文档文本内容
2.12 函数模型及其应用
1.三种函数模型的增长差异
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化趋势
随x 增大逐渐近
似与y 轴平行
随x 增大逐渐近似与x 轴
平行
保持固定增长速度
增长速度
y＝ax(a>1)：随着x 的增大，y 增长速度越来越快，会远远大于y＝
kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢
增长结果
存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax
2.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a,b 为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c 为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a,b,c 为常数,a>0 且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a,b,c 为常数,a>0 且a≠1,b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a,b,n 为常数,a≠0)
考点一 利用二次函数模型解决实际问题
考点二 分段函数模型的应用
考点三 分式型函数模型的应用
考点四 指数函数模型的应用
考点五 对数函数模型的应用
考点六 幂函数模型的应用
考点七 建立函数模型解决实际问题
考点一 二次函数模型的应用
1．（25-26 高二下·上海·期中）某公园有一块如图所示的区域
，该场地由线段
、
、
及曲线段
围成.经测量，
，
米，曲线
是以
为对称轴的抛物线的一部分，点
到
、
的
距离都是
米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场
，其中点
在曲线段
上，点
，
分别在线段
，
上，且该游乐场最短边长不低于
米.设
米，游乐场的面积为
平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段
的方程；
(2)求面积
关于
的函数解析式
，并计算面积
的最大值（结果精确到
）.
2．（25-26 高一上·上海奉贤·期末）某小区要建造一个直径为16m 的圆形喷水池，并在池的周边靠近水面的位置
安装一圈喷水头使喷出的水柱在离池中心点3m 的地方达到最高高度4m，各方向喷来的水柱在池中心上方点汇合
（如下图）．
过水池的中心任取一个竖直截面，如图所示．根据力学的原理，喷出的水柱轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任
何一个点距池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．建立如右下图所示的直角坐标系．则池中心
与汇
合点
之间的距离
______m．
3．（25-26 高一上·山西忻州·期末）某AI 公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100 万元，全
部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10 万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润
，乙
产品的利润
与研发投入
（单位：万元）分别满足
，设甲产
品的投入为
（单位：万元），两种产品的总利润为
（单位：万元）.
(1)求
的表达式；
(2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？
4．（25-26 高一上·宁夏银川·期末）
年
月
日，中国向国际电信联盟（ITU）一次性提交
万颗低轨卫
星频轨资源申请，
年商业航天发射活动将更加活跃，东方空间“引力一号”、深蓝航天“星云一号”、星河
动力“智神星一号”、中科宇航“力箭二号”等火箭均已制定发射计划，备受关注的天兵科技“天龙三号”，据
悉也将在近期迎来首飞.某企业自主研发了一款火箭专用高级设备，并从
年起全面发售.经测算，生产该高级设
备每年需投入固定成本
万元，每生产
百台高级设备需要另投成本
万元，且
，
.每百台高级设备售价为
万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为
台.
(1)求企业获得年利润
（万元）关于年产量
（百台）的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
考点二 分段函数模型的应用
5．（25-26 高一下·广东深圳·期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特
色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量
（单位：千克）与施用肥料
（单位：千克）满足如下关系：
肥料成本投入为
元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计
元．已知
这种水果的市场售价大约为21 元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为
（单位：元）．
(1)写出单株利润
（单位：元）关于施用肥料
（单位：千克）的关系式．
(2)若施用肥料
千克，当
取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
6．（25-26 高三下·安徽阜阳·月考）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50 元，当天以每个100 元
售出，若当天白天售不出，则当晚
后以每个30 元价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完．
(1)若蛋糕店每天做20 个生日蛋糕，写出当天的利润y（单位：元）关于当天蛋糕需求量n（单位：个，
）
的分段函数关系式；
(2)蛋糕店记录了100 天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：
日需求量n
17
18
19
20
21
22
23
频数（天）
10
20
20
14
13
13
10
日利润
x
y
z
a
a
a
a
（i）假设蛋糕店在这100 天内每天制作20 个生日蛋糕，求x，y，z，a 及这100 天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若蛋糕店一天制作20 个生日蛋糕，以100 天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900 元的概
率．
7．（25-26 高二下·山东枣庄·阶段检测）某企业生产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10 吨物资，
已知生产一批物资所需要的固定成本为5 千元，每生产x 吨物资另需流动成本
千元，当生产量小于20 吨时，
，当生产量不小于20 吨时，
．该企业为了提高企业的诚信度，赢得
良好的社会效益，将每吨物资的售价定为25 千元．已知生产的物资能全部售出．
(1)写出总利润
（千元）关于生产量x（吨）的函数解析式（注：总利润=总收入
流动成本
固定成本）；
(2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：
）
8．（2026·安徽淮北·一模）某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为
元，当天以每个
元售出，若
当天白天售不出，则当晚
后以
元个价格作为普通蛋糕低价售出，可以全部售完．
(1)若蛋糕店每天做
个生日蛋糕，写出当天的利润
单位：元关于当天蛋糕需求量
单位：个，
的
分段函数关系式；
(2)蛋糕店记录了
天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表：
日需求
量
频数
天
日利润
（i）假设蛋糕店在这
天内每天制作
个生日蛋糕，求
，
，
，
及这
天的日利润单位：元的平均数；
（ii）若蛋糕店一天制作
个生日蛋糕，以
天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于
元的概
率．
考点三 分式型函数模型的应用
9．（24-25 高二下·江苏常州·月考）为冷却生产出来的工件，某工厂需要建造一个无盖的长方体水池，要求该水池
的底面是正方形，且水池最大储水量为
．已知水池底面的造价为600 元
，侧面的造价为400 元
．（注：
衔接处材料损耗忽略不计）
(1)把水池的造价
（单位：元）表示为水池底面边长
（单位：m）的函数；
(2)若
（
的常数），为使水池的总造价最低，应如何确定水池底面的边长？
10．（25-26 高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休
闲广场，其中两个相同的矩形
和
构成的十字形区域总面积为
.中心正方形
区域将安装国
产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100 元
；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，
造价为105 元
；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40 元
.设总造价为
（单位：
元），
（单位：m）.
(1)设
长为
（单位：m），用
表示
，并求出
的取值范围；
(2)
取何值时可使总造价最低，并求出最低造价.
11．（25-26 高一上·云南楚雄·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（
）万元，
则该材料的销售量可增加
吨，每吨的销售价格为
万元，另外生产p 吨该材料还需要投入其他成本
万元.
(1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x 之间的函数关系式；
(2)当x 为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元?
12．（25-26 高一上·湖南郴州·期末）习近平总书记在相关重要会议中强调了“加快建设科技强国，推动人工智能
等前沿技术创新”的发展方向.某企业为响应这一战略，计划在2026 年布局人工智能大模型应用开发，生产智能终
端配套的
算法服务包.通过市场分析，全年需投入固定成本260 万元（含研发､服务器部署等），每生产
千个算
法服务包，需另投入成本
万元，且
已知每个算法服务包的售价为0.6 万元，
假设年内生产的服务包当年能全部销售完.
(1)试写出2026 年利润
（万元）关于年产量
（千个）的函数解析式；
(2)当2026 年产量为多少千个时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
考点四 指数函数模型的应用
13．（25-26 高二下·湖南郴州·期中）我国某航天科研团队在行星探测任务中，测得某行星的大气压强
（单位：
）随高度（单位：
）的变化满足指数衰减规律：
，其中
为海平面处的大气压强，k 为常量．
已知在高度为
处，大气压强为海平面处的
，若某探测器测得当前高度的大气压强为海平面处的
，则当前
高度约为（ ）
A．150 km
B．100 km
C．175 km
D．125 km
14．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间
（单位：小时）与贮藏温度
（单位：℃）之间
满足：
（其中
，
为常数）.若该蔬菜在贮藏温度
为
的环境下保鲜时间
为
小时，在
的环境
下保鲜时间为
小时.若该蔬菜运输总物流时间为
小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的
倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度
的最大整数数值为________.（参考数据：
，
，
）
15．（2026·四川成都·模拟预测）2021 年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊.利
用碳14 测年确认是世界上最古老的铸币作坊.已知样本中碳14 的质量N 随时间t（单位：年）的衰变规律满足
（
表示碳14 原有的质量）.经过测定，官庄遗址青铜布币一同出土的有机物样本中碳14 的质量
约是原来的
至
，据此推测青铜布币生产的时期距今约（ ）年（按区间的中点进行估计，近似到十年）?
（参考数据：
）
A．1880 年
B．2580 年
C．3550 年
D．4150 年
16．（2026·江苏·三模）某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量
（单位：拷贝数/升）与时间
（小时）的关系为
，其中
，
为初始病毒载量，则病毒载量在
_____小时达到峰值，之
后病毒载量每经过1 小时衰减为原来的
倍，当低于
时不具传染性，则从
起，该病毒具有传染性的总时
长为_____小时．
考点五 对数函数模型的应用
17．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度
为I 的声音对应的等级为LdB，则有
．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为
52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（ ）
（参考数据：
）
A．49dB
B．46dB
C．26dB
D．13dB
18．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数
与训练数据量
（单位：
）的关系式为
，其中
为常数.当训练数据量为
时，模型的准确率提升倍数为22.5.
当准确率提升倍数
达到135 时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训
练数据量约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
19．（25-26 高一下·江西景德镇·月考）我们都处于有声世界之中．音量的单位是分贝（dB），对于一个强度为I
的声波，音量的计算公式是
，这里常数
是人耳能听到的声音的最低声波强度，则30dB 时的声音强度
I 是10dB 时声音强度
的（ ）
A．2 倍
B．4 倍
C．10 倍
D．100 倍
20．（25-26 高一上·河南郑州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的
游速（单位：
）可以表示为
，其中
表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速
直线运动，乙在甲正前方18m 处，9s 后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（ ）
A．3
B．9
C．27
D．81
考点六 幂函数模型的应用
21．（25-26 高一上·广东深圳·期末）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100 万元，
全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润
（单位：万元），乙产品的
利润
（单位：万元）与研发投入
（单位：万元）之间的关系如下表所示.
万元)
4
9
16
25
万元)
28
33
40
49
万元)
30
42
54
66
(1)根据以上表格中的数据判断：①
；②
；③
；④
，上述四个模型
哪两个更适宜分别作为
与
关于
的函数模型？（不需要说明理由）
(2)根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式；
(3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？
22．（25-26 高一·全国·寒假作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x（万元）与药品利润y
（万元）存在的关系为
（α 为常数），其中x 不超过5 万元．已知去年投入广告费用为3 万元时，药品利润
为27 万元，若今年广告费用投入5 万元，预计今年药品利润为（ ）
A．115 万元
B．120 万元
C．125 万元
D．130 万元
23．（25-26 高一上·上海·期中）某体育用品商店开展促销活动，据统计，该店每天的销售收入不低于2 万元时，
其纯利润
（单位：万元）随销售收入
（单位：万元）的变化情况如下表所示：
(万元)
2
3
5
(万元)
(1)根据表中数据，分别用模型
（
且
）与
建立
关于
的函数解析式；
(2)已知当
时，
，你认为（1）中哪个函数模型更合理？请说明理由.（参考数据：
）
24．（25-26 高一上·全国·单元测试）遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．
Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，
得到记忆率y 与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：
，若陈同学需要在明
天15：00 考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（ ）参考数据：
，
．
A．14：30
B．14：00
C．13：30
D．13：00
考点七 建立函数模型解决实际问题
25．（2026·浙江绍兴·模拟预测）
年某新能源车企搭载AI 智能续航系统，汽车匀速行驶时，剩余续航里程
与行驶总时间
满足函数关系
．该车先匀速行驶
，之后进入拥堵路段，系统切换能耗模
式，剩余续航按
衰减（
为匀速
后的剩余续航，为拥堵行驶时间）．当剩余续航降至
时，汽
车从出发到此刻的总行驶时长约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
26．（湖南邵阳市2026 年普通高中学业水平合格性考试模拟试题高二数学）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回
产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：
）可以表示为
，其中
表示鲑鱼的耗氧量，
为常数，且
．若一条鲑鱼的游速为1.5
时，它的耗氧量为2700 个单位，则当这条鲑鱼的耗氧量为900 个
单位时，它的游速是________
．
27．（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型
（其中y 为感
染人数，
为初始感染人数，k 为传播系数，t 为发现疫情后的天数，e 为自然对数的底数）．已知发现疫情第1
天感染人数为120 人，第3 天感染人数为270 人．若感染人数达到1000 人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在
发现疫情后第（ ）天启动．（参考数据：
，
，
）
A．6
B．7
C．8
D．9
28．（25-26 高三下·四川成都·阶段检测）人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学
习与能力迭代的复杂过程.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练
个单位的数据量所需的时间
（单位：
），其中
为常数.在此条件下，训练200000 个单位的数据量与训练2000 个单位的数据量所需的时间
之差为
，当训练
个单位的数据量所需的时间为
时，
（ ）
A．10000
B．15000
C．20000
D．30000
1．（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026 届高三下学期教学质量调研数学试题）为了鼓励大
家节约用水，某市实行了阶梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示．
分档
户年用水量
综合用水单价
元
第一阶梯
含)
3.0
第二阶梯
含)
4.5
第三阶梯
330 以上
5.5
假设该市某户2025 年缴纳水费855 元，则该户2025 年用水量为（ ）
A．190
B．217
C．270
D．285
2．（25-26 高一上·安徽阜阳·期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：
每户每月用电量不超过200 度时，按0.5 元/度计费；超过200 度但不超过400 度时，超过200 度的部分按0.7 元/度
计费；超过400 度时，超过400 度的部分按0.9 元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为
元，则该户居民本月用电
量为（ ）
A．400 度
B．420 度
C．440 度
D．460 度
3．（2026·重庆·模拟预测）声强级，是指声强
（单位：W/m2）和定值
（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘
以10，即声强级
（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人
与人交谈时的声强的比值约为
，那么这种火箭发射的声强级约为（ ）
A．150 dB
B．285 dB
C．145 dB
D．235 dB
4．（2026·北京西城·二模）某工厂2023 年的年产值为a，这一年工厂制定10 年规划，欲通过技术革新、管理优化
等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033 年的年产值达到2023 年的4 倍.实践中，由于市场环境逐
步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025 年的工厂年产值恰好达到规划中2026 年的既定目标，如果从
2026 年起未来8 年（含2026 年）的年平均增长率与前2 年实际年平均增长率相同，那么2033 年工厂的年产值为（
）
A．6a
B．8a
C．9a
D．12a
5．（2026·河南·模拟预测）一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为
，经过分钟净化后，废气中二氧化
硫的浓度为
，并满足
.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至
时，达到排放标准，
则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：
，
，
）（ ）
A．136 分钟
B．140 分钟
C．142 分钟
D．150 分钟
6．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10 元.已知日销售量与每盒售价
（元）满足关系式：
，其中p 为每盒售价
，
为每日销量.若要使每日销
售利润最大，则每盒礼盒应定价为（ ）
A．17.9 元
B．18.9 元
C．19.9 元
D．20.9 元
7．（25-26 高一上·陕西汉中·期末）（多选）一水池有2 个进水口，1 个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所
示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从
到
，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（ ）
A．
到
只进水不出水
B．
到
不进水只出水
C．
到
有一个进水口关闭
D．
到
不进水不出水
8．（25-26 高一上·河北沧州·期末）（多选）某企业生产一种机器的固定成本为
万元，但每生产
台时又需
可变成本
万元，市场对此商品的年需求量为
台，销售收入函数为
(万元)
，其中
是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（ ）
A．利润
表示为年产量
的函数为
B．当年产量为
台时企业所得的利润最大，为
万元
C．当年产量
(单位：百台时，企业不亏本
D．企业不亏本的最大年产量为
台
9．（25-26 高三下·四川成都·开学考试）（多选）某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：
来研究种群数量的变化趋势，其中
为最终预测数量，
为初始数量，k 为种群数量的年增
长率，n 为预测的年数，则（ ）
A．当
，则这期间种群数呈下降趋势
B．当
，则这期间种群数呈下降趋势
C．若初始数量
，年增长率为
，则2 年后预测种群数量约为1061
D．若初始数量
，年增长率为
，则2 年后预测种群数量约为2991
10．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度
的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN
与响度
的关系式为
，则（ ）（参考数据：
）
A．响度级每增加10 方，响度约增加一倍B．响度级为40 方，响度为1 宋
C．当响度为2 宋时，响度级约为45 方
D．当响度为8 宋时，响度级约为70 方
11．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）（多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标
准.里氏震级的计算公式为
（其中常数
是距震中100 公里处接收到的0 级地震的地震波的最大振幅，
是指我们关注的这次地震在距震中100 公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量
（单位：焦耳）是
指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知
，其中
为地震震级.下列说法正确的是（ ）
A．若地震震级
增加1 级，则最大振幅
增加到原来的10 倍
B．若地震震级
增加2 级，则放出的能量
增加到原来的20 倍
C．若最大振幅
增加到原来的10 倍，则放出的能量
增加到原来的
倍
D．若最大振幅
增加到原来的100 倍，则放出的能量
也增加到原来的100 倍
12．（25-26 高一上·四川攀枝花·期末）（多选）某实验室监测一种放射性物质的浓度衰减规律，其浓度c（单位：
mg/L）与时间t（单位：天）的关系为
（
，
为常数），已知该物质初始浓度（
时）为
8mg/L，3 天后浓度降至1mg/L，则（ ）
A．
B．该物质浓度减少50%需要花1 天时间
C．5 天后该物质浓度会低于0.2mg/L
D．设该物质浓度降至4mg/L、2mg/L、0.5mg/L 对应的时间分别为
、
、
，则
13．（25-26 高三下·江西抚州·月考）（多选）氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本
中氚的质量
随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式
，其中
表示氚原有的质量，则（ ）
（参考数据：
）
A．经过
年后，样本中的氚会全部消失
B．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为
年
C．经过
年后，样本中的氚的质量变为原来的
D．若
年后，样本中氚的质量为
，则
14．（25-26 高一上·广东广州·期末）（多选）某元素的原子核带有放射性，会发生衰变．若样本中该元素的质量
随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式
，其中
表示该元素原有的质量，则下列说法正确
的有（ ）（参考数据：
）
A．经过
年后，样本中的该元素会全部消失
B．样本中该元素的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用时间称作半衰期）为
年
C．经过
年后，样本中的该元素的质量变为原来的
D．若
年后，样本中该元素的质量为
，则
15．（2026·北京海淀·二模）某环保基金会的生态修复专项账户有资金2000 万元．基金会制定了如下使用方案：
在第
年开始时，若账户中的资金超过10 万元，则在该年将账户中的一半资金投入使用；若账户中的资金不超过
10 万元，则在该年将账户中的全部资金投入使用，修复项目在该年结束．按上述使用方案，第4 年投入使用的资
金为___________万元，该修复项目将在第___________年结束．
16．（25-26 高二下·河南南阳·月考）小琴3 月8 日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200 元，购买当
天支付200 元，当年4 月开始算分期付款的第一个月，每月的8 日还款一次，月利率为
个月还清．每次还
款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4 位有效数字，参考数据：
）
17．（25-26 高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖
后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：
，其中
为种群起始个体数量，为增长系数，
为时刻的种群个体数量.当
时，种群个体数
量是起始个体数量的2 倍.若
，则
________.
18．（25-26 高一下·安徽·开学考试）某科研团队研发了一种新型光催化降解污染物材料，实验发现，其降解效率
（单位：
）随光照时间t（单位：h）变化的关系式为
．若
时降解效率
为
，则
时降解效率为_______
．
19．（25-26 高二下·上海·期中）某体育公园欲建连片的羽毛球馆若干间，用200 万元购买土地15000 平方米.该公
园每间球馆的建设面积为1500 平方米，球馆的总建筑面积的每平方米平均建设费用与球馆数有关：当建
间球馆
时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似用
表示.为了使该球馆每平方米的综合费
用最省（综合费用是建设费用与购地费用之和），该体育公园应建几个球馆？
20．（25-26 高二下·重庆万州·期中）已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路
车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x
（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
.
(1)当汽车以40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
