文档文本内容
2.3 函数的奇偶性
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02 落实主干知识..................................................................................................................................3
一、函数的奇偶性................................................................................................................................3
常用二级结论........................................................................................................................................3
03 探究核心题型..................................................................................................................................5
题型一：常见函数奇偶性的判断........................................................................................................5
题型二：抽象函数奇偶性的判断........................................................................................................5
题型三：中值模型................................................................................................................................6
题型四：利用奇偶性求值(解析式).....................................................................................................7
题型五：利用奇偶性解不等式............................................................................................................8
题型六：求参数问题............................................................................................................................8
04 好题赏析（一题多解）................................................................................................................10
05 数学思想方法................................................................................................................................ 11
①数形结合.......................................................................................................................................... 11
②转化与化归...................................................................................................................................... 11
③分类讨论..........................................................................................................................................12
06 课时精练（真题、模拟题）........................................................................................................13
基础过关篇..........................................................................................................................................13
能力拓展篇..........................................................................................................................................15
1、了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2、会依据函数的性质进行简单的应用.
一、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做偶函数
关于
轴对
称
奇函数
如果对于函数
的定义域内任意一个
，都有
，那么函数
就叫做奇函数
关于原点对
称
判断
与
的关系时，也可以使用如下结论：如果
或
，则
函数
为偶函数；如果
或
，则函数
为奇函数．
常用二级结论
1、常用结论
①奇偶函数四则运算与复合
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
②奇函数
的定义域若包括0，则必有
.
③
为偶函数
④若
，且
的定义域关于原点对称，则
既是奇函数也是偶函数.
⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.
⑥
的定义域关于原点对称，
为偶函数，
为奇函数，
为偶
函数.
⑦奇函数：
；偶函数：
⑧若
是偶函数，则奇次项系数
为0.
若
是奇函数，则偶次项系数
为0.
2、常用奇偶函数模型
(1)奇函数模型
①函数
或函数
.
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
(2)偶函数模型
①函数
；
②函数
；
③函数
类型的一切函数．
3、中值模型
基本模型：
，其中
为奇函数，
为常数
（1）
（2）
题型一：常见函数奇偶性的判断
【例1】（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
判断函数的奇偶性，其中包括两个必
条件
备
(1)定
域关于原点
称，否
即
非奇非偶函数
义
对
则
为
.
(2)判断
与
是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以
化
判断奇偶性的等价等量
转
为
关系式(
(奇函数)或
(偶函数))是否成立.
【变式1-1】下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025·广东深圳·二模）已知函数
（a 为常数），则（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
为增函数
D．
为减函数
【变式1-3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知定义域为
的函数
不是奇函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：抽象函数奇偶性的判断
【例2】（多选题）已知
是定义在
上不恒为0 的偶函数，
是定义在
上不恒为0 的奇函数，
则（ ）
A．
为奇函数
B．
为奇函数
C．
为偶函数
D．
为偶函数
【解题总结】
性质法判断
【变式2-1】（多选题）设
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（多选题）已知
，
都是定义在
上且不恒为0 的函数，则（ ）
A．
为偶函数
B．
为奇函数
C．若
为奇函数，
为偶函数，则
为奇函数
D．若
为奇函数，
为偶函数，则
为非奇非偶函数
【变式2-3】（多选题）已知函数
的定义域为R，
，则（ ）
A．
B．
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【变式2-4】（多选题）已知定义在
上的函数
满足
，定义在
上的函数
满足
，则（ ）
A．
不是奇函数
B．
既是奇函数又是偶函数
C．
是奇函数
D．
既不是奇函数又不是偶函数
题型三：中值模型
【例3】（2025·山东济南·三模）已知函数
，则
．
【解题总结】
，其中
为奇函数，
为常数
（1）
（2）
【变式3-1】已知函数
在区间
上的最大值为
，最小值为
，则
的值为
．
【变式3-2】若对于
，
，令
，则
在
上的最大值和最小值之和为
【变式3-3】若定义在区间
上的函数
满足：对于任意的
，
，都有
，且
时，有
，若
的最大值为
，最小值为
，则
的值为 .
【变式3-4】已知
，
为
导函数，若
，则
．
题型四：利用奇偶性求值(解析式)
【例4】（2025·云南·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
是奇函数，
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
利用函数的奇偶性可求函数
或求参数的取
值
值,求解的关
在于借助奇偶性
化
求已知区
上的函数
键
转
为
间
或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.
【变式4-1】已知函数
的定义域为
是奇函数，
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【变式4-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数．若以点
为圆心，半径
为2 的圆在
轴上方的部分恰好是
图像的一部分，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】已知奇函数
在
上的解析式为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型五：利用奇偶性解不等式
【例5】已知奇函数
在
上单调递减，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
利用函数的奇偶性可画出函数在其
称区
上的
象
对
间
图
,
合几何直
求解相关
结
观
问题.
【变式5-1】已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（2025·河北石家庄·三模）已知
是定义在
上的奇函数，当
、
且
时，
都有
成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2025·山西临汾·三模）已知
，则满足
的实数m 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-4】已知函数
的图象经过点
，则关于
的不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六：求参数问题
【例6】（2025·安徽·三模）已知函数
的图象关于原点对称，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【解题总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为
，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、
填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
【变式6-1】（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
.若
是奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式6-2】（2025·河北·模拟预测）若
（其中
）是偶函数，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【变式6-3】（2025·高三·广西·期中）若
为奇函数，则实数
的值等于（ ）
A．－1
B．
C．
D．1
【变式6-4】若函数
为偶函数，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
1 ．已知函数
是定义在R 上的偶函数，且
在
上单调递减，
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知定义在R 上的函数
满足
，
的图象关于y 轴对称．当
时，
对任意
，
满足
，且
，则
A．
B．
C．
D．
①数形结合
1．已知函数
，对任意
，都有
恒成立，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2 ．已知定义在R 上的函数
为奇函数，且当
时，
，若
，不等式
恒成立，则a 的值不可能是
A．
B．2025
C．
D．3
3．若定义在R 上的奇函数
在
上单调递减，且
，则满足
的x 的取
值范围是
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4．已知
为奇函数，对于任意的
，都有
，且
，则不等式
的解集为 ．
5．已知函数
，则不等式
的解集是 ．
6．设函数
的最大值为M，最小值为m，则
．
③分类讨论
7 ．设
是定义在
上的奇函数，对任意的
，
，
，满足：
，若
，则不等式
的解集为 ．
8．已知函数
，若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围
是 ．
9．已知函数
为偶函数，则
．
基础过关篇
1．（2025·安徽·模拟预测）函数
．若存在
，使得
为奇函数，则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川·三模）函数
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．6
3．（2025·山东济南·二模）设
为偶函数，当
时，
，则使
的
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
4．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
5．（2025·江西·模拟预测）函数
是（ ）
A．奇函数，且最大值为5
B．奇函数，且最小值为
C．偶函数，且最大值为5
D．偶函数，且最小值为
6．（2025·江西·模拟预测）已知函数
同时满足以下三个条件：①
在定义域内是奇函数或偶函数；
②有奇数个零点；③在
内单调递增．函数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·安徽·三模）已知函数
，
，若下图是函数
图象的一部分，则
可
能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·河南·三模）已知
为定义在
上的奇函数，若
在
上单调递减，则满足不等式
的实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·天津河西·二模）已知函数
是偶函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·江西·二模）已知函数
，
是偶函数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
11．（多选题）（2025·云南曲靖·二模）下列函数中，既是偶函数，又在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（多选题）（2025·湖南·模拟预测）若函数
的定义域都为
，且
为奇函数，
为偶函数，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
13．（多选题）（2025·山东菏泽·一模）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
是增函数
D．
14．（多选题）（2025·江苏盐城·三模）已知函数
是奇函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
在R 上单调递增
D．若对任意实数
，不等式
恒成立，则
15．（2025·广东茂名·二模）已知函数
在
上单调递增，函数
是定义在
上的奇函数，且
，则
可以是 .（写出一个满足条件的函数即可）
16．（2025·江西新余·模拟预测）若函数
为偶函数，则
.
能力拓展篇
17．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，满足
，则
.
18．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数
则
的解集是 ．
19．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数
是偶函数，且当
时，
，则不等式
的解集为 ．（用区间表示）
20．（2025·甘肃白银·二模）已知定义在
上的奇函数
和偶函数
满足
，且
，则
.
21．已知
是定义在
上的奇函数，
，若
在
上单调递增，则不等式
的解集为 .
22．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，
的定义域均为R，其中
是奇函数，
是偶函数，
且
，若对于任意
，都有
，则实数a 的取值范围是
．
23．（2025·宁夏银川·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，且
，则不等式
的解集为 .
24．（2025·全国·一模）已知函数
，则
的解集为 .
25．（2025·湖南·二模）若函数
，
，若
，
为偶函数，则
.若
为奇函数，则
.
26．（2025·陕西西安·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
在区间
上单调递
增．若实数
满足
，则
的取值范围是 ．
