文档文本内容
2.5 二次函数与幂函数
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、幂函数............................................................................................................................................3
二、二次函数........................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：幂函数的图象与性质............................................................................................................6
题型二：二次函数的解析式................................................................................................................8
题型三：二次函数的图象..................................................................................................................10
题型四：一元二次方程根的分布问题..............................................................................................12
题型五：二次函数的单调性与最值..................................................................................................16
题型六：二次函数双重最值问题......................................................................................................18
题型七：二次函数含参数的最值问题..............................................................................................21
题型八：利用幂函数的性质解不等式与比较大小..........................................................................24
题型九：活用幂函数各类性质..........................................................................................................27
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................30
05 数学思想方法.................................................................................................................................32
①数形结合..........................................................................................................................................32
②转化与化归......................................................................................................................................34
③分类讨论..........................................................................................................................................36
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................39
基础过关篇..........................................................................................................................................39
能力拓展篇..........................................................................................................................................42
1、通
具体
例，了解
函数及其
象的
化
律
过
实
幂
图
变
规
.
2、掌握二次函数的
象与性
图
质(
性、
称性、
点、最
等
单调
对
顶
值
).
一、幂函数
1、定义：函数
做幂函数，其中
是自变量，
是常数.
2、常见的五种幂函数的图象
3、幂函数的性质
①所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
②
时，幂函数的图象通过原点，并且在
上是增函数
特别地，当
时，幂函数变化快，图象下凹；当
时，幂函数变化慢，图象上凸
③
时，幂函数的图象在
上是减函数.在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图象在
轴右方
无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴.
④在经过点
平行于
轴的直线的右侧，图像从下往上幂指数由小到大分布
⑤幂指数的分母为偶数时，图象只在一象限
幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于
轴对称
幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于原点对称
幂函数
，
（
，且
互质）可分别化为：
，
，再研究函数性质.
二、二次函数
1、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：
；
（2）顶点式：
；其中，
为抛物线顶点坐标，
为对称轴方程.
（3）零点式：
，其中，
是抛物线与
轴交点的横坐标.
2、二次函数的图像和性质
函数
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称轴
顶点坐标
奇偶性
当
时是偶函数，当
时是非奇非偶函数
单调性
在
上单调递减；
在
上单调递增
在
上单调递增；
在
上单调递减
常用二级结论
1、二次方程根的分布
①两根与
的大小比较（以
为例）
分布情况
两根都小于
，
即
两根都大于
，
即
一根小于
，一根大于
，即
大致图像
得出的结论
②两根分别在区间
外
大致图像
得出的结论
③根在区间上的分布（以
为例）
分布情况
两根都在
内
两根有且仅有一根在
内
一根
内，另一根在
内
大致图像
得出的结论
或
题型一：幂函数的图象与性质
【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
在其定义域上单调递减
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
是幂函数，根据幂函数的定义可知
，
当
时，
，等式成立，
因为
在R 上单调递增，故
为唯一解.
此时
，其定义域为
.
A 选项，
，所以
是偶函数，A 选项错误.
B 选项，对
求导，可得
.
当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在其定义域上不单调递减的，B 错误；
C 选项，
，
在
上单调递减.
因为
，所以
，即
，C 选项正确.
D 选项，
，
在
上单调递增，
，
所以
，即
，D 错误.
故选：C.
【解题总结】
(1)
于
函数
象的掌握只要抓住在第一象限内三条
分第一象限
六个区域，即
对
幂
图
线
为
所
分区域.根据
的取
确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定
值
.
(2)在比
的大小
，必
合
的特点，
适当的函数，借助其
性
行比
较幂值
时
须结
幂值
选择
单调
进
较.
【变式1-1】（2025·湖南·一模）已知幂函数
在
上单调递增，则m 的值为
（ ）
A．1
B．-3
C．-4
D．1 或-3
【答案】A
【解析】由题意可得
.
故选：A
【变式1-2】已知函数
是幂函数，且为奇函数，则实数
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，所以
，所以
，
解得
或
，
当
时，
，为偶函数，故
不符合题意，
当
时，
，为奇函数，故
符合题意.
综上所述：
.
故选：B.
【变式1-3】若幂函数
与
在第一象限内的图象如图所示，则
与
的取值情况为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，幂函数
在
上单调递增，且
时，图象上凸，
．
当
时，幂函数
在
上单调递减．不妨令
，由图象得
，则
．
综上可知，
．
故选择：D.
【变式1-4】（2025·江西·一模）若直线
与幂函数
，
，
的图象从左到右依次
交于不同的三点
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，由
，得
；由
，得
；由
，得
.
因为
，所以
是关于
的减函数.
又
，所以
，所以
.
故选：A.
题型二：二次函数的解析式
【例2】（2025·陕西·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
①；
②．
令
，由①得：
，
令
，由②得
，因为
，
所以
，即
.
令
，由①得
，
解得
，所以
．
故选：D．
【解题总结】
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐
，宜
用一般式
标
选
.
(2)已知
点坐
、
称
、最大
顶
标对
轴
(小)
等，宜
用
点式
值
选
顶
.
(3)已知
象与
图
x
的两交点的坐
，宜
用零点式
轴
标
选
.
【变式2-1】图象是以
为顶点且过原点的二次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设图象是以
为顶点的二次函数
（
）．
因为图象过原点，所以
，
，所以
．
故选：A
【变式2-2】已知二次函数
满足
，且
的最大值是8，则此二次函数的解
析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，由
得:
图象的对称轴为直线
，
设二次函数为
，
因
的最大值是8，所以
，当
时，
，
即二次函数
，
由
得:
，解得：
，
则二次函数
，
故选：A.
【变式2-3】若函数
过定点
，以
为顶点且过原点的二次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于函数
，当
时，
，
所以函数
过定点
，
设以
为顶点且过原点的二次函数
，
因为
过原点
，
所以
，解得：
，
所以
的解析式为：
，
故选：A.
题型三：二次函数的图象
【例3】如图是二次函数
图象的一部分，图象过点
，对称轴为直线
. 下面四个
结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为二次函数
图象过点
，对称轴为直线
，
所以
，解得：
因为二次函数开口方向向下，所以
，
对于A：因为二次函数的图象与
轴有两个交点，
所以
，所以
，故选项A 不正确；
对于B：因为
，所以
，故选项B 不正确；
对于C：因为
，故选项C 不正确；
对于D：因为
，所以
，故选项D 正确.
故选：D
【解题总结】
数形结合
【变式3-1】二次函数
的图象如图所示，那么此函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图象经过
可设其解析式为
，代入点
则有方程，
，解
得
，故其解析式为
，化简为
.
故选：C.
【变式3-2】（2025·陕西汉中·三模）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向
下的抛物线的一部分.“盖帽
是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为
盖帽
，
”
“
”
而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属
违规
“
”.对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处
于上升阶段的水平距离越长，则被
盖帽
的可能性越大
“
”
.收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以
简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为
，篮框中心点为
，他可以选择让篮球在运行
途中经过
，
，
，
四个点中的某一点并命中
，忽略其他因素的影响，那么被
盖帽
的可能性最
“
”
小的线路是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】篮球上升阶段越短, 被
盖帽
的可能性最越
“
”
,则对称轴越靠近
轴越好,
设抛物线方程为
，当经过
时，
列方程组
，二次函数解析式为
，对称轴为直线
，
同理可得经过
时，对称轴为直线
，经过
时，对称轴为直线
，经过
时，对
称轴为直线
，
可知经过
时篮球处于上升阶段的水平距离最短.
故选：C.
【变式3-3】已知函数
，如果
且
，则它的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，函数
，
因为
，令
，可得
，即函数图象过点
．
又由
，可得
，
，所以抛物线的开口向上，可排除D 项，
令
，可得
，可排除B、C 项．
故选：A．
题型四：一元二次方程根的分布问题
【例4】若关于x 的一元二次方程
分别满足下列条件时，求m 的取值范围．
(1)两根都大于0；
(2)一根大于
，另一根小于
；
(3)一根在
内，另一根在
内；
(4)一根在
内，另一根不在
内；
(5)一根小于1，另一根大于2；
(6)两根都在区间
内；
(7)在
内有解．
【解析】（1）设
两根都大于0，应满足
解得
（2）一根大于
，另一根小于
，应满足
,
即
,
解得
或
（3）一根在
内,另一根在
内,应满足
即
解得
（4）一根在
内，另一根不在
内，
应满足
或
或
可得
或
，又
．
∴m 的取值范围为
．
（5）一根小于1，另一根大于2，应满足
即
，解得
．
（6）两根都在
内，应满足
解得
．
（7）在
内有解，应满足
或
或
或
解得
．
【解题总结】
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取
范
，主要从以下三个方面
值
围问题
建立关于系数的不等式(组)
行求解
进
.
(1)判
式
别
Δ 的符号.
(2)
称
对
轴
与所
区
的位置关系
给
间
.
(3)区
端点
函数
的符号
间
处
值
.
【变式4-1】已知
、
、
，关于
不等式
的解集为
．
(1)若方程
一根小于
，另一根大于
，求
的取值范围；
(2)在（1）条件在证明以下三个方程：
，
，
中至少
有一个方程有实数解．
【解析】（1）因为关于
不等式
的解集为
，
即
的解集为
，
故
，且1，3 为
的两根，
则
，即
，
又方程
一根小于
，另一根大于
，
设
，而
，则
，
即
，
结合
，可得
的取值范围为
.
（2）证明：假设
，
，
都没有实数解，
则它们的判别式都小于0，
即
，即
，解得
，
这与
的取值范围为
矛盾，
故
，
，
中至少有一个方程有实数解．
【变式4-2】关于
的方程
有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
则由题意可知
，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：C．
【变式4-3】已知关于
的方程
两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可得
，
解得
.
故选：B.
【变式4-4】若关于x 的方程
恰有一根在
上，则m 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【解析】当
时,不符合题意，
所以
，记
对称轴为
，且
①当
时，
，解得
;
②当
时，
，所以
，
综上
或
．
故选：D.
题型五：二次函数的单调性与最值
【例5】已知二次函数
的图象经过坐标原点，则函数的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
经过原点，所以
，即
，
所以
，图象开口向下，对称轴为
，
所以函数
的单调增区间为
.
故选：B
【解题总结】
二次函数在
区
上的最
主要有三种
型：
定区
定、
区
定、
定区
，不
哪种
型，
闭
间
值
类
轴
间
轴动
间
轴
间动
论
类
解
的关
都是
称
与区
的位置关系，当含有参数
，要依据
称
与区
的位置关系
行分
题
键
对
轴
间
时
对
轴
间
进
类讨论.
【变式5-1】已知函数
（
且
）在
上单调递增，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为
上的增函数，所以
，
解得
，
故选：C.
【变式5-2】（2025·贵州黔南·三模）设函数
，当
时，
，则
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
即
，
当
时，函数
的大致图象如图，
当
时，
，所以
，又
，得
；
当
时，函数
的大致图象如图，
当
时，
，
所以
，又
，得
，
综上：
.
故选：
.
【变式5-3】若函数
在区间
上的最小值、最大值分别为
，
，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，解得
或
，
∵函数定义域为
，∴
，即函数在
处取得最小值
，
且
，即
，则
，
∵函数的值域为
，∴
，
当
时，有
，即
，
解得
，即
；当
时，有
，
即
，解得
，即
．
综上，实数a 的取值范围为
，故D 正确.
故选：D．
题型六：二次函数双重最值问题
【例6】（2025·高三·上海·期中）已知函数
，其中常数
，若
的最大值记
为
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】当
时，
，函数
的最大值为
，
所以当
时，
，
因为
与
轴交于
与
，
当
时，由二次函数的图象，对称轴为
，
，
又
，若
，则有
，解得
，
所以若
时，
，
若
时，
，
当
时，对称轴
，所以
，
当
时，对称轴
，
，所以
，
综上所述：
，
当
时，
单调递减，所以
，
当
时，
单调递增，
，
当
时，
单调递增，
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【解题总结】
解决二次函数最大值的最小值问题常用方法是分类讨论、三点控制、四点控制.
【变式6-1】已知函数
，当
时，记函数
的最大值为
，则
的最
小值为 .
【答案】
/
【解析】根据题意，
，
是偶函数，
当
时，
，
由二次函数的性质，
在
上的最大值为
或
，
由偶函数对称性，
在
上的最大值为
或
，
，则
，
即
.
，即
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式6-2】已知函数
在区间
上的最大值为M，当实数a，b 变化时，M 最小值为
．
【答案】2
【解析】
，
上述函数可理解为当横坐标相同时，函数
，
,
与函数
，
,
图
象上点的纵向距离，
则
即为函数
与函数
图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，
作出函数
图象，如图，
由图象可知，当函数
的图象刚好为
时此时
，
取得最小值为2.
故答案为：2
【变式6-3】（2025·高三·浙江宁波·开学考试）已知
，
，函数
（其
中
表示对于
，当
时表达式
的最大值），则
的最小值为 .
【答案】
【解析】根据
的定义，设
的最大值为
，根据二次函数的性质，分类讨论求
出
的最大值，求出
，再求出其最小值.设
，对称轴方程为
，
当
，
在
单调递增，
当
，
在
单调递减，
，
所以
的最小值为
.
故答案为:
.
【变式6-4】当
时，函数
的最大值记为
，则
的最小值为
．
【答案】
【解析】由去绝对值可得
当
时
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
,
即函数
的对称轴方程为
或
,
即
或
为函数
的极值点,
由函数在闭区间上的最值定理可得:
在
的最大值为
，
，
，
中之一，则
有：
，
，
，
，
四式相加得
+
，
又
，
，
即
，
即
，
故答案为
.
题型七：二次函数含参数的最值问题
【例7】已知函数
在区间
上有最大值4 和最小值1．
(1)求
，
的值；
(2)若存在
，使
对任意的
都成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，且
，
可知
的图象开口向上，对称轴为
，可知
在
上单调递增，
则
，解得
.
（2）由（1）得
，
因为存在
，使
对任意的
都成立，
由（1）可知：
在
内单调递增，则
，
可得
，即
对任意的
都成立，
可得
，解得
或
，
故实数
的取值范围为
．
【解题总结】
根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值
进行分析
【变式7-1】已知函数
．是否存在实数
，使得
在区间
上的最小值为2?若存
在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【解析】由题意得
，
当
时，在
上，
，故
在
上是增函数．
因此当
时，
有最小值
，解得
，满足题意．
当
时，在
上，
是减函数，
在[a，1]上
是增函数，因此当
时，
有最小值
，解得
，均不合题意，故此时无解．
当
时，在
上，
，故
在
上是减函数．
因此当
时，
有最小值
，解得
，满足题意．
综上，
或
．
【变式7-2】已知函数
在区间[m，n]上的最小值是
，最大值是
，求
，
的值．
【解析】由
知
，
，
则
．
所以在[m，n]上，当
增大时
也增大，
所以
，
所以
是方程
，即
的两个不同实数根，且
，
所以
．
【变式7-3】已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最大值．
【解析】（1）由题意有函数
，可得二次函数的图象开口向上，且对称
轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，所以
的取值范围为
．
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
的最大值为
；
当
时，函数
的最大值为
；
综上，当
时，函数
的最大值为
；
当
时，
的最大值为
．
【变式7-4】已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最小值．
【解析】（1）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，所以
的取值范围为
．
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
在
上单调递增，所以
的最小值为
；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的最小值为
；
当
时，函数
在
上单调递减，所以
的最小值为
，
综上可得，
在
上的最小值为
题型八：利用幂函数的性质解不等式与比较大小
【例8】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
为幂函数，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
为幂函数，得
∴
，所以
，所以
，
又
，所以
，
又
，所以
，
由换底公式得
，
，
所以
，
又
，所以
，得
.
又
在区间
内单调递减，所以
.
综上，
.
故选：B.
【解题总结】
在比较幂值大小时，需根据幂值的具体形式（如底数、指数的正负及取值范围）选择合适的函数工具，
并利用其单调性进行系统分析。
【变式8-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点
在幂函数
的图象上，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为点
在幂函数
的图象上，则
，解得
，
所以
，可得
，故
，
因为
，
，
，
且函数
在
上为增函数，
又因为
，则
，故
.
故选：C.
【变式8-2】（多选题）若
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由
得
，
令
，则
．
因为函数
在
上都是增函数，所以
在
上是增函数，
所以
，故A 正确．
当
时，
，故B 错误．
因为函数
在
上单调递增，所以由
得
，故C 正确．
因为函数
在
上单调递减，所以由
得
，故D 正确．
故选：ACD．
【变式8-3】若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于函数
在
上单调递增，
∴
，解得
．
故答案为：
【变式8-4】已知函数
．若不等式
成立，则在
的条件下，
可以取的值为 ．
【答案】
，
，
，
【解析】∵
，∴
．
要使
，
在
上应大于0，
∴当
为奇函数，即当
时显然不成立．
下面验证
为偶函数的情况：
当
时，
，符合题意．
当
时，
，不符合题意，舍去．
当
时，
，符合题意．
当
时，
，
，而
，∴
，符合题意．
当
时，
，
，而
，∴
，符合题意．
综上，
的可能取值有四个，分别为
，
，
，
故答案为：
，
，
，
【变式8-5】已知幂函数
过点
，若
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题可设
，因为函数
过点
，
所以
，所以函数
，
所以函数
是定义在
上的增函数，
所以若
，则
，
所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型九：活用幂函数各类性质
【例9】（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点
，则解析式为
B．幂函数
（
）始终经过点
和
C．当
时，函数
的图象始终在函数
的图象下方
D．若函数
，则对于任意的
有
【答案】BD
【解析】选项A：设幂函数解析式为
，因为幂函数的图象经过点
，
所以
，解得
，所以解析式为
，A 说法错误；
选项B：由幂函数的性质可得幂函数
（
）始终经过点
和
，B 说法正确；
选项C：当
时，
，
，因为
，
所以
，则当
时，函数
的图象始终在函数
的图象上方，C 说法错误；
选项D：对于任意的
，
，
，
因为
，
则
，
所以
，D 说法正确；
故选：BD
【解题总结】
幂函数的性质
①所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
②
时，幂函数的图象通过原点，并且在
上是增函数
特别地，当
时，幂函数变化快，图象下凹；当
时，幂函数变化慢，图象上凸
③
时，幂函数的图象在
上是减函数.在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图象在
轴右方
无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴.
【变式9-1】（多选题）已知幂函数
的图象经过点
，则（ ）
A．函数
为奇函数
B．
C．函数
的值域为
D．当
时，
【答案】AD
【解析】设幂函数为
将
代入解析式得
，故
，所以
，
定义域为
，
因为
，故函数为奇函数，故A 正确；
函数
，故B 错误；
显然
的值域为
，故C 错误；
当
时，
，
即满足
，故D 正确
故选：AD
【变式9-2】（多选题）当
时，下列不等式中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
为减函数，
又
，
均错；
又
和
均为增函数，
B 错；
对于D，
，而
，∴D 正确.
故选：
.
【变式9-3】（多选题）已知函数
与
的图象如图所示，则（ ）
A．
为奇函数
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
的值域为
【答案】AC
【解析】由图象知，
定义域为
，是偶函数，在
上单调递增，在
单调递减；
定义域为
，是奇函数，在
上单调递增，在
单调递增；
对于A，
定义域为
，
又因为
，所以
是奇函数，故A 正确；
对于B，令
，则
，
,
但
，
，
，故B 错误；
对于C，
，由图象知
，
因为
在
上单调递增，所以
，
又因为
在
上单调递减，所以
，
即
在
上单调递减，故C 正确；
对于D，令
，则
，
当
接近正无穷大时，函数值接近0，故
的值域不能为
，故D 错误；
故选：AC.
1．已知函数
，若
，恒有
，则实数a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
方法一：若
，恒有
，只需
，
设函数
在
上的最小值为
，
则当
，即
时，
，
即
，所以
当
，即
时，
，
即
，此时不满足题意；
当
，即
时，
，
所以
，即
，得
，
则
综上，实数a 的取值范围是
方法二：若
，恒有
，
所以
对任意的
恒成立，
而
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
因此，实数a 的取值范围是
2．方程
的两根均大于1 的充要条件是 ．
【答案】
【解析】
法一：设方程的两根为
、
，则使
、
都大于1 的充要条件是
所以方程
的两根均大于1 的充要条件是
法二：设
，
则：方程
有两个大于1 的实数根
所以方程
的两根均大于1 的充要条件是
故答案为：
①数形结合
1．设方程
和方程
的根分别为
，设函数
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
由
得
，由
得
，
所以令
，这3 个函数图象如下图所示：
设
与
交于点B，
与
交于点C，
由于
的图象关于直线
对称，
而直线
与
垂直且交点为
，所以
，
注意到函数
的对称轴为直线
，即
，且二次函数
的图象是开口向上的抛物线，
从而
故选：
2．已知方程
的两根都大于2，则实数m 的取值范围是
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】B
【解析】
根据题意，二次函数
的图象与x 轴的交都在2 的右侧，
根据图象可得
，即
，
解得
，即实数m 的取值范围为
故选：
3．已知方程
的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】B
【解析】
方程
的两根都大于2，即函数
的图象与x 轴的两个交点都
在2 的右侧，
可得
，即
，
解得
故选：
②转化与化归
4．若对任意
，都至少存在三个互不相等的整数x，使得
，则m 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为
，所以
，
所以问题转化为不等式
至少有3 个整数解，
因为
的图象关于直线
对称，
所以0，1，2 是
的3 个整数解，
所以
，
故选
5．若关于x 的方程
有两相异实根
，
，且
，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为关于x 的方程
有两相异实根
，
，且
，
所以关于x 的方程
有两相异实根
，
，且
，
因此直线
与函数
的图象有两个不同的交点，
且交点的横坐标分别为
，
，且
作直线
与函数
图象如下：
由图象知：
，因此实数a 的取值范围是
故选：
6．已知幂函数
的图象经过点
，
是函数图象上的任意两点，给出
以下结论：
①
；
②
；
③
；
④
，
其中正确结论的序号是
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③
【答案】D
【解析】
依题意，设
，则有
，即
，
所以，
，于是
由于函数
在定义域
内单调递增，
所以当
时，必有
，从而有
，故②正确；
又因为
与
分别表示直线OP 与OQ 的斜率，
得直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故
，则③正确．
故选
③分类讨论
7．已知幂函数
是R 上的偶函数，且函数
在区间
上单调递减，
则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为幂函数
是R 上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意，所以
，
则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递减，则
故选：
8．已知二次函数
甲同学：
的解集为
；乙同学：
的解集为
，丙同学：
的对称轴在y 轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假
命题，则实数a 的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若
的解集为
，
则
；
若
的解集为
，
则
；
若
的对称轴在y 轴右侧，
则
，
又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学的论述为假，
综上，
故选：
9．已知定义在R 上的函数
是偶函数，当
时，
，若关于x 的方程
，有且仅有6 个不同实数根，则实数a 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数
的图像如下图所示：
根据函数图像，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
且
时取最大值2，在
时取最小值0，
是部分图像的渐近线．
令
，则关于x 的方程
即可写成
，
此时关于t 的方程应该有两个不相等的实数根其他情况不合题意，
设
为方程的两个实数根，
显然，有以下两种情况符合题意：
①当
时，此时
，则
，
②当
，
时，此时
，则
，
综上可知，实数a 的取值范围是
故选：
基础过关篇
1．（2025·重庆·三模）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意，函数
在
上单调递减，则
，解得
，
又函数
在
上单调递减，则
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
2．设集合
，则集合
的非空真子集的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
，则
，即
，
，
由
，
，
，
，则
，
所以
，共有
个元素，
所以集合
的非空真子集的个数为
.
故选：B.
3．（2025·天津·二模）已知函数
，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间
上单调递减B．偶函数，且在区间
上单调递增
C．奇函数，且在区间
上单调递减D．奇函数，且在区间
上单调递增
【答案】C
【解析】因为函数
，定义域为
，
，所以
是奇函数，
因为
在区间
上单调递增，
，所以函数
在区间
上单调递减，
故选：C.
4．已知幂函数
的图象经过点
，则
．
【答案】
【解析】
，
，
，
.
故答案为：
.
5．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数
的定义域为
，其图象关于原点对称，且在
上单调递增，则
的值可以是 .（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【解析】举例
，即
，其定义域为R，
又
，所以
为奇函数，其图象关于原点对称，
且
在
上单调递增，所以
满足题意.
故答案为：3.（答案不唯一）
6．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是 ．
【答案】
【解析】设幂函数
，
代入点
可得
，即
，
可得
，
因为
，可得
，所以该幂函数的值域是
.
故答案为：
.
7．（2025·江西·二模）已知函数
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【解析】由
，
在R 上都单调递减，且都是奇函数，
所以
是单调递减的奇函数，
故
，则
，即
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
8．（2025·广东揭阳·三模）已知函数
在
处的切线方程为
，则
的最
小值为 .
【答案】
/
【解析】已知
在
处的切线斜率为5，而
，
所以
，解得
，所以
，
所以切点为
，代入
可得
，
所以
，故其最小值为
.
故答案为：
.
9．若函数
在
上单调递减，则实数a 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为
在
上单调递减，所以当
时，
恒成立，
则
恒成立．
设
，所以
，
因为
，所以
，
所以
（此时
），
所以
，又因为
，
所以a 的取值范围是
．
故答案为：
.
10．若函数
的最小值在
内取得，则实数a 的取值范围为 .
【答案】
【解析】
时函数
取得最小值，
所以由
的最小值在
内取得，得
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
能力拓展篇
11．（2025·上海松江·三模）若不等式
对
恒成立，则
.
【答案】
【解析】当
时，函数
的对称轴为
，零点为
，
，
且当
时，
，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且对称轴为
，
所以要使不等式
恒成立，
于是，
，
，解得
，
，故
.
故答案为：
．
12．（2025·上海长宁·二模）已知函数
和
，其中
，且
是定义在
上
的函数，其图像关于原点对称，当
时，
．若对任意的
，存在
，使得
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
对任意的
，存在
，使得
，
的值域是
值域的子集，
当
时，
的值域为
，
是定义在
上的函数，其图像关于原点对称，
是奇函数，且
，
当
时，
，
的对称轴方程为
，
当
时，
在
上单调递增，
在
时的范围是
，
，
，
在
上的值域为
，
此时
的值域不可能为
值域的子集，舍去；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
时的范围是
，
，
，
在
上的值域为
，
此时
的值域不可能为
值域的子集，舍去；
当
即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
时的范围是
，
，
，
在
上的值域为
，
此时
的值域不可能为
值域的子集，舍去；
当
，即
时，
在
上单调递减，
在
时的范围是
，
若
，则
，
，
在
上的值域为
，
此时
的值域不可能为
值域的子集，舍去；
若
，则
，
，
，或
解得
，或
，
；
若
，则
，
，
在
上的值域为
，
此时
的值域不可能为
值域的子集，舍去；
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
13．已知函数
在区间
上的最大值为5，最小值为
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为函数
，
可知函数
图象的对称轴为直线
，且函数
的最小值为
．
令
，解得
或4，
因为
在区间
上的最大值为5，最小值为
，
所以
的取值范围是
．
故答案为：
.
14．已知
在
上满足
，求
的最大值．
【解析】由题意知
，
，
由绝对值三角不等式得：
．
由绝对值三角不等式得：
．
从而
．
当
时，
，
所以
的最大值为17．
15．已知二次函数
的最小值为1，函数
是偶函数，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若函数
在区间
上单调，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为函数
是偶函数，所以
的图象关于直线
对称，
又因为
的最小值为1，可设
，
且
，解得
，
所以
．
（2）由（1）可知：
在
内单调递减，在
内单调递增，
因为
在区间
上单调，
则
或
，解得
或
，
所以实数
的取值范围为
．
16．已知函数
，求当
时，
的最大值
．
【解析】二次函数
开口向上，
，
当
时，
，
；
当
时，
，
，
综上有
17．对于定义域
的函数
，若存在区间
，使得当
时，函数
的值域恰为
，则称函数
是
上的 “
倍值函数
，区间
”
叫做“
倍值区间”.
(1)已知函数
是
上的“
倍值函数
，求
”
的值；
(2)若函数
是“
倍值函数
，求
”
的取值范围；
(3)设函数
是“ 倍值函数
，且存在唯一的
”
“ 倍值区间”
，求
的值.
【解析】（1）因为函数
在
上单调递增，且是 “
倍值函数”.
所以
，
，其值域为
.
则
，又
，解得
.
（2）函数
，对称轴为
.
设
的 “
倍值区间
为
”
.
若
，
在
上单调递减，
则
，两式相减得：
，
，
.
因为
，所以
，
，即
.
若
，
在
上单调递增，
则
，
即
有两个不同的大于的根.
令
，则
，
解
得
或
，
解
得
，解
得
，此时无解.
若
，
，
，
与
矛盾.
综上，
的取值范围是
.
（3）因为函数
是 “ 倍值函数
，
”
“ 倍值区间
为
”
开口向下，对称
轴为
.
若
，
在
上单调递减，
则
，两式相减得:
，
，
，
代入
得
，
，
，无解.
若
，
在
上单调递增，
则
，
即
有两个不同的小于
的根.
令
，则
，解得
.
因为存在唯一的 “ 倍值区间
，
”
由
，根据韦达定理
，
.
两根为
，
要使区间唯一，则
，此方程无解.
再考虑
在
上不单调的情况，因为对称轴
，
所以
，且
，则
，得
且
.
又
，
，
消去
得
（无解），
或者
，解得
或
（舍去）.
所以
.
18．已知函数
，求函数
在闭区间
上的最大值
．
【解析】题意得
，
函数
与
的对称轴均为
，均过点
，
①当
时，
，在
上，
单调递增，
．
当
时，
，由对称性
在
上单调递减，在
上单调递增．
）当
ⅰ
时，
，因此，在
上，
．
）当
ⅱ
时，
，因此，在
上，
．
②当
时，在
上，
单调递增．
在[0，2]上，
单调递增，且均有
，
因此
在
上单调递增，故
．
③当
，即
时，
在
上单调递减，在[0，2]上单调递增，
的最大值是
与
中的较大者．
．
当
时，
，因此
．
④当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，在[0，2]上单调递增，
的最大值是
与
中的较大者．
．
令
，即
，
解得
或
．
∵
，∴
不存在．
即当
时，
恒成立，
∴
．故此时
．
综上，
