文档文本内容
1.2 三角恒等变换
目录
题型一：三角恒等变换............................................................................1
题型二：辅助角公式................................................................................3
题型三：化简、求值................................................................................6
题型四：求角问题....................................................................................8
综合练习....................................................................................................9
多选题专练..............................................................................................20
题型一：三角恒等变换
例1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】逆用正切二倍角公式化简即可.
【详解】由正切二倍角公式可得
.
故选：A.
例2．已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】D
【分析】结合角
的范围，根据二倍角公式计算出角
的正、余弦值及正切值，再利用正
切的差角公式计算.
【详解】
，
.
又
，
，
，
，
.
.
故选：D.
例3．已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
得
，又
得
，
进而得
，计算
即可求解.
【详解】由
，
又
，所以
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，
故选：D.
例4．已知
，
均为锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】易得
，再分别求得
，
，
，
，然后利用两
角和的余弦公式求解.
【详解】
，由
是锐角可得
，
，
代入题干条件得到
，由
是锐角可得
，
所以
.
故选：B.
题型二：辅助角公式
例1．已知
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】设
，则
,由三角恒等变换得
，设
，利用辅助角公式可得
，从而可得
，代入
，整理得
，求解后即可得答案.
【详解】设
，则
，
由
，
可得
，
设
，
则有
，
其中
所以
，
所以
，
即
，
整理得
，
解得
，
又因为
，
所以
，
所以
的最大值为
，
即
的最大值为
.
故答案为：
例2．设
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】对
展开化简得到：
，使用辅助角公
式换元化简求出其最大值并检验其是否存在即可.
【详解】对
展开化简得：
，
令
，
，使用辅助角公式得：
，
其中
，
，
故
，
，当
时
取得最大值
，
故
.
当且仅当
且
时取到等号，
，存在
，使得
，
故最大值为
，
故答案为：
例3．已知
，
为
的最大值，
，当
时，
则
.
【答案】
【分析】利用辅助角公式解出
，代入可得到关于
的方程，解方程即得答案.
【详解】利用辅助角公式得：
，
其中
满足
和
.
这个函数的最大值是
，
因此：
，
平方得：
，
在
时，
取得最大值，此时
即
，
，
又
和
，
代入得：
，
得：
，
联立
，
解得：
或
，
所以
.
故答案为：
题型三：化简、求值
例1．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用倍角公式和三角函数的基本关系式，求得
，结合正切的
倍角公式，即可求解.
【详解】由题意得
，可得
，
所以
.
故选：B.
例2．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得
，再由二倍角正切公式可
得
，再应用齐次式法求
.
【详解】由
，
得
，
则
，而
．
故选：B
例3．若
，则
.
【答案】
【分析】先求出
之间的关系式，然后将其代入原式中进行化简，然后根据
求出
，最后求得原式的值.
【详解】因为
，所以
，所以
.
所以
.
因为
，所以
.
所以
.
故答案为：
.
例4．求值
.
【答案】
/0.25
【分析】把
变形为
，根据
变形，把切化为弦，利用积化和差公式及
和差化积公式变形，计算即可得到结果．
【详解】原式
．
故答案为：
．
题型四：求角问题
例1．若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将两个等式平方相加，结合同角三角函数的平方关系式和和差角公式可得
，然后结合角的范围可得答案.
【详解】由
两边平方可得
①，
由
两边平方可得
②，
①+②得：
，
整理得
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A
例2．若
，且
，则
的值为 .
【答案】
或
【分析】根据二倍角公式对等式进行化简，求出
，然后根据
的范围求出结果.
【详解】因为
，所以
，
化简得
，解得
，
所以
或
，因为
，所以
或
.
故答案为：
或
.
例3．若
，
且
，
，求
的值．
【答案】
【分析】法一：将
，
两侧平方相加，应用差角余弦
公式得
，结合角的范围确定大小；法二：应用向量法，设
，
，
，根据已知得向量
构成首尾相连的等边三角形，即
可得.
【详解】法一：
，
，平方相加即得
，
又
，所以
．
法二：设
，
，
，
因为
，
，所以
．
所以向量
构成首尾相连的等边三角形，从而
．
综合练习
1．设
为椭圆
上一点，过
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆及圆的方程可确定椭圆的焦点及圆的圆心，即可得
，根据切
线可知
，结合二倍角公式及直角三角形中的三角函数值可得解.
【详解】
如图所示，
由椭圆方程
，得
，
，
，
即椭圆的左焦点坐标为
，
又圆
，即圆心
与椭圆的左焦点
重合，
所以椭圆上的点
到圆心的距离
，
又
，且
，
则
，
则
，
所以当
时，
取得最大值为
，
故选：A.
2．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用换元法并结合二倍角的余弦公式即可得到答案.
【详解】设
，则
，
.
故选：B.
3．已知
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两角和的正弦公式以及商数关系求解出
与
的值，继而逆运
用两角差的正弦公式求出
，再运用余弦的二倍角公式求解即可.
【详解】由
，可得
，即
.
又因为
，
所以
.所以
，
所以
，
故选：D.
4．已知
，那么
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知角和未知角的关系，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式进
行求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
又因为
，
所以
，
因此
，
故选：B
5．已知
，
，则
（ ）
A．
B．7
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和倍角公式，求得
，再由两角
和的正切公式，代入计算，即可求解.
【详解】由
，故
，
而
，故
，
则
，
，
所以
，则
.
故选：D.
6．已知锐角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知得
，再应用和角正弦公式求函数值.
【详解】由
为锐角，则终边在直线
的第一象限部分，故
，
所以
.
故选：A
7．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】根据二倍角公式以及齐次式化简即可求解.
【详解】因为
，所以
，
.
故选：A.
8．若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题及两角差的余弦公式可得
的值，再由和差化积公式可得
的值，即可求解.
【详解】由题知
.
∵
，
∴
，
即
.
∴
.
故选：C.
9．若
，
，则
．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出
，再利用和差角的正余弦公式，结
合齐次式法求解即得．
【详解】因为
，解得
，
又因为
，所以
.
故答案为：
.
10．已知
满足
，则
的值为 ．
【答案】
/
【分析】根据切弦互化得
，进而整理得
，再根据
展开整理得
，
最后利用
展开求解即可.
【详解】解：由
得
，即
，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，
所以
故答案为：
11．已知
，且
，则
.
【答案】
【分析】根据同角三角函数的关系和二倍角公式求解即可.
【详解】法一：因为
，即
，
即
，即
.
因为
，所以
，所以
.
所以
.
法二：因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
12．已知
，
，则
．
【答案】
【分析】由
，结合同角关系式及两角差的余弦公式即可求解.
【详解】
，所以
，
又因为
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
13．已知
，则
．
【答案】
【分析】运用切化弦与和角的余弦公式即可解决.
【详解】
，
.
故答案为：
.
14．已知
，则
.
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系和两角差的正切公式求解即可.
【详解】
,
所以
，
，
故答案为：
.
15．若
，则
.
【答案】7
【分析】先由辅助角公式得到
，再由诱导公式得到
，然
后由同角三角函数关系计算可得.
【详解】
，
所以
，
所以
，
所以
.
故答案为：7
16．已知
，则
的最大值为 ．
【答案】
/0.25
【分析】设
，利用辅助角公式结合三角函数的有界性计算即可.
【详解】设
，则
，
所以
，
由辅助角公式得
，
其中
，当
时取得等号，
解得
，即
的最大值为
，不妨取
为锐角，
此时有
，
，符合题意.
故答案为：
.
17．已知
，求
和
．
【答案】
，
，或
，
．
【分析】设
，利用万能公式将已知三角等式转化为分式方程后求解.
【详解】若
，则
，此时
，不符，
若
，设
，利用万能公式，原已知式化为
，
所以
，即
，解得
，或
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
∴
，
，或
，
.
18．已知
均为锐角，且
，
，求
，
的值．
【答案】
，
．
【分析】将条件等式平方后相加，结合和角余弦公式求
，应用和差化积公式得
、
，再作商并应用万能公式求
.
【详解】
，
，
两式相加，得
，
由
，得
，
由
，得
，
两式相除，得
，
所以
．
19．已知
，
，且
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算即可.
（2）利用二倍角的正余弦公式化简得解.
（3）确定角的范围，再利用和角的正切公式求解.
【详解】（1）由
，
，得
.
（2）由
，得
.
（3）由
，
，得
，由（1）知
，
则
，
，
，
所以
.
20．已知
是方程
的两根，且
，
，求
的值．
【答案】
．
【分析】根据根于系数的关系得
，
，再由两角和的正切公式
求出
，结合角的范围得解.
【详解】因为
是方程
的两根，
所以
，
，
．
因为
，
，
所以
，所以
．
多选题专练
1．设函数
，则（ ）
A．
B．
的最小正周期是
C．
的值域是
D．
在区间
上单调递增
【答案】ABC
【分析】利用三角恒等变换化简函数
，由三角函数的性质逐个判断各个选项即可.
【详解】
，
，
∴
，故A 正确；
函数
的最小正周期
，故B 正确；
因
，则函数
的值域是
，故C 正确；
当
时，
，此时函数
单调递减，则函数
也
单调递减，故D 错误.
故选：ABC.
2．下列各式的值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断.
【详解】对于选项A：
，故A 正确；
对于选项B：
，故B 正确；
对于选项C：
，故C 错误；
对于选项D：
，故D 错误；
故选：AB.
3．已知
，其中α，β 为锐角，以下判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】通过切化弦结合同角三角函数基本关系式、两角和差公式、二倍角公式，分别对
每个选项进行分析判断.
【详解】选项A：由两角和的正切公式，
.
因
为锐角，
，故
，A 正确.
选项B：由
，得
. 结合
，代入得
，
即
，解得
（
为锐角，取正），
， B 错误.
选项C：由
，得
. 结合
，
得
，即
，解得
，（
为锐角，取正），
，则
，C 正确.
选项D：由选项BC 得
，
；
，
.
则
，D 错误.
故选：AC
4．已知
，则（ ）
A．
的最大值为4
B．
的最小值为4
C．
的最大值为
D．
的最小值为
【答案】BC
【分析】AB 选项，由基本不等式直接求解即可得到；C 选项，利用正切和角公式化简后，
结合AB 选项可得C 正确；D 选项，化简后，由AB 选项得到
，即可判断正误.
【详解】AB 选项，
，故
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，
故
的最小值为4，A 错误，B 正确；
C 选项，由AB 可知，
，
故
，
当且仅当
时，等号成立，C 正确；
D 选项，由AB 知，
，
故
，
当且仅当
时等号成立，D 错误.
故选：BC
5．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式先求出
和
，
再由诱导公式和倍角公式即可逐一求解.
【详解】由题
，A 正
确；
又
，所以
，所以
，B 正
确；
，
C 错误；
，D 正确.
故选：ABD．
6．已知
为锐角，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用两角和差的余弦公式先求出
可判断B；再由同
角的三角函数关系可得A；由二倍角的正弦公式可得C；利用和角的正切公式可得D.
【详解】对于A、B，
，则
，
，故A 错误，B 正确；
对于C，
，
故C 正确；
对于D，因为
，所以
，
由
，
所以
，
所以
，
故D 正确.
故选：BCD.
7．已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角的正弦公式，可求
，判断A 的
真假；根据所给的角
的取值范围，判断角
的三角函数的符号，再结合同角三角函数的
基本关系，可判断B 的真假；利用同角三角函数的基本关系，可求
，判断C 的真假；
结合两角差的余弦公式，可求
的值，判断D 的真假.
【详解】由
，得：
，即
，
所以
，所以A 正确；
又
，
，所以
，则
，所以
，所以B 错误；
联立
，解得：
，
，所以C 正确；
由
，所以D 错误.
故选：AC
8．已知函数
则下列说法正确的是（ ）
A．
的图象可由
的图象向右平移
个单位得到
B．
是
的图象的一条对称轴
C．
的值域为
D．
在区间
上单调
【答案】BC
【分析】先化简得
，根据
与
的振幅不相等，从而判断
A；代入求值即可判断B；根据整体法求值域即可判断C；由函数单调性判断D 即可．
【详解】因为
，
所以
，
由于
与
的振幅不相等，
的图象不能仅由
的图象平移得到，故
A 错误；
因为
，所以
是
的图象的一条对称轴，故B 正确；
当
时，
，所以
的值域为
，故C 正确；
当
时，
，
当
时，
单调递减，
当
时，
单调递增，
在区间
上不单调，故D 错误；
故选：BC.
