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2.4 指数运算及指数函数（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024 辽宁抚顺）已知函数
的图象恒过定点P，则P 点的坐标为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，解得
，则
，即过定点
.
故选：B
2.（2024 山东济南）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
，
，令
，解得
，
则其定义域为
，关于原点对称，
所以函数在定义内为偶函数，排除C，D 选项，因为
，观察选项可知，选A.
故选：A
3．（2025 江苏）使得“函数
在区间
上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是
（ ）
A．
B．
1
C．
D．
0
【答案】D
【解析】由于函数
在
上单调递减，函数
在区间
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，则
，解得
，
所以函数
在区间
上单调递减的充要条件为
，
那么其成立的一个充分不必要条件可以是
.故选：D.
4（2025·甘肃）已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，当
时，
，
因为函数
的值域为
，所以
，得
，
所以实数
的取值范围是
，故选：D.
5.（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
，
设
，
则不等式
，可化为
，
即
，
又由函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
，所以
为奇函数，
又由函数
为
上的增函数，
为
上的减函数，
所以函数
为
上的增函数，
所以不等式
，即为
，
可得
，解得
，即不等式的解集为
.故选：A.
6．（2025·宁夏）已知函数
，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数
单调递增
B．函数
值域为
C．函数
的图象关于
对称
D．函数
的图象关于
对称
【答案】C
【解析】
，
函数
，
，则
，
又内层函数
在
上单调递增，外层函数
在
上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数
单调递增，故A 正确；
因为
，所以
，则
，
所以函数
的值域为
，故B 正确；
，
，
所以函数
关于点
对称，故C 错误，D 正确.
故选：C.
7．（24-25 安徽）已知函数
，若关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等
式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
在
上单调递增，
，所以由
，得
，
因为
的解集为
，
所以
，
，
，
即
，
，
，
所以
，即为
，即
，
解得
，
所以关于
的不等式
的解集是
．
故选：C．
8．（24-25 高三下·福建龙岩·阶段练习）设函数
且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为
上的奇函数
B．若
，则
C．若
，则
D．若
为
上的增函数，则
【答案】D
【解析】奇函数满足
，且定义域关于原点对称.
对于函数
，其定义域为
，但
，
不满足奇函数
的性质，所以
不是
上的奇函数，A 选项错误.
若
，因为
，代入
中，可得
.
则
，B 选项错误.
已知
，因为
，代入
中，可得
，
此式恒成立，
可以取任意大于
且不等于的值，并非
，C 选项错误.
若
为
上的增函数，则：
当
时，要使其单调递增，则
，即
.
当
时，要使其单调递增，则底数
.
在分段点
处，需满足
，解得
.
综合以上条件，可得
，D 选项正确.
故选：D.
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（24-25 陕西）已知函数
，则（ ）
A．
的递增区间为
B．
的递增区间为
C．
有最大值4
D．
有最小值4
【答案】AC
【解析】设
，则
在
上单调递减，在
上单调递增．
因为
是
上的减函数，由同增异减原则，可知
的递增区间为
，则A 正确，B 错误．
因为
，所以
，则C 正确，D 错误．
故选：AC
10．（2024 江苏徐州·阶段练习）函数
的定义域为
，值域为
，下列结论中一定成立的
结论的序号是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由于
，
，
，
，
，
即函数
的定义域为
当函数的最小值为1 时，仅有
满足，所以
，故D 正确；
当函数的最大值为2 时，仅有
满足，所以
，故C 正确；
即当
时，函数的值域为
，故
，故
不一定正确，故A 正确，B 错误；
故选：ACD
11．（24-25 高三上·河南周口·期末）已知函数
，
，则下列结论正确的有
（ ）
A．
有且仅有两个零点
B．
的图象关于点
对称
C．
与
的图象关于点
对称
D．若
，则
有最大值2
【答案】BC
【解析】
，则
的图象向左平移1 个单位长度后所得图象对应的
函数为
，
而
，所以
单调递增，
为奇函数且对称中心为
，则其有且仅
有一个零点，
故可知
有且仅有一个零点，且
的图象关于点
对称，故A 错误，B 正确；
因为
，
，
的图象分别关于原点和
对称，
故
与
的图象关于原点和
的中点
对称，故C 正确；
若
，又
，
单调递增，则
，故D 错误.
故选：BC.
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025 云南）偶函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】由题设，
，故
，
所以
，当且仅当
时等号成立，又
，
所以
的值域为
.
故答案为：
.
13．（24-25 高三下·上海宝山·阶段练习）设函数
，则满足
的的取值范围是
.
【答案】
【解析】因为函数
在
上单调递增，函数
为常函数，
所以分段函数
在
单调递增，在
不具有单调性，
且
，即当
时，
，
因为
，所以
，解得
，
所以满足
的的取值范围是
.
故答案为：
14.（2024 河南信阳·阶段练习）设函数
且
在区间
单调递减，则
的取值范围是
.
【答案】
【解析】若
，
在
单调递增，
要满足题意，则
要在
单调递减，故
，即
；
若
，
在
单调递减，
要满足题意，则
要在
单调递增，故
，即
，不满足
，故舍去；
综上所述：
的取值范围是
.
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024 广东湛江）设函数
．
(1)若函数
的图象关于原点对称，求函数
的零点
；
(2)若函数
在
，
的最大值为
，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：
的图象关于原点对称，
为奇函数，
，
，
即
，
．所以
，所以
，
令
，则
，
，又
，
，解得
，即
，所以函数
的零点为
．
（2）解：因为
，
，
令
，则
，
，
，对称轴
，
当
，即
时，
，
；
②当
，即
时，
，
（舍；
综上：实数
的值为
．
16．（2024·新疆）设函数
．
(1)求函数
的值域；
(2)设函数
，若对
，求正实数a 的取值范围．
【答案】(1)函数
的值域为
.
(2)
【解析】（1）
，
，则
，当且仅当
时取“=”，
所以
，即函数
的值域为
.
（2）设
，因为
所以
，函数
在
上单调递增，
则函数
在
上单调递增，
，设
时，函数
的值域为A．由题意知
．函
数
图象的对称轴为
，
当
，即
时，函数
在
上递增，则
，解得
，
当
时，即
时，函数
在
上的最大值为
，
中的较大者，而
且
，不合题意，
当
，即
时，函数
在
上递减，则
，满足条件的
不存在，
综上，
．
17．（2025 安徽）设函数
且
是定义域为
的奇函数，
．
（1）若
，求
的取值范围；
（2）若
在
上的最小值为
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）2．
【解析】（1）由题意，得
，即
，解得
，
由
，得
，即
，解得
，或
（舍去），
∴
，
∴函数
在
上为增函数，
由
，得
∴
，解得
，或
，
∴
的取值范围是
；
（2）由（1）得，
，
令
，由
得，
，
∴函数
转化为
，对称轴
，
①当
时，
，即
，
解得
，或
（舍去）；
②当
时，
，
解得
（舍去）；
综上：
．
18（24-25 安徽 ）已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求实数
的值；
(2)判断函数
的单调性，并证明；
(3)若不等式
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
在
上是递减函数，证明见解析
(3)
.
【解析】（1）由
是定义在
上的奇函数，得
，
则
，
所以
.
（2）由（1）知
，函数
在
上是递减函数，
任取
，且
，
，
由
，得
，则
，
，即
，
所以
是定义在
上的递减函数.
（3）由
，得
，
由（2）知，
是
上的递减函数，则
，即
，
依题意，
对任意的
恒成立，
而
，则
，当且仅当
，即
时取等号，
因此
，所以实数
的取值范围是
.
19．（24-25 高三下·云南·阶段练习）设函数
的定义域为
，若存在非零实数
，使得对于任意
，都有
且
，则称
为
上的 “
提升函数”.
(1)已知函数
，判断
是否为
上的 “
提升函数”，并说明理由.
(2)若函数
是
上的 “
提升函数”，求
的取值范围.
(3)已知函数
，且
是
上的 “
提升函数”，求
的取值范围.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
(3)
【解析】（1）当
时，
，
因为
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
是
上的 “
提升函数”.
（2）因为
是
上的 “
提升函数”，
所以对任意
，
，且
，
所以
恒成立，
所以
对任意
恒成立，所以
恒成立，
所以
；
（3）当
时，
，在
上单调递增.
当
时，
，在
上单调递增，
因为
，
所以
在
上单调递增.
因为
是
上的 “
提升函数”，
所以对任意
且
，
因为
在
上单调递增，
所以
，得
，
因为
为非零实数，所以
，
所以
的取值范围是
.
