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专题 08 三角恒等变换
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题型01 诱导公式的变形应用......................................................................................................................................1
题型02 弦切齐次化转化..............................................................................................................................................4
题型03
sinα±cosα问题..........................................................................................................................................7
题型04 辅助角公式......................................................................................................................................................7
题型05 二倍角与降幂公式........................................................................................................................................16
题型06 拆角、配角问题（给值求值、给值求角）...............................................................................................20
题型 01 诱导公式的变形应用
【解题规律·提分快招】
三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作 ；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断 所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】整体代换应用诱导公式计算化简，再结合二倍角公式计算即可.
【详解】令 ，则 ， ，
.
故选：D.
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求 ，再结合诱导公式求 .
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ．
故选：D．
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用同角三角函数关系式求出 ，再用诱导公式和二倍角公式化简计算即可.
【详解】由 得 ，得 ，
所以 .
故选：D.4．（24-25高三上·辽宁·期末） （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据诱导公式、两角差的余弦公式及二倍角的正弦公式化简求值即可.
【详解】原式
.
故选：C
5．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列选项中，与 不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判断A；根据正切的诱导公式可判断
BC，根据正切的和角公式可判断D.
【详解】
，故A
正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选：D
二、多选题
6．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．若 ，
【答案】BCD【分析】以 为整体，利用诱导公式、倍角公式以及两角和差公式逐项分析求解.
【详解】因为 ，
对于选项A： ，故A错误；
对于选项B：
，故B正确；
对于选项C： ，故C正确；
对于选项D：若 ，则 ，
且 ，则 ，
，
可得
，所以 ，故D正确.
故选：BCD．
题型 02 弦切齐次化转化
【解题规律·提分快招】
1、利用 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 可以实现角 的弦切互
化．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简条件等式可求 ，再利用齐次化方法求结论.【详解】 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
故选：A.
2．（24-25高三上·甘肃·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件，结合两角差正切公式求 ，结合二倍角公式，平方关系将所求式子转化为齐次式，
利用齐次式的方法求结论.
【详解】因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
故选：C.
3．（24-25高三上·湖南衡阳·期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由两角和正切公式展开求出 ，再利用“ ”的代换转化为齐次比式，化弦为切求解可得.
【详解】由 ，解得 ；
则.
故选：D.
二、填空题
4．（2025高三·全国·专题练习）已知 ，则 .
【答案】1
【分析】先根据两角和的正切公式计算得出 ，再应用二倍角余弦及正弦公式结合同角三角函数关
系弦化切计算即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
则
，
故答案为：1.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 .
【答案】
【分析】方法一：由正切函数的和差角公式代入计算，即可得到 ，再将原式化为齐次式，即可得到
结果；方法二：由正切函数的和差角公式化简，然后令 ，结合换元法代入计算，即可得到结果.
【详解】法一、由 ，得 ，
即 ，解得 ，
所以 .法二、由 ，得 ，
即 ，
令 ，则 ，解得 或 .
当 时， ，
所以 .
当 时，无解.
故 .
故答案为：
题型 03 sinα±cosα问题
【解题规律·提分快招】
1、
2、
3、
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·江西新余·模拟预测）已知 ，则 （ ）.
A． B． C． D．选项不完整
【答案】B
【分析】将 两边同时平方，利用同角间关系和二倍角公式，即可求得 .
【详解】因为 ，两边同时平方得： ，
所以 ，则 ，
故选：B.
2．（23-24高三上·湖北·期末）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合同角公式求出 即可得解.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，则 ，于是 ，
解得 ，所以 .
故选：C
3．（24-25高三上·黑龙江大庆·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知条件平方，得 ，从而得 ，再将 平方，求解即可.
【详解】解：因为 ，
平方得： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
4．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，则 ，从而得到 ，依题意得到关于 的方程，求
出 的值，再由二倍角公式及诱导公式计算可得.
【详解】令 ，
则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
由 ，所以 ，解得 （舍去）或 ，
所以 .
故选：B
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用余弦的二倍角公式、同角间的三角函数关系变形，已知式由两角差的余弦公式展开化简得
，再利用同角间三角函数关系变形得出 ，代入待求式变形后的式子计算可得．
【详解】
（※）
而 ，则 ，
两侧平方可得 ，则 ，代入（※）式可知 ，
故选：A．
6．（24-25高三上·湖南·阶段练习）若 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 化简 ，可求 ，进而求出 .
【详解】因为 ，
所以
，
所以 ，
因为 为锐角，故 .
故选：B
7．（2024高三·全国·专题练习）函数 的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】根据函数结构特点，设 ，求出 ，代入原函数，将其转化成关于 的
二次函数，求其最大值即可.
【详解】由 ，可知 ，
可设 ，
则 ，
则原函数可化为 ，
所以当 时，函数取最大值 .
故选：C.二、多选题
8．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由已知得 ， ，确定 的范围判断A；列方程组求解 与 的值，再求
值，判断B与C；由 两边平方，可得 ，化简 ，即可求值，判
断D.
【详解】由 ， ，
得 ， ，则 ，故A正确；
， ， ，
则 ，
当 时，联立 ，
解得 ， ，则 ；
当 时，联立 ，
解得 ， ，则 ，故B、C错误；
由 ，两边平方可得， ，
则 ， ，故D正确.
故选：AD.
三、填空题9．（24-25高三上·吉林长春·期末）若 ，且 ， 是 的两个根，则
.
【答案】 /
【分析】先根据韦达定理得到 ，再由 ，然后结合同角的平方关系求得
，求出 ，再利用半角的余弦公式即可求解.
【详解】因为 、 为关于x的方程 的两个根，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
，
故答案为：
题型 04 辅助角公式
【解题规律·提分快招】
1、辅助角公式
b a b
sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ=
asinα+bcosα= √a2 +b2sin(α+ϕ)
（其中
√a2 +b2 √a2 +b2 a
）．
【典例训练】
一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先用诱导公式将 转化为 ，再用辅助角公式，最后两边平方即可得出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
两边同时平方整理得 ，所以 ．
故选：A
2．（23-24高三上·甘肃武威·期末）若 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式和辅助角公式可得 （其中 ），进而 （ ），
由诱导公式化简得 ，即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以 （其中 ），
得 ，所以 ， ，
所以 ，
解得 .
故选：B二、填空题
3．（24-25高三上·全国·课后作业） ．
【答案】 （其中 ）
【分析】运用辅助角公式计算.
【详解】 ，其中
．
故答案为： （其中 ）.
4．（23-24高三下·广东广州·期中）函数 的最大值为 .
【答案】
【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到 ，即可求解.
【详解】由
当 时，即
所以 的最大值为：
故答案为：
5．（24-25高三上·陕西榆林·期末） .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简即得.
【详解】 .
故答案为：
6．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数 ，则当 时 的最大
值为 ．
【答案】【分析】利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数性质求解可得.
【详解】
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
7．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数 的最小正周期为 .
【答案】
【分析】由余弦二倍角公式及两角和的余弦公式化简后计算周期即可得.
【详解】
，
则其最小正周期 .
故答案为： .
8．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若函数 在 处取得最大值，则
.
【答案】
【分析】根据辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质求其最大值，并确定取最大值时自变量的值，
由此可求 .【详解】因为 ，
设 ， ，
则 ， ，
当 ， 时，
即当 ， 函数 取最大值，最大值为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
题型 05 二倍角与降幂公式
【解题规律·提分快招】
1、二倍角公式
① ；
② ；
③ ；
2、降幂公式
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 是（ ）
A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为
D．偶函数且最小正周期为
【答案】A
【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数 化简为 ，即可判断奇偶性和周期性.【详解】因 ，
故 为奇函数，且最小正周期为 .
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、降次公式求得正确答案.
【详解】依题意 ， ，
所以 ，
，解得 ，负根舍去.
故选：B
3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式依次求得 ， ，再利用二倍角的正弦公式即可
得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的关系化简，再根据二倍角公式求解即可.
【详解】方法一：，
，解得 .
故选：C.
方法二： ，
.
故选：C.
5．（2024·贵州·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及 求出 和 ，再根据二倍角
的正弦公式及降幂公式化简 ，代入计算即可．
【详解】由题设有 ，即 ，
解得 或 ，因为 ，所以 ，则 ，
则 ，
故选：A．
6．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用诱导公式及特殊值的三角函数，结合三角函数
的性质即可求解.
【详解】 ，，
，
所以 ， ， ，
所以 .
故选：A.
7．（23-24高三下·江苏镇江·阶段练习）若 ， ，则 （ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【分析】先利用三角恒等变换化简整理可得 ，然后利用同角三角函数的基本关系求得
，进而得 ，从而由 可得结果.
【详解】 ，
化简得 ，即 ，
整理得 .
因为 ，所以 .
整理得 ，又 ，即 ，
所以 ，即 ，进而 ，
于是 .
故选：D.
8．（24-25高三上·江苏苏州·期末） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】应用和角的正弦、余弦公式和二倍角公式化简即可.
【详解】
.
故选：D.
题型 06 拆角、配角问题（给值求值、给值求角）
【解题规律·提分快招】
拆分角的变形：① ； ；② ；
③ ；④ ；⑤ ．
其他：
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·江西·期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用凑角法得到方程，两式相加得到 .
【详解】 ①，
②，由①②相加，得 ，所以 .
故选：A.
2．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知 ， ， ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由所给角的象限结合同角三角函数基本关系可得 ， ，再利用两角和的余弦
公式计算即可得解.
【详解】由 ， ，则 ， ，
故 ，
，
故
.
故选：C.
3．（24-25高三上·湖南长沙·期末）若 ， ，并且 均为锐角，且 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得 ， ，再由两角差的余
弦公式计算可得结果.【详解】由 ，可得 ，
又 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以
，
又因为 ，所以 .
故选：C
4．（24-25高三上·安徽·期中）若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两角差的正余弦公式化简分式，可求得 的值，再根据
结合两角差的正切公式求解出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，
又因为 .
故选：C.
5．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知 ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由条件结合同角关系求 ，由二倍角公式求 ，再利用两角差正弦公式可
求 ，由此可求结论.
方法二：由条件可得 ，由此确定 范围，结合正弦函数单调性可得 ，由此可得结论.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，又 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
故
，
因为 ， ，
所以 ，则 ．
解法二：因为 ，
所以 ， ，
∵ ，
所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
6．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知等差数列 中， ， ，又 ，
，其中 ，则 的值为（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差中项的性质可以算出 ，再利用等差数列中的关键量 和 可以求出 .利用
，求出 ，进而求出 ，确定 即可得出结论.
【详解】 ，
， ，
，
，
.又 ，
，
.
， ， ，
.
故选：D.
7．（24-25高三上·山东·期中）若 ， ，且 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出 的值，最
后根据 的范围确定其具体值.
【详解】因 ，所以 ，又 ，
根据 ，得 ，同时也能确定 .
因为 ， ， ，所以 .
.
将 转化为 .
所以
因为 ， ，所以 .
在这个区间内， 时， .
故选：C.
8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两角和的余弦公式求出 ，从而求出 ，再由降幂公式及和差角的余弦公式
计算可得.
【详解】因为 ， ，
所以 ，所以 ，所以
则
.
故选：D
一、单选题
1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两角和与差的余弦公式展开，然后两边平方即可求得 .
【详解】展开得 ，
两边同时平方有 ，
即 ，解得 ，
故选：B．
2．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的诱导公式以及二倍角公式，可得答案.
【详解】 ，则 ，又 ，所以 .
故选：D.
3．（2024·重庆·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式将目标式转化为 ，然后由二倍角公式可得.
【详解】因为 ，
所以
.
故选：A
4．（2024·河南·一模）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先求得 ，再利用降幂公式和两角差的余弦公式运算求解.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ．
故选：A.
5．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 得到 ，结合题目条件可得 ，利用倍角公式可计算的值.
【详解】∵ ，∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍），
∴ .
故选：C.
6．（24-25高三上·山西·阶段练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式和诱导公式求解.
【详解】根据两角和的正切公式， ，
可得 ，即 ；
根据诱导公式， ，
故原式 .
故选：A.
7．（23-24高三上·河北廊坊·期中）设 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换可得答案.
【详解】因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，则 ．
故选：B.
8．（2024·浙江·模拟预测）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得 的值，利用两角差的余弦公式即可
求得 ，继而利用二倍角的余弦公式求得答案.
【详解】由于 ，则 ，
而 ，故 ，
由 ，可得 ，
则
，
故 ，
故选：D
9．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两角和差公式可得 ，结合题意即可得结果.
【详解】因为 ，则 ， ，
又因为 ，
则 ①，
等式①的两边同时除以
可得 ，解得 .
故选：D.10．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知 ， ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得 ，利用两角和与差的正弦公式化简
，可得 ，根据角的范围，即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ．
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，所以 ．
又 ，所以 ．
故选：D
11．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）若 ， ，且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出 、 ，再由 利用两角和的余弦公式计算可
得.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 ，
又 ，所以 ，又 ，
所以 ，于是
，
又 ，则 .
故选：B.
二、填空题
12．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）若 ，且 ，则 ．
【答案】
【分析】利用二倍角公式及两角差的余弦公式化简，求出 ，根据 即可求解.
【详解】由 ，得 ．
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ．
由 ，得 ，则 ，解得 ．
故答案为：
13．（24-25高三上·河南·阶段练习）若 ，则 .
【答案】
【分析】利用三角恒等变换结合齐次式问题运算求解即可.
【详解】由题意可得： .
故答案为： .
14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知 ，则 .
【答案】 /【分析】首先利用二倍角公式求出 ，再由诱导公式计算可得.
【详解】 ， ，
.
故答案为：
15．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）已知 ，则 .
【答案】
【分析】借助两角和的正弦公式与辅助角公式化简原式可得 ，再利用整体思想结合二倍角
公式及诱导公式计算即可得.
【详解】
，
则 ，
故
.
故答案为： .
16．（23-24高三下·上海宝山·期末）已知 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】结合所给角的象限与余弦值，可得其 正弦值，再利用两角差的正弦公式计算即可得.
【详解】由 ， ， ，则 ，
则 ， ，.
故答案为： .
17．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知 ， ， ，则
.
【答案】
【分析】先由角的范围和题设 和 的值，求出 和 的值，再利用拆角
变换展开后代入求值即得.
【详解】因 ， ， ，
故 ， ，
故 ， ，
则
.
故答案为：
18．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知 为钝角，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据题意可知 ，切化弦结合三角恒等变换化简整理即可 ，即可
得结果.
【详解】因为 ，
则，
即 ，且 为钝角，所以 .
故答案为： .
19．（24-25高三上·江苏淮安·期中）已知 ，则 .
【答案】
【分析】利用恒等变换公式以及商数关系进行化简并计算.
【详解】因为
，
而 ，所以 ， ，
故答案为： .
20．（2024高三·全国·专题练习）化简: .
【答案】
【分析】弦切互化将 变为 ，利用诱导公式将 变为 ，结合完全
平方式和二倍角余弦公式化简即可.
【详解】原式 .
故答案为：
