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2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练试卷版）
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2024·河南·模拟预测）函数
图象的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】易知
的定义域为
，
所以可得
，
因此
，
即函数
满足
，因此
的对称中心为
.
故选：B
2．（2025·广东·一模）若函数
关于直线
对称，则
（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】B
【解析】由题意函数
关于直线
对称，
故
，即
，
即
，
即
,
故需满足
且
，即
，
则
，
故选：B
3．（2025·天津河西·一模）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
为偶函数
【答案】D
【解析】
，则
，即故A 错误；
，故C 错误；
，
，则
，故B 错误；
，
，则
，故D 正确.
故选择：D.
4．（2024·陕西商洛·一模）已知函数
，若不等式
成立，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，故
是奇函数．
不等式
等价于不等式
即不等式
因为
是奇函数，所以
易证
是
上的减函数，则
，即
，解得
．
故选：B.
5．（2025·湖南长沙·二模）函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
有意义可得
，
故
，
所以
或
，
所以函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，
所以函数
为奇函数，所以函数
的图象关于原点对称，
令
可得，
，所以
，故
，
所以函数
有且仅有一个零点，零点为
，
当
时，函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，
又当
时，
，
所以当
时，
，
选项A 的图象不关于原点对称，选项B 的图象在
内的函数值为负，
选项C 的图象对应的函数有三个零点，
故选项ABC 不能同时满足上述所有要求，而选项D 同时满足以上所有要求，
故选：D.
6．（2024·江西景德镇·一模）函数
的定义域为
，
是奇函数，当
时
，则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
是奇函数，
∴
，即
关于
点对称．
又函数
的定义域为
，故
．
当
时
，
令
，即
，解得
．
根据对称性可知当
时，
．
综上所述，
的解集是
．
故选：B．
7．（23-24 宁夏银川·期中）定义在
上的函数
满足以下条件：①
，②对任意
，当
时都有
，则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为定义在
上的函数
满足条件
，
所以函数
是偶函数，
对任意
，当
时都有
，
所以不妨设
，则有
，
因此
时，函数
是增函数，
因为函数
是偶函数，
所以
，
，
因为
时，函数
是增函数，
所以
，即
，
故选：A
8．（2025 北京）已知函数
满足
，则下列结论不正确的是
（ ）
A．
B．函数
关于直线
对称
C．
D．
的周期为3
【答案】D
【解析】解法一：
令
，
，则
，解得
，A 正确；
令
，则
，
所以
，即
是偶函数，
所以
，所以函数
关于直线
对称，B 正确；
令
，则
，
令
，则
，所以
，C 正确；
令
，则
①，
所以
②，
①②联立得
，
所以
，
，即
的周期为，D 错误；
解法二：
构造函数
，
满足
，且
，
，A 正确；
，
因为
表示
的图象向右平移
个单位，且
的图象关于
轴对称，
所以
关于直线
对称，B 正确；由余弦函数的图象和性质可知
，C 正
确；
的周期
，D 错误；故选：D
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025 云南）已知直线
是函数
图象的对称轴，则函数
的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】A：函数图象由
图象沿
轴向右平移1 个单位，
再把
轴下方的图象关于
轴对称翻折到
轴上方，故关于直线
对称，故A 正确；
B：函数
的图象是由
图象沿
轴向右平移1 个单位得到的，
而函数
是偶函数，关于
轴对称，
其图象沿
轴向右平移1 个单位后的图象刚好关于直线
对称，故B 正确；
C：令
，则该函数的对称轴为直线
，故
符合题意，故C 正确；
D：
，显然
，
故此函数不是关于直线
对称的，故D 错误.
故选：ABC.
10．（2025 哈尔滨）已知函数
的定义域为
，其图象关于
中心对称，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
为偶函数
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
的对称中心为
，所以
，
将
变为
，变形得：
，故选项A 正确；
对于B，由A 选项知
，即
，
结合已知
，
即
，
令
，得
，故选项B 错误；
对于C，由
的对称中心为
得
，
则
，
令
，则
，定义域为
，
所以
为奇函数，故选项C 正确；
对于D，对
，
令
得：
，
即
，故
，
令
，定义域为
，所以
，
所以
为偶函数，故选项D 正确；
故选：ACD.
11．（2025·安徽·一模）已知定义在
上的偶函数
满足
，设
在
上的导
函数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题得
，所以
即
，
所以
是奇函数，故
，
又由
得函数
关于点
对称，
，
所以
，故
，
所以
，即函数
是周期为6 的函数，
所以
也是周期为6 的函数，即
，
由
求导得
即
，
所以
，
对于A，
，故A 正确；
对于B，由
无法确定
的值，故B 错误；
对于C，由上
也是周期为6 的函数，即
，C 正确；
对于D，由
得
，
且
即
，且
即
，
且
即
，
所以
，
所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（24-25 高三下·山东·开学考试）已知函数
的图象关于点
对称，则
．
【答案】
【解析】因为函数
的图象关于点
对称，
所以函数
的图象关于点
对称，
所以函数
为奇函数，故
，
所以
，
所以
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：
.
13（2025·新疆·模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【解析】设
，
均随着
的增大而增大，所以
在
为增函数，
，则
,所以
在
为增函数，
且当
分别代入
、
，可得
，
所以
在
上单调递增，
令
，则
在
上单调递增，
又
.
不等式
的解集为
.
故答案为：
.
14．（2025·江西上饶·一模）已知函数
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【解析】
,
则
，即
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
即函数
在
上单调递增，
∴
，即
，∴
，
即
.
故答案为：
.
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025 黑龙江鹤岗·期末）已知函数
是定义在
上的函数，
恒成立，且
.
(1)确定函数
的解析式；
(2)用函数单调性的定义证明
在
上是增函数；
(3)解不等式
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）由题意可得
，解得
，所以
，经检验满足奇函数.
（2）设
，则
，
∵
，∴
，且
，则
，
则
，即
，所以函数
在
上是增函数.
（3）∵
，∴
，
∵
是定义在
上的增函数，∴
，得
，
所以不等式的解集为
.
16．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数
，其中
.
(1)若函数
的图像过点
，求
的解集；
(2)求证：当
时，存在
使得
成等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）已知函数
的图像过点
，
所以
，即
，因为
，所以
，
则
.
函数
的定义域为
，且在定义域上单调递增.
由
可得
，
解得
，所以不等式的解集为
.
（2）当
时，
，
.
若
成等差数列，则
，
即
.
所以
，
即
，
即
，则
，移项可得
.
对于一元二次方程
，
，
所以方程有实数解，即存在
使得
成等差数列.
17．（2025·上海崇明·二模）已知
．
(1)是否存在实数a，使得函数
是偶函数？若存在，求实数a 的值，若不存在，请说明理由；
(2)若
且
，解关于x 的不等式
．
【答案】(1)存在实数
，使得函数
是偶函数
(2)答案见解析
【解析】（1）存在实数
，使得函数
是偶函数.
要使函数
有意义，须满足
，即
，
显然
，即
，函数
的定义域
.
当
时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在
且
，此时函数
不是偶函数.
当
时，
，
函数
的定义域为
，对于任意的
，都有
，
并且
因此函数
是一个偶函数
综上所述，存在实数
，使得函数
是偶函数
（2）由
，得
所以
且
①．
由①得，
.
因为
且
，
所以当
时，
，
当
时，
.
综上可得：当
时，不等式
的解集为
；当
时，不等式
的解集
为
.
18．（2025 山西）已知定义域为
的函数
是奇函数.
(1)求实数
的值；
(2)若对于任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）∵
是R 上的奇函数，∴
，∴
，
∴
，又
，∴
，
解得
，∴
．经验证可得
为奇函数，
∴
，
．
（2）由（1）知
，∴
在
上为减函数．
∵
,∴
，
又
是奇函数，∴
，
又
为减函数，
∴
对任意的
恒成立．
∴
对任意的
恒成立．
令
，
则
,
解得
.
∴实数
的取值范围为
．
19．（2024·上海静安·一模）如果函数
满足以下两个条件，我们就称函数
为
型函数.
①对任意的
，有
；
②对于任意的
，若
，则
.
求证：
(1)
是
型函数；
(2)
型函数
在
上为增函数；
(3)对于
型函数
，有
（
为正整数）.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）记
；
对任意的
，有
；
对于任意的
，
若
，
则
，
即
.
故函数
是
型函数.
（2）设
，且
，则
.
因此
，
可知
在
上为增函数.
（3）因为
，
所以
