文档文本内容
2.5 二次函数与幂函数
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、幂函数............................................................................................................................................3
二、二次函数........................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：幂函数的图象与性质............................................................................................................6
题型二：二次函数的解析式................................................................................................................7
题型三：二次函数的图象....................................................................................................................7
题型四：一元二次方程根的分布问题................................................................................................9
题型五：二次函数的单调性与最值..................................................................................................10
题型六：二次函数双重最值问题...................................................................................................... 11
题型七：二次函数含参数的最值问题..............................................................................................11
题型八：利用幂函数的性质解不等式与比较大小..........................................................................12
题型九：活用幂函数各类性质..........................................................................................................13
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................15
05 数学思想方法.................................................................................................................................16
①数形结合..........................................................................................................................................16
②转化与化归......................................................................................................................................16
③分类讨论..........................................................................................................................................17
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................18
基础过关篇..........................................................................................................................................18
能力拓展篇..........................................................................................................................................18
1、通
具体
例，了解
函数及其
象的
化
律
过
实
幂
图
变
规
.
2、掌握二次函数的
象与性
图
质(
性、
称性、
点、最
等
单调
对
顶
值
).
一、幂函数
1、定义：函数
做幂函数，其中
是自变量，
是常数.
2、常见的五种幂函数的图象
3、幂函数的性质
①所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
②
时，幂函数的图象通过原点，并且在
上是增函数
特别地，当
时，幂函数变化快，图象下凹；当
时，幂函数变化慢，图象上凸
③
时，幂函数的图象在
上是减函数.在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图象在
轴右方
无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴.
④在经过点
平行于
轴的直线的右侧，图像从下往上幂指数由小到大分布
⑤幂指数的分母为偶数时，图象只在一象限
幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于
轴对称
幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于原点对称
幂函数
，
（
，且
互质）可分别化为：
，
，再研究函数性质.
二、二次函数
1、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：
；
（2）顶点式：
；其中，
为抛物线顶点坐标，
为对称轴方程.
（3）零点式：
，其中，
是抛物线与
轴交点的横坐标.
2、二次函数的图像和性质
函数
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
顶点坐标
奇偶性
当
时是偶函数，当
时是非奇非偶函数
单调性
在
上单调递减；
在
上单调递增
在
上单调递增；
在
上单调递减
常用二级结论
1、二次方程根的分布
①两根与
的大小比较（以
为例）
分布情况
两根都小于
，
即
两根都大于
，
即
一根小于
，一根大于
，即
大致图像
得出的结论
②两根分别在区间
外
大致图像
得出的结论
③根在区间上的分布（以
为例）
分布情况
两根都在
内
两根有且仅有一根在
内
一根
内，另一根在
内
大致图像
得出的结论
或
题型一：幂函数的图象与性质
【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
在其定义域上单调递减
C．
D．
【解题总结】
(1)
于
函数
象的掌握只要抓住在第一象限内三条
分第一象限
六个区域，即
对
幂
图
线
为
所
分区域.根据
的取
确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定
值
.
(2)在比
的大小
，必
合
的特点，
适当的函数，借助其
性
行比
较幂值
时
须结
幂值
选择
单调
进
较.
【变式1-1】（2025·湖南·一模）已知幂函数
在
上单调递增，则m 的值为
（ ）
A．1
B．-3
C．-4
D．1 或-3
【变式1-2】已知函数
是幂函数，且为奇函数，则实数
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【变式1-3】若幂函数
与
在第一象限内的图象如图所示，则
与
的取值情况为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-4】（2025·江西·一模）若直线
与幂函数
，
，
的图象从左到右依次
交于不同的三点
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：二次函数的解析式
【例2】（2025·陕西·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【解题总结】
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐
，宜
用一般式
标
选
.
(2)已知
点坐
、
称
、最大
顶
标对
轴
(小)
等，宜
用
点式
值
选
顶
.
(3)已知
象与
图
x
的两交点的坐
，宜
用零点式
轴
标
选
.
【变式2-1】图象是以
为顶点且过原点的二次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知二次函数
满足
，且
的最大值是8，则此二次函数的解
析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】若函数
过定点
，以
为顶点且过原点的二次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：二次函数的图象
【例3】如图是二次函数
图象的一部分，图象过点
，对称轴为直线
. 下面四个
结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
数形结合
【变式3-1】二次函数
的图象如图所示，那么此函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向
下的抛物线的一部分.“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，
而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处
于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以
简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为
，篮框中心点为
，他可以选择让篮球在运行
途中经过
，
，
，
四个点中的某一点并命中
，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最
小的线路是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】已知函数
，如果
且
，则它的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：一元二次方程根的分布问题
【例4】若关于x 的一元二次方程
分别满足下列条件时，求m 的取值范围．
(1)两根都大于0；
(2)一根大于
，另一根小于
；
(3)一根在
内，另一根在
内；
(4)一根在
内，另一根不在
内；
(5)一根小于1，另一根大于2；
(6)两根都在区间
内；
(7)在
内有解．
【解题总结】
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取
范
，主要从以下三个方面
值
围问题
建立关于系数的不等式(组)
行求解
进
.
(1)判
式
别
Δ 的符号.
(2)
称
对
轴
与所
区
的位置关系
给
间
.
(3)区
端点
函数
的符号
间
处
值
.
【变式4-1】已知
、
、
，关于
不等式
的解集为
．
(1)若方程
一根小于
，另一根大于
，求
的取值范围；
(2)在（1）条件在证明以下三个方程：
，
，
中至少
有一个方程有实数解．
【变式4-2】关于
的方程
有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【变式4-3】已知关于
的方程
两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-4】若关于x 的方程
恰有一根在
上，则m 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
或
题型五：二次函数的单调性与最值
【例5】已知二次函数
的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
二次函数在
区
上的最
主要有三种
型：
定区
定、
区
定、
定区
，不
哪种
型，
闭
间
值
类
轴
间
轴动
间
轴
间动
论
类
解
的关
都是
称
与区
的位置关系，当含有参数
，要依据
称
与区
的位置关系
行分
题
键
对
轴
间
时
对
轴
间
进
类讨论.
【变式5-1】已知函数
（
且
）在
上单调递增，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·贵州黔南·三模）设函数
，当
时，
，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】若函数
在区间
上的最小值、最大值分别为
，
，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：二次函数双重最值问题
【例6】（2025·高三·上海·期中）已知函数
，其中常数
，若
的最大值记
为
，则
的最小值为 .
【解题总结】
解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.
【变式6-1】已知函数
，当
时，记函数
的最大值为
，则
的最
小值为 .
【变式6-2】已知函数
在区间
上的最大值为M，当实数a，b 变化时，M 最小值为
．
【变式6-3】（2025·高三·浙江宁波·开学考试）已知
，
，函数
（其
中
表示对于
，当
时表达式
的最大值），则
的最小值为 .
【变式6-4】当
时，函数
的最大值记为
，则
的最小值为
．
题型七：二次函数含参数的最值问题
【例7】已知函数
在区间
上有最大值4 和最小值1．
(1)求
，
的值；
(2)若存在
，使
对任意的
都成立，求实数
的取值范围．
【解题总结】
根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值
进行分析
【变式7-1】已知函数
．是否存在实数
，使得
在区间
上的最小值为2?若存
在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】已知函数
在区间[m，n]上的最小值是
，最大值是
，求
，
的值．
【变式7-3】已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最大值．
【变式7-4】已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最小值．
题型八：利用幂函数的性质解不等式与比较大小
【例8】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
为幂函数，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
在比较幂值大小时，需根据幂值的具体形式（如底数、指数的正负及取值范围）选择合适的函数工具，
并利用其单调性进行系统分析。
【变式8-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点
在幂函数
的图象上，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】（多选题）若
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】若
，则实数
的取值范围是 ．
【变式8-4】已知函数
．若不等式
成立，则在
的条件下，
可以取的值为 ．
【变式8-5】已知幂函数
过点
，若
，则实数
的取值范围是 .
题型九：活用幂函数各类性质
【例9】（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点
，则解析式为
B．幂函数
（
）始终经过点
和
C．当
时，函数
的图象始终在函数
的图象下方
D．若函数
，则对于任意的
有
【解题总结】
幂函数的性质
①所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
②
时，幂函数的图象通过原点，并且在
上是增函数
特别地，当
时，幂函数变化快，图象下凹；当
时，幂函数变化慢，图象上凸
③
时，幂函数的图象在
上是减函数.在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图象在
轴右方
无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴.
【变式9-1】（多选题）已知幂函数
的图象经过点
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．
C．函数
的值域为
D．当
时，
【变式9-2】（多选题）当
时，下列不等式中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】（多选题）已知函数
与
的图象如图所示，则（ ）
A．
为奇函数
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
的值域为
1．已知函数
，若
，恒有
，则实数a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
2．方程
的两根均大于1 的充要条件是
．
①数形结合
1．设方程
和方程
的根分别为
，设函数
，则
A．
B．
C．
D．
2．已知方程
的两根都大于2，则实数m 的取值范围是
A．
或
B．
C．
D．
或
3．已知方程
的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
②转化与化归
4．若对任意
，都至少存在三个互不相等的整数x，使得
，则m 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
5．若关于x 的方程
有两相异实根
，
，且
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知幂函数
的图象经过点
，
是函数图象上的任意两点，给出
以下结论：
①
；
②
；
③
；
④
，
其中正确结论的序号是
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③
③分类讨论
7．已知幂函数
是R 上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，
则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8．已知二次函数
甲同学：
的解集为
；乙同学：
的解集为
，丙同学：
的对称轴在y 轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假
命题，则实数a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
9．已知定义在R 上的函数
是偶函数，当
时，
，若关于x 的方程
，有且仅有6 个不同实数根，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
基础过关篇
1．（2025·重庆·三模）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设集合
，则集合
的非空真子集的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·天津·二模）已知函数
，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间
上单调递减B．偶函数，且在区间
上单调递增
C．奇函数，且在区间
上单调递减D．奇函数，且在区间
上单调递增
4．已知幂函数
的图象经过点
，则
．
5．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数
的定义域为
，其图象关于原点对称，且在
上单调递增，则
的值可以是 .（写出一个即可）
6．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是 ．
7．（2025·江西·二模）已知函数
，则不等式
的解集是 .
8．（2025·广东揭阳·三模）已知函数
在
处的切线方程为
，则
的最
小值为 .
9．若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．
10．若函数
的最小值在
内取得，则实数a 的取值范围为 .
能力拓展篇
11．（2025·上海松江·三模）若不等式
对
恒成立，则
.
12．（2025·上海长宁·二模）已知函数
和
，其中
，且
是定义在
上
的函数，其图像关于原点对称，当
时，
．若对任意的
，存在
，使得
，则
的取值范围是 ．
13．已知函数
在区间
上的最大值为5，最小值为
，则
的取值范围是 ．
14．已知
在
上满足
，求
的最大值．
15．已知二次函数
的最小值为1，函数
是偶函数，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若函数
在区间
上单调，求实数
的取值范围．
16．已知函数
，求当
时，
的最大值
．
17．对于定义域
的函数
，若存在区间
，使得当
时，函数
的值域恰为
，则称函数
是
上的 “
倍值函数”，区间
叫做“
倍值区间”.
(1)已知函数
是
上的“
倍值函数”，求
的值；
(2)若函数
是“
倍值函数”，求
的取值范围；
(3)设函数
是“ 倍值函数”，且存在唯一的“ 倍值区间”
，求
的值.
18．已知函数
，求函数
在闭区间
上的最大值
．
