，
则
所有零点的和等价于函数
与
的图象所有交点的横坐标之和．
易得
与
的图象均关于点
对称．
，
，
，结合
与
的图象，
可知
与
的图象在
内共有2 个交点，
则
与
的图象共有5 个交点，且关于点
对称，
则这5 个交点的横坐标之和为
，即
所有零点的和为
．
42．已知函数
，方程
有四个不同解
，则
的取值范
围是______．
【答案】
【分析】结合函数图象以及函数对称性、单调性分析求解即可.
【详解】如图所示：
由方程
即
有四个不同解
，
即
的图象与
有四个不同的交点，由图可知
，
不妨假设
，由图可知
，
又由图可知
，
故
，解得：
，
又
，结合图象可知
，所以
，
所以
，
设
，
任取
，且
，
则
，
因为
且
，
所以
且
，
所以
，
所以
在
上单调递减，
所以
即
，即
，
所以
.
43．设
分别是
与
的零点，则
的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据函数零点的定义，运用转化法、同底的指数函数和对数函数互为反函数的性质，结合对勾函数
的单调性进行求解即可.
【详解】当
时，因为函数
是实数集上的增函数，
所以函数
是实数集上的增函数，
因为
是
的唯一零点，
所以
，
即
是指数函数
和反比例函数
的唯一交点的横坐标.
当
时，因为
是
的零点，
所以
，
设
，
当
时，因为函数
是正实数集上的增函数，
所以
是正实数集上的增函数，
即
是指数函数
和反比例函数
的唯一交点的横坐标，
显然函数
与函数
的图象关于直线
对称，如下图所示：
显然
，由数形结合思想可知：
，
的中点在
上，
所以
，
，设
，
由对勾函数的单调性可知该函数在
时，单调递减，
即
，
所以
的取值范围是
.
44．已知函数
,
的零点分别为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据函数的零点定义，可得
即函数
图象与直线
的交点
的横坐标，
结合函数图象的对称性即可求得答案.
【详解】由
可得
，由
，
，
依题意，如图所示，
即函数
图象与直线
的交点
的横坐标.
由图知，因函数
是一对反函数，图象关于直线
对称，则点
也关于直线
对称，
由
解得
，则点
关于点
对称，故
.
45．已知定义在
上的函数
满足
，
，当
时，
，则方程
所有根之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据对称性求出周期，再数形结合后可求所有根之和.
【详解】由
，得函数
关于点
对称，
又
，得函数
关于直线
对称且
，
故
，故
，所以
，
所以
，从而函数
是周期为4 的周期函数.
又当
时，
，则
，
即
是
的单调递增函数，
，
，
又方程
的根即
与
的交点横坐标，
而直线
的斜率为
，
，
故
的图像与直线
在
有且只有一个交点，
又
，
，
结合
的周期性和对称性，在同一坐标系中画出
的图像和直线
，
如图：
两函数共有
个交点，并且关于点
对称，故所有根之和为
.
考点08 二分法求方程近似解
46．用二分法求方程
根的近似解时，令
，并用计算器得到如下表
数据：则由表中的数据，可得方程
的一个近似解为（精确度为
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用二分法判断即可得出结果.
【详解】设函数
的零点为
，
因为
，
，则
，所以
，区间长度为
，
取区间
中点，
，则
，
所以
，区间长度为
，
取区间
的中点
，
，则
，
所以
，区间长度为
，
取区间
的中点
，则
或
，
此时区间长度为
，故方程
的一个近似解为
，
故选：B.
47．已知函数
在区间
内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定
精确度为
，其参考数据如下：
则这个零点的近似值为___________．（精确到
）
【答案】
【分析】先得到零点位于
，由精确到
，得到近似值.
【详解】
，且
，
函数
在区间
内存在一个零点，故零点位于
，
精确到
，故零点的近似值为
.
故答案为：
48．已知函数
在区间
上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的
绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______.
【答案】9
【分析】经过
次二分以后区间长度为
，若近似解的绝对误差不超过0.01，则
，求解可得二分
区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数.
【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算
次中点函数值.
因为区间
的长度为，所以经过
次二分以后区间长度为
.
所以
，化简得
.
因为
，且
，所以
.
所以至少需要计算次中点函数值.
故答案为：.
49．用二分法求方程
在
上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造
，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解.
【详解】记
，由于
均为
上的单调递增函数，故
为
上
的单调递增函数，
因为
，
且
，所以函数
的零点落在区间
内，
又因为
，
所以
，
所以函数
的零点落在区间
内，
即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为
.
故选：B.
50．若函数
的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
那么当精确度达到
时，可作为方程
的一个近似根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间
内，结合精确度要求即可判断.
【详解】由表格中的数据知，
，
所以函数
的一个正数零点在区间
内，
且区间的长度为
，
此时，区间
内的任一值均可作为方程的近似根，
选项D 中的
是该区间的端点，符合题意
故选：D.
考点09 函数与方程的综合应用
51．已知函数
，关于
的方程
有且仅有4 个不同的实根，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先换元将原方程转化为关于
的二次方程，求出的解，再结合
的单调性、极值分析
的根的个数，最终根据总实根为 4 个确定
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，则函数
在
上单调递增，且
，
当
时，
，则函数
在
上单调递增，
当
时，
，则函数
在
上单调递减，
，所以
在
处取到极大值
，
且当
时，
，则
的大致图象为：
由此可得
大致图象为：
令
，由题意可得
则方程
可化为
，
即
，解得
或
，
原方程
有且仅有4 个不同的实根，
等价于
和
对应方程
的根的总数为4 个，
因为
，所以
，结合
图象，
要使
和
有且仅有4 个根，
则需要满足：
且
，解得
，此时
有1 个实根，
有3 个实根，
满足题意.
52．（多选）已知函数
下列说法正确的是（ ）
A．若
，则方程
有3 个不相等的实数根
B．若
方程
的3 个不相等的实数根，则
C．存在实数
，使得直线
与函数
的图像有3 个不同交点
D．对任意实数，函数
都是奇函数
【答案】ABC
【分析】对于A，利用单调研究单调性作出函数图像即可判断，对于B，由
得
，进而判断B，由
得
，令
，利用导数研究单调性作出函数图像即可判断C，先求
即可判断D.
【详解】由题意得：
，令
，解得
或，
由
或
，由
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
又
，
作出函数
的函数图像：
由图可知：当
时，方程
有3 个不相等的实数根，故A 正确；
由
得
，即
，
又
，
所以
，所以
，
所以
，故B 正确；
由
，所以
，令
，
所以
，令
，
由
或
，由
，
所以在
单调递增，
在
单调递减，
所以
的极大值为
，
的极小值为
，
作出
的函数图像：
由图可知：当
时，直线
与函数
的图像有3 个不同交点，故C 正确；
由
，
又
，所以
为偶函数，当
时，
为奇函数，故D 错误.
53．设
，函数
，若关于
的方程
恰有一个根，则
的取值范围是
___________．
【答案】
【分析】先根据
的表达式求出
的表达式，再分情况讨论方程
的根，进而确定
的取值范围.
【详解】由题设有
,
由题可得
，
当
时，
，
，
则
可以转化为：
，
即
，得
，解得
，不满足
，故舍去；
当
时，
，
，
则
可以转化为：
，即
，
因为
，而
，故
在
上无解；
当
时，
，
，
则
可以转化为：
，即
，
令
，则
，解得
，即
，
而
，故
，
故
，故
， 综上所述，
的取值范围是
.
54．设函数
若关于
的方程
恰有两个不同的实数解，则满足条件的实
数
的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】分
和
两种情况讨论，当
时，分
且
，
，
，
四种情况；当
时，分
，
，
三种情况，当
时，设
，利用导数求出
，对最大值的符号进行讨论分
，
，
三种情况.
【详解】（i）当
时，
，代入方程
整理得：
，两根为
和
，
因此，当
且
时，则
有2 个不同根；
当
时，则
有1 个根；当
时，仅存在根
；
当
时，
，故
恒有1 个根.
（ii）当
时，
，代入方程
整理得：
，
设
， 求导得
，
当
时，
，得
，
有1 个根，
若
，
，
在
单调递增，
时
，
时
，故
恒有1 个根；
当
时，
，
，
单调递增；
，
单调递减，
时
，
时
，故
恒有1 个根；
故
在
取最大值
，
令
，
单调递减且
.
当
时，
，方程
有2 个根；
当
时，
，方程
有1 个根；
当
时，
，方程
无实根；
综上所述：
，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
时，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
时，
有1 个根，
有1 个根，共2 个，符合；
其余
均不满足条件，共3 个符合的
.
55．已知函数
，则下列说法中所有正确的序号是______．
①
②若函数
有
个零点，则实数
的取值范围为
③当
时，函数
的图象与
轴围成的图形的面积为
④对于实数
，不等式
恒成立
【答案】①②④
【分析】结合分段函数的递推关系，分区间分析函数的表达式与图像特征逐一判断即可.
【详解】先分析函数
的基本性质：
当
时，
，即
图像为顶点在
，端点为
的三角形.
当
时，
，即对任意
，
时，
，故
，
图像为前一区间图像横向拉伸为原来的2 倍，纵向压缩为原来的
，区间
内的最高点为
.
逐一判断各结论：
① ∵
，∴
，
又∵
，∴
，故①正确.
② 函数
有4 个零点，等价于
时
有4 个不同实根，即直线
与
的图像有
个交点.
直线过原点，过
在
的最高点
时，斜率
，此时直线与
段的图像仅交于最高点，
共个交点.
过
在
的最高点
时，斜率
，此时直线与
段的图像交于最高点，共个交点.
∴ 当
时，直线与
的图像有
个交点，即函数有
个零点，故②正确.
③ 当
时，
的图像为三角形，底长为
，高为
，
∴ 与x 轴围成的面积
，故③错误.
④ 对任意
，设
，
的最大值为
，对应
，
此时
，其余点处
均小于该最大值，故
恒成立，即
恒
成立，故④正确.
56．已知
，
，
．
(1)当
，
时，求函数
在
上的单调区间；
(2)若
在区间
上有解，求
的取值范围．
(3)设
，试讨论：是否存在
，使得方程
有解，且其所有正实数解按从小到大的顺序排列后，
能构成等差数列？若存在，求所有满足条件的
的值；否则，说明理由．
【答案】(1)函数单调递增区间为
和
；函数递减区间为
和
．
(2)
(3)存在；当
时，存在唯一解
；
当
时，存在两个解
和
；
当
时，存在三个解
、
和
．
【分析】（1）用二倍角公式把原函数转化为关于
的二次函数，利用换元法结合二次函数和余弦函数的
单调性，利用同增异减原则分析函数单调性，求出函数单调区间；
（2）利用二倍角公式结合两角和与差的公式化简已知不等式，把在区间上有解问题转化为最小值问题，进
而求解；
（3）利用二倍角公式转化方程，利用换元法化简二次方程，筛选能构成等差数列的解，结合韦达定理，分
类讨论根的分布．
【详解】（1）当
，
时，
，
令
，则
，开口向上，对称轴为
，
则
时，函数单调递减；当
时，函数单调递增；
在
上单调递增，在
上单调递减，
令
，在
上，解得
，
根据同增异减原则，当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
当
时，
，函数单调递减；
当
时，
，函数单调递增；
故函数单调递增区间为
和
；函数递减区间为
和
．
（2）由题意得
，
则不等式
化简为
，
即
，
在
时，
，
，
，
故
，不等式转化为
，
即
，
当
时，
，故
，
令
，则
，
存在
使得
等价于
，
．
（3）将
化简，得
，
令
，方程变为
，
若
，且
时，
的解为
，
排列后为
，无法构成等差数列；
故
的解能构成等差数列的充要条件为
，
，二次方程两根之和
，
若
是根，另一根
，代入
得，
，则
，
另一根
，故
，不在
内，
对任意
成立；
若
是根，另一根
，代入
得，
，则
，
另一根
，要使得
，需满足
，解得
，
当
时，
，解仍为
，符合条件，
当
时，
成立；
若
是根，另一根
，代入
得，
，则
，
另一根
，要使得
，需满足
，解得
，
当
时，
，解仍为
，符合条件，
故当
时，
成立；
综上，当
时，存在唯一解
；
当
时，存在两个解
和
；
当
时，存在三个解
、
和
．
